NAF 5166 · lot 3 · vues 41–60 · Transcription · Papiers du géomètre J.-L. LAGRANGE (1813).
Datation du catalogue : 1701-1900
Source gallica.bnf.fr / Bibliothèque nationale de France
Lecture automatique — non vérifiée

41Feuillet de papier ancien, le bord supérieur déchiré, monté sur onglet. En haut à droite, à l'encre, « 12. », en chiffres appuyés suivis d'un point ; aucun folio n'est porté, voir l'en-tête. Au milieu de la page, à droite du texte, le cachet rond « BIBLIOTHÈQUE NATIONALE / R.F. / MANUSCRITS ». La page commence au milieu d'une phrase : le texte a commencé avant la vue 41.

à l'equation que nous venons de trouver, car l'integrale de \(\rho\, d\mu\) etant \(-\frac{1}{ar\rho} = -\frac{\sqrt{(r^2 - 2ar\mu + a^2)}}{ar}\) il n'en peut resulter aucun terme où le facteur \(r - a\), qui devient nul lorsque \(r = a\), soit detruit par la division. « \(\rho\) » : une lettre bouclée à longue descendante, sans la haste du p de « peut » ou de « point » ; lue \(\rho\) ici et plus bas, la lecture p n'est pas exclue. Le radical est le grand V suivi d'une parenthèse, comme aux vues 17 et 19. « soit » est récrit sur un premier mot.

10. Maintenant puisque \(V = \frac{4\pi a^3}{3r} + u\) (n.o 2) on aura \[ \frac{V}{2} + \frac{a\, dV}{dr} = \frac{2\pi a^3}{3r} - \frac{4\pi a^4}{3r^2} + \frac{u}{2} + \frac{a\, du}{dr} \] faisant \(r = a(1+y)\) pour avoir l'attraction sur un point à la surface du sphéroïde on aura \[ \frac{V}{2} + \frac{a\, dV}{dr} = -\frac{2\pi a^2}{3} + 2\pi a^2 y + \frac{u}{2} + \frac{a\, du}{dr} \] en negligeant les \(y^2\). Mais nous venons de trouver \(\frac{u}{2} + \frac{a\, du}{dr} = -2a^2\pi y\) ; ainsi on a aux quantités du second ordre près \[ \frac{V}{2} + \frac{a\, dV}{dr} = -\frac{2\pi a^2}{3} \] Comme M. Laplace l'a trouvé. C'est l'equation de M. Laplace qui se trouve ainsi demontrée rigoureusement et mise à l'abri de toute difficulté. Au reste il est bien remarquable que le terme \(2\pi a^2 y\) du à l'action de la sphere sur un point élevé au dessus de sa surface de la quantité \(ay\), et par lequel l'equation que nous avons trouvée (n.o 2) differoit de celle de M. Laplace, se trouve precisement detruit par la valeur de l'integrale de la differentielle \(a^3\left(\frac{\rho}{2} + \frac{a\, d\rho}{dr}\right) y'\, d\varpi'\, d\theta' \sin\theta'\), (n.o 4) dans laquelle le facteur \(\frac{\rho}{2} + \frac{a\, d\rho}{dr}\) est toujours identiquement nul. « \(\pi\) » : la constante de \(\frac{4\pi a^3}{3r}\) est écrite d'un grand signe en forme de \(\Pi\), dont le premier jambage est bouclé ; l'angle de l'intégrale, plus bas, est un petit \(\pi\) au trait recourbé, rendu \(\varpi'\) comme aux vues 17 et 19. Dans la première équation détachée, l'exposant de \(a\) au premier terme est un 3 suivi d'un chiffre noyé dans une tache, et celui du second terme, 4, est récrit sur un autre chiffre. « (n.o 2) » : le chiffre se lit 2, comme dans la note marginale. Les deux notes marginales sont appelées chacune par un signe d'insertion : la première devant la ligne biffée qui suit l'équation, la seconde après « de la quantité \(ay\), ». Le passage biffé tient trois lignes, rayées chacune d'un trait continu ; « toute » est récrit et en partie couvert d'une tache. Le calcul se vérifie : \(\frac{2\pi a^3}{3r} - \frac{4\pi a^4}{3r^2}\) devient \(-\frac{2\pi a^2}{3} + 2\pi a^2 y\) pour \(r = a(1+y)\) au premier ordre. Après « nul. », un petit signe barré ; au-dessous, un long trait horizontal ferme le texte, et le quart inférieur de la page est blanc.

