Latin 17859 · vues 1–49 · Lecture modernisée
Datation du catalogue : 1601-1700
Source gallica.bnf.fr / Bibliothèque nationale de France
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Résumé

Ce que le volume contient

1–49Quarante-neuf vues d'un microfilm en niveaux de gris, chacune montrant le volume ouvert : une page de gauche et une page de droite, que la transcription a coupées et lues comme deux pages. La vue 1 (le plat, l'étiquette de cote, et la garde où la Bibliothèque a certifié « Volume de 47 Feuillets. 7 Juin 1870 ») n'est pas transcrite ; la page de droite de la vue 49 est blanche. Tout le reste est d'une seule main, une italique régulière, avec les figures dans les marges.¹

C'est une copie, et elle le dit. La page de titre énumère le contenu d'un recueil imprimé — les Sphériques de Théodose « selon la tradition de Maurolico de Messine, mathématicien », les Sphériques de Ménélas, la Sphère en mouvement d'Autolycus, les Habitations de Théodose, les Phénomènes d'Euclide « démontrés très brièvement », la « démonstration et la pratique de trois tables, du sinus droit, féconde et bienfaisante, appartenant aux triangles sphériques », un Compendium Mathematicæ et le Discours sur la sphère de Maurolico — puis sa source : « Exscripta ex typis excusso codice Messanæ. In freto Siculo a Petro Spira mense Augusto Anno M.D.LVIII. »² La datation du catalogue, 1601–1700, est reproduite en tête telle quelle. Le volume donne lui-même un repère : sa toute dernière ligne (vue 49) omet le Compendium « parce que le P. Mersenne l'a publié », ce qui place la copie après cette publication ; la date de celle-ci n'est pas sur les feuillets, et cette lecture n'en infère aucune.

Le recueil copié n'est pas complet. Les Sphériques de Théodose et de Ménélas n'y ont que leurs titres, sur une page par ailleurs blanche, avec pour Ménélas la mention « Alibi descripta » — copié ailleurs.³ Ce qui est copié se range en neuf pièces :

• deux lettres dédicatoires, l'une au vice-roi de Sicile (1558), l'autre à Charles Quint (1556), et l'Index des travaux de Maurolico (vues 2–4) ;
• le Discours sur la sphère, une cosmographie en prose (vues 4–10) ;
• trois textes grecs dans la « tradition » de Maurolico : Autolycus, De la sphère en mouvement (vues 48 et 10–11), Théodose, Des habitations (vues 11–12), Euclide, Phénomènes (vues 13–15) ;
• deux notes sur les habitants de la Terre et sur la visibilité des astres près du Soleil (vues 15–16) ;
• trois tables — des sinus, des tangentes, des sécantes — et une table à trois arcs pour les déclinaisons et les ascensions (vues 16–20) ;
• huit problèmes résolus avec ces tables (vues 17–19 et 48–49) ;
• la fin d'un premier livre de trigonométrie sphérique, depuis la proposition XXIII, et un second livre entier, trente-deux propositions (vues 20–47) ;
• un commentaire des règles de Regiomontanus et la démonstration de la table des sécantes, daté d'août 1530 (vues 42–45 et 47) ;
• une dédicace à Octavio Spinola datée du 1^er juin 1557, et la ligne finale sur le Compendium (vues 47 et 49).

L'ordre des feuillets, et celui de cette lecture

La reliure a mis trois groupes de feuillets hors de l'ordre du texte, et les transcriptions l'ont chaque fois montré par la continuité des phrases, en gardant elles-mêmes l'ordre des vues.

• La page de gauche de la vue 48 ouvre le livre d'Autolycus (définition, propositions 1 à 4) et s'arrête sur « et per primam huius puncta singula » ; la page de droite de la vue 10 commence par « suos seorsum parallelos, semper in alterutro hæmisphæriorum describent » et continue avec les propositions 5 à 12. La phrase se lit d'une traite.
• Les problèmes 1 à 6 se lisent sur les pages numérotées 17 (vue 18, droite), puis vue 19, gauche, puis 16 (vue 17, droite), puis vue 18, gauche : les deux feuillets numérotés 16 et 17 sont reliés à l'envers.
• La fin du second livre des Sphériques court de la vue 41, gauche, à la vue 42, gauche, s'interrompt au milieu de la proposition XXVIII, et reprend à la vue 45, droite, qui répète les deux dernières lignes interrompues ; elle s'achève à la vue 47, gauche, sur une phrase en suspens, que continue la vue 42, droite. Le commentaire sur Regiomontanus qui occupe les vues 42, droite, à 45, gauche, s'achève à son tour en tête de la vue 47, droite. Les trois feuillets numérotés 41 à 43 appartiennent donc entre ceux numérotés 45 et 46.

Cette lecture suit l'ordre du texte là où ces notes l'établissent, et le dit en note à chaque endroit. Elle fait en outre un rapprochement qui est le sien : les problèmes « 7 » et « 8 » de la fin du volume (vues 48–49) continuent la numérotation et reprennent les données (latitude de 38°, amplitude de \(30^\circ 24'\)) du problème 6 de la vue 18, et sont lus à sa suite.⁴ Pour le reste, l'ordre de la reliure est gardé. Le texte laisse pourtant voir un autre ordre, celui du livre imprimé : le commentaire de 1530 se termine par « Nunc adnectemus his quædam veterum opuscula ad eandem sphæricam theoriam spectantia », et la lettre à Spinola annonce qu'« une fois achevés les Sphériques de Théodose, de Ménélas et de ton Maurolico », viendront « ce qui touche la sphère mobile et le premier mouvement ».⁵

Les dédicaces et l'index des travaux

2–4La première lettre est adressée à Juan de la Cerda, duc de Medinaceli et vice-roi de Sicile, et datée de Messine, août 1558.⁶ Maurolico y raconte que ces petits livres des Sphériques, « corrigés au prix de beaucoup de veilles », étaient destinés à Charles Quint trois ans plus tôt, et que le malheur des temps a empêché l'envoi ; il prie le vice-roi — qu'il a vu récemment en armes sur le rivage de Messine repousser la flotte turque qui ravageait la Calabre — de le présenter à l'empereur. Il dit en une phrase ce qu'il a voulu faire, et c'est la meilleure introduction au volume : la science des triangles sphériques, aussi nécessaire à la géométrie et à l'astronomie qu'elle est négligée dans les écoles, ne pouvait rester dans cet abandon ; il a donc restauré, « à partir d'exemplaires très corrompus », les Sphériques de Théodose et de Ménélas, et y a joint « quelques veilles » de lui et d'autres pièces sur le même sujet.⁷

Suit l'« Index lucubrationum Maurolyci », en deux parties. Les œuvres d'autrui qu'il a éditées ou corrigées (« Aliena ») : les Éléments d'Euclide, « les erreurs des interprètes discutées », avec des propositions ajoutées sur les solides réguliers ; les Sphériques de Théodose et de Ménélas ; quatre livres des Coniques d'Apollonius ; Serenus ; les traités d'Archimède sur la mesure du cercle, la sphère et le cylindre, les isopérimètres, l'équilibre des plans, la quadrature de la parabole, les sphéroïdes et conoïdes, les spirales ; l'arithmétique de Jordanus ; les perspectives de Roger Bacon et de « Iohannes » ; les miroirs ardents de Ptolémée ; Autolycus, Théodose et les Phénomènes ; les Problèmes mécaniques d'Aristote.⁸ Ses propres travaux (« Nostra vero sunt ») : des prologues sur la division des arts ; une Arithmétique spéculative en deux livres, sur les formes des nombres et sur les grandeurs rationnelles et irrationnelles ; des démonstrations des règles de fausse position et de la « chose » réduites à quatre préceptes ; « deux petits livres de Sphériques, où beaucoup de choses négligées par Ménélas sont suppléées » — ce sont, selon toute apparence, les deux livres dont ce volume garde la fin du premier et le second entier ; une sphère mobile ; une cosmographie dédiée jadis à Pietro Bembo ; les livres V et VI des Coniques ; un traité des solides réguliers qui remplissent l'espace, « où l'ignorance d'Averroès apparaît manifestement » ; quatre livres sur l'égalité des moments, dont le dernier sur les centres de gravité des solides omis par Archimède ; les instruments ; trois livres sur les lignes horaires ; les Photismi sur la lumière et l'ombre, et les Diaphana en trois livres (corps transparents, arc-en-ciel, structure de l'œil et lunettes) ; des questions arithmétiques, géométriques et astronomiques ; des annotations et des canons de tables ; enfin le Compendium Mathematicæ.⁹

La seconde lettre, à Charles Quint, est datée de Messine, juillet 1556 — ou d'une année voisine, le dernier chiffre étant surchargé.¹⁰ Elle justifie l'offrande d'un livre de sphères à un souverain par la sphère elle-même : la figure la plus simple, la plus égale, la plus forte et la plus capable, image de l'archétype, convient à qui gouverne la sphère terrestre ; elle nomme ceux qui ont encouragé l'entreprise, Juan de Vega, ancien vice-roi, et Simeone Ventimiglia, marquis de Geraci, alors stratège de Messine. Un poème de douze vers, « Eidem Augusto Dicatum carmen », la suit.¹¹

Le Discours sur la sphère

4–10« Maurolyci Messanensis de Sphæra Sermo » est une cosmographie complète en quelques pages, sans figures ni démonstrations : ce que doit savoir, en 1558, celui qui va lire des traités de la sphère. On le suit ici dans son ordre, en disant ce qui reste vrai et ce qui ne l'est plus.¹²

La sphère, figure parfaite

Le cercle parmi les figures planes, la sphère parmi les solides, l'emportent par six propriétés : la simplicité (une seule ligne, une seule surface les bornent), la similitude des parties (tous leurs arcs, toutes leurs calottes sont également courbés), l'égalité (le centre est à égale distance du bord, et tous les diamètres sont égaux), l'identité du lieu (tournant autour du centre, la figure occupe toujours le même lieu), la solidité, et la capacité (à périmètre égal le cercle, à surface égale la sphère enferment le plus). Il ajoute que chacune suffirait à définir la figure.¹³

C'est vrai de quatre d'entre elles et faux de deux. Une courbe fermée du plan dont la courbure est constante est un cercle ; une courbe invariante par toutes les rotations autour d'un point est un cercle ; l'équidistance au centre est la définition même ; et parmi les courbes fermées de longueur donnée, le cercle seul enferme l'aire maximale — c'est l'inégalité isopérimétrique, dont les démonstrations complètes sont bien postérieures au feuillet.¹⁴ En revanche, être bornée par une seule ligne ne caractérise rien — toute courbe fermée simple l'est —, et la « solidité » n'est pas une propriété géométrique. Une septième propriété, qu'on ne puisse assigner ni commencement ni fin, fait passer à la cosmologie : Dieu a donné cette forme au monde pour qu'il imite un archétype sans commencement ni fin.¹⁵

La Terre ronde, au centre, immobile

Le ciel est sphérique et tourne circulairement : une étoile garde toujours la même grandeur apparente, et les phases de la Lune ne s'expliqueraient pas sans un astre sphérique. La Terre et la mer forment un globe : les astres se lèvent plus tôt pour qui est plus à l'est ; en marchant sur un méridien, la hauteur méridienne d'un astre et la longueur de son arc diurne varient ; et comme ces écarts sont proportionnels aux distances parcourues, la surface est ronde. On voit du haut des collines plus de mer que du rivage ; l'ombre de la Terre sur la Lune éclipsée est ronde ; l'équilibre des graves, qui tendent tous vers le centre, exige une surface dont tous les points soient à égale distance du centre ; les montagnes ne font pas plus à la rondeur du globe que les aspérités d'une grosse boule de pierre.¹⁶ Il écarte ceux qui donnaient à la terre et à la mer deux sphères ou deux centres distincts : le globe entier, terre et eaux ensemble, a pour centre de gravité le centre du monde.

La Terre est au centre, puisqu'une étoile paraît de même grandeur de partout, qu'on voit toujours la moitié du zodiaque, que les extrémités des ombres équinoxiales sont en ligne droite, qu'il n'y a d'éclipse de Lune qu'à l'opposition, et qu'un astre se couche quand son opposé se lève ; et elle n'est qu'un point au regard du firmament, de sorte que la distance de l'œil au centre de la Terre ne change pas sensiblement les observations.

