NAF 5161 · vues 1–43 · Lecture modernisée · Lettres originales de DESCARTES adressées au Père Mersenne (1638-1647), et mémoires divers relatifs aux doctrines de Descartes. II Mémoires divers relatifs aux doctrines de Descartes. NAF 5161 — lecture modernisée du volume entier
Datation du catalogue : 1601-1700
Source gallica.bnf.fr / Bibliothèque nationale de France
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Résumé

Ce que le volume contient

1–43Quarante-trois vues. La vue 1 est le contreplat ; la vue 2, un feuillet de titre du XIX^e siècle, « Divers Ecrits Relatifs aux Doctrines de Descartes », qui porte le certificat de la bibliothèque : « Volume de 20 Feuillets / Le Feuillet 10 est blanc / 24 Septembre 1888 », et la mention « Libri 1860 ». Sont blancs, et absents des transcriptions : les vues 10 (verso d'un feuillet), 21 et 22 (le feuillet 10 du certificat), 37 (le verso du feuillet de la figure) et 40.¹ La vue 34 est une seconde prise de vue de la page de la vue 33.

• Vues 3 à 9 et 11 à 20 — deux lettres-traités, d'une même main française du XVII^e siècle, adressées à un « Cher amy » que l'auteur tutoie : « Deffauts de quelques reigles du S^r Cart. et que la distinction des Racines en Reelles et imaginaires est impertinente et ridicule », puis « Erreurs du S^r des Cartes touchant le nombre des Racines en chaque equation ».
• Vues 23 à 26 — un mémoire inachevé, d'une autre main, adressé à un « Monsieur » « ami de M. des C. » : « Qu'il est faux que les Equations qui ne montent que jusques au quarré soient toutes composées de celles dont le Methodiste s'est servy & sa resolution pretendue du Lieu ad quatuor lineas ».
• Vues 27 et 28 — une note de travail, d'une troisième main, sur un petit feuillet : des triangles rectangles d'aire six fois un carré, des tables de nombres et deux dessins de tubes.
• Vues 29 et 30 — « Copie de la lettre de M^r Roberval », d'une quatrième main, très rapide, signée « Roberval ».
• Vues 31 à 39 — un mémoire recopié au net, d'une cinquième main, ronde et posée, sur le centre d'agitation d'un secteur de cylindre, avec sa figure sur un feuillet à part (vue 36).
• Vues 41 à 43 — une adresse et une lettre : au verso du feuillet blanc de la vue 40, « Pour le Reuerend Pere Mersenne » ; puis, au feuillet suivant, une lettre sans signature commençant « Mon R. Pere », sur les thèses du « P. Fabri » ; au dos, une note d'archiviste, « Liasse de 12 cahy cotées depuis … jusques a … », et le mot « fin ».

Deux séries de chiffres à l'encre courent sur ces feuillets. La plus grande numérote les rectos de 1 (vue 3) à 20 (vue 42) : elle s'accorde avec le certificat de 1888 (vingt feuillets, le dixième blanc), et c'est elle que cite la littérature.² La plus petite est plus ancienne et discontinue : 63 à 71 sur les feuillets 1 à 9, 73 et 74 sur les feuillets 12 et 13, un « 48 » barré sur le feuillet 14, 58 à 62 sur les feuillets 15 à 19, 54 sur le feuillet 20. Ses ruptures, entre 74 et 48 et entre 48 et 58, disent que ces feuillets viennent de liasses différentes. Une note moderne en marge de la vue 29 dit « Du portefeuille 1848 de Libri », quand le feuillet de titre dit « Libri 1860 ».

Les auteurs ne sont nommés nulle part, sauf dans la copie des vues 29–30. La dernière section de cette lecture dit ce que les feuillets permettent d'affirmer à ce sujet, et ce qu'ils ne permettent pas.

I. « Défauts de quelques règles du S^r Cart. » (f. 1, vues 3 à 9)

3–9

Ce que l'auteur annonce

La lettre répond à un ami que la « précédente » n'a pas convaincu. Il n'y a vu aucune excuse aux « erreurs du S^r Cart. » et voudrait qu'on lui montre « l'impertinence de la distinction des Racines en Reelles et imaginaires ». Avant d'y venir, l'auteur veut établir trois choses : que la Géométrie de Descartes n'est pas si excellente « qu'on n'y puisse rien adjouster » ; que Viète n'a pas traité généralement, à la fin de son livre De emendatione aequationum, de la composition des équations ; et qu'« universellement parlant toutes les equations ne se produisent pas par la multiplication d'autres equations ».³ Il rapporte aussi une lettre de Descartes « au R. P. M. », écrite parce qu'on avait dit que son discours sur la nature des équations n'était « qu'un extraict » d'un livre. Descartes y affirmait que la postérité ne trouverait jamais rien en géométrie qu'il n'eût aisément trouvé s'il en avait pris la peine. L'auteur appelle cela des « Rodomontades ».⁴

Une équation comme produit d'équations plus simples

L'idée que l'auteur prête aux lecteurs de Viète est la nôtre : mettre tous les termes d'un même côté, « feindre que le total est égal à rien », et regarder le polynôme obtenu comme un produit.⁵ Ainsi \[\begin{gather*} A^2-(B+C)A+BC=(A-B)(A-C),\\ (A^2-SA+X)(A+D)=A^3+(D-S)A^2+(X-DS)A+DX . \end{gather*}\] C'est, en langage actuel, la relation entre les coefficients d'un polynôme unitaire et les fonctions symétriques élémentaires de ses racines : si \(P(A)=(A-r_1)\cdots(A-r_n)\), le coefficient de \(A^{n-k}\) est \((-1)^k e_k(r_1,\dots,r_n)\).⁶ L'auteur renvoie pour d'autres exemples à l'Artis analyticae praxis de Thomas Harriot, « que l'on imprima a Londres apres son deceds en 1631 », et il ajoute que Descartes ne l'a « pas negligée », comme on le voit « par les termes dont il se sert, que cet autheur avoit employez auparavant luy ».⁷

La thèse de l'auteur est que tous les polynômes ne sont pas de tels produits. Il faut préciser en quel sens. Sur les nombres complexes, tout polynôme de degré \(n\) est le produit de \(n\) facteurs du premier degré : c'est le théorème fondamental de l'algèbre.⁸ Sur les réels, tout polynôme est le produit de facteurs du premier et du second degré. Ce qui est vrai dans la thèse, c'est qu'un polynôme à coefficients réels n'est pas toujours un produit de facteurs du premier degré à coefficients réels, c'est-à-dire de binômes « \(A\) plus ou moins une quantité ». C'est bien ce que l'auteur a en vue. La seconde lettre le dira sous une forme exacte : une cubique est le produit d'une « équation quarrée » par une équation du premier degré, et c'est la quarrée qui peut ne pas se décomposer.