43Feuillet plus petit que les précédents, monté dans la moitié inférieure d'une feuille de garde moderne. En haut à droite, à l'encre, « 13 » : le 1 porte un long trait d'attaque qui le fait ressembler à un 7, le 3 a une queue bouclée ; il est lu 13 dans la suite 12, 13, 14… de ces vues. Aucun folio n'est porté, voir l'en-tête. Le feuillet ne porte qu'une ligne, au premier tiers, d'une plume fine, d'une écriture posée et penchée, aux majuscules ornées, qui n'est pas celle du texte de la vue 41 ; « Mr » est souligné. Le reste du feuillet est blanc. C'est apparemment un titre de chemise pour les feuillets qui suivent ; ce qu'il couvre au juste ne se lit pas sur le feuillet.

Notes de Mr Dela Grange « Mr » : un M suivi d'un petit r surélevé, souligné d'un trait ; c'est « Monsieur », non « Mademoiselle ». « Dela Grange » en deux mots, le D et le G ornés.

45Feuillet de papier ancien, le bord supérieur déchiré, monté sur onglet. En haut à droite, à l'encre, « 14 » ; aucun folio n'est porté, voir l'en-tête. Le cachet rond de la Bibliothèque nationale est posé au milieu de la page, sur la fin de la formule de \(r\). La note commence en tête de page, sans titre, sur un sujet sans lien avec le texte de la vue 41 ; elle finit sur « même axe. » vers les deux tiers de la page, et le reste du feuillet est blanc. Le \(z\) est écrit à queue, comme un ʒ ; il est rendu \(z\).

\[ Ax + By + Cz = 0 \qquad (x-a)^2 + y^2 + z^2 = r^2 \] et diff. \[ (x-a)dx + y\,dy + z\,dz = 0 \qquad z = -\frac{Ax + By}{C} \] donc \[ \left(x - a - \frac{zA}{C}\right)dx + \left(y - \frac{zB}{C}\right)dy = 0 \] \[ x - a - \frac{zA}{C} = 0 \qquad y - \frac{zB}{C} = 0 \] \[ x = a + \frac{zA}{C}, \quad y = \frac{zB}{C} \] donc \[ Aa + \left(\frac{A^2}{C} + \frac{B^2}{C} + C\right)z = 0 \qquad z = -\frac{ACa}{A^2 + B^2 + C^2} \] \[ y = -\frac{ABa}{A^2 + B^2 + C^2}, \quad x = a - \frac{A^2 a}{A^2 + B^2 + C^2} \] donc \[ r^2 = \frac{a^2(A^4 + A^2C^2 + A^2B^2)}{(A^2 + B^2 + C^2)^2}, \quad r = \frac{Aa}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] « et diff. » : « et » suivi d'une abréviation dont la dernière lettre est chargée d'un paraphe, lue « diff. ». Dans « \(y^2\) » de la première ligne, le \(y\) est récrit sur une parenthèse ou une autre lettre. L'exposant de \(a\) dans « \(A^2 a\) » est suivi d'une petite tache. Les exposants 2 sont écrits comme de petits accents circonflexes, ainsi qu'aux vues 17–19.

Or \(\frac{r}{a}\) est le sinus de l'angle que le plan fait avec l'axe des \(x\) donc ce sinus est \(\frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\) donc cette quantité est le cosinus de l'angle que la perpendiculaire au plan fait avec le même axe. « des \(x\) » : « dy » suivi d'un \(x\) isolé, lu comme l'article et la lettre. Le premier mot de la dernière phrase, un d bouclé suivi de trois jambages, est lu avec doute « donc » ; au-dessus de lui, dans la marge, un petit signe en forme d'accent circonflexe, sans texte qui lui réponde.

47Demi-feuillet de papier ancien, monté en haut d'une feuille de garde moderne. En haut à droite, à l'encre, « 15 », le 5 à longue queue descendante, et à sa droite, d'une plume plus appuyée, une grande capitale « A » ; aucun folio n'est porté, voir l'en-tête. Au milieu, le cachet rond de la Bibliothèque nationale, posé sur la fin de la troisième formule. En tête, au milieu, « page 623 », qui renvoie à une page que le feuillet ne nomme pas. Le calcul occupe tout le demi-feuillet et ne se rattache pas à la note de la vue 45.