Elle est immobile. Un mouvement droit lui ferait quitter le centre ; une rotation autour d'un axe autre que celui du monde ferait varier la hauteur du pôle en un même lieu, ce qu'on n'observe pas ; une rotation autour de l'axe du monde laisserait en arrière, vers l'occident, les nuages et les oiseaux, et une pierre lancée en l'air ne retomberait pas au même endroit. La deuxième raison est juste : une rotation diurne autour d'un autre axe se verrait. La troisième ne l'est pas. Les nuages, les oiseaux et la pierre partagent le mouvement de la Terre et le conservent ; une rotation uniforme du globe autour de l'axe du monde ne produit, à l'échelle de ces expériences, aucun des effets invoqués, et c'est bien la Terre qui tourne.¹⁷

Les deux mouvements et l'ordre des sphères

Le ciel a deux mouvements : le premier, d'orient en occident, qui fait lever et coucher tous les astres ; le second, en sens contraire, visible dans le déplacement du Soleil et l'inégale vitesse de la Lune et des planètes. Chaque mouvement demandant son orbe, il faut au moins huit cieux ; un neuvième pour le lent mouvement des fixes vers l'orient que Ptolémée a perçu, et que Thābit a changé en « trépidation » ; un dixième depuis qu'Alphonse a ajouté à la trépidation un mouvement en longitude. L'ordre des sphères se tire de la lenteur du mouvement propre (la huitième sphère la plus haute, la Lune la plus basse), des éclipses (la Lune cache le Soleil), de la parallaxe, et de la convenance : le Soleil au milieu des planètes, Mars et Vénus à ses côtés.¹⁸ Tout cela est la cosmologie géocentrique reçue en 1558, que le feuillet expose sans discussion et que l'astronomie héliocentrique a remplacée.

Les cercles de la sphère, les horizons, les ascensions

Suit le vocabulaire qu'utilisent tous les textes du volume, et qui est encore le nôtre : l'équateur, grand cercle perpendiculaire à l'axe du mouvement diurne ; l'écliptique (le « zodiaque »), qui le coupe obliquement et touche les deux tropiques ; les colures, par les pôles du monde et, l'un, par les pôles de l'écliptique et les solstices, l'autre par les équinoxes ; l'horizon, dont le pôle est le zénith, droit s'il passe par les pôles du monde, oblique sinon ; le méridien, le premier vertical ; les cercles de latitude (par les pôles de l'écliptique), de déclinaison (par les pôles de l'équateur) et de hauteur (par le zénith). La latitude d'un lieu est l'arc du méridien entre le zénith et l'équateur, égal à la hauteur du pôle ; sa longitude se compte sur l'équateur depuis le méridien de l'extrême occident.¹⁹

L'horizon droit coupe tous les parallèles en deux moitiés : tout astre s'y lève et s'y couche, et l'équinoxe y est perpétuel. L'horizon oblique touche deux parallèles égaux, entre lesquels et les pôles les astres ne se couchent jamais ou ne se lèvent jamais ; il coupe les autres inégalement, les arcs diurnes étant plus grands du côté du pôle visible, et deux parallèles symétriques par rapport à l'équateur ont l'arc diurne de l'un égal à l'arc nocturne de l'autre. Entre les tropiques, le Soleil passe deux fois l'an au zénith et l'écliptique est deux fois par jour perpendiculaire à l'horizon. Là où le pôle de l'horizon est sur le cercle arctique, le plus long jour vaut vingt-quatre heures, avec « un instant » pour nuit ; plus près du pôle, le Soleil reste levé tant qu'il parcourt un arc d'écliptique retranché, « autant de jours que de degrés, autant de mois que de signes » ; au pôle, six mois de jour et six de nuit.²⁰

Les parties de l'écliptique ne montent pas uniformément, puisque l'écliptique tourne autour d'un axe qui n'est pas le sien. L'ascension d'un arc d'écliptique est l'arc d'équateur qui se lève avec lui ; elle est droite sur l'horizon droit, oblique sur l'horizon oblique ; la descension est l'arc d'équateur qui se couche avec lui. Les énoncés du feuillet sont exacts : sur l'horizon droit, quatre arcs également distants des équinoxes ont même ascension, et un arc plus proche des solstices en a une plus grande ; deux arcs diamétralement opposés se lèvent quand l'autre se couche ; pour tout arc, ascension et descension obliques ont une somme indépendante du lieu (le double de l'ascension droite, puisque la différence ascensionnelle s'ajoute à l'une et se retranche de l'autre) ; un arc symétrique par rapport à un solstice a même ascension et même descension ; dans nos latitudes nord, un arc de la moitié ascendante de l'écliptique (du Capricorne aux Gémeaux) a l'ascension plus petite et la descension plus grande. Sur l'horizon droit deux demi-cercles quelconques de l'écliptique se lèvent en temps égaux ; sous le cercle arctique, le demi-cercle ascendant se lève en un instant et se couche en vingt-quatre heures.²¹

Levers et couchers relatifs au Soleil

Un astre qui se lève au lever du Soleil fait un lever matinal, s'il se couche à ce moment un coucher matinal ; au coucher du Soleil, les deux sont vespéraux ; pour une étoile de l'écliptique, le lever matinal et le coucher vespéral tombent le même jour, de même le lever vespéral et le coucher matinal.²² Les astres plus lents que le Soleil cessent d'être vus le soir quand il les rejoint (dernière apparition vespérale), puis reparaissent le matin (première apparition matinale) ; la Lune, plus rapide, fait l'inverse : dernière apparition le matin, première le soir.²³ Il ajoute que la Lune a « parfois » été vue les deux fois le même jour. Cela exigerait qu'elle soit assez loin du Soleil pour être visible — au moins sept degrés environ — le matin puis le soir d'un même jour, soit un déplacement relatif d'au moins quatorze degrés en moins d'un jour, à la limite extrême de ce que permet son mouvement (douze à quinze degrés par jour) : l'observation serait tout au plus exceptionnelle, et rien sur le feuillet ne l'établit.²⁴ Vénus et Mercure, tantôt plus rapides tantôt plus lents que le Soleil, ont les deux sortes d'apparitions ; les étoiles proches du pôle visible, à cause de la longueur de leur arc diurne, peuvent être vues le matin avant d'avoir cessé de l'être le soir. Les signes « physiques » sont sous-tendus par les côtés de l'hexagone inscrit ; divisés en deux, ils donnent les douze signes de trente degrés, comme l'année a douze mois de trente jours.

Le jour, les heures, les habitants, les climats

Le jour naturel est le temps d'une révolution de l'équateur augmentée de l'arc correspondant au mouvement du Soleil pendant ce temps ; ces jours sont inégaux (les jours « vulgaires » ou apparents) ; en répartissant également sur l'année le cercle entier que font leurs suppléments, on obtient les jours égaux, « astronomiques », qui servent au calcul des mouvements. Leur différence est l'« équation des jours » — notre équation du temps.²⁵ Le feuillet la dit « à soustraire » du temps vulgaire ; c'est vrai si on la compte à partir de sa valeur extrême, faute de quoi elle change de signe au cours de l'année, entre environ \(-14\) et \(+16\) minutes.

L'heure équinoxiale est la vingt-quatrième partie du jour ; l'heure temporelle, la douzième partie du jour ou de la nuit. Les périèques habitent le même parallèle ; les antèques des parallèles égaux et opposés ; les antipodes, qui sont en outre diamétralement opposés, ont le même horizon et voient chacun ce que l'autre ne voit pas.²⁶ Le jour se compte à partir du méridien et non de l'horizon, parce que deux méridiens se succèdent toujours au même intervalle de temps, ce que ne font deux horizons que pour des périèques. Ptolémée distingue les climats par des accroissements d'une demi-heure du plus long jour, les parallèles par des quarts d'heure.

Les modèles des planètes

L'inégalité des mouvements planétaires est « sauvée » par des excentriques et des épicycles, qui rendent compte aussi des stations, des rétrogradations et des latitudes. Le feuillet résume les modèles de Ptolémée : pour le Soleil, un excentrique sans épicycle ou, ce qui revient au même, un concentrique portant un épicycle ; pour les planètes supérieures et Vénus, un équant situé au-delà du centre du déférent d'autant que celui-ci est au-delà du centre du monde ; pour Mercure, un centre du déférent tournant sur un petit cercle ; pour la Lune, un centre du déférent tournant en sens contraire de l'épicycle, et l'apogée moyen de l'épicycle repéré depuis le point le plus bas de ce petit cercle. Les planètes supérieures sont écartées de l'apogée de leur épicycle autant que le Soleil l'est de l'épicycle, et les inférieures ont le même mouvement moyen que le Soleil ; les équations se prennent dans les tables par le centre et l'argument, corrigées par les minutes proportionnelles.²⁷

Les éclipses ont lieu aux nœuds ou près d'eux, entre des limites où elles sont possibles et d'autres, plus étroites, où elles sont nécessaires ; pour le Soleil, tout le calcul se fait sur les lieux vus, corrigés de la parallaxe. Les latitudes des planètes se composent de l'inclinaison du déférent et de celles de l'épicycle ; pour Vénus et Mercure, de la « déviation » du déférent, de l'« inclinaison » et de la « réflexion » de l'épicycle, avec les règles de signe que le feuillet détaille.²⁸ Tout cela est l'astronomie des Tables alphonsines, remplacée depuis par les orbites elliptiques et la gravitation ; on ne le transpose pas en notations modernes, parce qu'il n'y a pas d'énoncé moderne qui lui corresponde.

La huitième sphère

La huitième sphère, outre le mouvement diurne, en a deux : la « trépidation », par laquelle les extrémités du diamètre qui joint le début du Bélier et celui de la Balance de la huitième sphère parcourent deux petits cercles centrés sur les mêmes points de la neuvième, en 7000 ans ; et le mouvement en longitude, dû à la neuvième sphère, en 49 000 ans. L'équation de trépidation monte au plus à 9°, le rayon du petit cercle ; c'est, dit-il, le système d'Alphonse que suit l'académie commune des astronomes. Le mouvement réel auquel correspondent ces constructions est la précession des équinoxes, qui est uniforme à l'échelle historique, d'environ \(50''\) par an, soit un tour en quelque 26 000 ans ; il n'y a pas de trépidation.

Suivent un éloge du Soleil, qui règle les planètes et donne au temps ses degrés, ses mois et ses années ; les raisons des noms des constellations (la forme, la Flèche ; l'influence, l'Autel qui fait les prêtres ; la nature, le Scorpion ; l'histoire, Hercule et Persée ; la faveur des princes, la Chevelure de Bérénice), et leurs variantes selon Hygin, Ptolémée et Alphonse ; et la division des douze maisons, que Regiomontanus fait sur l'équateur, Campanus sur le premier vertical, et qu'il vaudrait mieux, selon lui, rapporter à l'écliptique.²⁹

Les rencontres de deux mobiles

Un seul passage du Discours est un théorème, et il est juste. Deux mobiles à vitesses constantes \(v_1 > v_2\), séparés par une distance \(d\), se rejoignent après le temps \(d/(v_1-v_2)\) s'ils vont dans le même sens, \(d/(v_1+v_2)\) s'ils vont en sens contraires. Sur un cercle, si les vitesses angulaires sont dans le rapport \(p:q\) en plus petits termes (le feuillet dit « les plus petits nombres représentant la proportion des mouvements »), les rencontres ont lieu en \(p-q\) points également espacés dans le premier cas, \(p+q\) dans le second, et toujours aux mêmes points.³⁰ Si les vitesses sont incommensurables, les points de rencontre ne se répètent jamais — ils sont même denses sur le cercle, ce que le feuillet ne dit pas. D'où sa conclusion : si les mouvements célestes sont incommensurables, les platoniciens se trompent en croyant que le ciel revient un jour à la même disposition.

Comment chaque grandeur se trouve

Le Discours se termine par l'inventaire des observations qui fixent les paramètres : l'obliquité par les hauteurs méridiennes du Soleil ; l'entrée du Soleil à l'équinoxe par sa hauteur méridienne ; la longueur de l'année par deux observations ; l'excentricité et l'apogée du Soleil par trois lieux ; le mouvement de la Lune et de ses nœuds par des couples d'éclipses ; le diamètre de l'épicycle lunaire par trois éclipses ; la distance de la Lune par la parallaxe, et de là, par une éclipse de Soleil et les diamètres apparents, les autres distances et les vraies grandeurs ; les révolutions des planètes par des retours au même lieu et à la même distance du Soleil ; l'inclinaison du déférent lunaire par la hauteur méridienne de la Lune quand ses nœuds sont aux équinoxes. « Motus instauratis observationibus rectificantur, et radix statuitur. FINIS. »³¹

Autolycus, De la sphère en mouvement

48–48Le livre d'Autolycus commence à la vue 48 et se poursuit à la vue 10 ; on le lit ici dans cet ordre.³² C'est la cinématique de la rotation uniforme d'une sphère autour d'un axe, rapportée à un grand cercle fixe, l'horizon. Maurolico donne chaque énoncé suivi d'une preuve de deux ou trois lignes renvoyant aux Sphériques de Théodose.