Racines positives et négatives

De la composition des équations suit, dit l'auteur, que les racines sont « positiues ou negatiues, c'est plus ou moins que rien », celles que Descartes nomme « assez mal vrayes ou fausses ».⁹ Son exemple : \[ A^2+(C-B)A-BC=(A-B)(A+C) \] a pour racines \(+B\) et \(-C\).¹⁰ Multiplié par \(A+D\), puis par \(A-F\), il donne \[\begin{align*} A^4&+(C+D-B-F)A^3+(CD+BF-BC-BD-CF-DF)A^2\\ &+(BCF+BDF-BCD-CDF)A+BCDF , \end{align*}\] équation du quatrième degré qui a deux racines positives, \(B\) et \(F\), et deux négatives, \(-C\) et \(-D\). Les deux multiplications du feuillet sont justes, terme à terme.

Reconnaître une racine : diviser ou substituer

Pour savoir si une quantité donnée est racine, l'auteur juge inutile de diviser l'équation, comme le fait « innocemment le bon M. des C. », par l'inconnue plus ou moins cette quantité. Il suffit de la substituer à l'inconnue ; si elle est négative, on change en outre les signes du premier, du troisième, du cinquième terme, « ou bien du second, du 4^e, du 6^e ».¹¹ Si la quantité est une racine, tout se détruit.

Les deux procédés sont équivalents, et l'auteur a raison de dire que le second suffit : c'est le théorème du reste. Le reste de la division de \(P(A)\) par \(A-r\) est \(P(r)\), de sorte que \(A-r\) divise \(P\) si et seulement si \(P(r)=0\). La règle des signes pour une valeur négative est juste aussi. Si \(P(A)=\sum_{k=0}^{n}a_kA^{n-k}\) et \(D>0\), alors \[ P(-D)=(-1)^n\sum_{k=0}^{n}(-1)^k a_k D^{\,n-k}, \] de sorte que \(P(-D)=0\) équivaut à l'annulation de l'expression obtenue en substituant \(D\) et en changeant les signes des termes de rang pair (les termes \(a_1, a_3, \dots\), second, quatrième…), ou, ce qui revient au même au signe près, de rang impair.¹²

La règle pour changer le signe des racines

Descartes donnait une règle pour faire que les racines positives deviennent négatives et inversement : changer les signes du second, du quatrième, du sixième terme. L'auteur la juge « fort mal conceue et exprimée », puisqu'on obtient le même effet en changeant ceux du premier, du troisième, du cinquième. Les deux prescriptions sont justes, et elles sont la même. Changer les signes des termes de rang pair donne \((-1)^nP(-A)\), dont les racines sont les opposées de celles de \(P\) ; changer ceux de rang impair donne \(-(-1)^nP(-A)\), qui a les mêmes racines. L'existence d'une seconde manière de dire la chose ne fait pas de la première une erreur. Le reproche tombe, pourvu qu'on compte, ici encore, les places des termes manquants.

« Autant de racines que de dimensions » : l'équation \(x^3-6x^2+13x-10\)

L'auteur tire alors sa conclusion : il est des équations où il ne peut y avoir autant de racines que de dimensions. Il ajoute que si l'on tient à nommer certaines racines « réelles » et d'autres « imaginaires », ce doit être les positives et les négatives.¹³ Il s'en prend à l'exemple de Descartes : \[ x^3-6x^2+13x-10=0, \] où celui-ci voyait « une racine réelle et deux imaginaires ». Pour l'auteur, il n'y en a qu'une, \(+2\) ; aucun autre nombre « marqué par \(+\) ou par \(-\) » ne satisfait l'équation, et les deux autres ne sont « que des Resueries et des extrauagances de sa belle methode ».¹⁴

Le calcul : \[ x^3-6x^2+13x-10=(x-2)(x^2-4x+5)=(x-2)\bigl(x-(2+i)\bigr)\bigl(x-(2-i)\bigr). \] L'auteur a raison sur les nombres réels : \(2\) est la seule racine réelle, puisque le discriminant de \(x^2-4x+5\) vaut \(16-20=-4<0\). Il a raison aussi de retourner contre Descartes son propre critère : aucun binôme réel \(x\pm q\) autre que \(x-2\) ne divise le polynôme. Mais les deux racines qu'il appelle « rêveries » existent : ce sont les nombres complexes \(2+i\) et \(2-i\), et le polynôme se divise par \(x-(2\pm i)\), ce qui revient à se diviser par le facteur réel \(x^2-4x+5\). Le compte de Descartes, trois racines dont une réelle et deux imaginaires, est celui qu'on tient aujourd'hui.

L'auteur conclut que ce qui « implique contradiction » ne peut être nommé ni réel ni imaginaire, « puis qu'elles ne peuuent estre l'obiect de nostre entendement ni de nostre imagination ». L'argument suppose que les racines imaginaires impliquent contradiction. Elles ne le font pas : les nombres complexes admettent un modèle dans les couples de réels.¹⁵ La pièce s'arrête au haut de la vue 9, sans formule finale, sans date ni signature.

II. « Erreurs du S^r des Cartes touchant le nombre des racines » (vues 11 à 20)

11–20

Le propos

Même main, même « Cher amy ». L'auteur promet « vn eschantillon des faussetez et des erreurs » de « ce nouueau methodique », qui se vante d'avoir gagné cinq ou six batailles et de n'en avoir plus que deux ou trois à livrer pour atteindre une connaissance entière de toutes choses.¹⁶ La proposition attaquée est celle qui ouvre le discours de Descartes sur les équations : « qu'en chaque Equation autant que la quantité inconnue a de dimensions, autant peut il auoir de diuerses racines ».¹⁷ L'auteur lui oppose la sienne, « diamétralement opposée » : il y a des équations où l'inconnue a moins de valeurs que de dimensions.

