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· Wikisource · Papiers du géomètre J.-L. LAGRANGE (1813).
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Eclaircissement d'une difficulté singuliere
Eclaircissement d'une difficulté singuliere qui se rencontre dans le calcul de l'attraction des sphéroïdes très peu differens de la sphere
Par J. L. Lagrange [1]
D'alembert est le premier qui ait donné le calcul de l'attraction des sphéroïdes non elliptiques mais peu differens de la sphere, dans le second, et [illisible] troisieme volumes de ses Recherches sur le systeme du monde. M. Laplace a traité ensuite cette matiere d'une maniere nouvelle et plus generale qu'on ne l'avoit fait, dans les Memoires de l'Academie des Sciences de 1782, et dans le second volume de sa Mecanique celeste. Sa théorie est fondée sur un beau théoreme très remarquable par sa simplicité autant que par sa généralité ; mais ce theoreme donne lieu à une difficulté singuliere qui paroît [?] n'avoir encore été remarquée par personne et qui merite d'être examinée. [2]
1. Soit comme dans les Memoires de 1782 p. 134 et dans la Mecanique celeste (tome 2) \(r\) la distance du point attiré au point pris pour centre du sphéroïde, \(\theta\) l'angle que le rayon \(r\) fait avec un axe fixe passant par le centre, \(\varpi\) l'angle que [illisible] le plan passant par cet axe et par le rayon \(r\) fait [3]
- Titre en trois lignes, puis la ligne d'auteur, en retrait ; même main et même encre que le texte. Les accents sont notés tels qu'ils se lisent ; plusieurs manquent ou se confondent avec un point.
- « et … troisieme » : entre « et » et « troisieme », un mot biffé d'un trait épais, et au-dessus un second mot, biffé lui aussi ; ni l'un ni l'autre ne se lit. « 1782 » : le deuxième chiffre est un 7 barré, lu ainsi ; même millésime à l'article 1. « paroît » : la voyelle après « par » peut être un o ou un a.
- « 1. » : le numéro d'article est un trait vertical à empattements, qui peut être « 1 » ou « I ». « (tome 2) » est écrit dans la marge droite et appelé par un signe d'insertion après « Mecanique celeste ». « \(\varpi\) » : un \(\pi\) au trait supérieur recourbé, lu comme le \(\varpi\) de l'époque. Après « l'angle que », un mot court biffé, commençant par une haste, illisible. La phrase continue en tête de la vue 19.
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Eclaircissement d'une difficulté singuliere qui se rencontre dans le calcul de l'attraction des sphéroïdes très peu differens de la sphere
Par J. L. Lagrange <ref>Titre en trois lignes, puis la ligne d'auteur, en retrait ; même main et même encre que le texte. Les accents sont notés tels qu'ils se lisent ; plusieurs manquent ou se confondent avec un point.</ref>
D'alembert est le premier qui ait donné le calcul de l'attraction des sphéroïdes non elliptiques mais peu differens de la sphere, dans le second, et {{Rature|1={{Illisible}}}} troisieme volumes de ses Recherches sur le systeme du monde. M. Laplace a traité ensuite cette matiere d'une maniere nouvelle et plus generale qu'on ne l'avoit fait, dans les Memoires de l'Academie des Sciences de 1782, et dans le second volume de sa Mecanique celeste. Sa théorie est fondée sur un beau théoreme très remarquable par sa simplicité autant que par sa généralité ; mais ce theoreme donne lieu à une difficulté singuliere qui paroît [?] n'avoir encore été remarquée par personne et qui merite d'être examinée. <ref>« et … troisieme » : entre « et » et « troisieme », un mot biffé d'un trait épais, et au-dessus un second mot, biffé lui aussi ; ni l'un ni l'autre ne se lit. « 1782 » : le deuxième chiffre est un 7 barré, lu ainsi ; même millésime à l'article 1. « paroît » : la voyelle après « par » peut être un ''o'' ou un ''a''.</ref>
