Recto d'un feuillet monté sur onglet. En haut à droite, un grand « 3 » à l'encre noire, du même trait appuyé que le texte : voir l'en-tête pour ce que peut être cette série. La page commence par le paragraphe numéroté « 2. » : le paragraphe 1 et la première expression de V, à laquelle renvoie « l'expression precedente de V », sont avant cette vue.
2. Supposons maintenant que le spheroide soit très peu different d'une sphere dont le rayon soit egale à a, on aura R = a(1+y'), y' étant une fonction très petite des sinus et cosinus de \pi' et \theta', dont on negligera le carré et les puissances superieures; il est clair que la valeur de V sera egale a sa valeur relativement a la sphere, plus à la valeur relative a l'excès du spheroide sur la sphere. On sait et il est facile de trouver que la premiere est egale a la masse de la sphere divisée par la distance r; elle est ainsi egale exprimée par \frac{4\pi a^3}{3r}, en nommant \pi l'angle de 180^\circ. Quant à la seconde, comme nous ne tenons compte que des premieres dimensions de y, il est aisé de voir, qu'on l'aura en mettant dans l'expression precedente de V, a à la place de R et ay à celle de dR. Ainsi en nommant cette seconde partie u, on aura
V = \frac{4\pi a^3}{3r} + u, \quad\text{et}\quad u = \struck{\ill{}}\, a^3 \int \frac{y'\,d\pi'\,d\theta' \sin\theta'}{\sqrt{(r^2 - 2ra\mu + a^2)}}
où il n'y a plus que deux integrations a faire l'une relative a \pi' l'autre relative a \theta' ou à \mu.
« 2. » : le chiffre est fermé d'une boucle à sa base, lu 2. « egale » (le rayon) : ainsi sur la page. Le mot biffé après « ainsi » est rayé d'un trait épais ; on y devine « egale », répété de la ligne précédente. « \theta' » : une boucle ovale inclinée, sans hampe ni jambage, ici et dans tout le lot ; la lecture \beta' est exclue par l'absence de jambage. La lettre qui suit d\pi' au numérateur est récrite sur une autre. Entre « u = » et a^3, un signe ou un coefficient noyé sous une grosse tache d'encre, effacement de l'auteur. « ay » : sans prime sur l'y, comme « des premieres dimensions de y ». Le signe de différentielle est partout un d rond, gardé.
Je differentie maintenant comme M. Laplace par rapport à r, j'ai
\frac{d V}{d r} = -\frac{4\pi a^3}{3r^2} + \frac{d u}{d r}
La page s'arrête sur cette équation ; la suite est en tête de la vue 23 (« Or \frac{d u}{d r} = \ldots »).
En haut à droite, « 4 » à l'encre, du trait de la vue 21. La page continue sans rupture l'équation qui termine la vue 21.
Or
\frac{d u}{d r} = a^3 \int \frac{(r - a\mu)\,y'\,d\pi'\,d\mu}{\sqrt{(r^2 - 2ar\mu + a^2)}^{\,\frac{3}{2}}}.
Lorsque le point attiré est à la surface du spheroide on a r = a(1+y), en designant par y ce que devient y' lorsque \theta' et \pi' deviennent \theta et \pi; mais comme nous negligeons dans u les quantités du second ordre, il suffit de faire r = a. On aura ainsi:
u = \frac{a^2}{\sqrt{2}} \int \frac{y'\,d\pi'\,d\mu}{\sqrt{(1-\mu)}}, \quad \frac{d u}{d r} = \frac{-a}{2\sqrt{2}} \int \frac{(1-\mu)\,y'\,d\pi'\,d\mu}{(1-\mu)^{\frac{3}{2}}} = -\frac{a}{2\sqrt{2}} \int \frac{y'\,d\pi'\,d\mu}{\sqrt{(1-\mu)}};
Première équation : pas de signe moins devant a^3, ainsi sur la page ; le dénominateur porte le même signe radical que partout ailleurs, suivi d'une parenthèse fermée par un crochet et de l'exposant \frac{3}{2} : transcrit tel quel. Sous u, V et -a, le dénominateur est le petit 2 de cette main, fait comme un n sans boucle, qu'on prendrait pour r ; c'est le 2 des exposants (r^2, a^2), et le calcul le confirme (\frac{V}{2} = \frac{2\pi a^3}{3r} plus bas). Le « 1 » de (1-\mu)^{\frac32} est empâté. Après le deuxième membre, le signe d'égalité est surchargé.