Définition. Des points d'une sphère se meuvent uniformément s'ils parcourent en temps égaux des arcs égaux et semblables ; un point mû uniformément sur une ligne parcourt des longueurs proportionnelles aux temps.³³

1. 1.Si la sphère tourne uniformément autour de son axe, tout point autre que les pôles décrit un cercle perpendiculaire à l'axe, ayant les mêmes pôles que la sphère.
2. 2.Tous les points parcourent en un même temps des arcs semblables de leurs parallèles (c'est-à-dire des arcs de même angle au centre).
3. 3.Réciproquement, les arcs de parallèles parcourus en un même temps sont semblables.
4. 4.Si l'horizon fixe est perpendiculaire à l'axe, aucun point ne se lève ni ne se couche : chacun décrit son parallèle dans l'un des deux hémisphères.

Suite du livre

10–11

1. 5.Si l'horizon passe par les pôles, tout point se lève et se couche, et reste autant de temps au-dessus qu'au-dessous : l'horizon coupe chaque parallèle en deux moitiés.³⁴
2. 6.Un horizon oblique touche deux parallèles égaux ; celui qui est du côté du pôle visible est toujours visible, l'autre toujours caché.
3. 7.Les parallèles se lèvent et se couchent toujours aux mêmes points de l'horizon, sous la même inclinaison.
4. 8.Tout grand cercle tangent aux deux parallèles que touche l'horizon coïncide avec l'horizon à un instant de la révolution.³⁵
5. 9.De deux points qui se lèvent ensemble, le plus proche du pôle visible se couche le plus tard ; de deux points qui se couchent ensemble, le plus proche du pôle visible s'est levé le premier.
6. 10.Un grand cercle passant par les pôles est deux fois perpendiculaire à l'horizon oblique à chaque révolution.
7. 11.Un grand cercle tangent à des parallèles au moins égaux à ceux que touche l'horizon se lève et se couche sur tout l'arc d'horizon compris entre les parallèles qu'il touche.³⁶
8. 12.Si un cercle fixe coupe toujours en deux un cercle entraîné, et que ni l'un ni l'autre n'est perpendiculaire à l'axe ni ne passe par les pôles, ce sont deux grands cercles.

Les énoncés sont exacts. La preuve du dernier procède par cas sans justifier le premier : que deux petits cercles ne puissent se couper toujours en deux se tire, en termes modernes, de ce qu'un plan ne coupe un cercle en deux moitiés que s'il passe par son centre, ce que le mouvement du cercle entraîné rend impossible à tout instant.³⁷

Théodose, Des habitations

11–12« Theodosii De Habitationibus ex traditione Maurolyci » tire les conséquences de la cinématique précédente pour des observateurs placés en divers lieux. Les douze propositions, dans nos termes :

1. 1.Au pôle nord, le même hémisphère est toujours visible ; aucun astre ne se lève ni ne se couche (Autolycus 4).
2. 2.À l'équateur, tout astre se lève et se couche, et reste douze heures au-dessus de l'horizon (Autolycus 5).³⁸
3. 3.Entre les tropiques, l'écliptique devient perpendiculaire à l'horizon deux fois par jour ; sous un tropique, une seule fois, quand le point solsticial passe au zénith.
4. 4.Là où le zénith est éloigné du pôle autant que le tropique l'est de l'équateur — sur le cercle polaire —, six signes se lèvent à la fois, en un instant, une fois par révolution : l'écliptique se confond alors avec l'horizon.
5. 5.À l'équateur, quand les points solsticiaux sont sur l'horizon, l'écliptique passe par le zénith, et le méridien coupe en deux sa moitié visible.
6. 6.À l'équateur, tous les demi-cercles de l'écliptique se lèvent en des temps égaux.³⁹
7. 7.Sous un même parallèle, un astre se lève et se couche plus tôt au lieu le plus oriental, du même intervalle de temps.
8. 8.Sous un même méridien, un astre de déclinaison nord reste plus longtemps sur l'horizon pour l'observateur le plus au nord, et se lève plus tôt pour lui d'autant qu'il se couche plus tard ; pour un astre de déclinaison sud, c'est l'inverse.
9. 9.Pour deux lieux qui ne sont ni sur un même parallèle ni sur un même méridien, les arcs diurnes restent inégaux comme en 8, et les levers et couchers ne sont plus décalés d'un même intervalle comme en 7 : le lever est avancé de la différence des longitudes augmentée de celle des différences ascensionnelles, le coucher de la différence des longitudes diminuée de celle-ci.⁴⁰
10. 10.Au pôle, le Soleil reste six mois sur l'horizon et six mois au-dessous, si l'on néglige, comme le feuillet le dit expressément, l'inégalité de son mouvement.
11. 11.Du pôle au cercle polaire, ce jour continu décroît de six mois à vingt-quatre heures : autant de mois que de signes, autant de jours que de degrés dans l'arc d'écliptique qui ne se couche pas.
12. 12.Sur le cercle polaire, le plus long jour est de vingt-quatre heures avec un instant de nuit, et la plus longue nuit de même. En tout lieu, le temps total de jour sur l'année est d'une demi-année — continu au pôle, fractionné ailleurs.

La dernière affirmation est vraie dans le modèle que pose la proposition 10 : Soleil ponctuel, sans réfraction, parcourant l'écliptique d'un mouvement uniforme. Deux points diamétralement opposés de l'écliptique ont des déclinations opposées, donc l'arc diurne de l'un égal à l'arc nocturne de l'autre, et le Soleil passe autant de temps sur l'un que sur l'autre. Avec le mouvement réel du Soleil, plus lent en été boréal, l'hémisphère nord reçoit un peu plus d'heures de jour que l'hémisphère sud.⁴¹

Les Phénomènes d'Euclide

13–15Les Phénomènes tirent de l'observation la forme du monde et étudient les levers et couchers des signes. Le préambule conclut de ce que les étoiles restent à distance constante et décrivent des parallèles que le monde est une sphère tournant uniformément autour d'un axe, et définit horizon, méridien, équateur, zodiaque et tropiques ; l'horizon est un grand cercle, puisqu'il coupe toujours un grand cercle en deux.⁴²

1. 1.La Terre est au centre du monde : visant avec la même dioptre deux signes opposés, l'un au lever, l'autre au coucher, puis deux autres, on obtient deux diamètres du zodiaque qui se coupent au lieu de l'observateur.⁴³
2. 2.Un cercle passant par les pôles est deux fois par révolution perpendiculaire à l'horizon, et l'écliptique deux fois perpendiculaire au méridien. L'écliptique n'est jamais perpendiculaire à l'horizon si le zénith est hors de la zone comprise entre les tropiques ; elle l'est deux fois par jour si le zénith est entre les tropiques, une fois s'il est sur un tropique.⁴⁴
3. 3.Une étoile fixe se lève et se couche toujours aux mêmes points de l'horizon.

Sous le titre « Additio duarum propositionum », Maurolico en ajoute six, qui sont celles de l'horizon oblique :⁴⁵

1. 4.Des astres situés sur un même cercle passant par les pôles se lèvent et se couchent ensemble sur l'horizon droit.
2. 5.Sur un horizon oblique, les astres situés sur la moitié orientale d'un grand cercle tangent au plus grand des parallèles toujours visibles se lèvent ensemble ; ceux de la moitié occidentale se couchent ensemble.
3. 6.Pour des astres situés sur un grand cercle qui ne touche ni ne coupe ce parallèle, celui qui se lève le premier se couche le premier.⁴⁶
4. 7.Pour des astres situés sur un grand cercle qui coupe ce parallèle, celui qui est le plus au nord se lève le premier et se couche le dernier — « Euclide parle pour notre situation » ; chez les antèques, c'est l'astre le plus proche de leur pôle.
5. 8.Deux astres diamétralement opposés sur un grand cercle se lèvent quand l'autre se couche.
6. 9.Le zodiaque se lève sur toute la partie de l'horizon comprise entre les tropiques ; et si le plus grand parallèle toujours visible n'est pas plus petit que le tropique — latitude au moins égale à celle du cercle polaire —, il se lève sur toute la moitié orientale de l'horizon, qui est alors tout entière entre les tropiques.⁴⁷

Les propositions d'Euclide reprennent ensuite :

1. 10.Des signes égaux se lèvent et se couchent sur des segments d'horizon inégaux : les plus grands près de l'équateur, les plus petits près des tropiques ; égaux pour des signes également distants de l'équateur.⁴⁸
2. 11.Les demi-cercles de l'écliptique qui commencent en des parallèles différents se lèvent en des temps inégaux, le plus long étant celui qui commence avec le Cancer, le plus court celui qui commence avec le Capricorne (pour l'hémisphère nord) ; deux demi-cercles commençant sur un même parallèle se lèvent en temps égaux. Le temps de lever d'un demi-cercle est en effet l'arc diurne de son point de départ.
3. 12.Si deux demi-cercles ayant un arc commun se lèvent en des temps différents, les arcs restants se lèvent en des temps qui diffèrent d'autant ; s'ils se lèvent en temps égaux, les restes aussi.⁴⁹
4. 13.Deux arcs égaux et opposés de l'écliptique : pendant que l'un se lève, l'autre se couche.⁵⁰

Puis « Additio trium propositionum » :

1. 14.Pour deux horizons « semblables » (tous deux droits, ou de même latitude), un astre se lève, culmine et se couche plus tôt sur l'horizon le plus oriental, du même intervalle : trente degrés d'équateur font deux heures.
2. 15.Les arcs d'équateur compris entre les moitiés orientales de tels horizons se lèvent avec les arcs d'écliptique compris entre les mêmes moitiés.
3. 16.Sur l'horizon droit, des arcs égaux de l'écliptique se lèvent (et se couchent) en un temps d'autant plus long qu'ils sont plus près des solstices, et en temps égaux s'ils sont également distants d'un équinoxe. Corollaire : dans la sphère droite, les Gémeaux, le Cancer, le Sagittaire et le Capricorne se lèvent dans les temps les plus longs, le Taureau, le Lion, le Scorpion et le Verseau dans des temps moindres, les Poissons, le Bélier, la Vierge et la Balance dans les plus courts.
4. 17.Sur un horizon oblique boréal, parmi les arcs égaux de la moitié de l'écliptique qui commence au Cancer, celui qui touche le tropique se couche dans le temps le plus long, puis les suivants dans des temps décroissants jusqu'à l'équinoxe ; des arcs également distants de l'équinoxe se couchent en temps égaux. Corollaire : sur notre horizon, le Cancer et le Sagittaire se couchent dans les temps les plus longs, le Lion et le Scorpion dans des temps moindres, la Vierge et la Balance dans les plus courts.
5. 18.Parmi les arcs égaux de la moitié qui commence au Capricorne, celui qui touche le tropique se lève dans le temps le plus long, jusqu'à l'équinoxe dans des temps décroissants. Corollaire : le Capricorne et les Gémeaux se lèvent dans les temps les plus longs, le Verseau et le Taureau dans des temps moindres, les Poissons et le Bélier dans les plus courts.