Première équation : \(x^3-Hx^2=X\)

Toutes les lettres désignent des quantités positives. L'auteur démontre que l'équation \[ x^3-Hx^2=X \qquad (H,X>0) \] a une racine positive et une seule, et aucune négative. Sa démonstration est juste. Soit \(B\) la racine positive. Si \(D\neq B\) en était une autre, on aurait \(B^3-HB^2=D^3-HD^2\), d'où, en divisant par \(B-D\), \[ B^2+BD+D^2=H(B+D), \qquad\text{soit}\qquad D^2=(H-B)(B+D). \] Puisque \(D^2>0\), il faudrait \(H>B\). Mais \(B^2(B-H)=X>0\) impose \(B>H\). Aucune racine négative non plus : pour \(x=-D<0\), le premier membre vaut \(-D^3-HD^2<0\), et ne peut égaler \(X\).¹⁸

Seconde équation : \(x^3+Xx=S\)

De même pour \[ x^3+Xx=S \qquad (X,S>0). \] Deux racines positives \(B\neq D\) donneraient \(B^3-D^3=X(D-B)\), d'où \(B^2+BD+D^2=-X\), ce qui est absurde. Une racine négative \(-D\) donnerait \(-D^3-XD=S\), absurde aussi. En termes actuels, le premier membre est strictement croissant, et l'équation a exactement une racine réelle.¹⁹

Dans les deux cas, la conclusion de l'auteur est exacte, et c'est elle que donne la règle des signes de Descartes lue comme une borne. Pour \(x^3-Hx^2-X\), la suite des signes \(+,-,-\) présente une seule variation, donc au plus une racine positive ; pour \(-x^3-Hx^2-X\), obtenu en changeant \(x\) en \(-x\), aucune variation, donc aucune racine négative. Il en va de même pour la seconde équation. Les deux autres racines, que l'auteur déclare inexistantes, sont deux complexes conjugués.

La seconde démonstration : les formes possibles d'une cubique

L'auteur veut ensuite faire voir qu'il « répugne à la nature » de ces équations d'avoir plus d'une valeur. Une cubique est « seulement le produit d'une équation quarrée par une équation du premier degré ».²⁰ Pour que le produit \[ (x^2+px+q)(x+r)=x^3+(p+r)x^2+(q+pr)x+qr \] manque de son terme en \(x\), il faut \(q=-pr\). Avec des lettres positives \(s\), \(b\), cela ne se fait que de quatre manières, que le feuillet pose en colonnes : \[\begin{align*} (x^2-sx+sb)(x+b)&=x^3+(b-s)x^2+sb^2,\\ (x^2-sx-sb)(x-b)&=x^3-(s+b)x^2+sb^2,\\ (x^2+sx-sb)(x+b)&=x^3+(s+b)x^2-sb^2,\\ (x^2+sx+sb)(x-b)&=x^3+(s-b)x^2-sb^2. \end{align*}\] Les quatre produits de la vue 15 sont justes. L'équation \(x^3-Hx^2-X\) a son terme constant négatif, ce qui écarte les deux premières formes, et son second terme négatif, ce qui écarte la troisième. Reste la quatrième, avec \(b>s\). Mais alors \(sb>s^2>\tfrac14 s^2\), et le facteur \(x^2+sx+sb\) n'a pas de racine réelle. L'auteur le dit par une propriété générale : quand deux équations du premier degré se multiplient, le terme constant du produit n'est jamais plus grand que le carré de la moitié du coefficient du second terme, car \[ (x+u)(x+v)=x^2+(u+v)x+uv, \qquad uv\le\Bigl(\frac{u+v}{2}\Bigr)^2 . \] C'est l'inégalité entre moyennes arithmétique et géométrique. Le feuillet la rapporte à une proposition du livre II d'Euclide.²¹

Rendu exact, l'argument est complet, et il est plus simple qu'il n'en a l'air. Si \(B\) est la racine positive, la division donne \[ x^3-Hx^2-X=(x-B)\bigl(x^2+sx+sB\bigr), \qquad s=B-H>0,\quad X=sB^2, \] et le discriminant \(s^2-4sB=s(s-4B)\) est négatif puisque \(s<B\).

Pour \(x^3+Xx-S\), il faut que le terme en \(x^2\) manque, soit \(p=-r\), et le feuillet dresse de même quatre formes (vue 17, justes toutes quatre). La seule qui convienne est \[ (x^2+sx+t)(x-s)=x^3+(t-s^2)x-ts , \] avec \(t-s^2=X>0\), donc \(t>s^2>\tfrac14 s^2\), et le facteur du second degré n'a pas de racine réelle.²²

Les exemples numériques

L'auteur donne trois équations « de même forme » avec leur racine : \[ x^3-8x^2-12168=0,\qquad x^3+64x-2496=0,\qquad x^3+729x-18954=0 . \] La racine réelle de la première est \(26\) : \(26^3-8\cdot 26^2=17576-5408=12168\). Les deux autres racines sont \(-9\pm 3i\sqrt{43}\), racines de \(x^2+18x+468\). La deuxième a pour racine \(12\), et pour racines complexes \(-6\pm 2i\sqrt{43}\) ; la troisième a pour racine \(18\), et \(-9\pm 18i\sqrt3\).²³ Chacune a donc une seule racine réelle, comme l'auteur le dit, et deux racines complexes. Il prévoit lui-même la réponse : Descartes, « pour éluder », se servira de sa distinction des racines en réelles et imaginaires. C'est en effet la bonne réponse.

La règle des signes

Avant de quitter son ami, l'auteur attaque la règle de Descartes « pour connoistre combien en chaque Equaõn il y a de racines positiues et combien de Negatiues ».²⁴ L'énoncé exact, tel qu'on le démontre aujourd'hui, est celui-ci :

Soit \(P\) un polynôme réel et \(V\) le nombre de variations de signe dans la suite de ses coefficients non nuls. Le nombre de racines strictement positives de \(P\), comptées avec leur multiplicité, est égal à \(V\) ou inférieur à \(V\) d'un nombre pair. Le nombre de racines strictement négatives s'obtient de même en appliquant la règle à \(P(-x)\).²⁵

Quand toutes les racines sont réelles, l'égalité a lieu. Si aucun coefficient n'est nul, les variations de \(P(-x)\) sont exactement les permanences de \(P(x)\). C'est la forme que l'auteur prête à Descartes, et c'est là que portent ses objections.

L'exemple de Descartes. Pour \(x^4-4x^3-19x^2+106x-120\), les signes \(+,-,-,+,-\) donnent trois variations et une permanence ; Descartes en concluait trois racines positives et une négative. C'est exact : \[ x^4-4x^3-19x^2+106x-120=(x-2)(x-3)(x-4)(x+5). \]

Moins de racines positives que de variations. L'auteur objecte que l'égalité n'est pas « universellement véritable », avec \[ x^3-Bx^2+B^2x-B^3=(x-B)(x^2+B^2), \] qui a trois variations et une seule racine positive, \(B\). Il a raison contre une règle lue comme un compte. Il n'a pas raison contre la règle lue comme une borne, et l'écart, \(3-1=2\), est pair, comme l'exige l'énoncé exact. Les deux racines manquantes sont \(\pm iB\).²⁶

