NAF 5166 · vues 1–80 · Lecture modernisée · Papiers du géomètre J.-L. LAGRANGE (1813). NAF 5166 — lecture modernisée du volume entier
Datation du catalogue : 1701-1900
Source gallica.bnf.fr / Bibliothèque nationale de France
Lecture automatique — interprétation non vérifiée

Résumé

Ce que le volume contient

1–80Quatre-vingts vues ont été transcrites. La vue 81 est le plat inférieur de la reliure, où rien n'est écrit. Il n'y a donc pas de cinquième lot, et le volume est transcrit en entier. Les vues 1 et 2 sont le plat et le contreplat supérieurs, où se trouve l'étiquette « FR. / NOUV. ACQ. / 5166 ». Les vues 3 à 12 et 70 à 79 sont des feuillets de garde modernes, blancs, et la vue 80 est le contreplat inférieur. Plusieurs versos sont blancs eux aussi : ce sont les vues 14, 16, 18, 20, 22 à 38 paires, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 57 et 69, que les transcriptions ont examinées sans les transcrire.

La vue 13 est un feuillet de titre calligraphié, « Papiers / de / Lagrange ». Il porte le certificat de la bibliothèque : « Volume de 26 Feuillets / plus les Feuillets A préliminaire & 6 ^bis. / 27 Septembre 1888. », et la mention « Libri 1856 ». La vue 15 est le feuillet « A », une ancienne chemise. On y lit « Lagrange. » en grande écriture, puis, d'une cursive rapide du XIX^e siècle, « Lagrange / mémoires et notes autographes / avec des notes etc de / M^lle Sophie Germain ».¹ Aucune de ces mentions n'est de la main des textes. Ce sont des notes de possesseur et de bibliothèque, et cette lecture ne s'en sert que pour ce qu'elles disent du volume.

Une série de chiffres à l'encre court en haut à droite des rectos. Elle va de « A. » (vue 15) à « 1 » et « 2 » (vues 17 et 19), puis de « 3 » à « 11 », avec « 6+ » et « 6 bis » (vues 21 à 39), de « 12 » à « 22 » (vues 41 à 60) et de « 23 » à « 26 » (vues 62 à 68). C'est la foliotation de la bibliothèque : elle traverse quatre mains sans rupture et répond exactement au certificat de 1888. Ce n'est pas une pagination de l'auteur, même si elle commence à 3 dans les vues 21 à 40 et y répète le 6. Comme elle est à l'encre, les transcriptions n'en tirent aucun folio, et cette lecture cite les vues.² Les autres chiffres sont d'une autre nature. « A » et « B », à côté de 15 et de 16, apparient deux fiches d'un même calcul. Les numéros de paragraphe du mémoire, de 1 à 10, sont cités dans le texte sous la forme « n°. 3 ». Il y a aussi « page 623 » et « Pag. 623 », qui renvoient à un ouvrage non nommé, et « § 3 », « § 6 », « N° 1 » dans les lettres. Un « I 65 » encadré, d'une plume plus fine, se lit dans la marge de la vue 37 ; son sens reste inconnu. Les vues 60 et 61 sont les deux faces d'un même feuillet, le 22.

• Vues 17 à 41 — le mémoire « Éclaircissement d'une difficulté singulière… », « Par J. L. Lagrange ». C'est un brouillon, avec des ratures, en paragraphes numérotés de 1 à 10, d'une cursive rapide et appuyée (main 1). Il occupe les rectos seulement. Au dos du feuillet 11 (vue 40), tête-bêche, se trouve un premier départ de ce feuillet, biffé.
• Vue 43 — une chemise, « Notes de M^r Dela Grange », d'une écriture fine et posée.
• Vues 45 à 56 — des notes de calcul : un plan et une sphère (vue 45), une série en \(b\) sur deux fiches « page 623 » (vues 47 et 49), l'arc d'ellipse (vue 51), tous de la main 1. Les deux premiers calculs sont refaits d'une main soignée et arrondie (main 2, vues 53 et 55). Il y a aussi un brouillon de calculs numériques à l'encre, avec des tables au crayon au dos (vues 55 et 56).
• Vues 58 à 68 — des lettres, d'une ou de plusieurs mains penchées (main 3 aux vues 58 à 60 ; celle des vues 61 à 68 emploie le s long). Les vues 58 à 60 sont un brouillon de réponse à un jugement, la vue 61 un autre brouillon, inachevé, et les vues 62 à 68 une lettre complète qui recommande « le mémoire N° 1 ».³

I. « Éclaircissement d'une difficulté singulière » : l'attraction d'un sphéroïde en un point de sa surface (vues 17 à 41)