page 623

Je mets \(x\) à la place de \(b\) je differentie \[ \left( \frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{3}{2}} + \frac{\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1+x}}}{1 + \sqrt{1+x}} - \frac{1}{2}\frac{1}{x} \right) dx \] \[ \frac{1}{1 + \sqrt{1+x}} = \frac{1 - \sqrt{1+x}}{-x} \] donc on aura \[ \frac{1}{2}dx\left( \frac{1}{(1+x)\sqrt{1+x}} - \frac{1}{x\sqrt{1+x}} + \frac{1}{x} - \frac{1}{x} \right) \] \[ = \frac{\frac{1}{2}dx}{\sqrt{1+x}}\left( \frac{1}{1+x} - \frac{1}{x} \right) = \frac{-\frac{1}{2}dx}{x(1+x)\sqrt{1+x}} \] \[ = -\frac{1}{2}\frac{(1+x)^{-\frac{3}{2}}}{x}dx \] \[ = -\frac{1}{2}\frac{\left(1 - \frac{3}{2}x + \frac{3.5}{2.4}x^2 - \frac{3.5.7}{2.4.6}x^3 \text{ \&c.}\right.}{x} \] \[ = -\frac{1}{2}\left( \frac{1}{x} - \frac{3}{2} + \frac{3.5}{2.4}x - \frac{3.5.7}{2.4.6}x^2 \right) dx \] integrant \[ -\frac{1}{2}lx + \frac{1}{2}\left( \frac{3x}{2} - \frac{3.5}{2.4}.\frac{x^2}{2} + \frac{3.5.7}{2.4.6}.\frac{x^3}{3} \text{ \&c.} \right. \] + const. \(K\), const. = […] « \(b\) » : une lettre à haste et à panse fermée, qui ressemble aussi au 6 des dénominateurs ; lue \(b\) avec doute. Les points des produits \(3.5\), \(2.4.6\) sont ceux du manuscrit. Dans la quatrième ligne de calcul, la barre de la fraction \(\frac{\frac{1}{2}dx}{\sqrt{1+x}}\) est traversée d'un trait oblique, qui ne paraît pas biffer la formule. La parenthèse ouverte avant \(1 - \frac{3}{2}x\) et celle de la ligne « integrant » ne sont pas fermées. Le calcul se vérifie : la somme des trois termes de la première ligne vaut bien \(-\frac{1}{2}\frac{dx}{x(1+x)\sqrt{1+x}}\). À la dernière ligne, « \(K\) » est écrit au-dessus de « const. » biffé ; après la virgule, « const. = » suivi d'un mot court, le tout biffé d'un trait, dont la fin ne se lit pas. Le bas du demi-feuillet est blanc.

49Demi-feuillet de papier ancien, monté dans la moitié inférieure d'une feuille de garde moderne. En haut à droite, à l'encre, « 16 », et à sa droite une capitale « B », qui répond au « A » de la vue 47 ; aucun folio n'est porté, voir l'en-tête. Le cachet rond de la Bibliothèque nationale est posé sur la fin de la formule de la septième ligne. Le texte suit le calcul de la vue 47, dont il détermine la constante \(K\) ; il remplit le demi-feuillet jusqu'au pied.

Ayant differentié et ensuite réintegré il s'ensuit que cette integrale peut differer de la quantité proposée d'une constante qu'il s'agit de trouver.

Pour cela je fais dans la quantité donnée \(b = 0\) ou \(b\) infiniment petite elle devient \[ -1 + l\frac{2}{\sqrt{b}} = -1 + l2 - \frac{1}{2}lb \] Or dans l'integrale trouvée je fais de même \(x = 0\) ou infiniment petite elle devient \(-\frac{1}{2}lx + K\)

Comparant et faisant \(x = b\) on a \(-1 + l2 = K\) donc la serie cherchée est en changeant \(x\) en \(b\) \[ -1 + l2 - \frac{1}{2}lb + \frac{3b}{4} - \frac{3.5}{2.4}.\frac{b^2}{4} + \frac{3.5.7}{2.4.6}.\frac{b^4}{6} \] où \(l2 - \frac{1}{2}lb = l\frac{2}{\sqrt{b}}\) « réintegré » : le mot commence par un r mal formé, lu ainsi. Dans « \(-1 + l2 - \frac{1}{2}lb\) » de la première formule, le 2 est récrit sur un autre chiffre. « \(l\) » est le logarithme, écrit d'un l bouclé. Les exposants sont écrits sur la ligne, à la même hauteur que la lettre : « b2 », « b4 ». Le dernier terme porte « b4 », en chiffres nets ; le calcul de la vue 47, où le terme correspondant est en \(\frac{x^3}{3}\), donnerait \(b^3\). Le manuscrit est transcrit tel qu'il est. La série n'est pas close par « &c. ».