Plus de racines négatives que de permanences, quand un terme manque. L'auteur prend \(x^3-sx+x_0\) et \(x^3-Bx^2+x_0\) (sa lettre \(x\) désigne ici le terme constant), et en nombres, avec \(B=1\), \(s=13\), \(x_0=12\) : \[ x^3-13x+12=(x-1)(x-3)(x+4),\qquad x^3-x^2+12=(x+2)(x^2-3x+6). \] La première a la racine négative \(-4\), la seconde la racine négative \(-2\), comme le dit le feuillet. Si l'on saute le terme nul, la suite des signes, \(+,-,+\) dans les deux cas, n'a aucune permanence. L'objection est juste contre la règle des permanences appliquée à un polynôme incomplet. Elle ne vaut pas contre la règle bien posée, qui compte les variations de \(P(-x)\) : \(-x^3+13x+12\) et \(-x^3-x^2+12\) en ont chacune une. L'auteur remarque, avec raison, que rien ne dit de quel signe marquer un terme nul. Dans ses deux exemples, l'un ou l'autre signe donne d'ailleurs une permanence.²⁷

Deux racines négatives pour une seule permanence. L'auteur ajoute qu'en « ces deux autres Equaõns » « il peut y auoir deux fausses racines », quoiqu'il n'y ait deux signes de suite qu'une fois en chacune. La transcription lit ces deux équations comme les deux précédentes, dans l'ordre inverse : \(x^3-Bx^2+x_0\) et \(x^3-sx+x_0\). Ainsi lue, l'affirmation est fausse. Pour l'une comme pour l'autre, avec des lettres positives, \(P(-x)\) n'a qu'une variation, donc une racine négative au plus ; et il y en a une, puisque \(P(0)=x_0>0\) et que \(P\) tend vers \(-\infty\) en \(-\infty\). Mais le feuillet parle de deux autres équations, et les mêmes lues deux fois ne le sont pas. Dans chacune des deux familles, un seul choix de signes permet deux racines négatives, puisqu'il faut deux variations à \(P(-x)\) : \(x^3+Bx^2-x_0\) et \(x^3-sx-x_0\). Le terme nul sauté, chacun n'a qu'une permanence, comme le dit la phrase. Avec ces signes, l'affirmation est juste, par exemple \[ x^3+3x^2-2=(x+1)(x^2+2x-2),\qquad x^3-7x-6=(x+1)(x+2)(x-3), \] qui ont chacune deux racines négatives, \(-1\) et \(-1-\sqrt3\) pour la première, \(-1\) et \(-2\) pour la seconde. L'objection serait alors la même que la précédente, poussée d'un cran. Cette lecture ne corrige pas les signes, que seule l'image peut établir ; elle signale que la lecture transcrite rend la phrase fausse et la répétition inexplicable.²⁸

III. Le lieu à quatre droites, contre « le Méthodiste » (vues 23 à 26)

23–26

L'objection

D'une autre main, adressée à un « Monsieur » qui est « ami de M. des C. » et qui a demandé à l'auteur une « résolution ». Le titre annonce deux thèses : il est faux que les équations qui ne montent qu'au carré soient toutes « composées » de celles dont s'est servi « le Methodiste », et sa résolution du lieu à quatre droites n'est que « prétendue ».²⁹ L'auteur reproche à Descartes de ne pas avoir fait « les dénombrements ni les règles générales qui sont la quatrième partie de son illustre méthode ».³⁰ Il cite la phrase qu'il attaque : « Au reste, dict il, a cause que les equations qui ne montent que jusque au quarré sont toutes composées de celles que je viens d'expliquer, non seulement le probleme des anciens de trois, & quatre lignes est icy entierement achevé, Mais tout ce qui appartient a ce qu'ils nommoient la composition des lieux solides ».³¹

L'hyperbole construite

Contre-exemple proposé : une équation « de même forme » que \[ ae+ce=ba+x , \] qui ne serait composée « d'aucunes de celles qu'il s'est donné la peine d'expliquer ».³² L'auteur la tire d'une construction. Soient une droite \(FB\) prolongée indéfiniment, un point fixe \(D\) sur elle, une longueur donnée \(AC\) et un espace donné \(X\). Pour un point \(B\) pris à volonté sur la droite, on élève \(BI\) parallèle à une direction donnée, de sorte que \[ FB\cdot BI - DB\cdot AC = X . \] Le lieu de \(I\) est une hyperbole. Pour la tracer, on prend \(BS=AC\) sur \(BI\) et l'on mène par \(F\) la parallèle \(FXN\) à \(BS\), par \(S\) la parallèle \(SX\) à \(FB\) : ce sont les asymptotes. On décrit l'hyperbole d'asymptotes \(XN\), \(XS\) qui passe par \(I\), par la proposition II.4 d'Apollonius. Tout autre point \(G\) s'obtient en menant \(EG\) parallèle à \(AC\) de sorte que le rectangle \(XE\cdot EG\) égale le rectangle \(XS\cdot SI\), par II.12.³³

En coordonnées, l'auteur nomme \(AC=b\), la longueur donnée entre \(F\) et \(D\) \(c\), et les deux longueurs variables \(DB=a\), \(BI=e\).³⁴ Alors \(FB\cdot BI=(a+c)e\), \(DB\cdot AC=ab\), et le lieu est \[ (a+c)\,e=ab+x \qquad\Longleftrightarrow\qquad (a+c)(e-b)=x-bc . \] Si \(x\neq bc\), c'est une hyperbole d'asymptotes \(a=-c\), la droite menée par \(F\) parallèlement à \(BI\), et \(e=b\), la droite menée par \(S\) parallèlement à \(FB\). Ce sont bien celles de la construction. Si \(x=bc\), le lieu dégénère en ces deux droites. Le rectangle constant de II.12 vaut \(x-bc\), et non \(x\) ; la construction par le point \(I\) n'a pas besoin de le connaître, et l'auteur dit ne pas s'arrêter « a distinguer les differents cas ».

Ce qui est vrai dans l'objection, et ce qui ne l'est pas. Toute équation du second degré en deux inconnues représente une conique, éventuellement dégénérée ou vide. Celle de l'auteur est une hyperbole, ce qui confirme au lieu de le contredire que les lieux « qui ne montent qu'au carré » sont des coniques. Son objection ne peut donc porter que sur la forme : une équation sans carré de l'une ni de l'autre inconnue, où \(e\) s'exprime comme une fraction rationnelle de \(a\), n'est peut-être pas l'une des formes que Descartes avait écrites. Elle s'y ramène par un changement d'axes. Le feuillet ne cite de Descartes que la phrase ci-dessus, et cette lecture ne lui prête pas ce que le feuillet ne rapporte pas. Le mémoire s'arrête, deux lignes en haut de la vue 26, avant d'en venir au lieu à quatre droites lui-même, sans formule finale ni signature.