Donc
\frac{u}{2} + \frac{a\,d u}{d r} = 0
equation qui doit avoir lieu à la surface du spheroide.
Donc on aura aussi à cette surface avoit pas pour remplir necessairement la condition que la sphere touche la surface du spheroide.
Après « cette surface », un petit groupe de lettres noyé d'encre, biffé. Dans la marge de droite, en regard de ces deux équations, une note de six lignes, de la main du texte, barrée de trois grands traits croisés ; sa première ligne commence au bord (« avoit », peut-être précédé d'un « n' » caché) et le deuxième mot de la deuxième ligne n'a pas été lu. Elle reprend l'idée de la phrase sur M. Laplace qui suit.
M. Laplace trouve Cependant comme
3. Considerons l'equation
\frac{u}{2} + \frac{a\,d u}{d r} = 0,
qui est independante de la valeur de y' dans u; et supposons d'abord y' constant, on aura
u = a^3 y' \int \frac{d\pi'\,d\theta' \sin\theta'}{\sqrt{(r^2 - 2ra\mu + a^2)}};
il est facile de
Le signe d'égalité de la dernière formule est repassé. Le \theta' du numérateur est récrit sur une autre lettre, comme à la vue 21. La page s'arrête sur « il est facile de », au milieu de la phrase, le dernier mot à demi barré par le trait qui le prolonge ; le bas du feuillet est blanc. La suite est en tête de la vue 25.
En haut à droite, « 5 » à l'encre. La page reprend la phrase laissée à la fin de la vue 23 (« il est facile de »).
d'avoir l'integrale de \frac{d\pi'\,d\theta' \sin\theta'}{\sqrt{(r^2 - 2ra\mu + a^2)}}, car en transportant l'axe, ou le pole des angles \pi', \theta' dans la ligne r, ce qui est permis, puisque cette ligne est fixe par rapport aux memes angles, on a \theta = 0, ce qui donne \mu = \cos\theta', et reduit la differentielle dont il s'agit à
-\frac{d\pi'\,d\mu}{\sqrt{(r^2 - 2ra\mu + a^2)}},
laquelle doit être integrée depuis \pi' = 0 jusqu'a \pi' = 2\pi, et depuis \mu = 1 jusqu'a \mu = -1. La premiere integration donne
-\frac{2\pi\,d\mu}{\sqrt{(r^2 - 2ra\mu + a^2)}};
la seconde donne d'abord \frac{2\pi\sqrt{(r^2 - 2ra\mu + a^2)}}{ra}, et completant
\frac{2\pi(r+a)}{ra} - \frac{2\pi(r-a)}{ra} = \frac{4\pi}{r}.
Ainsi on a
u = \frac{4\pi a^3 y'}{r}, \quad\text{et de là}\quad \frac{d u}{d r} = -\frac{4\pi a^3 y'}{r^2};
et faisant r = a, u = 4\pi a^2 y', \frac{d u}{d r} = -4\pi a y'; mais ces valeurs ne satisfont pas à l'equation \frac{u}{2} + \frac{a\,d u}{d r} = 0; car elles donnent
\frac{u}{2} + \frac{a\,d u}{d r} = -2\pi a^2 y'.
Dans « \frac{u}{2} », le 2 est le petit 2 en forme de n (voir la vue 23). La première fraction du numérateur, au début de la page, a le \theta' récrit comme aux vues 21 et 23.
4 Nommons \rho pour abreger le radical \frac{1}{\sqrt{(r^2 - 2ra\mu + a^2)}}, ensorte que l'on ait u = a^3 \int \rho\, y'\,d\pi'\,d\theta' \sin\theta'; comme r n'est contenu que dans \rho, on aura
\frac{u}{2} + \frac{a\,d u}{d r} = a^3 \int \left(\frac{\rho}{2} + \frac{a\,d\rho}{d r}\right) y'\,d\pi'\,d\theta' \sin\theta',
En haut à droite, « 6+ » à l'encre : un 6, puis une petite croix. Le feuillet suivant (vue 29) porte « 6 bis ». La page continue le paragraphe 4 de la vue 25.