51Demi-feuillet de papier ancien, monté en haut d'une feuille de garde moderne. En haut à droite, à l'encre, « 17 » ; aucun folio n'est porté, voir l'en-tête. Le cachet rond de la Bibliothèque nationale est posé à droite des formules du milieu. La page commence sur une expression, sans phrase qui la rattache au feuillet « 16 » (vue 49) ; le texte s'arrête sur la formule générale, vers le bas du demi-feuillet, et le reste est blanc. L'angle est écrit d'une lettre bouclée, rendue \(\varphi\) ; le module et l'amplitude sont notés \(E(c, \varphi)\).

\(\sqrt{(dx^2 + dy^2)}\) soit le demi-grand axe \(= a\) le demi petit axe \(b\), l'excentricité sera \(\sqrt{a^2 - b^2} = c\). \[ x = a \sin\varphi \qquad y = b \cos\varphi \] \[ dx^2 = a \cos\varphi\, d\varphi \qquad dy = -b \sin\varphi\, d\varphi \] \[ dx^2 + dy^2 = (a^2 \cos\varphi^2 + b^2 \sin\varphi^2)\, d\varphi^2 \] en mettant pour \(\cos\varphi^2\), \(1 - \sin\varphi^2\) \[ dx^2 + dy^2 = (a^2 - (a^2 - b^2)\sin\varphi^2)\, d\varphi^2 \] \[ = (a^2 - c^2 \sin\varphi^2)\, d\varphi^2 \] \[ = a^2\left(1 - \frac{c^2}{a^2}\sin\varphi^2\right) d\varphi^2 \] \[ \sqrt{dx^2 + dy^2} = a\sqrt{1 - \frac{c^2}{a^2}\sin\varphi^2}\,.\,d\varphi \] si \(a = 1\) on a \(\int\sqrt{1 - c^2\sin\varphi^2}\,.\,d\varphi = E(c, \varphi)\) &

donc en general on aura \[ \int\sqrt{dx^2 + dy^2} = aE\left(\frac{c}{a}, \varphi\right) \] « \(dx^2 = a \cos\varphi\, d\varphi\) » : le 2 est écrit après \(dx\), au membre gauche, alors que le membre droit est la différentielle première ; transcrit tel quel. « \(\varphi\) » : une lettre faite d'une boucle ouverte suivie d'une seconde boucle, qu'on pourrait lire œ ; la dernière formule, où elle est mieux formée, la montre comme un \(\varphi\). Les carrés \(\sin\varphi^2\), \(\cos\varphi^2\) sont écrits ainsi, l'exposant après l'angle. Le radical de la première ligne est le grand V suivi d'une parenthèse ; ceux des lignes suivantes ont une barre. Le « \(E\) » porte au-dessus un petit trait bouclé, qui paraît un ornement de la majuscule. Après \(E(c, \varphi)\), un petit signe qui ressemble à « & ».

53Feuillet de papier ancien, plus petit, monté dans la moitié inférieure d'une feuille de garde moderne. En haut à droite, à l'encre, « 18 » ; aucun folio n'est porté, voir l'en-tête. Le cachet rond de la Bibliothèque nationale est posé sur la seconde équation différentielle. Une autre main que celle des vues 41–51 : une écriture soignée et arrondie, d'une plume fine, aux lettres souvent détachées, au d à haste droite (non bouclée), au z en forme de 2 ; les accents sont notés. La plume fine rappelle celle du titre de la vue 43, sans que le rapprochement puisse être établi sur si peu de mots. La page reprend, avec plus de phrases, le calcul de la note du feuillet « 14 » (vue 45) : mêmes équations, même dernière phrase à peu de mots près. Le texte finit vers les deux tiers du feuillet ; le reste est blanc.

\[ z = -\frac{Ax + By}{C} \] \[ dz = -\frac{A\,dx + B\,dy}{C} \] Substituant cette valeur de \(dz\) dans l'expression differentielle de la distance \[ (x-a)dx + y\,dy + z\,dz = 0 \] elle devient \[ \left(x - a - \frac{zA}{C}\right)dx + \left(y - \frac{zB}{C}\right)dy = 0 \] le resultat de ce calcul est de donne pour l'equation du plan passant par l'origine des coordonnées et perpendiculaire à la droite pour laquelle les coordonnées seroient proportionnelles aux quantités \(A\), \(B\), \(C\) \[ \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}x + \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}y + \frac{C}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}z = 0 \] \(\frac{r}{a}\) est le sinus de l'angle que le plan fait avec l'axe des \(x\). « proportionnelles » est coupé « proporti-/onnelles » en fin de ligne, et sa finale est récrite. « est de » est biffé d'un trait, « donne » écrit à la suite. Le \(z\) de ces formules est écrit comme un 2 à queue ; le contexte, et la vue 45, le font lire \(z\). La barre du dernier radical est doublée d'un second trait.