1. Soit comme dans les Memoires de 1782 p. 134 et dans la Mecanique celeste (tome 2) <math>r</math> la distance du point attiré au point pris pour centre du sphéroïde, <math>\theta</math> l'angle que le rayon <math>r</math> fait avec un axe fixe passant par le centre, <math>\varpi</math> l'angle que {{Rature|1={{Illisible}}}} le plan passant par cet axe et par le rayon <math>r</math> fait <ref>« 1. » : le numéro d'article est un trait vertical à empattements, qui peut être « 1 » ou « I ». « (tome 2) » est écrit dans la marge droite et appelé par un signe d'insertion après « Mecanique celeste ». « <math>\varpi</math> » : un <math>\pi</math> au trait supérieur recourbé, lu comme le <math>\varpi</math> de l'époque. Après « l'angle que », un mot court biffé, commençant par une haste, illisible. La phrase continue en tête de la vue 19.</ref>fait avec un plan invariable passant par le même axe ; soit de plus \(R\) la distance d'une molecule du sphéroïde au centre, et soient \(\theta'\), \(\varpi'\) ce que deviennent les angles \(\theta\), \(\varpi\) relativement à cette molecule ; la distance de la molecule au point attiré sera \(\sqrt{(r^2 - 2rR\mu + R^2)}\) en faisant pour abreger \[\mu = \cos\theta \cos\theta' + \sin\theta \sin\theta' \cos(\varpi - \varpi'),\] la masse de la molecule sera \(R^2 dR\, d\theta'\, d\varpi' \sin\theta'\), ou \(R^2 dR\) [?] [illisible], et si on designe par \(V\) la somme des molecules divisées par leur distances au point attiré, on aura \(V = \int\) [?] \[V = \int^{3} \frac{R^2 dR\, d\varpi'\, d\theta' \sin\theta'}{\sqrt{(r^2 - 2rR\mu + R^2)}}\] [1]
l'integrale relative à \(R\) devant être prise depuis \(R = 0\) jusqu'à la valeur de \(R\) à la surface du sphéroïde, l'integrale relative à \(\varpi'\), devant être prise depuis \(\varpi' = 0\) jusqu'à \(\varpi' = 360^\circ\), et celle qui est relative à \(\theta'\) ou à \(\mu\) [?] depuis \(\theta' = 0\) jusqu'à \(\theta' = 180^\circ\) ; et que [illisible] depuis [illisible] jusqu'à [illisible] La valeur de \(V\) étant ainsi determinée on aura \(\frac{dV}{dr}\), \(\frac{dV}{r d\theta}\), [illisible] \(\frac{dV}{r d\varpi \sin\theta}\) pour les trois attractions du sphéroïde dans le sens du rayon \(r\), dans et perpendiculairement à ce rayon dans le plan \(r\) et \(R\), et dans un plan perpendiculaire à celui-ci. [2]
- « \(\sqrt{\ }\) » : le radical est écrit comme un grand V suivi d'une parenthèse, sans barre ; il est rendu par \(\sqrt{(\ )}\), la parenthèse gardée. « \(\int^{3}\) » : un 3 est écrit en exposant après le signe d'intégration, pour l'intégrale triple. Une grosse tache d'encre couvre le signe \(=\) de la formule détachée, qui se lit dessous. La ligne biffée après « \(\sin\theta'\), » commence par « ou » et par « \(R^2 dR\) » ; le reste, sous le trait, ne se lit pas. Après « on aura », un début de formule biffé, où l'on croit voir « \(V = \int\) ».