IV. Triangles rectangles d'aire six fois un carré (vues 27 et 28)

27–28La note pose le problème en une ligne : « Il faut trouver un \(\Delta\) primitif dont l'aire soit un sextuple quarré et qui ne soit pas semblable au triangle de 3. 4. 5. » ; car, les côtés de ce triangle étant divisés par la racine du carré, « l'on aura les costez du triangle requis ».³⁵ Autrement dit : trouver un triangle rectangle à côtés rationnels, d'aire \(6\), autre que \(3,4,5\). En langage actuel, c'est chercher une seconde solution du problème des nombres congruents pour \(n=6\).³⁶

Le procédé est donné en trois lignes, et il est juste. Du triangle donné, \(3,4,5\), on forme un second triangle avec ses deux plus petits côtés ; avec les deux plus grands côtés de ce second triangle, on en forme un troisième. « Former un triangle » de deux nombres \(p>q\), c'est prendre les côtés \(p^2-q^2\), \(2pq\), \(p^2+q^2\). Ainsi \[ (3,4)\ \mapsto\ (7,\,24,\,25),\qquad (24,25)\ \mapsto\ (49,\,1200,\,1201), \] et l'aire du troisième est \(\tfrac12\cdot 49\cdot 1200=29400=6\cdot 70^2\). Le triangle est primitif. Le feuillet l'explique : le plus petit côté, \(49\), est impair et est le carré du plus petit côté du second triangle ; le côté pair, \(1200=3\cdot 20^2\), est un carré pris « autant de fois qu'il y a d'unités en la moitié de l'aire » du premier triangle.³⁷ On divise enfin les trois côtés par le produit de la racine du côté impair, \(7\), par la racine du quotient du côté pair par le double de l'aire, \(\sqrt{1200/12}=10\), c'est-à-dire par \(70\) : \[ \frac{49}{70}=\frac{7}{10},\qquad \frac{1200}{70}=\frac{120}{7},\qquad \frac{1201}{70}, \] et l'on a un triangle rectangle d'aire \(\tfrac12\cdot\tfrac{7}{10}\cdot \tfrac{120}{7}=6\) : \(\bigl(\tfrac{7}{10}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{120}{7}\bigr)^2 =\tfrac{1442401}{4900}=\bigl(\tfrac{1201}{70}\bigr)^2\). Le tableau au bas de la vue 27 porte ces nombres, et, barrée, une première rangée de fractions renversées.

Le procédé est général. Soit \((a,b,c)\) un triangle rectangle d'aire \(n\), avec \(a\neq b\) ; formons un triangle des deux nombres \(c^2\) et \(2ab\) (dans l'exemple, \(25\) et \(24\)). Ses côtés sont \[ c^4-4a^2b^2=(a^2-b^2)^2,\qquad 4abc^2,\qquad c^4+4a^2b^2, \] son aire vaut \(2abc^2(a^2-b^2)^2=n\bigl(2c(a^2-b^2)\bigr)^2\), et le diviseur du feuillet est \(2c\,\lvert a^2-b^2\rvert\). On obtient ainsi un nouveau triangle rationnel d'aire \(n\). Sur la courbe \(y^2=x^3-n^2x\), au triangle \((a,b,c)\) correspond le point \(\bigl(\tfrac{c^2}{4},\, \tfrac{c(b^2-a^2)}{8}\bigr)\), et le nouveau triangle correspond au double de ce point pour la loi de groupe : pour \(3,4,5\), le point \(\bigl(\tfrac{25}{4},\tfrac{35}{8}\bigr)\) a pour double un point d'abscisse \(\bigl(\tfrac{1201}{140}\bigr)^2\).³⁸

Le verso (vue 28) refait le même chemin à partir de \(5,12,13\), d'aire \(30\), en tableaux écrits de travers : \((5,12)\mapsto(119,120,169)\), puis \((120,169)\mapsto(14161,\,40560,\,42961)\), avec \(14161=119^2\) et \(40560=15\cdot 52^2\) ; les nombres « 2704 » et « 52 » écrits à côté sont ce carré et sa racine. La division n'est pas faite sur le feuillet ; elle donnerait le triangle \(\tfrac{119}{26},\ \tfrac{1560}{119},\ \tfrac{42961}{3094}\), d'aire \(30\).³⁹

V. Le centre d'agitation d'un secteur de cylindre (ff. 15 à 18, vues 31 à 39)

31–39

La question et la définition commune

Ce mémoire est une copie au net, sans titre, sans signature et sans date. Il s'adresse à un « vous » qu'il ne nomme pas et parle de Descartes à la troisième personne.⁴⁰ Il commence : « Nous conuenions de Definition Monsieur Descartes & moy, touchant le poinct qu'il appelle le Centre d'agitation, lequel nous nommons icy le centre de percussion. Mais sa conclusion est entierement differente de la mienne, de laquelle pourtant, i'ay la demonstration absoluë. »

La question est celle du pendule composé. Un corps pesant oscille autour d'un axe horizontal fixe, l'« aissieu » : quelle est la longueur \(L\) du pendule simple qui bat au même rythme ? La réponse actuelle est \[ L=\frac{I}{Md},\qquad I=\int \rho^2\,dm , \] où \(I\) est le moment d'inertie du corps par rapport à l'axe, \(M\) sa masse, \(d\) la distance de l'axe au centre de gravité, et \(\rho\) la distance d'un élément à l'axe. Le point situé à la distance \(L\) de l'axe, sur la perpendiculaire menée de l'axe par le centre de gravité, est le centre d'oscillation. C'est aussi le centre de percussion relatif à l'axe : un choc reçu en ce point, perpendiculairement à cette droite, ne produit aucune percussion sur l'axe.⁴¹

Le secteur de cylindre et les deux centres de l'auteur

L'auteur choisit « vn Secteur d'vn Cylindre droict », tournant autour de son propre axe \(AB\), horizontal. Il le coupe à mi-longueur par le secteur de cercle \(ILNM\), de centre \(I\), de rayon \(IN=r\), le rayon \(IN\) vertical partageant l'arc \(LNM\) en deux. Notons \(2\alpha\) l'angle au centre, de sorte que \[ \frac{\text{corde }LM}{\text{arc }LM}=\frac{\sin\alpha}{\alpha}. \] L'auteur énonce, en renvoyant pour les démonstrations à des écrits qu'il ne donne pas, deux points de \(IN\).

Le centre de gravité \(O\). « Comme l'arc \(LM\) est à sa corde \(LM\), ainsi les deux tiers du demi-diamètre \(IN\) à \(IO\) », soit \[ IO=\frac23\,r\,\frac{\sin\alpha}{\alpha}. \] C'est exact : c'est la distance au centre du centre de gravité d'un secteur de cercle, et, par symétrie le long de l'axe, celle du secteur de cylindre.