55Une même feuille de garde moderne porte deux pièces de papier ancien, collées l'une au-dessus de l'autre ; chacune a son numéro à l'encre en haut à droite, « 19 » sur la pièce du haut, « 20 » sur celle du bas ; aucun folio n'est porté, voir l'en-tête. Un cachet rond de la Bibliothèque nationale est posé sur chacune.

Pièce du haut, « 19 » : un demi-feuillet écrit en largeur, sur sa moitié supérieure, de la main soignée et arrondie de la vue 53, aux chiffres moulés : le 2 en forme de z, le 5 en forme de ſ. En tête à gauche, « Pag. 623 » souligné, le même renvoi que « page 623 » en tête de la vue 47 ; la pièce reprend en effet la série en \(b\) des vues 47 et 49, par un autre chemin. Le reste du demi-feuillet est blanc.

Pag. 623

A cause de \(\log.\frac{1 + \sqrt{(1+b)}}{\sqrt{b}} = \log.(1 + \sqrt{(1+b)}) - \log.\sqrt{b}\) il faut que l'on ait \[ -\frac{1}{\sqrt{(1+b)}} + \log.(1 + \sqrt{(1+b)}) = \log.2 - 1 + \frac{3}{2}.\frac{b}{2} - \frac{3.5}{2.4}.\frac{b^2}{4} + \text{\&c.} \] \[ \log.(1 + \sqrt{(1+b)}) = \sqrt{(1+b)} - \frac{1+b}{2} + \frac{(1+b)^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{(1+b)^2}{4} + \frac{(1+b)^{\frac{5}{2}}}{5} - \text{\&c.} \] \[ = 1 + \frac{b}{2} - \frac{b^2}{8} + \text{\&c.} - \frac{1+b}{2} + \frac{1 + \frac{3}{2}b + \frac{3}{8}b^2 - \text{\&c.}}{3} \] \[ - \frac{1 + 2b + b^2}{4} + \frac{1 + \frac{5}{2}b + \frac{15}{8}b^2 + \text{\&c.}}{5} - \text{\&c.} \] \[ -\frac{1}{\sqrt{(1+b)}} = -(1+b)^{-\frac{1}{2}} = -1 + \frac{1}{2}b - \frac{1.3}{4.2}b^2 + \frac{1.3.5}{2.4.6}b^3 - \text{\&c.} \] \[ \log.2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \text{\&c.} \] Le « A » initial est une capitale ornée qu'on prendrait pour un C. Le dénominateur 3 de la troisième ligne est récrit en gras sur un autre chiffre. Le signe \(-\) devant \(\frac{1 + 2b + b^2}{4}\) est une tache allongée, repassée. Dans « \(\frac{1.3}{4.2}\) », le dénominateur, en partie sous le cachet, se lit « 4.2 » et non « 2.4 » comme aux autres termes ; lecture douteuse. Les points des produits sont ceux du manuscrit ; « log. » est abrégé avec un point.

Pièce du bas, « 20 » : un morceau de papier déchiré, couvert de calculs numériques à l'encre, sans un mot de texte, d'une écriture rapide où le 4 est fait comme un A (« 2A », « 13 8A »). On y lit notamment, en haut à gauche, la soustraction « 7 25 / 1 39 / 5 46 » ; la multiplication « 3 4 6 » par « 4 \(\frac{1}{2}\) », avec les produits « 13 8 4 », « 1 7 3 » et la somme « 1 5 5 7 » ; au milieu, une colonne « 60\('\) 0\(''\) / 10\('\) 14 / 16 0 », et à droite l'addition « 7681 / 5740 / 13421 » ; plus bas, deux petits calculs en degrés et minutes, « 30 […]4 / 2 44 / 27 20 / 51 / 28 11 », une tache d'encre couvrant le chiffre avant le 4, le 28 biffé et « 26 29 » écrit dessous ; à droite de chacun des deux calculs, un double croissant barré d'un trait, qui a la forme du signe de la lune ; une ligne « 5 14 29 57 » et, à sa droite, « 26 | 10 4 ||| 17 0 9 | 26 » ; puis un tableau de logarithmes :