- « ou à \(\mu\) » est écrit dans la marge droite et appelé par un signe d'insertion après « \(\theta'\) » ; le dernier signe a la forme du \(\mu\) de la formule plus haut, mais la lecture reste douteuse. Le passage biffé après « \(180^\circ\) ; » tient une ligne et demie ; seuls « et que », « depuis » et « jusqu'à » s'y lisent. Le \(d\) de ces différentielles est le \(d\) bouclé de la main, le même que dans « dans » ou « de » ; il est rendu par \(d\). Entre la deuxième et la troisième expression, une fraction commencée puis biffée à traits serrés, illisible. « leur distances » : ainsi, sans s. Le texte s'arrête sur « celui-ci. » vers les deux tiers de la page ; le reste est blanc, et le verso (vue 20) aussi.
fait avec un plan invariable passant par le même axe ; soit de plus <math>R</math> la distance d'une molecule du sphéroïde au centre, et soient <math>\theta'</math>, <math>\varpi'</math> ce que deviennent les angles <math>\theta</math>, <math>\varpi</math> relativement à cette molecule ; la distance de la molecule au point attiré sera <math>\sqrt{(r^2 - 2rR\mu + R^2)}</math> en faisant pour abreger
<math display="block">\mu = \cos\theta \cos\theta' + \sin\theta \sin\theta' \cos(\varpi - \varpi'),</math>
la masse de la molecule sera <math>R^2 dR\, d\theta'\, d\varpi' \sin\theta'</math>, {{Rature|1=ou <math>R^2 dR</math> [?] {{Illisible}}}}, et si on designe par <math>V</math> la somme des molecules divisées par leur distances au point attiré, on aura {{Rature|1=<math>V = \int</math> [?]}}
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<ref>« <math>\sqrt{\ }</math> » : le radical est écrit comme un grand ''V'' suivi d'une parenthèse, sans barre ; il est rendu par <math>\sqrt{(\ )}</math>, la parenthèse gardée. « <math>\int^{3}</math> » : un 3 est écrit en exposant après le signe d'intégration, pour l'intégrale triple. Une grosse tache d'encre couvre le signe <math>=</math> de la formule détachée, qui se lit dessous. La ligne biffée après « <math>\sin\theta'</math>, » commence par « ou » et par « <math>R^2 dR</math> » ; le reste, sous le trait, ne se lit pas. Après « on aura », un début de formule biffé, où l'on croit voir « <math>V = \int</math> ».</ref>
l'integrale relative à <math>R</math> devant être prise depuis <math>R = 0</math> jusqu'à la valeur de <math>R</math> à la surface du sphéroïde, l'integrale relative à <math>\varpi'</math>, devant être prise depuis <math>\varpi' = 0</math> jusqu'à <math>\varpi' = 360^\circ</math>, et celle qui est relative à <math>\theta'</math> ou à <math>\mu</math> [?] depuis <math>\theta' = 0</math> jusqu'à <math>\theta' = 180^\circ</math> ; {{Rature|1=et que {{Illisible}} depuis {{Illisible}} jusqu'à {{Illisible}}}} La valeur de <math>V</math> étant ainsi determinée on aura <math>\frac{dV}{dr}</math>, <math>\frac{dV}{r d\theta}</math>, {{Rature|1={{Illisible}}}} <math>\frac{dV}{r d\varpi \sin\theta}</math> pour les trois attractions du sphéroïde dans le sens du rayon <math>r</math>, {{Rature|1=dans}} et perpendiculairement à ce rayon dans le plan <math>r</math> et <math>R</math>, et dans un plan perpendiculaire à celui-ci. <ref>« ou à <math>\mu</math> » est écrit dans la marge droite et appelé par un signe d'insertion après « <math>\theta'</math> » ; le dernier signe a la forme du <math>\mu</math> de la formule plus haut, mais la lecture reste douteuse. Le passage biffé après « <math>180^\circ</math> ; » tient une ligne et demie ; seuls « et que », « depuis » et « jusqu'à » s'y lisent. Le <math>d</math> de ces différentielles est le <math>d</math> bouclé de la main, le même que dans « dans » ou « de » ; il est rendu par <math>d</math>. Entre la deuxième et la troisième expression, une fraction commencée puis biffée à traits serrés, illisible. « leur distances » : ainsi, sans ''s''. Le texte s'arrête sur « celui-ci. » vers les deux tiers de la page ; le reste est blanc, et le verso (vue 20) aussi.</ref>