Les trois corollaires sont exacts. On l'a vérifié en calculant les ascensions obliques par signe à la latitude de Messine (\(38^\circ\), obliquité \(23^\circ 30'\)) : les signes se lèvent en temps égaux deux à deux, symétriquement par rapport à l'équinoxe (Bélier et Poissons \(18{,}7^\circ\), Taureau et Verseau \(22{,}4^\circ\), Gémeaux et Capricorne \(29{,}0^\circ\), Cancer et Sagittaire \(35{,}4^\circ\)), et un signe se couche dans le temps où se lève le signe opposé.⁵¹ Ils ne comparent que les signes d'une même moitié : à \(38^\circ\), le Lion et le Scorpion (\(37{,}5^\circ\)) se lèvent un peu plus lentement que la Vierge et la Balance (\(37{,}1^\circ\)), de sorte qu'un ordre énoncé sur le zodiaque entier serait faux ; le feuillet ne l'énonce pas.⁵²

Maurolico conclut en une phrase qui dit sa méthode : il a démontré ainsi les Phénomènes d'Euclide, avec l'aide des Sphériques de Ménélas et de Théodose, « beaucoup plus facilement que l'auteur ne l'avait fait », d'où il paraît combien les Sphériques sont non seulement commodes, mais nécessaires pour démontrer les rudiments de l'astronomie.⁵³

Les habitants de la Terre, et la visibilité des astres

15–16« Habitationum collatio » classe les habitants d'après ce qu'ils voient du ciel. Les périèques, sous le même parallèle, ont même hauteur du pôle, mêmes jours et mêmes saisons ; les antèques, sous des parallèles égaux et opposés, ont les saisons inversées et des ombres méridiennes égales mais dirigées en sens contraires ; les antipodes, en outre diamétralement opposés, ont le même horizon et voient se lever ce qui se couche pour les autres. Les amphisciens, entre les tropiques, ont l'ombre de midi tantôt au nord tantôt au sud, et « deux étés et deux hivers » ; les périsciens, au pôle, voient l'ombre tourner tout autour d'eux.⁵⁴

« De Astrorum fulsionibus » corrige la notion d'intervalle de visibilité : la distance qui sépare du Soleil un astre au moment de sa première ou de sa dernière apparition ne se mesure pas sur le zodiaque, mais sur le cercle vertical, comme abaissement du Soleil sous l'horizon, et elle n'est pas la même pour tous les astres, contrairement à ce qu'Autolycus a supposé : plus l'astre est lumineux, plus elle est petite. Ceux qui disent la Lune invisible à moins de 14° du Soleil se trompent ; Pline a tort d'en conclure que la Lune est plus petite que les autres astres, car un grand intervalle dénote un éclat apparent faible, non une petite taille. Tout cela est juste.

Il en tire un calcul qui ne l'est pas. Vénus, selon Ptolémée, demande \(5^\circ\). Si la Lune demande \(x\) degrés, elle aurait alors \(x/180\) de la lumière de la pleine Lune ; la pleine Lune valant cent fois Vénus (le rapport des diamètres étant dix, selon Albategnius), le croissant vaudrait \(100x/180\) fois Vénus, et les intervalles étant inverses des lumières, \(x = 5 \cdot 180/(100x)\), d'où \(x^2 = 9\) et \(x = 3^\circ\). Le feuillet présente ce raisonnement en partant de \(3^\circ\) et en retrouvant \(3^\circ\), ce qui en fait une vérification de cohérence, dont \(3^\circ\) est bien la seule solution positive.⁵⁵ Mais aucune prémisse ne tient. La fraction éclairée du disque lunaire à l'élongation \(\psi\) est \((1-\cos\psi)/2\), non \(\psi/180^\circ\) : à \(3^\circ\) elle vaut moins d'un millième, et non un soixantième ; l'abaissement du Soleil sous l'horizon n'est pas l'élongation ; le seuil de visibilité n'est pas inversement proportionnel à l'éclat. Le croissant n'est en fait jamais vu à moins de sept degrés environ du Soleil. La conséquence que le feuillet en tire — une Lune visible le matin et le soir d'un même jour si la conjonction tombe vers midi en été — n'est donc pas établie.

La table des sinus, qui occupe le reste de la page, ouvre la section suivante.

Les tables : sinus, tangentes, sécantes, et la table des trois arcs

16–20Quatre tables occupent les vues 16 à 20. Les trois premières sont, sous leurs noms du XVI^e siècle, nos tables de sinus, de tangentes et de sécantes, de degré en degré de \(1^\circ\) à \(90^\circ\), pour un rayon (« sinus totus ») de \(100\,000\). On écrit dans toute la suite \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\), \(\sec\) pour les lignes rapportées au rayon 1 ; une entrée de table est donc \(100\,000\) fois la valeur moderne, arrondie.⁵⁶ Chaque table a quatre colonnes : le degré, la valeur, la différence avec la ligne précédente, et le soixantième de cette différence, qui est l'accroissement par minute d'arc et sert à interpoler. Ainsi \(\sin 23^\circ 30'\) se tire de \(\sin 23^\circ = 39\,073\) et du soixantième \(26{:}41\) de la ligne suivante : \(39\,073 + 30 \times 26\tfrac{41}{60} \approx 39\,874\), et les problèmes emploient \(39\,875\).

La table des sinus

16–16« Tabella sinus recti » donne \(100\,000\sin n^\circ\). Recalculée, elle est exacte à une unité près sur chaque ligne ; l'écart d'une unité, aux lignes 48, 67, 73 et 85, est affaire d'arrondi. Trois erreurs touchent les colonnes auxiliaires :

• ligne 59, le soixantième de la différence 912 est écrit \(15{:}21\) ; il vaut \(15{:}12\) ;
• ligne 86, la différence est écrite 139 ; \(99\,756 - 99\,620 = 136\), et le soixantième écrit, \(2{:}16\), est bien celui de 136 ;
• ligne 88, le soixantième de 76 est écrit \(1{:}6\) ; il vaut \(1{:}16\).⁵⁷

La « table féconde » : les tangentes

17–17« Tabula foecunda » donne, sous le nom d'« umbra », l'ombre d'un gnomon égal au rayon : \(100\,000\tan n^\circ\).⁵⁸ Les valeurs sont exactes à trois unités près, sauf :

• ligne 40, le numéro du degré est écrit « 46 » ;
• ligne 43, la valeur est écrite \(63\,252\) ; c'est \(93\,252\), comme le veulent la différence 3212 et la valeur exacte ;
• ligne 50, \(119\,197\) au lieu de \(119\,175\) : l'erreur, de 22 unités, est dans la valeur elle-même, puisque les deux différences voisines (\(4160\) et \(4294\) au lieu de \(4138\) et \(4316\)) en tiennent compte ;
• ligne 78, \(470\,453\) au lieu de \(470\,463\), de même avec sa différence ;
• ligne 84, la différence est écrite \(137\,061\) ; elle vaut \(137\,001\), dont \(2283{:}21\) est bien le soixantième ;
• soixantièmes : ligne 34, \(41{:}51\) pour \(41{:}52\) ; ligne 68, \(196{:}44\) pour \(198{:}44\) ; ligne 69, « \(216{:}4\) » pour \(216{:}40\) ; ligne 83, \(1714{:}18\) pour \(1714{:}58\).⁵⁹

Sous la table, cinq valeurs pour les arcs voisins de \(90^\circ\), où l'interpolation n'est plus possible : \(\tan 89^\circ 15' = 7\,638\,998\), \(\tan 89^\circ 30' = 11\,458\,872\), \(\tan 89^\circ 45' = 22\,918\,163\), \(\tan 89^\circ 55' = 68\,754\,439\), \(\tan 89^\circ 59' = 343\,772\,546\). Les trois premières sont justes aux dernières unités près ; les deux dernières sont un peu faibles (les valeurs exactes sont \(68\,754\,887\) et \(343\,774\,667\)), avec une erreur relative de l'ordre de six millionièmes.

La « table bienfaisante » : les sécantes

19–19« Tabella benefica » donne, sous le nom de « Radius », le rayon mené du pied du gnomon à l'extrémité de l'ombre, c'est-à-dire \(100\,000\sec n^\circ\) ; Maurolico dit l'avoir faite « à l'imitation de la table féconde ».⁶⁰ Les valeurs sont exactes à une unité près, sauf :

• ligne 16, \(104\,630\) ; la valeur est \(104\,030\), que donne aussi la différence 502 ajoutée à la ligne précédente ;
• ligne 24, \(108\,464\), chiffre surchargé ; la valeur est \(109\,464\) ;
• ligne 30, la différence est écrite 1130 ; \(115\,470 - 114\,335 = 1135\), et le soixantième écrit, \(18.55\), est celui de 1135, non de 1130 ;
• ligne 9, différence 264 pour 263 ;
• ligne 4, soixantième « 2.47 » pour \(1{:}47\) ;
• dans la dernière colonne du second bloc, les lignes 51 à 55 répètent les valeurs des lignes 46 à 50, et de la ligne 56 à la ligne 85 chaque valeur est le soixantième de la différence écrite cinq lignes plus haut : la colonne a glissé de cinq lignes à la copie, et se remet d'accord aux lignes 86 à 89.⁶¹

Sous la table, six valeurs : \(\sec 0^\circ = 100\,000\), \(\sec 89^\circ 15' = 7\,639\,653\), \(\sec 89^\circ 30' = 11\,459\,309\), \(\sec 89^\circ 45' = 22\,918\,381\), \(\sec 89^\circ 55' = 68\,754\,512\), \(\sec 89^\circ 59' = 343\,772\,560\) ; comme pour les tangentes, les deux dernières sont faibles de quelques millionièmes (valeurs exactes \(68\,754\,960\) et \(343\,774\,682\)).

La table des trois arcs

20–20La page de gauche de la vue 20 porte une table sans titre donnant, pour chaque degré \(\lambda\) de longitude écliptique, trois arcs en degrés et minutes, « Primus », « Secundus », « Tertius ». Les problèmes 4 et 5 disent employer une « table générale des déclinaisons et des ascensions » à trois arcs et les définissent ; c'est celle-ci.⁶² Menons par le point \(\lambda\) de l'écliptique le cercle de latitude, perpendiculaire à l'écliptique, jusqu'à l'équateur. Le triangle sphérique formé avec l'équinoxe est rectangle au point de l'écliptique, son angle à l'équinoxe est l'obliquité \(\varepsilon\), et ses trois arcs sont :

• Primus, l'arc \(p\) du cercle de latitude entre l'écliptique et l'équateur : \(\tan p = \tan\varepsilon \sin\lambda\) ;
• Secundus, l'angle \(\theta\) de ce cercle avec l'équateur : \(\cos\theta = \sin\varepsilon\cos\lambda\) ;
• Tertius, l'arc \(t\) d'équateur entre l'équinoxe et ce cercle : \(\tan t = \tan\lambda / \cos\varepsilon\).

Avec \(\varepsilon = 23^\circ 30'\), que les problèmes emploient, les quatre-vingt-dix lignes s'accordent avec ces formules à moins de deux minutes près, à cinq exceptions : ligne 5, Primus \(2^\circ 20'\) pour \(2^\circ 10'\) ; ligne 37, Primus \(14^\circ 30'\) pour \(14^\circ 40'\) ; ligne 68, Secundus \(81^\circ 22'\) pour \(81^\circ 25'\) ; ligne 70, Secundus \(82^\circ 20'\) pour \(82^\circ 10'\) ; ligne 89, Secundus \(89^\circ 33'\) pour \(89^\circ 36'\).⁶³ À \(\lambda = 90^\circ\) la table donne \(23^\circ 30'\), \(90^\circ\), \(90^\circ\) ; au début du Bélier, le Secundus vaut \(90^\circ - \varepsilon = 66^\circ 30'\), comme le rappelle le problème 5, et la ligne 1 porte déjà cette valeur à la minute près.

Huit problèmes résolus avec les tables

17–19Les problèmes sont numérotés en marge. Chacun donne une règle de calcul, puis un exemple entièrement chiffré. On donne ici chaque règle sous sa forme moderne, en disant quel triangle sphérique la justifie — le feuillet ne le dit pas, le second livre des Sphériques le fait plus loin —, puis on refait l'exemple.⁶⁴ Dans toute la suite, \(\lambda\) est la longitude écliptique, \(\beta\) la latitude écliptique, \(\delta\) la déclinaison, \(\alpha\) l'ascension droite, \(\varphi\) la latitude du lieu, \(\varepsilon = 23^\circ 30'\) l'obliquité, et « rejeter cinq figures » veut dire diviser par \(100\,000\).

Problème 1 : la déclinaison d'un point de l'écliptique

Règle. \(\sin\delta = \sin\lambda\,\sin\varepsilon\) — le triangle rectangle formé par l'équateur, l'écliptique et le cercle de déclinaison du point. Exemple, la fin du onzième degré du Taureau, \(\lambda = 41^\circ\) : \(65\,606 \times 39\,875 = 2\,616\,039\,250\), soit \(26\,160\), et \(\delta = 15^\circ 10'\). C'est exact.⁶⁵

Problème 2 : l'ascension droite, par la table féconde

Règle. \(\sin\alpha = \tan\delta\,\tan(90^\circ-\varepsilon) = \tan\delta\cot\varepsilon\), l'arc étant compté depuis l'équinoxe le plus proche. Le feuillet ajoute que, de même, la déclinaison d'un astre et la latitude du lieu donnent par la table féconde sa différence ascensionnelle : \(\sin\Delta = \tan\delta\,\tan\varphi\). Exemple : \(\tan 15^\circ 10' = 27\,108\) et \(\tan 66^\circ 30'\), écrit \(230\,094\) ; le produit \(6\,237\,388\,152\) donne \(62\,374\), et le feuillet conclut à \(\alpha = 38^\circ\).