Or
\frac{d\rho}{d r} = \frac{r - a\mu}{(r^2 - 2ar\mu + a^2)^{\frac{3}{2}}};
faisant r = a on a
\rho = \frac{1}{a\sqrt{2}(1-\mu)}, \quad \frac{d\rho}{d r} = \frac{1}{2a\sqrt{2}(1-\mu)};
donc
\frac{\rho}{2} + \frac{a\,d\rho}{d r} = 0
équation identique.
Les deux valeurs de \frac{d\rho}{d r} sont écrites sans signe moins, ainsi sur la page, comme celle de \frac{d u}{d r} à la vue 23 ; avec elles l'« équation identique » ne s'annulerait pas. La barre du radical ne couvre que le 2, et (1-\mu) est écrit à sa suite : ainsi transcrit ; la valeur de \rho demanderait \sqrt{2(1-\mu)}.
Si on reduit, comme l'a fait M. Laplace, le radical \rho en une serie descendante par rapport à r, on aura
\rho = \frac{R^{(0)}}{r} + \frac{aR^{(1)}}{r^2} + \frac{a^2R^{(2)}}{r^3} + \&c.
\frac{r\,d\rho}{d r} - \frac{R^{(0)}}{r} - \frac{2aR^{(1)}}{r^2} - \frac{3a^2R^{(2)}}{r^3} + \&c.
d'où resulte
\frac{\rho}{2} + \frac{r\,d\rho}{d r} = -\frac{1}{2}\left(\frac{R^{(0)}}{r} + \frac{3aR^{(1)}}{r^2} + \frac{\uncertain{5}a^2R^{(2)}}{r^3} + \&c.\right)
et faisant r = a
\frac{\rho}{2} + \frac{a\,d\rho}{d r} = -\frac{1}{2a}\left(R^{(0)} + 3R^{(1)} + 5R^{(2)} + \&c.\right)
serie dans laquelle tous les termes doivent se detruire d'eux memes; ce qu'on trouve en effet après la substitution des valeurs de R^{(0)}, R^{(1)} &c. en fonctions de \mu.
« &c. » : un signe en forme d'alpha suivi de deux points, l'abréviation de la main. Dans la deuxième ligne, entre \frac{r\,d\rho}{d r} et \frac{R^{(0)}}{r}, un simple trait, sans signe d'égalité, et tous les termes précédés de « - », tels qu'on les lit. Le 3 de « 3aR^{(1)} » est empâté ; le coefficient suivant, lu 5 avec doute, pourrait être un 3, mais la ligne d'après écrit nettement « 5R^{(2)} ». Les indices de R : un 0 fermé et un 1, entre parenthèses.
On n'a pas même besoin pour s'en convaincre d'effectuer ces substitutions; car puisque \rho = (r^2 - 2ar\mu + a^2)^{-\frac{1}{2}}, on aura \rho\sqrt{r} = \left(r + \frac{1}{r} - 2a\mu\right)^{-\frac{1}{2}}, et differentiant par rapport à r,
\frac{\rho}{2\sqrt{r}} + \frac{d\rho}{d r}\sqrt{r} = -\frac{1}{2}\left(1 - \frac{a^2}{r^2}\right)\left(r + \frac{a^2}{r} - 2a\mu\right)^{-\frac{3}{2}};
donc multipliant par \sqrt{r}
« r + \frac{1}{r} » : le numérateur est un petit trait vertical, lu 1 ; la ligne suivante écrit \frac{a^2}{r} au même endroit. La page s'arrête sur « par \sqrt{r} », sans ponctuation ; le bas du feuillet est blanc.
En haut à droite, « 6 bis » à l'encre, de la main du texte. La page reprend la phrase laissée à la fin de la vue 27 (« donc multipliant par \sqrt{r} »).