SC. 5 6 56 — 1999658[…]0 SC. 7 10 48 — 99982668 ST. S.DAB 84 57 18 — 99983142 84 55 35 1 43

Dans ce tableau, deux traits obliques croisés relient « SC. 5 6 56 » et « SC. 7 10 48 » aux deux premiers logarithmes, en sens inverse ; « ST. » est suivi d'un trait long sans nombre. Les tirets de cette transcription tiennent la place de l'espace qui sépare, sur la pièce, l'angle de son logarithme ; les nombres commençant par 9999 ont la forme de logarithmes tabulaires de sinus ; « SC. » et « S.DAB » paraissent abréger « sinus complément » et « sinus de l'angle DAB », ce qui est une lecture de ce passage, non du feuillet. Au premier nombre, un petit chiffre entre le 8 et le 0 final, sous la croix des traits, ne se lit pas (1 ou 2). Sous les deux derniers chiffres du troisième, « 42 », est écrit « 46 », souligné. La soustraction « 84 57 18 − 84 55 35 = 1 43 » est juste. Le reste de la pièce est un enchevêtrement de retenues et de reports qui n'est pas transcrit. En bas à droite, retourné tête-bêche, un petit groupe « 100 | 52 / 1001 », lecture douteuse. Des chiffres et des lettres au crayon (« G », « I », « D », « 30 », « 40 », « 150 ») se voient à l'envers entre les colonnes : c'est le crayon du verso (vue 56) vu par transparence.

56Revers des deux pièces de la vue 55. Celle du haut (dos de la pièce « 19 ») est blanche ; on n'y voit que le texte du recto par transparence. Celle du bas (dos de la pièce « 20 ») est écrite : des tableaux de chiffres au crayon, pâles, dans des cases tracées au crayon, les uns à l'endroit, les autres tête-bêche, traversés de longues lignes obliques, et un petit groupe à l'encre écrit en travers. Aucun numéro. Le 4 y est fait comme un A, comme au recto. Seul ce qui se lit sûrement est donné ici ; le reste, à demi effacé et croisé de traits, n'est pas transcrit. À l'endroit, en haut : une colonne « 54 / 20 4 / 46 / 11 4 / 48.42 », puis « 27 1 37 » et « 437.38 » ; dessous, une case à trois lignes numérotées « 50 / 51 / 52 », avec en regard « 0 43 33 », « 47 30 3[…] », « 29 28 ». À l'encre, en travers, à droite de ces cases : « 140 | 60 / 7 || 7. », et au-dessous « 420 », souligné. Tête-bêche, dans la moitié inférieure : un tableau dont la première colonne croît par demi-unités, « 55.30 / 56 0 / 56.30 / 57.0 », puis « 57.30 », « 58 0 » et deux lignes moins sûres ; en regard, des colonnes de minutes et de fractions en demis, et, dans les cases, des capitales isolées, dont « G », « K », « E » et « D ». Près du bord, un croissant au crayon, le même signe qu'au recto.

58Grand feuillet de papier ancien, monté dans la moitié inférieure d'une feuille de garde moderne. En haut à droite, à l'encre, « 21 » ; aucun folio n'est porté, voir l'en-tête. Au milieu, le cachet rond de la Bibliothèque nationale, posé sur « les doubles integrales ». Une autre main que celle des vues 41–51 : une cursive régulière, penchée à droite, à pleins et déliés marqués, aux mots souvent prolongés par un long trait horizontal ; le d des différentielles a une haste droite ; beaucoup de corrections dans l'interligne. Elle ressemble de près à la main soignée des vues 53 et 55 (mêmes traits de sortie horizontaux, même d droit, même 5 en forme de ſ), écrite ici plus vite ; que ce soit la même main n'est pas établi. C'est un texte à la première personne, adressé à un « vous », sans formule d'appel ni date : une lettre ou le brouillon d'une lettre. Il commence en tête du feuillet et se poursuit au verso (vue 59) au milieu d'une phrase. Le papier laisse voir par transparence, à l'envers, l'écriture du verso.

Je ne suis pas fort étonné du resultat que vous m'annoncez, car je n'avois guere de confiance dans mon travail j'y avois été entraîné par une analogie qui me sembloit frappante mais que je ne me croyois pas trop en état d'apprecier, je vous ai la plus grande obligation des soins que vous avez pris pour me faire connoître obtenir un jugement qui m'éclaire entierement sur les fautes que j'ai commises « étonné », « entraîné » : les deux participes finissent par un é suivi d'un court trait de sortie ; ce trait pourrait porter un second e, sans qu'on puisse l'en distinguer. Le genre de celui qui écrit ne se lit donc pas sur ces deux mots ; voir plus bas « egarée » et « persuadée », où la finale -ée est nette. « connoître » et « entierement » sont biffés chacun d'un trait ; lecture de « connoître » sous le trait incertaine.