La tangente de \(66^\circ 30'\) vaut \(229\,984\), non \(230\,094\). Avec la bonne valeur, le produit est \(6\,234\,406\,272\), le sinus \(62\,344\), et \(\alpha = 38^\circ 34'\), que le problème 3 retrouve par une autre voie ; la valeur exacte est \(38^\circ 33{,}7'\).⁶⁶

Problème 3 : l'ascension droite, par la table bienfaisante

Règle. \(\cos\alpha = \sec\delta\,\cos\lambda\) : on multiplie la sécante de la déclinaison par le sinus du complément de l'arc d'écliptique, et l'arc dont le résultat est le sinus, ôté du quadrant, est l'ascension droite. C'est \(\cos\lambda = \cos\delta\cos\alpha\) dans le même triangle rectangle. Exemple : \(\sec 15^\circ 10' = 103\,612\) (valeur interpolée ; exacte, \(103\,609\)) et \(\cos 41^\circ = 75\,471\) ; le produit \(7\,819\,701\,252\) donne \(78\,197\), arc \(51^\circ 26'\), complément \(38^\circ 34'\). C'est juste.⁶⁷

Problème 4 : la déclinaison d'une étoile

Règle. On entre dans la table des trois arcs avec la longitude de l'étoile, comptée depuis l'équinoxe le plus proche. L'arc \(p\) (Primus), de même nom que l'hémisphère où est le point de l'écliptique, se combine avec la latitude \(\beta\) de l'étoile : somme si elles sont de même nom, différence sinon, avec le nom de la plus grande. Le résultat \(s = p \pm \beta\), que le feuillet appelle « argument de la déclinaison », est l'arc du cercle de latitude entre l'équateur et l'étoile ; ce cercle coupant l'équateur sous l'angle \(\theta\) (Secundus), la déclinaison est donnée par \[ \sin\delta = \sin s\,\sin\theta , \] dans le triangle rectangle formé par ce cercle, l'équateur et le cercle de déclinaison de l'étoile ; elle a le nom de l'argument. Le sinus de \(\theta\) est, dit le feuillet, « le nombre multiplicande dont se sert Regiomontanus ».

Exemple, Aldebaran, « l'œil du Taureau », dont la longitude est « en ce temps » de \(2^\circ 50'\) des Gémeaux (\(\lambda = 62^\circ 50'\)) et la latitude \(5^\circ 10'\) sud. La table, interpolée, donne \(p = 21^\circ 9'\), \(\theta = 79^\circ 31'\), \(t = 64^\circ 47'\) ; les formules donnent \(21^\circ 8{,}9'\), \(79^\circ 30{,}6'\), \(64^\circ 47{,}8'\). L'argument est \(21^\circ 9' - 5^\circ 10' = 15^\circ 59'\) nord, \(\sin s = 27\,536\), \(\sin\theta = 98\,331\) ; le produit, \(2\,707\,642\,416\), donne \(27\,076\), et \(\delta = 15^\circ 43'\) nord, à une demi-minute de la valeur exacte pour ces données.⁶⁸

Problème 5 : l'ascension droite d'une étoile

Règle. Soit \(\Delta\) l'arc d'équateur compris entre le cercle de latitude et le cercle de déclinaison de l'étoile, que le feuillet nomme « différence du passage de l'étoile au méridien ». Dans le même triangle rectangle, \[ \sin\Delta = \tan\delta\,\cot\theta \qquad\text{ou}\qquad \cos\Delta = \frac{\cos s}{\cos\delta} = \sec\delta\,\cos s , \] la première par la table féconde (avec \(\delta\) et \(90^\circ-\theta\)), la seconde par la table bienfaisante. L'ascension droite s'obtient alors en combinant \(\Delta\) avec l'arc \(t\) (Tertius) selon le quadrant de l'écliptique où tombe l'étoile et le nom de sa déclinaison.⁶⁹

Les huit cas se ramènent à une seule observation : le cercle de latitude monte de l'équateur vers le pôle nord de l'écliptique, qui est à l'ascension droite \(270^\circ\), et vers le pôle sud, à \(90^\circ\). Pour une étoile boréale des deux premiers quadrants, ou australe des deux derniers, \(\Delta\) se retranche de \(t\) ; dans les autres cas, il s'y ajoute ; puis l'arc \(t \mp \Delta\), compté depuis l'équinoxe le plus proche, donne \(\alpha\) selon le quadrant (\(t\mp\Delta\), \(180^\circ - (t\mp\Delta)\), \(180^\circ + (t\mp\Delta)\), \(360^\circ - (t\mp\Delta)\)), avec passage de l'autre côté de l'équinoxe quand \(\Delta > t\). On a vérifié les huit prescriptions du feuillet sur ce principe : toutes sont justes.

Au début du Bélier ou de la Balance, \(p\) et \(t\) sont nuls, \(\theta = 90^\circ - \varepsilon = 66^\circ 30'\), et l'argument est la latitude \(\beta\). Au Bélier, \(\alpha = \Delta\) pour une étoile australe, \(360^\circ - \Delta\) pour une boréale, comme le dit le feuillet. À la Balance, \(\alpha = 180^\circ + \Delta\) pour une étoile boréale et \(180^\circ - \Delta\) pour une australe.⁷⁰ Aux solstices, cercle de latitude et cercle de déclinaison sont le colure solsticial : \(\delta = \varepsilon \pm \beta\) et \(\alpha = 90^\circ\) ou \(270^\circ\), pourvu que \(\varepsilon + \beta\) reste inférieur à \(90^\circ\).⁷¹

Exemple, Aldebaran. Par la table féconde : \(\tan 15^\circ 43' = 28\,140\) et \(\tan(90^\circ - 79^\circ 31') = \tan 10^\circ 29' = 18\,506\) ; le produit \(520\,758\,840\) donne \(5208\), sinus d'un arc « un peu moindre que \(3^\circ\) » (\(2^\circ 59'\)). Par la table bienfaisante : \(\sec 15^\circ 43' = 103\,879\) et \(\cos 15^\circ 59' = 96\,134\), produit \(9\,986\,303\,786\), soit \(99\,863\), sinus de \(87^\circ\), dont le complément est \(3^\circ\). L'étoile est dans le premier quadrant et boréale : \(\alpha = 64^\circ 47' - 3^\circ = 61^\circ 47'\). La valeur exacte pour ces données est \(61^\circ 48{,}7'\), l'écart venant de l'arrondi de \(\Delta\) à \(3^\circ\).⁷²

Problème 6 : l'amplitude ortive

Règle. \(\sin A = \sin\delta\,\sec\varphi\), où l'amplitude \(A\) est l'arc d'horizon entre le point est et le lever de l'astre : dans le triangle rectangle formé par l'horizon, l'équateur et le cercle de déclinaison, l'angle à l'équateur est \(90^\circ - \varphi\).⁷³ Exemple, à Messine (\(\varphi = 38^\circ\)), pour le Soleil au solstice (\(\delta = 23^\circ 30'\)) : \(126\,902 \times 39\,875 = 5\,060\,217\,250\), soit \(50\,602\), et \(A = 30^\circ 24'\). C'est exact.

Problèmes 7 et 8

48–49Deux problèmes numérotés « 7 » et « 8 », à la fin du volume, emploient la même latitude et l'amplitude du problème 6 ; on les lit à sa suite.⁷⁴

Problème 7 : la différence ascensionnelle. Règle : on multiplie la sécante de la déclinaison par le cosinus de l'amplitude ; l'arc dont le produit est le sinus, ôté du quadrant, est la différence ascensionnelle \(\Delta\). En effet, dans le triangle rectangle du problème 6, \(\cos A = \cos\delta\cos\Delta\). Ajoutée au quadrant pour une déclinaison boréale, retranchée pour une australe, elle donne l'arc semi-diurne. Exemple : \(\sec 23^\circ 30' = 109\,038\) et \(\cos 30^\circ 24' = 86\,251\), produit \(9\,404\,636\,538\), soit \(94\,046\), arc \(70^\circ 8'\), et \(\Delta = 19^\circ 52'\). La valeur exacte, par \(\sin\Delta = \tan\varphi\tan\delta\), est \(19^\circ 51{,}6'\).⁷⁵

Problème 8 : la distance au méridien d'un astre dont on connaît la hauteur. Le feuillet ne donne pas de règle générale ; il la montre sur un exemple. On multiplie le sinus de la hauteur \(h\) par la sécante de la latitude, puis le résultat par la sécante de la déclinaison : c'est l'« argument de la distance », \(\sin h\,\sec\varphi\,\sec\delta\). On le compare au sinus de la différence ascensionnelle : égal, la distance au méridien est d'un quadrant ; plus petit, elle dépasse le quadrant de l'arc dont la différence est le sinus ; plus grand, elle est moindre. Pour une déclinaison australe, on ajoute au lieu de comparer. C'est exactement la formule moderne de l'angle horaire \(H\) : \[ \cos H = \frac{\sin h - \sin\varphi\sin\delta}{\cos\varphi\cos\delta} = \sin h\,\sec\varphi\,\sec\delta \;-\; \tan\varphi\tan\delta , \] où \(\tan\varphi\tan\delta = \sin\Delta\) ; le signe du second terme change avec celui de \(\delta\). Si \(\delta = 0\), la seconde multiplication est inutile.

Exemples. Le Soleil au onzième degré du Taureau, à Messine. Le feuillet prend \(\sec\delta = 103\,609\), \(\sec\varphi = 126\,902\), \(\sin\Delta = 21\,189\). Ces trois nombres sont justes pour la déclinaison du problème 1, \(\delta = 15^\circ 10'\) (pour laquelle \(\Delta = 12^\circ 14'\)). Le feuillet écrit pourtant « déclinaison \(15^\circ 20'\) » et « différence ascensionnelle \(12^\circ 24'\) », deux valeurs qui ne s'accordent ni entre elles ni avec les nombres employés ; on corrige en \(15^\circ 10'\) et \(12^\circ 14'\), et les calculs du feuillet sont alors cohérents.⁷⁶

• \(h = 5^\circ 30'\) : \(9585 \times 126\,902 = 1\,216\,355\,670\), soit \(12\,164\) après arrondi ; \(12\,164 \times 103\,609 = 1\,260\,299\,876\), soit \(12\,603\). Comme \(12\,603 < 21\,189\), la différence \(8586\) est le sinus de \(4^\circ 55'\), et \(H = 90^\circ + 4^\circ 55' = 94^\circ 55'\). Valeur exacte : \(94^\circ 55{,}2'\).⁷⁷
• \(h = 9^\circ 16'\) : \(16\,103 \times 126\,902 = 2\,043\,502\,906\), soit \(20\,435\) ; \(20\,435 \times 103\,609 = 2\,117\,249\,915\), soit \(21\,172\), « presque égal » à \(21\,189\) : \(H\) est d'un quadrant, à une minute près.⁷⁸
• \(h = 27^\circ 50'\) : \(46\,690 \times 126\,902 = 5\,925\,054\,380\), soit \(59\,251\) ; \(59\,251 \times 103\,609 = 6\,138\,936\,859\), soit \(61\,389\) ; \(61\,389 - 21\,189 = 40\,200 = \cos H\), et \(H = 66^\circ 18'\) (exact : \(66^\circ 17{,}4'\)).⁷⁹
• Même hauteur, déclinaison australe : \(61\,389 + 21\,189 = 82\,578\), sinus de \(55^\circ 40'\), et \(H = 34^\circ 20'\) (exact : \(34^\circ 20{,}6'\)).

Le feuillet ajoute trois cas limites, tous justes. Si le parallèle de l'astre touche seulement l'horizon (\(\delta = 90^\circ - \varphi\)), on prend le rayon pour sinus de la différence ascensionnelle, puisque \(\tan\varphi\tan\delta = 1\). Si l'astre est circumpolaire, on retranche du sinus de la hauteur le sinus de sa plus petite hauteur méridienne \(h_0\), et l'on opère sur le reste avec le rayon : c'est l'identité \[ \cos H = (\sin h - \sin h_0)\sec\varphi\sec\delta - 1, \qquad \sin h_0 = \sin\varphi\sin\delta - \cos\varphi\cos\delta , \] que la règle applique sans la dire. Sur l'horizon droit (\(\varphi = 0\)), \(\cos H = \sin h\sec\delta\), et si de plus le Soleil est à l'équateur, \(H = 90^\circ - h\). Il rappelle enfin la règle d'arrondi : ajouter une unité si les figures rejetées valent plus de \(50\,000\).