\frac{\rho}{2} + \frac{r\,d\rho}{d r} = -\frac{r^2 - a^2}{2(r^2 - 2ar\mu + a^2)^{\frac{3}{2}}} = -\frac{(r^2 - a^2)\rho}{2(r^2 - 2ar\mu + a^2)}
de sorte qu'on aura identiquement
\frac{R^{(0)}}{r} + \frac{3aR^{(1)}}{r^2} + \frac{5a^2R^{(2)}}{r^3} + \&c. = \frac{1 - \frac{a^2}{r^2}}{1 - \frac{2a\mu}{r} + \frac{a^2}{r^2}} \times \left(\frac{R^{(0)}}{r} + \frac{aR^{(1)}}{r^2} + \frac{a^2R^{(2)}}{r^3} + \&c.\right)
par consequent en faisant r = a la serie
R^{(0)} + 3R^{(1)} + 5R^{(2)} + \&c.
sera necessairement nulle.
Les deux dénominateurs de la première ligne commencent par le petit 2 en forme de n. « 3R^{(1)} » : entre le 3 et le R, un trait d'attaque en forme de parenthèse ouvrante, que rien ne ferme ; non transcrit comme parenthèse.
5. La fonction \frac{\rho}{2} + \frac{a\,d\rho}{d r} de \mu est donc toujours identiquement nulle. Donc l'integrale de cette fonction multipliée par y'\,d\pi'\,d\theta' \sin\theta' étant supposée nulle lorsque \pi' = 0 et \theta' = 0 devroit être toujours nulle par les principes du calcul integral, suivant lesquels l'integrale est regardée comme la somme de toutes les valeurs successives de la differentielle. Ainsi on devroit avoir toujours l'equation \frac{u}{2} + \frac{a\,d u}{d r} = 0 que nous avons trouvée d'abord. Cependant
La page s'arrête sur « Cependant », au milieu de la phrase, aux trois quarts du feuillet ; le bas est blanc. La suite est en tête de la vue 31.
En haut à droite, « 7 » à l'encre ; un peu à sa gauche et plus bas, une petite croix d'encre, comme celle qui suit le 6 à la vue 27. La page reprend la phrase laissée sur « Cependant » à la fin de la vue 29.
venons de voir que dans le cas le plus simple où y' est constant on a \frac{u}{2} + \frac{a\,d u}{d r} = -2\pi a^2 y'; ce qui est
6. Pour en trouver l'explication je vais d'abord reprendre l'analyse qui a donné l'equation \frac{u}{2} + \frac{a\,d u}{d r} = 0, et je ferai d'abord le calcul sans rien negliger. Puisque u = a^3 \int \rho\, y'\,d\pi'\,d\theta' \sin\theta', et que la quantité r n'est contenue que dans l'expression de \rho, il n'y a nul doute qu'en differentiant par rapport à r on n'ait
\frac{d u}{d r} = a^3 \int \frac{d\rho}{d r}\, y'\,d\pi'\,d\theta' \sin\theta'.
Or
\frac{d\rho}{d r} = -\struck{\ill{}}\,\frac{r - a\mu}{(r^2 \uncertain{-} 2ar\mu + a^2)^{\frac{3}{2}}};
donc
\frac{r\,d\rho}{d r} = \frac{-\struck{\ill{}}\,1}{2\sqrt{(r^2 - 2ra\mu + a^2)}}\ \struck{\ill{}} - \struck{\ill{}}\,\frac{r^2 - a^2}{2(r^2 - 2ra\mu + a^2)^{\frac{3}{2}}} = \struck{\ill{}} -\frac{\rho}{2}\ \struck{\ill{}} - \frac{(r^2 - a^2)\rho^3}{2};
donc on aura
\frac{u}{2} + \frac{r\,d u}{d r} = -\struck{\ill{}}\,\frac{a^3(r^2 - a^2)}{2} \int \rho^3 y'\,d\pi'\,d\theta' \sin\theta'.
« d'abord » après « je vais » est rayé d'un trait qui passe au pied des lettres ; il revient à la ligne suivante. Ces trois lignes de calcul sont très corrigées. Dans \frac{d\rho}{d r}, une tache biffée entre le signe moins et la fraction ; le signe entre r^2 et 2ar\mu est surchargé (un moins repassé en plus, ou l'inverse), lu moins avec doute. Dans \frac{r\,d\rho}{d r} : au numérateur du premier terme, une tache d'encre avant le 1 ; après le premier terme, une grosse tache puis un signe moins ; une tache au début du numérateur r^2 - a^2 ; dans le dernier membre, chacun des deux signes moins est écrit au-dessus d'une tache qui couvre le signe d'abord posé. Dans la dernière équation, entre « - » et \frac{a^3(r^2-a^2)}{2}, un coefficient d'abord écrit (une fraction) est couvert de hachures verticales serrées. Ici le 2 sous u est bien formé, ce qui confirme la lecture des vues 23–29.