Ce qui me surprend le plus, c'est l'equation que vous m'indiquez d'après Mr De la Grange ; si je ne savois d'où elle vient et par conséquent la confiance qu'elle merite, je l'aurois crue au premier coup d'œil formée de la somme des deux equations \[ p\frac{d^2z}{dt^2} + 2k^2\left(\frac{d^4z}{dx^4} + \frac{d^4z}{dx^2dy^2}\right) = 0 \] \[ p\frac{d^2z}{dt^2} + 2k^2\left(\frac{d^4z}{dy^4} + \frac{d^4z}{dy^2dx^2}\right) = 0, \] mais je sens bien qu'il faut que je me trompe. Si je me suis egarée dans les doubles integrales je ne dois pas m'étonner que l'équation qu'a trouvée Mr De la Grange ne monte qu'au quatrième degré je suis très persuadée de la realité de mon erreur puisqu'elle a été reconnue par des juges dont je respecte l'opinion mais je suis ne sais en quoi elle consiste. Si l'équation \[ \int dz\,dy \int X\,dm + \int dx\,dz\; Y\,dm - 2\int dx\,dy \int Z\,dm = 2\,\mathrm{I}\,d^2z\,.\,dx\,dy \] est réellement déduite, comme j'ai cherché à l'établir dans la note, des formules de la mécanique analytique p. 53 1re édition « \(p\) » en tête des deux équations : un p traversé d'un trait oblique, ou récrit sur une autre lettre ; lecture douteuse. Dans la seconde, le 2 de « \(2k^2\) » est récrit sur le signe \(+\) ; au-dessus de « \(=0\), », dans l'interligne, un petit « \(k^2\) » isolé, sans signe d'insertion. « crue », « trouvée » : ainsi. Dans la dernière équation, le second terme n'a qu'un signe d'intégration, écrit devant \(dx\,dz\) ; le \(Y\) est repassé. Le signe entre « \(2\) » et « \(d^2z\) » est un trait vertical épais, rendu \(\mathrm{I}\) faute de mieux. Le renvoi final se lit « p », un point, un chiffre fait comme un ſ (le 5 de cette plume, voir la vue 55), un 3, puis un chiffre suivi de lettres surélevées, lu « 1re » ; la lecture de l'ensemble est douteuse. La phrase continue au verso, vue 59.

59La vue montre le document ouvert : à gauche, le verso du feuillet « 21 » (vue 58), écrit sur toute sa hauteur, sans numéro ; à droite, la partie gauche d'une autre page, qui est le recto du feuillet « 22 » photographié en entier à la vue 60 et transcrit là. Au-dessus, la feuille de garde. La page de gauche continue sans rupture la phrase laissée au pied de la vue 58 ; elle est de la même main, avec des corrections dans l'interligne.

ne convient-il donc pas de la differencier quatre fois pour savoir deux fois par rapport à \(x\) et deux fois par rapport à \(y\) n'est-il pas au moins incontestable qu'en fesant abstraction du second membre qui contient le terme du à l'elasticité et prenant \(X = Y\) on a pour le mo par ce procédé des differentiations successives obtient pour le mouvement l'equation connue de la surface tendue \[ X\left(\frac{d^2z}{dx^2} + \frac{d^2z}{dy^2}\right) = 2Z \] qui est au fond la même que celle donnée par Mr La Grange lui même p. 151 de la 1ère édition, et qui appartient à l'equilibre de la surface tendue par des forces egales suivant les directions \(x\) et les \(z\). comment se peut-il donc faire que ce même procédé devienne vicieux lorsqu'il s'applique au terme dependant de l'elasticité. « par ce procédé des differentiations successives » est écrit dans l'interligne, au-dessus de « obtient » et de ce qui suit, sans signe d'insertion ; il est placé ici devant « obtient ». Les deux passages biffés qui l'encadrent le sont d'un trait continu ; « a pour le mo » commence à la fin d'une ligne et finit au début de la suivante. « p. 151 » : le premier chiffre est un 1, le deuxième le 5 en forme de ſ de cette plume, le troisième est chargé d'encre ; lecture douteuse. « 1ère » : un 1 suivi de lettres surélevées. « \(x\) » est souligné. Après « les », une lettre anguleuse à queue, qui a la forme d'un \(z\) ; le sens voudrait \(y\).