Le volume se termine, juste après, sur la ligne du copiste : « Compendium Mathematicæ. omittitur quia a P. M. Mersenno editum in Apologia scientiarum cap. ultimo. »⁸⁰

Le premier livre des Sphériques de Maurolico : la fin

20–31À partir de la page de droite de la vue 20, et sans interruption jusqu'à la vue 47, le volume donne la trigonométrie sphérique de Maurolico lui-même. Le début du premier livre manque : le texte s'ouvre sur la fin d'une démonstration, et la première proposition entière est la XXIII.⁸¹

Notations. Un triangle sphérique \(ABC\) est formé d'arcs de grands cercles plus petits qu'un quadrant ; on note \(a = BC\), \(b = CA\), \(c = AB\) les côtés, et \(A\), \(B\), \(C\) les angles. Quand le triangle est rectangle, l'angle droit est en \(C\) et \(c\) est l'hypoténuse.⁸² Maurolico raisonne sur une figure fixe, qu'il appelle « la description de la proposition 17 » : on prolonge \(AC\) et \(AB\) jusqu'aux points \(D\) et \(E\) tels que \(AD = AE = 90^\circ\), on mène le grand cercle \(DE\), et l'on prolonge \(CB\) jusqu'à sa rencontre \(F\) avec lui. Alors \(F\) est le pôle du cercle \(AC\), de sorte que \(FC = FD = 90^\circ\) ; l'arc \(DE\) mesure l'angle \(A\) ; et \[ FE = 90^\circ - A,\qquad FB = 90^\circ - a,\qquad BE = 90^\circ - c,\qquad CD = 90^\circ - b . \] Chaque énoncé en « sinus secondaires » se lit donc en cosinus : le sinus de \(FB\) est \(\cos a\), celui de \(FE\) est \(\cos A\), et ainsi de suite. Les relations que les démonstrations tirent des propositions 6 et 7 du livre sont, en termes modernes, \(\cos c = \cos a\cos b\), \(\cos A = \cos a\sin B\) et \(\cos a/\cos A = \sin c/\sin b\), trois des relations du triangle rectangle qu'on résume depuis le XVII^e siècle par les règles de Napier.⁸³

La fin d'une proposition, et deux lemmes plans

20–20La page s'ouvre sur la conclusion d'une proposition dont l'énoncé manque : si \(BD\) est l'arc perpendiculaire mené de \(B\) sur \(AC\), alors \[ \frac{\sin \widehat{ABD}}{\sin \widehat{CBD}} = \frac{\cos A}{\cos C}, \] ce qui se tire des deux triangles rectangles \(ABD\) et \(CBD\), où \(\cos A = \cos BD \sin\widehat{ABD}\) et \(\cos C = \cos BD \sin\widehat{CBD}\) ; c'est bien l'étape qui reste écrite.⁸⁴

Suivent deux propositions de géométrie plane, qui servent de lemmes. XXIII : deux triangles rectilignes de même aire et de mêmes angles sont égaux (isométriques). XXIIII : deux triangles de même aire construits sur une même base, du même côté, et ayant même angle au sommet, ont leurs autres côtés égaux deux à deux. C'est vrai : les sommets sont sur une même parallèle à la base et sur un même arc capable, donc symétriques par rapport à la médiatrice de la base ; la preuve du feuillet, qui renvoie à XXIII, suppose cette symétrie sans la dire.⁸⁵

Propositions XXV à XXXII : le cas où les deux côtés de l'angle font un quadrant

20–23Fixons l'angle aigu \(A\) et considérons le triangle rectangle \(ABC\). Les huit propositions portent sur quatre conditions et en établissent l'équivalence :

1. (i)\(\cos^2 a = \cos A\) ;
2. (ii)\(b + c = 90^\circ\) — ou, ce qui revient au même, \(AB = CD\) et \(AC = BE\) ;
3. (iii)\(\cos a = \sin B\) ;
4. (iv)parmi tous les triangles rectangles de même angle \(A\), la différence \(c - b\) entre l'hypoténuse et le côté adjacent est la plus grande.

XXV : (i) entraîne (ii) et (iii). XXVI : (i) entraîne (ii). XXVII : (ii) entraîne (i) et (iii). XXVIII : (iii) entraîne (i) et (ii). XXIX : (i) entraîne (iv). XXX : (iv) entraîne (i) et (ii). XXXI : (ii) entraîne (iv). XXXII : (iv) entraîne (iii).⁸⁶

Toutes ces implications sont vraies. En termes modernes, (i) équivaut à (iii) par \(\cos A = \cos a\sin B\) ; et avec \(k = \cos A\) et \(\tan b = k\tan c\), \[ \tan(c-b) = \frac{(1-k)\tan c}{1 + k\tan^2 c}, \] qui est maximal pour \(\tan c = 1/\sqrt k\), c'est-à-dire \(\tan b\tan c = 1\), c'est-à-dire \(b + c = 90^\circ\) ; alors \(\cos a = \cos c/\cos b = \tan b\), d'où \(\cos^2 a = \tan^2 b = k\). La plus grande différence vaut \(\sin(c-b) = (1-k)/(1+k) = \tan^2(A/2)\) ; le premier livre ne la calcule pas, mais elle suit des propositions XVI et XX du second.⁸⁷

La démonstration de XXV mérite d'être suivie, parce qu'elle est d'une autre facture que la nôtre. De (i) et des propositions 6 et 7, Maurolico tire \(\sin c : \sin b = \cos b : \cos c\), soit \(\sin 2c = \sin 2b\). Il double les arcs, remplace les sinus par les demi-cordes, construit deux triangles rectilignes inscrits dans des demi-cercles égaux, de même aire et de même angle droit au sommet, et conclut par le lemme XXIIII que les cordes sont égales deux à deux, « la plus grande à la plus grande ». Cela donne \(2c = 180^\circ - 2b\) ; l'autre possibilité, \(c = b\), est exclue parce que l'hypoténuse est plus grande que le côté (\(\cos c = \cos a\cos b < \cos b\)), ce que la clause « la plus grande à la plus grande » contient.⁸⁸

La démonstration de XXIX compare de proche en proche les différences pour quatre autres triangles de même angle, deux de chaque côté du triangle \(ABC\), en menant chaque fois un arc perpendiculaire au cercle \(DE\). Elle est juste, mais un passage y est copié deux fois en se brouillant.⁸⁹

Propositions XXXIII à XLVIII : deux points et leurs perpendiculaires

23–30Seconde série. Sur le côté \(AE\) de l'angle aigu \(A\), on marque deux points \(B\) et \(G\), et l'on mène de chacun l'arc perpendiculaire au côté \(AD\), de pieds \(C\) et \(H\) ; ces arcs passent par \(F\), et \(FB = 90^\circ - BC\), \(FG = 90^\circ - GH\).

XXXIII et XXXIV. \[ \frac{\sin CH}{\sin BG} = \frac{\cos A}{\cos BC\,\cos GH} . \] XXXIII l'écrit comme composition de deux rapports, \(R : \sin FG\) et \(\sin FE : \sin FB\) ; XXXIV comme rapport de deux rectangles, celui du rayon et du sinus de \(FE\) à celui des sinus de \(FG\) et \(FB\). On l'a vérifié numériquement.⁹⁰

XXXV. Si \(\cos A = \cos BC\,\cos GH\), alors \(CH = BG\) ; \(AG + AC = 90^\circ\) et \(AH + AB = 90^\circ\) (« les portions alternes des quadrants sont égales », \(AG = CD\) et \(AH = BE\)) ; enfin \(\sin\widehat{ABC} = \cos GH\) et \(\sin\widehat{AGH} = \cos BC\). Tout cela est exact, et vérifié numériquement. La démonstration de l'égalité \(AG = CD\) passe, comme à XXV, par des cordes d'arcs doubles et le lemme XXIIII.⁹¹

XXXVI à XXXVIII sont les réciproques : chacune des conditions \(CH = BG\), \(AG = CD\) (ou \(AH = BE\)), \(\sin\widehat{ABC} = \cos GH\) (ou \(\sin\widehat{AGH} = \cos BC\)) entraîne \(\cos A = \cos BC\cos GH\) et tout le reste. XXXVII procède par l'absurde, en menant un petit cercle de pôle \(F\).⁹²

XXXIX et XL. Si \(\cos A > \cos BC\,\cos KL\) (le point \(K\) remplaçant \(G\)), alors \(CL > BK\), \(AK > CD\), \(AL > BE\), \(\sin\widehat{AKL} > \cos BC\) et \(\sin\widehat{ABC} > \cos KL\) ; si \(\cos A < \cos BC\,\cos KL\), toutes ces inégalités sont renversées. La démonstration ramène chaque cas au cas d'égalité en construisant le point \(G\) de XXXV par un petit cercle de pôle \(F\). Les deux énoncés sont vrais ; on les a vérifiés sur un grand nombre de configurations tirées au hasard.⁹³

XLI à XLVI sont les réciproques de XXXIX et XL, démontrées par trichotomie : si \(CL > BK\), ou \(AK > CD\), ou \(\sin\widehat{AKL} > \cos BC\), alors \(\cos A > \cos BC\cos KL\), puisque l'égalité contredirait XXXV et l'inégalité contraire XL ; et de même dans l'autre sens.⁹⁴

XLVII. Si deux couples de points \((G, L)\) et \((M, Q)\) sur \(AE\) vérifient \(\cos GH\,\cos LK = \cos A\) et \(\cos MN\,\cos QP = \cos GH\,\cos LK\) (où \(H, K, N, P\) sont les pieds des perpendiculaires), alors \(MG = KP\) et \(NH = LQ\). En effet, par XXXV appliquée aux deux couples, \(AG = KD\), \(AM = PD\), \(AH = LE\), \(AN = QE\), et les différences donnent le résultat.⁹⁵

XLVIII. Si de plus \(\cos^2 BC = \cos GH\,\cos LK\), le point \(B\) étant entre les deux, alors \(BG = CK\) et \(HC = BL\) : \(B\) vérifie la condition (i), donc \(AB = CD\) par XXV, et \(AG = KD\) par XXXV.

Proposition XLIX : une autre démonstration de XXIX

30–31« Ce que la 29^e a proposé, le montrer autrement. » Si \(\cos^2 BC = \cos A\) et si \(G\) est entre \(A\) et \(B\), alors \(\cos GH > \cos BC\), donc \(\cos A = \cos^2 BC < \cos BC\cos GH\), et XXXIV donne \(\sin HC < \sin BG\), d'où \(HC < BG\), c'est-à-dire \(AB - AC > AG - AH\). De même pour un point au-delà de \(B\). La démonstration est plus courte que celle de XXIX et juste.⁹⁶

Le second livre des Sphériques de Maurolico

31–40« Maurolyci Siculi Sphæricorum liber secundus » s'ouvre sur une préface qui dit son sujet : le rapport du sinus de la somme au sinus de la différence des deux arcs qui comprennent l'angle aigu d'un triangle sphérique rectangle. Ménélas, dit Maurolico, ne l'a pas omis — c'est la cinquième proposition de son troisième livre —, « mais nous, démontrant ce très noble théorème autrement et encore autrement, l'avons éclairé de beaucoup de spéculations et comme de corollaires, sans épargner les préambules utiles ».⁹⁷ Le livre compte trente-deux propositions ; les vingt-trois premières sont aux vues 31 à 40, la suite aux vues 41–42 et 45–47.

I à V : le théorème de Ménélas

Deux arcs \(BA\) et \(BC\) partent d'un même point \(B\) ; deux autres, \(CD\) et \(AE\), menés de leurs extrémités aux points \(D\) de \(BA\) et \(E\) de \(BC\), se coupent en \(F\). Les propositions I à V établissent, de deux manières chacune, \[ \text{(I, II, III)}\quad \frac{\sin AB}{\sin BD} = \frac{\sin AE}{\sin EF}\cdot\frac{\sin FC}{\sin CD}, \qquad \text{(IV, V)}\quad \frac{\sin BA}{\sin AD} = \frac{\sin BE}{\sin EC}\cdot\frac{\sin CF}{\sin FD}, \] II n'étant qu'un réarrangement de I. La première égalité est le théorème de Ménélas pour le triangle \(ADF\) coupé par la transversale \(BEC\), la seconde pour le triangle \(BDC\) coupé par la transversale \(AFE\) : ce sont les deux formes du théorème du quadrilatère complet sphérique, et elles sont justes (vérifiées numériquement).⁹⁸ Les démonstrations de I, III et V abaissent des arcs perpendiculaires sur un côté et emploient la proposition 7 du premier livre — dans deux triangles rectangles de même angle, les sinus des hypoténuses sont comme les sinus des côtés opposés à cet angle — ; celle de II est un calcul de rapports avec une ligne auxiliaire \(l\) ; celle de IV prolonge \(BC\) et \(DC\) jusqu'à leur point de rencontre \(M\), qui est à un demi-cercle, et remplace chaque arc par son supplément, qui a même sinus.