On voit ici en effet qu'en faisant r = a le second terme de l'equation disparoit, et qu'on a rigoureusement quel que soit y', l'equation \frac{u}{2} + \frac{a\,d u}{d r} = 0. Donc puisque d'un autre coté la valeur de \frac{u}{2} + \frac{a\,d u}{d r} n'est pas toujours nulle, il faut que le terme multiplié par r^2 - a^2 ne soit disparoisse pas toujours en faisant r = a.
Le texte s'arrête sur cette phrase, aux deux tiers de la page ; le bas du feuillet est blanc. La vue 33 commence un nouveau paragraphe, « 7. ».
En haut à droite, « 8 » à l'encre. La page ouvre un nouveau paragraphe, qui suit la fin de phrase de la vue 31.
7. Pour aller du plus simple au plus composé nous commencerons par examiner le cas où y' est une quantité constante. Dans ce cas on n'a qu'à chercher l'integrale de o. 3, l'angle \theta nul, ce qui donne \mu = \cos\theta' et d\mu = -\sin\theta'\,d\theta'; de sorte que la differentielle dont il s'agit deviendra
-\frac{d\pi'\,d\mu}{(r^2 - 2ar\mu + a^2)^{\frac{3}{2}}}.
Integrant d'abord par rapport à \pi' on a
-\frac{2\pi\,d\mu}{(r^2 - 2ar\mu + a^2)^{\frac{3}{2}}};
integrant ensuite par rapport à \mu on a
\frac{-2\pi}{ar\sqrt{(r^2 - 2ar\mu + a^2)}};
et completant depuis \mu = 1 jusqu'à \mu = -1, on aura l'integrale complette
\frac{-2\pi}{ar(r+a)} + \frac{2\pi}{ar(r-a)} = \struck{\ill{}}\,\frac{4\pi}{r(r^2 - a^2)}.
Ainsi la valeur complette de \int \rho^3 y'\,d\pi'\,d\theta' \sin\theta' lorsque y' est constant, est \struck{\ill{}}\,\frac{4\pi y'}{r(r^2 - a^2)} quelle que soit la valeur de r.
Avant \rho^3, au début de l'intégrale, une lettre noyée sous une tache (un premier \rho ?). « no. 3 » renvoie au paragraphe 3 (vues 23–25), où l'axe des angles est porté sur la ligne r. Le 2 du premier numérateur est empâté, et le r du premier dénominateur porte une tache. Devant \frac{4\pi}{r(r^2-a^2)} et devant \frac{4\pi y'}{r(r^2-a^2)}, une petite tache carrée, peut-être un signe effacé.
Substituant cette valeur dans l'equation du numero precedent on aura
\frac{u}{2} + \frac{r\,d u}{d r} = \struck{\ill{}} = -\frac{2\pi a^3 y'}{r}
Si maintenant on fait r = a, elle devient
\frac{u}{2} + \frac{a\,d u}{d r} = -2a^2\pi y'
comme on l'a trouvée dans le no. 3, les quantités y' et y étant ici les mêmes.
Le premier second membre de l'équation, où l'on devine \pi, a et y', est couvert de hachures et barré d'un double trait. « l'a trouvée » : ainsi, pour l'équation. Le renvoi au « no. 3 » vise la valeur -2\pi a^2 y' de la vue 25, qui est en fait au paragraphe 3. La page s'achève sur cette phrase, au pied du feuillet.
En haut à droite, « 9 » à l'encre, et au-dessous, un peu à gauche, un petit signe en forme de c. La page ouvre un nouveau paragraphe, après la fin de la vue 33.