Le centre de percussion \(Q\). « Comme la corde \(LM\) est à son arc, ainsi \(IP\), trois quarts de \(IN\), à \(IQ\) », soit \[ IQ=\frac34\,r\,\frac{\alpha}{\sin\alpha}. \] C'est exactement le centre d'oscillation. Pour une tranche d'épaisseur unité et de densité \(1\), \(M=\alpha r^2\), \(I=\int_{-\alpha}^{\alpha}\int_0^r \rho^3\,d\rho\,d\theta=\tfrac12\alpha r^4\), \(d=IO\), et \[ \frac{I}{Md}=\frac{\tfrac12\alpha r^4}{\alpha r^2\cdot\tfrac{2r\sin\alpha}{3\alpha}} =\frac34\,r\,\frac{\alpha}{\sin\alpha}. \] Les conséquences que l'auteur en tire sont justes. \(Q\) est toujours plus loin de \(I\) que le point \(P\) situé aux trois quarts de \(IN\), puisque \(\alpha>\sin\alpha\). L'écart croît avec le secteur. Si l'arc surpasse sa corde d'un quart, \(\alpha/\sin\alpha=\tfrac43\), et \(Q\) tombe en \(N\) : cela arrive pour un angle au centre d'environ \(146^\circ\). Au-delà, \(Q\) est hors du secteur ; pour le demi-cylindre, \(IQ=\tfrac{3\pi}{8}\,r\approx1{,}18\,r\).

La règle de Descartes, telle que le mémoire la rapporte

Selon « M. D. C. », tous les points d'une même surface cylindrique d'axe \(AB\) sont « également agités ». Les « forces d'agitation » de deux telles surfaces sont entre elles comme des pyramides ayant pour bases ces surfaces et pour hauteurs leurs rayons. On porte sur \(IN\), en chaque point \(3\) de rayon \(\rho\), une ordonnée \(3\text{--}8\) proportionnelle à cette pyramide. Le centre de gravité de la figure plane ainsi décrite est, dit Descartes, le centre d'agitation cherché.⁴² Dans le secteur, la surface de rayon \(\rho\) est proportionnelle à \(\rho\), la pyramide à \(\rho^2\) ; la figure est un « triligne aigu parabolique » d'ordonnées proportionnelles à \(\rho^2\), et son centre de gravité est à la distance \[ \frac{\int_0^r\rho\cdot\rho^2\,d\rho}{\int_0^r\rho^2\,d\rho}=\frac34\,r \] de \(I\) : c'est le point \(P\), pour tout secteur, « mesmes au demy-Cylindre ».

En langage actuel, cette règle donne \(\int\rho^2\,dm\big/\int\rho\,dm\), là où le centre d'oscillation est \(\int\rho^2\,dm\big/\int\rho\cos\theta\,dm\), \(\theta\) étant l'angle que fait avec la verticale le rayon mené de l'axe à l'élément \(dm\). La différence est au dénominateur : Descartes compte la distance de chaque élément à l'axe, la mécanique exacte n'en compte que la composante verticale, puisque \(Md=\int\rho\cos\theta\,dm\).

Le défaut : la direction de l'agitation

« Le deffaut de ce raisonnement est, qu'il considere l'agitation seule des parties du corps agité, oubliant la direction de l'agitation de chacune de ces parties ». Un point \(L\) de l'arc se meut selon la tangente \(LS\), qui coupe la verticale \(IN\) prolongée en \(S\) ; un point \(T\) selon \(TR\), qui la coupe en \(R\). Tous ces points ont même agitation, mais ils agissent sur \(IN\) par des points différents et sous des angles différents. Seuls les points de la génératrice \(GH\) agissent par \(N\). Le centre d'agitation d'une surface cylindrique \(CGHF\) de rayon \(r\) est donc entre \(N\) et \(S\), et non en \(N\), comme il le faudrait pour que la règle de Descartes fût bonne. C'est exact : pour une telle surface, \(I=Mr^2\) et \(d=r\sin\alpha/\alpha\), d'où \[ \frac{I}{Md}=r\,\frac{\alpha}{\sin\alpha}, \] qui est bien compris entre \(IN=r\) et \(IS=r/\cos\alpha\), puisque \(\sin\alpha<\alpha<\tan\alpha\).⁴³ En composant de même toutes les surfaces cylindriques de rayon \(\rho\le r\), dont les centres sont en \(\rho\,\alpha/\sin\alpha\) et dont les « forces » sont comme \(\rho^2\), on trouve \(\tfrac34 r\,\alpha/\sin\alpha\), c'est-à-dire \(Q\) : la « conclusion toute autre » annoncée.

L'auteur généralise juste quand il dit que le défaut « a lieu en toutes les autres figures solides : mesmes en toutes les figures planes desquelles l'aissieu du mouuement n'est pas dans le plan d'icelles ». La règle de Descartes est exacte quand \(\cos\theta=1\) pour toute la masse, c'est-à-dire pour une figure plane qui pend dans le plan vertical de l'axe et oscille perpendiculairement à ce plan. Hors de ce cas, \(\int\rho\cos\theta\,dm<\int\rho\,dm\), et elle place le centre trop près de l'axe.

Deux remarques que l'auteur « passe sous silence »

La première : sur toute autre droite menée de \(I\) dans le plan \(ILNM\), on peut assigner un centre de percussion, et « tous ces centres sont dans vn lieu ». En langage actuel, les quantités de mouvement des éléments d'un solide qui tourne autour d'un axe fixe ont une résultante unique. Elle est perpendiculaire au plan passant par l'axe et par le centre de gravité, et sa ligne d'action est à la distance \(I/(Md)\) de l'axe. Le « lieu » est donc, dans la section, la droite menée par \(Q\) perpendiculairement à \(IN\) : chaque droite issue de \(I\) la coupe en son centre de percussion. Le mémoire ne dit pas quel est ce lieu.

La seconde : même bien assigné, le centre d'agitation ne serait peut-être pas la « regle ou distance requise pour les Vibrations », parce que le centre de gravité « contribuë quelque chose » au balancement : c'est lui qui cause « la reciprocation de ce balancement de droicte à gauche, et de gauche à droicte ». L'auteur ajoute que ses expériences se sont accordées « d'assez pres » avec ses conclusions, et qu'il en a conclu que le centre d'agitation y contribue plus que le centre de gravité. La mécanique actuelle tranche la question. L'équation du mouvement est \[ I\,\ddot\varphi=-Mgd\sin\varphi , \] qui est celle d'un pendule simple de longueur \(I/(Md)\), à toute amplitude. Le centre de gravité intervient bien, par \(d\) ; mais il est déjà dans la formule du centre d'oscillation, et il n'y a pas à le composer une seconde fois. Le centre de l'auteur est donc la bonne « règle », et c'est pourquoi ses expériences s'accordaient avec lui.