VI à IX : les lemmes plans

33–34VI, le théorème de Ptolémée : dans un quadrilatère inscrit \(ABCD\), \(AC\cdot BD = AB\cdot CD + AD\cdot BC\), démontré par la construction classique d'un point \(E\) de la diagonale tel que \(\widehat{DAE} = \widehat{BAC}\).

VII : pour deux arcs inégaux \(\alpha > \beta\) d'un même cercle, et en notant \(\operatorname{crd}\) la corde, \[ \frac{\operatorname{crd}\alpha\,\operatorname{crd}(180^\circ-\beta) + \operatorname{crd}\beta\,\operatorname{crd}(180^\circ-\alpha)} {\operatorname{crd}\alpha\,\operatorname{crd}(180^\circ-\beta) - \operatorname{crd}\beta\,\operatorname{crd}(180^\circ-\alpha)} = \frac{\operatorname{crd}(\alpha+\beta)}{\operatorname{crd}(\alpha-\beta)} , \] par Ptolémée appliqué à deux quadrilatères.

VIII, la même chose en sinus : \[ \frac{\sin p\cos q + \cos p\sin q}{\sin p\cos q - \cos p\sin q} = \frac{\sin(p+q)}{\sin(p-q)} . \] La construction est belle : sur le rayon \(BD\) comme diamètre on décrit un cercle, qui passe par les pieds \(A\), \(C\) des perpendiculaires menées de \(B\) sur les rayons \(DP\), \(DQ\) et par le point \(E\) symétrique ; dans ce petit cercle, \(BA = \sin p\), \(BC = BE = \sin q\), \(DA = \cos p\), \(DC = DE = \cos q\), \(AC = \sin(p+q)\) et \(AE = \sin(p-q)\), et VII s'applique. La figure donne en fait davantage que ce que le feuillet énonce : le théorème de Ptolémée appliqué au quadrilatère inscrit \(BADC\) (resp. \(BAED\)) donne séparément \(\sin(p\pm q) = \sin p\cos q \pm \cos p\sin q\), les formules d'addition ; le feuillet n'en tire que le rapport.⁹⁹

IX : si \(a : b = c : d\) (avec \(a > b\), \(c > d\)), alors \((a+b) : (a-b) = (c+d) : (c-d)\), et réciproquement.¹⁰⁰

X à XIV : le théorème de la somme et de la différence, trois fois

35–37X. Dans un triangle sphérique rectangle en \(C\), dont \(A\) est aigu, \[ \frac{\sin(c+b)}{\sin(c-b)} = \frac{1+\cos A}{1-\cos A} . \] C'est exact : \(\tan b = \tan c\cos A\) s'écrit \(\sin b\cos c = \cos A\sin c\cos b\), et il suffit de former somme et différence de \(\sin c\cos b\) et \(\cos c\sin b\). C'est exactement le chemin de Maurolico : les deux rectangles \(g = \sin c\cos b\) et \(h = \sin b\cos c\) sont dans le rapport \(1 : \cos A\) par la proposition IV, IX donne \((g+h):(g-h) = (1+\cos A):(1-\cos A)\), et VIII identifie \((g+h):(g-h)\) à \(\sin(c+b):\sin(c-b)\).¹⁰¹

XI ramène le rapport à une figure plane : si l'on construit en \(H\) deux angles \(\widehat{GHK} = c\) et \(\widehat{GHL} = b\) de part et d'autre d'une droite \(HG\) perpendiculaire à \(LK\), alors \(1 : \cos A = KG : GL\) — ce qui est \(\tan c : \tan b\). XII en tire une seconde démonstration de X : avec \(HK\) égal au rayon et \(GM = GL\), les perpendiculaires \(KN\) et \(KO\) sont \(\sin(b+c)\) et \(\sin(c-b)\), et des triangles semblables donnent \(KN : KO = LK : KM = (KG+GL) : (KG-GL)\). Une scolie distingue trois figures, selon que \(b + c\) est plus petit, plus grand qu'un quadrant, ou égal, et note que la même démonstration sert aux trois ; elle annonce une troisième méthode, « que j'estime transmise par Ménélas ».¹⁰²

XIII, un lemme : si un rayon coupe en \(D\) une corde \(AC\) et en \(B\) son arc, \(AD : DC = \sin AB : \sin BC\). XIV, la troisième démonstration, est dans l'espace : le petit cercle de pôle \(A\) passant par \(B\) coupe le grand cercle \(AC\) en \(D\) et \(E\), de sorte que \(CE = b + c\) et \(CD = c - b\) ; la perpendiculaire \(BG\) au plan du grand cercle \(AC\) tombe sur la corde \(DE\) et sur le rayon \(HC\) de la sphère ; dans le petit cercle de centre \(F\), l'angle \(\widehat{BFD}\) est l'angle \(A\) du triangle, de sorte que, le rayon \(BF\) étant pris pour unité, \(EG = 1 + \cos A\) et \(GD = 1 - \cos A\) ; et XIII appliquée au rayon \(HC\) donne \(\sin CE : \sin CD = EG : GD\). C'est une démonstration complète.¹⁰³

XV à XIX : demi-angle et sinus verses

37–39XV : \((1+\cos A) : (1-\cos A) = \cos^2(A/2) : \sin^2(A/2)\), par un demi-cercle de diamètre \(HK\) où l'arc \(KM\) vaut \(A\) et \(MN\) est la perpendiculaire. XVI : donc \[ \frac{\sin(c+b)}{\sin(c-b)} = \cot^2\frac{A}{2} . \] XVII : c'est aussi le rapport \(\operatorname{vers}(180^\circ - A) : \operatorname{vers} A\), le « sinus verse majeur » de l'angle à son sinus verse. Les trois énoncés sont exacts.¹⁰⁴

XVIII : deux triangles rectangles qui ont un angle aigu égal ont même rapport \(\sin(c+b) : \sin(c-b)\). XIX : réciproquement, si ces rapports sont égaux, les angles aigus sont égaux — puisque, la somme des deux sinus verses étant le diamètre, l'égalité des rapports \(\operatorname{vers}(180^\circ-A) : \operatorname{vers}A\) et \(\operatorname{vers}(180^\circ-D) : \operatorname{vers}D\) donne, par composition, \(\operatorname{vers}A = \operatorname{vers}D\). Vrai ; la copie de XIX est pourtant incomplète dans l'énoncé et brouillée dans la démonstration.¹⁰⁵

XX et XXI : la plus grande différence, deux fois encore

39–40XX. Dans un triangle rectangle, l'angle aigu \(A\) étant fixé, la différence \(c - b\) est la plus grande quand \(b + c = 90^\circ\), et seulement alors. La démonstration est la plus directe de toutes : par XVIII, \(\sin(c-b) = \sin(c+b)\,\tan^2(A/2) \le \tan^2(A/2)\), avec égalité si et seulement si \(\sin(c+b) = 1\) ; et \(c - b\) étant compris entre \(0^\circ\) et \(90^\circ\), maximiser son sinus revient à maximiser l'arc. On retrouve les propositions XXIX à XXXII du premier livre, avec la valeur du maximum, \(\sin(c-b) = \tan^2(A/2)\), que le feuillet ne tire pas.¹⁰⁶

XXI. Autre démonstration, dans la figure plane de XII, où \(\widehat{KHO} = c - b\) et \(\widehat{LHK} = b + c\) : l'angle \(\widehat{KHO}\) est maximal quand le cercle passant par \(H\), \(M\) et \(K\) est tangent en \(H\) à la droite \(GH\), c'est-à-dire quand \(GH^2 = GM\cdot GK = GL\cdot GK\), c'est-à-dire quand \(\widehat{LHK}\) est droit. C'est le critère classique de l'angle maximal sous lequel on voit un segment depuis une droite, et la démonstration est juste.¹⁰⁷

XXII à XXV : la règle des sinus pour deux triangles

40–41XXII. Si deux triangles sphériques \(ABC\) et \(DEF\) ont \(A = D\) aigus, et \(C + F = 180^\circ\) (ou \(C = F = 90^\circ\)), alors \(\sin AB : \sin DE = \sin BC : \sin EF\). En termes modernes, c'est la règle des sinus, \(\sin a/\sin A = \sin c/\sin C\), appliquée aux deux triangles, avec \(\sin C = \sin F\) ; la démonstration de Maurolico rabat l'angle obtus par symétrie pour se ramener à deux angles égaux.¹⁰⁸

XXIII, la réciproque : si \(A = D\) aigus et \(\sin AB : \sin DE = \sin BC : \sin EF\), alors \(C = F\) ou \(C + F = 180^\circ\). C'est vrai, puisque la règle des sinus donne \(\sin C = \sin F\). La démonstration traite le cas où \(C\) est droit, puis mène les perpendiculaires \(BH\) et \(EG\) et distingue deux cas : toutes deux tombent à l'intérieur des triangles, ou l'une dedans et l'autre dehors. Il manque le cas où toutes deux tombent au dehors, c'est-à-dire où \(C\) et \(F\) sont tous deux obtus ; il se traite exactement comme le premier et donne \(C = F\).¹⁰⁹

41–42XXIIII, la bissectrice : si l'arc \(BD\) coupe en deux l'angle \(B\) du triangle \(ABC\), alors \(\sin AB : \sin BC = \sin AD : \sin DC\) — par XXII, les angles en \(D\) étant supplémentaires. XXV, la réciproque, par XXIII : les deux angles \(\widehat{ABD}\) et \(\widehat{DBC}\) sont égaux ou supplémentaires, et ils ne peuvent être supplémentaires puisque leur somme est l'angle \(B\) du triangle.¹¹⁰

XXVI. Si deux triangles \(ABC\), \(DEF\) ont \(A = D\) et \(C = F\), les perpendiculaires \(BG\) et \(EH\) partagent les bases dans le même rapport des sinus : \(\sin AG : \sin GC = \sin DH : \sin HF\). Car \(\sin AG : \sin GC = (\sin AB : \sin BC)(\sin\widehat{ABG} : \sin\widehat{GBC})\), le premier rapport vaut \(\sin C : \sin A\) et le second \(\cos A : \cos C\) (la proposition de la vue 20). Vrai, les portions \(AG\) et \(GC\) étant comptées sur le grand cercle \(AC\) même si le pied tombe au dehors.¹¹¹

XXVII. Dans un triangle rectangle en \(C\), \(\sin B : 1 = \cos A : \cos a\). XXVIII. \(\cos A : 1 = \cos a\,\sin B : 1^2\). Ce sont deux écritures de \(\cos A = \cos a\sin B\), l'une des règles de Napier.¹¹²

XXIX à XXXII : la loi des cosinus, et les ombres

45–47La démonstration de XXVIII, interrompue au bas de la vue 42, s'achève à la vue 45.¹¹³

XXIX. Dans tout triangle sphérique, \[ \frac{\operatorname{vers} A}{\operatorname{vers} a - \operatorname{vers}(b-c)} = \frac{1}{\sin b\,\sin c}, \qquad\text{soit}\qquad \operatorname{vers} a = \operatorname{vers}(b-c) + \sin b\,\sin c\,\operatorname{vers} A . \] C'est la loi des cosinus sphérique, \(\cos a = \cos b\cos c + \sin b\sin c\cos A\), écrite en sinus verses ; on l'a vérifiée numériquement. La démonstration est dans l'espace, et en voici l'idée dans nos termes. Le petit cercle de pôle \(A\) passant par \(C\) a pour rayon \(\sin b\) ; l'arc qu'il intercepte entre le grand cercle \(AB\) et \(C\) est semblable à l'arc du grand cercle polaire de \(A\) qui mesure l'angle \(A\), de sorte que sa flèche vaut \(\sin b\,\operatorname{vers} A\). Projetée sur l'axe du point \(B\), cette flèche est multipliée par \(\sin c\) ; et ce qu'elle mesure sur cet axe est la distance entre les projections de \(C\) et du point de \(AB\) situé à la distance \(b\) de \(A\), c'est-à-dire \(\operatorname{vers} a - \operatorname{vers}(b-c)\).¹¹⁴

XXX. Pour un arc \(x\) et un gnomon égal au rayon : \(\sin x : \cos x = 1 : \text{umbra recta}\), et \(\cos x : \sin x = 1 : \text{umbra versa}\) ; autrement dit, l'« ombre droite » est \(\cot x\) et l'« ombre verse » \(\tan x\). Corollaires : l'ombre droite d'un arc est l'ombre verse de son complément ; à \(45^\circ\) les deux ombres égalent le gnomon ; le gnomon est moyen proportionnel entre les ombres de deux arcs complémentaires, \(\tan x\,\tan(90^\circ - x) = 1\).¹¹⁵