8 Considerons maintenant le cas general dans lequel y' est supposée une fonction des sinus et des cosinus des angles \pi' et \theta'; on aura à integrer la quantité \rho^3 y'\,d\pi'\,d\theta' \sin\theta'; et pour cela nous transporterons aussi comme dans le numero 3, l'axe ou le pole des angles variables \pi', \theta' qui determinent la position de chaque molecule sur la sphere, dans la ligne r menée du centre au point attiré; nommons \varphi et \psi ce que deviennent alors les angles \pi' et \theta', on aura egalement d\varphi\,d\psi \sin\psi pour le l'element d\pi'\,d\theta' \sin\theta', et
Mais comme y' est supposée fonction des sinus et cosinus des angles \pi' et \theta' qui ont leur pole dans un axe fixe independant de la position du point attiré, ou de la ligne r, il faudra substituer dans y' à la place des sinus et cosinus de \pi' et \theta' leurs valeurs en sinus et cosinus de \varphi et \psi. Pour cela il n'y a qu'à considerer le triangle spherique qui a les angles \theta, \theta' et \psi pour ses trois cotés
Entre « dans » et « un axe », de petites lettres serrées au-dessus de la ligne, non lues. Le premier \theta de la dernière ligne porte au-dessus un petit trait empâté, qui n'est pas le prime du \theta' suivant. La page s'arrête sur « cotés », sans ponctuation, aux trois quarts du feuillet ; la phrase continue en tête de la vue 37.
En haut à droite, « 10 » à l'encre. La page continue la phrase laissée sur « cotés » à la fin de la vue 35.
et dans lequel \pi - \pi' est l'angle opposé au coté \psi, et \varphi est l'angle opposé au coté \theta'; et les formules connues de la trigonometrie spherique donneront
\begin{array}{l} \cos\theta' = \cos\theta\cos\psi + \sin\theta\sin\psi\cos\varphi \\ \sin\theta'\sin(\pi - \pi') = \sin\psi\sin\varphi \\ \sin\theta'\cos(\pi - \pi') = \sin\theta\cos\psi + \cos\theta\sin\psi\cos\varphi \end{array}
I 65
Dans la marge de droite, en regard de la ligne qui suit, « I 65 » encadré d'un trait fin, d'une plume plus mince que celle du texte ; au début de la même ligne, un crochet ouvrant « [ » devant « Ainsi ». Ce que marquent ce crochet et ce chiffre (un renvoi, une marque de copie ou d'impression ?), la page ne le dit pas ; aucun crochet fermant n'a été vu dans le lot.
Ainsi la formule \rho^3 y'\,d\varphi\,d\mu sera integrable toutes les fois que y' sera une fonction rationnelle et entiere de \cos\theta', \sin\theta'\sin\pi', \sin\theta'\cos\pi', parceque l'integration relative à \varphi fera disparoitre toutes les puissances impaires de \sin\varphi. C'est ainsi que d'Alembert a calculé l'attraction des spheroides peu differens de la sphere; mais pour notre objet il suffit d'avoir reduit l'integration de la formule depuis
« parceque » : en un mot. Un petit signe devant « \sin\theta'\sin\pi' ». Devant l'intégrale, un trait court et épais, biffé. Après « d\varphi\,d\mu. », deux mots rayés d'un trait continu ; le premier se lit « depuis » avec doute.
9 Commençons par l'integration relative à \mu; la differentielle y'\rho^3d\mu integrée par parties donne
y'\int\rho^3d\mu - \int \frac{d y'}{d\mu}\left(\int\rho^3d\mu\right)d\mu.
Or \rho = \frac{1}{\sqrt{(r^2 - 2ar\mu + a^2)}} (no. 4) donc \int\rho^3d\mu = \frac{\rho}{ar}; de sorte que l'integrale dont il s'agit deviendra
\frac{y'\rho}{ar} - \int \frac{d y'}{d\mu} \times \frac{\rho\,d\mu}{ar}.
Comme l'integration doit s'etendre depuis \mu = 1 jusqu'a \mu = -1, et qu'a la premiere de ces limites y' devient y, si on nomme Y ce que y' devient à la seconde
« 9 » : sans point. « no. 4 » renvoie au paragraphe 4 (vue 25), où \rho est défini. « Y » : la lettre a la forme d'un 4 bouclé, la même que l'angle \psi de la vue 35 ; c'est la capitale Y de la vue 39, où la même quantité est écrite aussi en capitale barrée. La page s'arrête là, sans ponctuation, aux trois quarts du feuillet ; la phrase continue en tête de la vue 39.