VI. « Copie de la lettre de M^r Roberval » (f. 14, vues 29 et 30)

29–30

Ce que la copie permet de lire

Une cursive très rapide, liée, abrégée, la plus difficile du volume. La transcription en a lu environ les deux tiers, et cette lecture ne restitue rien de ce qui manque.⁴⁴ La lettre s'ouvre ainsi : « J'ay 4 choses a repliquer a Mons^r des Cartes. » Ce qui s'en lit suffit à suivre l'argument. C'est une réplique : Descartes a répondu à un premier écrit, et l'auteur de la lettre maintient ses objections point par point, en appelant plusieurs fois à « l'experience ».

Premier point : une contradiction. Dans sa seconde lettre, Descartes nierait qu'il faille, pour les vibrations d'un corps balancé autour d'un axe, rapporter la direction de chaque point « à une mesme perpendiculaire », alors que dans sa première il assurait que le centre d'agitation est dans cette perpendiculaire. L'auteur y voit « une contradiction manifeste ». Le principe qu'il invoque est juste : selon les règles de la mécanique, un tel centre dépend non seulement de la force de l'agitation de chaque point mais aussi de sa direction.⁴⁵

Deuxième point : le centre trop près de l'axe. L'auteur dit avoir protesté deux fois que les raisonnements de Descartes étaient défectueux, faute d'avoir considéré « la direction des points mobiles ». Descartes aurait ainsi assigné le centre d'agitation « plus haut, c'est a dire plus pres de l'aissieu, qu'il n'est en effect ». C'est ce qu'établit la section précédente : \(\int\rho\,dm\ge\int\rho\cos\theta\,dm\), de sorte que la valeur de Descartes est toujours au plus égale à la vraie.

Troisième point : le lieu des centres. Le centre de percussion peut se chercher « dans plusieurs autres lignes que dans la perpendic. susdite », et les autres centres sont « dans … lieu ». La copie oppose à Descartes une affirmation qui porte sur « un arc de cercle ».⁴⁶ Ce qui est vrai se dit indépendamment de la lacune. Pour un solide tournant autour d'un axe fixe, les centres de percussion relatifs aux diverses droites issues de l'axe, dans une section droite, sont alignés sur une droite, la ligne d'action de la quantité de mouvement résultante. Ce lieu n'est pas un arc de cercle.

Quatrième point : le centre de gravité. C'est l'objection qui termine le mémoire des vues 31 à 39, citée presque mot pour mot : quand même le centre d'agitation aurait été trouvé, il ne paraissait pas qu'il fût « la regle ou distance requise pour les vibrations », parce que le centre de gravité est « la cause de la reciprocation de ce balancement ». Descartes répondait que c'est la gravité des parties, non le centre de gravité, qui cause ce va-et-vient. La lettre invoque alors la composition des « puissances ». Quand un corps est pressé de deux puissances différentes, chacune a sa force, sa direction et son centre particulier, et l'on compose celles-ci comme on compose les pesanteurs des parties pour avoir le centre de gravité du tout. La pesanteur et l'agitation seraient deux telles puissances. Le centre du composé changerait à chaque position du corps balancé, et les distances inégales des points à l'axe apporteraient « de l'inegalité à la vitesse du mouvement reciproque ». Il faudrait examiner ces altérations pour déterminer la longueur du pendule isochrone, et c'est pourquoi l'expérience contredirait si ouvertement Descartes.⁴⁷

Sur ce dernier point, la mécanique actuelle donne raison à Descartes contre la lettre, et tort à tous deux dans la manière. L'équation \(I\ddot\varphi=-Mgd\sin\varphi\) montre que la pesanteur n'agit que par le moment \(Mgd\sin\varphi\), comme si toute la masse était au centre de gravité. Le corps est exactement équivalent, à toute position et à toute amplitude, au pendule simple de longueur \(I/(Md)\). Aucun « centre du composé » ne se déplace, et les vitesses inégales des points ne troublent pas l'équivalence, puisque tous tournent de la même vitesse angulaire. Ce qui dépend de l'amplitude, c'est la période du pendule simple lui-même : le pendule circulaire n'est pas isochrone.⁴⁸ La lettre avait raison sur le centre et sur l'expérience. L'objection du centre de gravité, qui venait d'elle et du mémoire, est sans objet.

La fin de la lettre

La lettre renvoie à Descartes le reproche d'avoir écrit trop long, l'accuse de mépriser « ces 2 instrumens de la connoissance humaine », la raison et l'expérience, pour ne suivre que sa pensée, et termine sur deux points qu'elle réserve « au R. P. Mersenne ». L'un met en cause Descartes au sujet d'un « Aristarque ». L'autre porte sur ce qu'il a fait, dans un ouvrage « imprimée », « (ad 3 et 4 lineas) », comparé à ce qu'avait fait Apollonius au sujet d'Euclide.⁴⁹ Pas de date, pas d'adresse.

VII. Une lettre sur les thèses du P. Fabri (vues 41 à 43)

41–43La vue 41 est un panneau d'adresse, au verso d'un feuillet plié en quatre dont le recto est blanc : « Pour le Reuerend Pere Mersenne ». La lettre qui suit, au feuillet suivant, commence « Mon R. Pere ». Elle n'est ni datée ni signée, et rien sur la page ne la joint matériellement à l'adresse qui la précède.⁵⁰ L'auteur prie son correspondant de faire savoir trois choses au « P. Fabri » au sujet de ses « Theses de geometrie ».

La cinquième proposition, généralisée

La cinquième proposition des thèses « peut estre enoncee bien plus generalement ». Sur un cercle de centre \(l\) et de diamètre \(gk\), prenons sur le demi-cercle, dans l'ordre à partir de \(g\), les points \(i\), \(h\), puis \(k\), avec \(\text{arc }hk=\text{arc }hi\). Alors le segment \(gmh\), compris entre la corde \(gh\) et son arc, égale le secteur \(gli\) augmenté du petit segment \(hk\).⁵¹

C'est vrai pour toute position de \(h\) telle que \(i\) reste sur l'arc, et la démonstration tient en une ligne. Les triangles \(glh\) et \(hlk\) ont même aire, puisqu'ils ont des bases égales, \(lg=lk\), sur le diamètre, et le même sommet \(h\). Donc \[\begin{align*} \text{seg}(gh)&=\text{sect}(glh)-\triangle glh =\text{sect}(gli)+\text{sect}(ilh)-\triangle hlk\\ &=\text{sect}(gli)+\text{sect}(hlk)-\triangle hlk =\text{sect}(gli)+\text{seg}(hk), \end{align*}\] puisque les secteurs \(ilh\) et \(hlk\) sont égaux, sur des arcs égaux. En angles, avec un rayon \(1\) et \(\widehat{klh}=\varphi\), les deux membres valent \(\tfrac12(\pi-\varphi-\sin\varphi)\). L'énoncé de Fabri n'est pas sur la page, et cette lecture ne le devine pas.