XXXI. Dans un triangle rectangle en \(C\), \(1 : \sin b = 1 : \tan(90^\circ - A)\,\tan a\), soit \[ \sin b = \tan a\,\cot A . \] Corollaire : deux triangles rectangles qui ont un côté \(b\) égal ont même produit \(\tan a\cot A\), et réciproquement. XXXII : \(1 : \sin b = \tan A : \tan a\), la même relation, par le dernier corollaire de XXX ; le feuillet ajoute qu'on en conclut tout pareillement pour les ombres droites des compléments. Ce sont encore des règles de Napier, et elles sont exactes.¹¹⁶

La scolie : des démonstrations au calcul

47–47« Par ces démonstrations on peut résoudre toutes les questions qu'on a coutume de poser sur les triangles sphériques, et qui regardent en astronomie les arcs des cercles conçus dans le premier ciel » ; mais qui les possède doit savoir ramener la théorie à la pratique et la démonstration au calcul, et Maurolico donne des exemples.¹¹⁷ Dans la figure de XXXI, que \(ACD\) soit l'équateur, \(ABE\) l'écliptique, \(FED\) le colure, \(A\) l'équinoxe, \(DE = \varepsilon\), \(B\) le lieu de l'astre et \(FBC\) son cercle de déclinaison. Alors \(1 : \sin\varepsilon = \sin \lambda : \sin\delta\), et le quatrième terme se calcule en multipliant le deuxième par le troisième et en divisant par le premier : c'est la règle du problème 1.¹¹⁸ Puis, « si l'on prend l'arc \(FBC\) pour horizon droit », \(AC\) est l'ascension droite de l'arc \(AB\), et la proposition 17 du premier livre, \(\cos\lambda = \cos\delta\cos\alpha\), la donne.¹¹⁹

Les règles de Regiomontanus, et la table des sécantes

42–45Sans titre, à la suite de la scolie, un texte suivi explique « d'où dépendent » les règles de calcul des tables générales de « Iohannes de Monteregio », Regiomontanus, « car cela n'est pas clair pour tous les esprits », puis démontre la table bienfaisante et en donne l'usage.¹²⁰

La table des déclinaisons

Soient l'écliptique \(AB\), l'équateur \(AC\), \(B\) le point de l'écliptique qui a la longitude de l'astre, \(G\) l'astre sur le cercle de latitude \(BG\) prolongé jusqu'à l'équateur en \(C\), et \(GH\) sa déclinaison. La table donne d'abord l'arc \(BC\) (notre Primus), d'où, avec la latitude, l'arc \(GC\) ; puis un « nombre multiplicande » qui est le sinus de l'angle \(\widehat{GCH}\) pour un rayon de \(100\,000\) (notre Secundus) — égal au rayon au point solsticial, où cet angle est droit. Dans le triangle rectangle \(GHC\), \(1 : \sin\widehat{GCH} = \sin CG : \sin GH\) : on connaît trois termes, et le quatrième s'obtient en multipliant le deuxième par le troisième et en divisant par le premier. C'est la règle de Regiomontanus, et c'est notre problème 4.¹²¹

Diviser par \(100\,000\), c'est rejeter cinq figures ; et l'on ajoute une unité au reste si les figures rejetées valent plus de \(50\,000\), parce que la fraction négligée dépasse alors la moitié. C'est l'arrondi au plus proche ; le cas exact de \(50\,000\) n'est pas discuté. Il importe peu, ajoute-t-il, que les sinus de \(CG\) et \(GH\) soient pris pour un autre rayon que celui de l'angle : dans une proportion, seuls le premier et le deuxième termes, et le troisième et le quatrième, doivent être de même espèce.¹²²

La table des ascensions droites

Dans la figure de la proposition XXXI, soient l'équateur \(ACD\), le cercle de latitude de l'astre \(ABE\), son cercle de déclinaison \(FBC\), et \(FED\) le cercle passant par les pôles de ces deux-là ; \(B\) est l'astre, \(BC\) sa déclinaison, \(AC\) l'arc \(\Delta\) du problème 5. La table donne la « racine des ascensions », arc d'équateur du début du Bélier au cercle de latitude (notre Tertius), et un nombre multiplicande qui est « l'ombre verse de l'arc \(FE\) multipliée par six », pour un gnomon de \(100\,000\). Or la proposition XXXI donne \[ \sin AC = \tan FE\,\tan BC , \] avec \(FE = 90^\circ - \theta\). Regiomontanus prend un rayon de \(60\,000\) et un gnomon de \(100\,000\), dont le carré vaut \(10^{10}\) : le sinus de \(AC\) pour ce rayon est \(60\,000\cdot\tan FE\cdot\tan BC/10^{10} = (6\tan FE)\cdot\tan BC/10^{6}\), les tangentes étant en parties du gnomon. On multiplie donc le nombre multiplicande par la tangente de la déclinaison et l'on rejette six figures ; le canon dit cinq, parce qu'une figure a déjà été ôtée au nombre multiplicande « pour alléger le travail ». L'ascension droite est la racine augmentée ou diminuée de \(AC\). Le calcul est juste.¹²³

Maurolico remarque que \(AC\) s'obtient aussi sans nombre multiplicande ni table des ombres : dans le triangle rectangle \(GHC\) de la figure précédente, la proposition 17 du premier livre donne \(\cos GH : \cos GC = 1 : \cos CH\), soit \(\cos\Delta = \cos s/\cos\delta\) (notre seconde règle du problème 5). Si Regiomontanus, « homme très perspicace », a ajouté le nombre multiplicande et la table féconde, c'est pour éviter cette division, pénible quand le diviseur a des chiffres quelconques, et tout faire par multiplication.

La différence ascensionnelle

Dans la même figure, que \(ACD\) soit l'équateur, \(FBC\) l'horizon droit, \(ABE\) l'horizon oblique et \(FED\) le méridien : \(FE\) est la latitude du lieu, \(BC\) la déclinaison de l'astre, \(CA\) sa différence ascensionnelle, et XXXI donne \(\sin\Delta = \tan\varphi\,\tan\delta\). La règle de Regiomontanus — multiplier les ombres verses de la latitude et de la déclinaison, puis par six, et rejeter six figures — est la même opération pour un rayon de \(60\,000\). « Ainsi est démontrée la pratique de ces tables, et en même temps déclaré comment elles ont été construites. »¹²⁴

La démonstration de la table bienfaisante

44–44« À l'imitation de la table féconde de Iohannes de Monteregio, nous avons fait une autre table, que nous avons appelée bienfaisante, parce que par son bienfait on procure de la facilité à certains calculs. » Soit un triangle rectiligne \(ABC\) rectangle en \(B\), avec la hauteur \(BD\) sur \(AC\), et \(AB\) égal au rayon et au gnomon, \(100\,000\) parties. Pour l'angle \(A\), la table féconde donne \(BC\) (l'ombre verse, \(\tan A\)), la table bienfaisante \(CA\) (le « rayon » qui joint le sommet du gnomon à l'extrémité de l'ombre, \(\sec A\)), la table des sinus \(BD\) (\(\sin A\)), et \(DA\) est \(\cos A\). Les triangles \(ABD\), \(BCD\) et \(ACB\) étant semblables, \[ DA \cdot CA = AB^2,\qquad BC = \frac{AC\cdot BD}{AB},\qquad CA = \frac{AB\cdot BC}{BD}, \] soit \(\sec A = 1/\cos A\), \(\tan A = \sec A\sin A\), \(\sec A = \tan A/\sin A\) ; diviser par \(AB\) ou multiplier par \(AB\), c'est rejeter ou ajouter cinq zéros.¹²⁵

Quatre valeurs particulières. À \(30^\circ\), \(\tan A\) est la moitié de \(\sec A\), et \(AC^2 = \tfrac43 AB^2\) : si \(AB\) est le rayon d'une sphère, \(AC\) est le côté du cube inscrit dans cette sphère, « mais cela ne fait rien à l'affaire ». À \(45^\circ\), \(AD = DB = DC\), l'ombre égale le gnomon, et \(AC\) est le côté du carré inscrit dans le cercle de rayon \(AB\). À \(60^\circ\), \(AC = 2AB = 200\,000\). À \(90^\circ\), l'ombre et le rayon « s'en vont à l'infini », les deux droites étant parallèles. Tout cela est exact, et les deux tables se tirent de la table des sinus.¹²⁶

L'usage de la table bienfaisante

44–47Soient deux quadrants de grands cercles \(ABE\) et \(ACD\) inclinés l'un sur l'autre, \(F\) le pôle de \(ACD\), et les quadrants \(FED\) et \(FBC\), de sorte que les angles en \(C\), \(D\) et \(E\) sont droits. Dans le triangle \(ABC\), rectangle en \(C\), la sécante permet, dit Maurolico, de résoudre par une multiplication et une suppression de cinq figures les quatre problèmes suivants.¹²⁷

1. 1.Connaissant \(AB\) et \(BC\), trouver \(AC\) : \(\cos AC = \cos AB\,\sec BC\). Le feuillet l'écrit comme proportion continue (\(\sin FB\), rayon et sécante de \(BC\)) combinée à la relation « démontrée par Ménélas » \(\sin FB : 1 = \sin BE : \sin CD\), c'est-à-dire \(\cos BC = \cos AB/\cos AC\). Applications : l'ascension droite par la longitude et la déclinaison (problème 3) ; l'arc \(\Delta\) du problème 5 par l'arc du cercle de latitude et la déclinaison ; la différence ascensionnelle par l'amplitude et la déclinaison (problème 7).¹²⁸
2. 2.Connaissant l'angle \(A\) (l'arc \(DE\)) et \(BC\), trouver \(AB\) : \(\sin AB = \sin BC\,\sec FE = \sin BC/\sin A\). Applications : la longitude par la déclinaison et l'obliquité ; l'amplitude ortive par la déclinaison et l'angle de l'horizon avec l'équateur, complément de la latitude (problème 6).¹²⁹
3. 3.Connaissant \(AC\) et \(CB\), trouver \(AB\) : par la règle des déclinaisons appliquée aux compléments, \(\cos AB = \cos AC\,\cos BC\).
4. 4.Connaissant \(AB\) et \(BC\), trouver l'angle \(A\) : \(\sin A = \sin BC\,\sec BE = \sin BC/\sin AB\) — ainsi « de l'arc \(AB\) de l'écliptique et de sa déclinaison \(BC\) nous obtiendrons la plus grande déclinaison \(DE\) ».¹³⁰

La date de 1530

47–47Le texte conclut que tout ce que Regiomontanus calculait par la table féconde, évitant l'ennui de la division, se calcule aussi aisément par « notre » table bienfaisante, et promet des exemples pratiques « plus bas, avec les tables » — dans ce volume, où l'ordre du livre n'est pas celui de la reliure, les problèmes résolus avec la table bienfaisante y répondent sans doute, sans que rien l'établisse. Il est daté à la première personne : « Hæc in Arce Apollinari dum cum Iohanne Vigintimillio Hieracensium Marchione degeremus olim mense Augusto 1530 speculabamur. »¹³¹ Suit l'annonce déjà citée : « Nous joindrons maintenant à ceci quelques opuscules des anciens qui regardent la même théorie sphérique. » Cette date est celle que le texte se donne ; elle ne dit rien, et cette lecture ne dit rien, de l'antériorité de ces règles sur celles d'autres auteurs.

La dédicace à Octavio Spinola

47–47Sur la même page, une lettre « D. Octavio Spinulæ Quæstori ærario Siciliæ, Regioque Consiliario, Maurolycus. Salutem. », au trésorier de Sicile et conseiller du roi. Il y a trois ans, écrit Maurolico, qu'on a commencé d'imprimer à Messine le volume de ses Sphériques ; les guerres et leurs soupçons ne laissaient aucune place aux spéculations, qui demandent la retraite et le loisir ; l'affection de Spinola pour les lettres a fait reprendre et achever l'ouvrage, et « notre sphère » lui doit autant qu'Atlas dut à Hercule quand celui-ci porta le ciel sur ses épaules. Les Sphériques de Théodose, de Ménélas et de Maurolico achevés, il y joindra ce qui touche la sphère mobile et le premier mouvement, « premiers rudiments de la science des astres ».¹³² Un « Hexastichon » au même, et la date : « Messanæ. Kal. Junij M.D.LVII. », Messine, 1^er juin 1557.¹³³