En haut à droite, « 11 » à l'encre. La page continue la phrase laissée à la fin de la vue 37 (« à la seconde »).
limite, la valeur complette du terme \frac{y'\rho}{ar} hors du signe sera
\frac{Y}{ar(r+a)} - \frac{y}{ar(r-a)}.
Or y et Y repondant à \psi = 0 et \psi = \pi à cause de \mu = \cos\psi, auquel cas \pi' et \theta' deviennent \pi et \theta, il est visible que ces quantités seront independantes de \varphi; ainsi l'integration relative à \varphi depuis \varphi = 0 jusqu'à \varphi = 2\pi, executée sur les memes termes donnera
\frac{2\pi Y}{ar(r+a)} - \frac{2\pi y}{ar(r-a)}.
On pourra donc substituer dans l'equation du no. 6, à la place de \int \rho^3 y'\,d\pi'\,d\theta' \sin\theta' la quantité
\frac{2\pi y}{ar(r-a)} - \frac{2\pi Y}{ar(r+a)} + \int \frac{d y'}{d\mu} \times \frac{\rho\,d\mu\,d\varphi}{ar}
ce qui la changera en celle-ci
\frac{u}{2} + \frac{r\,d u}{d r} = -\frac{a^2\pi(r+a)y}{r} + \frac{a^2\pi Y(r-a)}{r} - \frac{a^3(r^2 - a^2)}{2ar} \int \frac{d y'}{d\mu}\,\rho\,d\mu\,d\varphi;
dans laquelle il faut faire maintenant r = a ce qui la reduit à celle-ci
\frac{u}{2} + \frac{a\,d u}{d r} = -2a^2\pi y.
comme dans le cas où y est constant.
Y (la valeur de y' à la seconde limite) est une capitale barrée d'un trait horizontal dans les deux premières fractions ; dans l'avant-dernière équation elle prend la forme d'un 4 bouclé, la même qu'à la fin de la vue 37 et que l'angle \psi ; les deux lettres se confondent sur la page et ne se séparent que par le sens. Le mot entre « l'equation » et « du no. 6 » n'a pas été lu (« avec ce » ? « ancienne » ?). Le no. 6 est celui de la vue 31, où l'équation \frac{u}{2} + \frac{r\,d u}{d r} = -\frac{a^3(r^2-a^2)}{2}\int\rho^3 y'\ldots est établie.
Il est bon de remarquer qu'une nouvelle integration par parties executée sur la differentielle \frac{d y'}{d\mu}\,\rho\,d\mu
Verso du feuillet de la vue 39. Le haut de la vue ne montre que le texte du recto, par transparence. Au bas, tête-bêche (la vue retournée de 180° se lit normalement), trois lignes de la main du texte, coupées de quatre longs traits obliques qui les annulent ; à leur tête, dans le coin qui devient alors le coin supérieur droit, un « 11 » à l'encre traversé d'un trait oblique. C'est un premier départ de la page 11 : ses mots sont ceux du début de la vue 39. Il est transcrit ici tel qu'on le lit la page retournée.
limite, la valeur complette du terme \frac{y'\rho}{ar} hors du
signe sera \frac{Y(r+a)}{ar} - \frac{y(r\uncertain{+}a)}{ar}
signe sera \frac{Y}{ar(r+a)} - \frac{y}{ar(r-a)}; ainsi
La deuxième ligne est surchargée : ses premiers mots sont noyés d'encre, et ses deux fractions, récrites l'une sur l'autre, sont reprises à la troisième ligne sous une autre forme, celle que garde la vue 39. Le signe dans le second binôme de la deuxième ligne est douteux. Le dernier mot, « ainsi », porte en plus un trait qui lui est propre.
À droite, sous ces lignes (la page retournée), un croquis à la plume : deux courbes presque parallèles en arc, qui se rejoignent en pointe à une extrémité, coupées vers leur milieu par un petit trait transversal ; aucune lettre. Ce que le croquis représente, la page ne le dit pas.