Vous me faites remarquer que l'equation que Mr De la Grande a trouvée en suivant mon hypothese contient celle de la lame elastique tandis que celle que j'ai deduite de la même supposition ne jouit pas de cet avantage. je […] m'ettois déja proposé cette la même objection mais j'avois cru y repondre en observant, que le resultat de la differenti qu'en differentiant par rapport à une quantité qui est constante pour la lame on « De la Grande » : ainsi, avec un d, alors que la vue 58 et la ligne plus haut portent « Grange ». Après « je », un mot de quatre ou cinq lettres biffé d'un trait épais, illisible. « m'ettois » : ainsi, deux t sous une seule barre. « la même » est écrit au-dessus de « cette » biffé. Au-dessus de « qu'en differentiant par rapport », biffé, l'interligne porte « que le resultat de la differenti », dont la fin est biffée elle aussi ; le « que » initial paraît échapper au trait. La phrase reste ainsi sans construction sûre. Elle continue au pied de la page sur « on » et se poursuit, selon toute apparence, en tête du feuillet « 22 » (vue 60).

60Recto du feuillet « 22 », photographié en entier ; à gauche de la vue, le bord de la page de la vue 59. En haut à droite, à l'encre, « 22 » ; aucun folio n'est porté, voir l'en-tête. Même main qu'aux vues 58–59. La page continue la phrase laissée au pied de la vue 59. Son premier tiers est un brouillon très repris : des lignes entières biffées d'un trait, et d'autres écrites entre elles, en retrait, sans signe d'insertion. La transcription suit l'ordre des lignes sur la page, en plaçant chaque ajout de l'interligne devant les mots qu'il surmonte ; la construction de plusieurs phrases reste incertaine. Le texte finit sur « géomètre. », suivi d'un point, au deuxième tiers de la page ; le reste est blanc, et il n'y a ni formule finale ni signature.

satisfesoit à l'équation par la supposition A. de constante \(= 0\) de sorte que le coëfficient facteur qui compose l'équation propre à la tant que par conséquent il fut necessaire, pour ce […] cas que surface, n'étoit n'est seroit pas pas necessairement egal à zéro lorsqu'il… le facteur que est zero pour la surface l'autre facteur sujet de la lame ; que est fait zero et par conséquent que l'équation qui en resulteroit fut applicable au reste j'avois cru que la formule considerée avant les differentiations successives renfermoit le étoit également applicable au cas de la lame, et c'est ce que j'ai eu l'intention de prouver à la fin de la note. « A. » : une capitale suivie d'un point, qui pourrait être un d bouclé ; lecture douteuse. « de sorte que le coëfficient facteur qui compose l'équation propre à la » est écrit en retrait, entre la première ligne et la ligne biffée « tant que par conséquent… », et se continue par « surface » au début de la ligne suivante. Entre « pour ce » et « cas », un mot court est noyé sous une rature. « n'étoit » est écrit au-dessus de « n'est seroit pas », biffés ; les deux négations se suivent ainsi. Après « lorsqu'il », la ligne s'arrête ; la suite, « le facteur… », est à la ligne au-dessous. « sujet de la lame ; » est écrit dans l'interligne, en retrait, sous « l'autre facteur ». « renfermoit le » est écrit au-dessus de « étoit également » et « applicable au », biffés.

Puisque me voila revenue à cette équation trouvée par La Grange, je remarquerai qu'il est singulier que l'on puisse obtenir les deux dont j'ai deja parlé est la et dont celle-ci semble la somme en substituant tout bonnement dans l'équation de la lame \(\frac{1}{r} + \frac{1}{r'}\) à la place de \(\frac{1}{r}\) et mettant pour l'une […] […] \(Z, x\) pour l'autre \(Z, y\) à la place de \(y\) et \(Z\), je sais bien que ce n'est pas ainsi qu'a du operer Mr De la Grange mais cette idée m'a tellement frappée à la vue de son équation que je n'ai pû resister à la tentation de vous la communiquer en protestant au reste de ma parfaite soumission aux oracles des maîtres et jugement d'un autre grand géomètre. « revenue », « frappée » : ainsi, la finale -ée nette dans « frappée ». « par La Grange » : « La Grange » est au début de la ligne suivante, sans « Mr ». « et dont celle-ci semble » et « la somme », biffé, sont écrits dans l'interligne au-dessus de « est la », biffé, et de « en substituant ». « tout bonnement » est écrit au-dessus de « dans ». « pour l'une » est écrit au-dessus de « mettant », et biffé comme lui ; suivent deux mots courts biffés d'un trait épais, illisibles, dont le premier paraît fait de deux lettres de formule. Le \(Z\) est la grande lettre du « \(2Z\) » de la vue 59, non le petit \(z\) des différentielles ; celui de « \(y\) et \(Z\) » est récrit. « jugement d'un autre grand » est écrit à la suite de « des maîtres et », biffés, d'une encre plus pâle et d'un trait plus fin, montant vers la droite ; « géomètre. » est à la ligne.