La septième proposition, déclarée fausse

La septième serait fausse, « car si d'un point donné dans le cone l'on peut mener un plan qui face une parabole, l'on en pourra mener qui en feront une infinité d'autres ». L'objection est juste si la proposition affirmait l'unicité. Un plan coupe un cône circulaire selon une parabole exactement quand il est parallèle à un plan tangent au cône, sans passer par le sommet. Or le cône a une infinité de plans tangents, un le long de chaque génératrice, et par un point intérieur passe un plan parallèle à chacun. Il y a donc une famille à un paramètre de plans menés par ce point qui coupent des paraboles.

Les foyers de l'hyperbole dans un cône scalène

La troisième chose est une question à poser à Fabri, dont l'auteur dit qu'elle « n'est pas bien difficile » et que « le P. Grinbergerus l'a demonstré ». Dans un cône « scalène », mais « il n'y a pas de difficulté en un cone droit », on mène un plan qui coupe une hyperbole dont l'axe est dans le triangle par l'axe du cône, de centre \(g\). On abaisse du sommet \(f\) de l'hyperbole la perpendiculaire \(fE\) sur l'axe du cône. Le cercle de centre \(g\) et de rayon \(gE\) donnerait les foyers aux points où il coupe l'axe de l'hyperbole.⁵²

Pour un cône droit, c'est exact, et le calcul en coordonnées le confirme : \(gE^2=a^2+b^2\), carré de la demi-distance focale. Pour un cône scalène, c'est faux en général. Contre-exemple : sommet à l'origine, base dans le plan \(z=-1\), cercle de centre \(\bigl(\tfrac12,0,-1\bigr)\) et de rayon \(1\) ; plan sécant \(x=1\), perpendiculaire au triangle par l'axe \(y=0\). La section est l'hyperbole \[ \frac{(z-\tfrac23)^2}{16/9}-\frac{y^2}{4/3}=1, \qquad c^2=a^2+b^2=\frac{28}{9}=\frac{140}{45}, \] de centre \(g=(1,0,\tfrac23)\) et de sommet \(f=(1,0,2)\). Le pied de la perpendiculaire menée de \(f\) sur l'axe du cône, la droite qui joint le sommet au centre de la base, est \(E=\bigl(-\tfrac35,0,\tfrac65\bigr)\), et \(gE^2=\tfrac{128}{45}\neq\tfrac{140}{45}\). L'autre sommet donne la même valeur, et prendre pour axe la hauteur du cône ne donne pas mieux (\(gE^2=\tfrac{25}{9}\)).⁵³

« Ce beau problème de M^r Roberval »

Si l'on veut proposer à Fabri quelque chose de plus difficile : « Estant donné un cylindre oblique, retrancher d'un seul trait de compas, sur un cylindre droit, une superficie esgale a la superficie du cylindre oblique donné. »

Le problème est possible si l'on a le choix du cylindre droit, et la raison en est moderne : les deux aires sont la même intégrale elliptique complète de seconde espèce, \(E(k)=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-k^2\sin^2u}\,du\). La surface latérale du cylindre oblique est le produit de la longueur \(\ell\) d'une génératrice par le périmètre de la section droite. Si la base est un cercle de rayon \(r\) et que les génératrices font l'angle \(\beta\) avec le plan de la base, la section droite est une ellipse de demi-axes \(r\) et \(r\sin\beta\), d'excentricité \(\cos\beta\), et l'aire vaut \(4r\ell\,E(\cos\beta)\). D'autre part, un « trait de compas » tracé sur un cylindre droit de rayon \(R\), la pointe fixe sur le cylindre et l'ouverture \(\rho>2R\), est l'intersection du cylindre avec une sphère. Il découpe sur le cylindre une zone comprise entre deux courbes fermées, d'aire \[ \int_{-\pi}^{\pi}2\sqrt{\rho^2-4R^2\sin^2\tfrac{\phi}{2}}\;R\,d\phi =8R\rho\,E\Bigl(\frac{2R}{\rho}\Bigr). \] Les deux aires sont égales dès que \(2R/\rho=\cos\beta\) et \(2R\rho=r\ell\), c'est-à-dire pour \[ \rho=\sqrt{\frac{r\ell}{\cos\beta}},\qquad R=\frac{\rho\cos\beta}{2}, \] deux longueurs constructibles à la règle et au compas.⁵⁴

Ce que ces feuillets ne disent pas

2–43Qui a écrit les deux lettres-traités et le mémoire sur le lieu à quatre droites. Aucun de ces trois textes ne nomme son auteur. Les deux premiers sont d'une même main, le troisième d'une autre. Deux marques portent le nom abrégé de Roberval, et l'on ne peut rien en tirer : « le fou de Rob. », dans le corps de la première lettre, où Roberval serait moqué, et un « Rob » isolé dans l'angle de la vue 11, hors du texte. Cette lecture n'attribue ces pièces à personne.⁵⁵

Qui a écrit le mémoire sur le secteur de cylindre. Le mémoire parle en son nom propre (« mes conclusions »), n'est pas signé, et la copie signée « Roberval » en reprend la fin presque mot pour mot. C'est un fait des feuillets. Il rend l'attribution vraisemblable ; il ne la prouve pas, et cette lecture ne la fait pas.⁵⁶

Qui a écrit la note sur les triangles, et la lettre sur Fabri. Personne ne le dit. La lettre nomme Roberval à la troisième personne, comme l'auteur d'un « beau problème ».

Quand. Aucun feuillet ne porte de date. Le champ de datation est celui du catalogue, 1601–1700, et cette lecture n'en tire pas d'année. Les renvois de pages des deux lettres-traités s'accordent avec l'édition de 1637 de la Géométrie, selon la transcription. Harriot y est cité comme imprimé en 1631. Ce sont des bornes que le contenu impose ; ce ne sont pas des dates.

Si l'auteur des lettres-traités avait tort. Sur les nombres réels, ses calculs sont presque tous justes et ses démonstrations d'unicité sont bonnes. Il avait tort sur ce qu'il en concluait. Les racines que Descartes appelait imaginaires ne sont ni des négatives mal nommées ni des « rêveries » : ce sont les nombres complexes, et le compte de Descartes, autant de racines que de dimensions, est devenu un théorème. Contre la règle des signes, il avait raison de demander qu'on la lise comme une borne, et de s'inquiéter des termes manquants. Sa dernière phrase n'est juste que si deux signes sont autres que ceux que la transcription lit ; l'image seule en décidera.