17–41

Ce que l'auteur annonce, et les notations

Le mémoire s'ouvre sur un historique. « D'alembert est le premier qui ait donné le calcul de l'attraction des sphéroïdes non elliptiques mais peu differens de la sphere », dans les deuxième et troisième volumes de ses Recherches sur le système du monde. Laplace a repris la question « d'une maniere nouvelle et plus generale », dans les Mémoires de l'Académie des sciences de 1782 et dans le second volume de la Mécanique céleste. Sa théorie repose sur « un beau théoreme très remarquable par sa simplicité autant que par sa généralité ; mais ce theoreme donne lieu à une difficulté singuliere qui paroît n'avoir encore été remarquée par personne et qui merite d'être examinée ».⁴

L'article 1 fixe les notations « comme dans les Memoires de 1782 p. 134 et dans la Mecanique celeste (tome 2) ».⁵ Le point attiré \(P\) a pour coordonnées sphériques \((r,\theta,\varpi)\) par rapport au centre du sphéroïde et à un axe fixe. La molécule attirante \(M\) a pour coordonnées \((R,\theta',\varpi')\). Si \(\gamma\) est l'angle des deux rayons, on pose \[ \mu=\cos\gamma=\cos\theta\cos\theta'+\sin\theta\sin\theta'\cos(\varpi-\varpi'), \qquad |PM|=\sqrt{r^2-2rR\mu+R^2}. \] L'élément de masse est \(R^2\,dR\,d\Omega'\), avec \(d\Omega'=\sin\theta'\,d\theta'\,d\varpi'\) l'élément d'aire de la sphère unité, et la « somme des molecules divisées par leur distances au point attiré » est \[ V(r,\theta,\varpi)=\iiint_{\text{corps}}\frac{R^2\,dR\,d\Omega'}{\sqrt{r^2-2rR\mu+R^2}}, \] où \(R\) va de \(0\) à la surface, \(\varpi'\) de \(0\) à \(2\pi\) et \(\theta'\) de \(0\) à \(\pi\).⁶ La densité est prise égale à 1 sans que le feuillet le dise : le corps est supposé homogène. \(V\) est ce qu'on appelle aujourd'hui le potentiel newtonien du corps.⁷ Ses dérivées \(\partial V/\partial r\), \(\frac1r\,\partial V/\partial\theta\) et \(\frac{1}{r\sin\theta}\,\partial V/\partial\varpi\) sont les composantes de l'attraction selon les directions où croissent \(r\), \(\theta\) et \(\varpi\). L'attraction vers le centre est donc \(-\partial V/\partial r\).⁸

Le sphéroïde, une sphère et une couche

21–21L'article 2 prend un sphéroïde très peu différent d'une sphère de rayon \(a\) : \(R=a(1+y')\), où \(y'\) est une fonction très petite de la direction \((\theta',\varpi')\), dont on néglige le carré. Le potentiel est celui de la sphère, plus celui de l'excès du sphéroïde sur la sphère. Au premier ordre, cet excès est une couche de densité superficielle \(\sigma=ay'\) étalée sur la sphère \(r=a\). On l'obtient en mettant \(a\) pour \(R\) et \(ay'\) pour \(dR\) dans l'intégrale de \(V\). Avec \[ \rho=\frac{1}{\sqrt{r^2-2ar\mu+a^2}}, \] on a donc \[ V=\frac{4\pi a^3}{3r}+u,\qquad u=a^3\int_{S^2}y'\,\rho\;d\Omega'. \] L'auteur note \(\pi\) l'angle de \(180^\circ\), et il appelle « premières dimensions de \(y\) » ce que nous appelons le premier ordre.⁹ Le terme de la sphère, \(4\pi a^3/3r\), n'est valable que pour \(r\ge a\). À l'intérieur de la sphère, son potentiel est \(2\pi a^2-\frac23\pi r^2\). Le feuillet emploie la formule extérieure sans le dire, et l'on verra que ce choix est le bon.

Le calcul « comme M. Laplace »

23–23« Je differentie maintenant comme M. Laplace par rapport à \(r\) ». En dérivant sous le signe d'intégration, on trouve \[ \frac{\partial V}{\partial r}=-\frac{4\pi a^3}{3r^2}+\frac{\partial u}{\partial r}, \qquad \frac{\partial u}{\partial r}=-a^3\int_{S^2}\frac{(r-a\mu)\,y'}{(r^2-2ar\mu+a^2)^{3/2}}\,d\Omega'. \] Le signe moins manque sur le feuillet.¹⁰ À la surface, \(r=a(1+y)\), où \(y\) est la valeur de \(y'\) dans la direction du point attiré. Comme \(u\) est déjà du premier ordre, l'auteur fait \(r=a\) dans \(u\) et dans ses dérivées. En \(r=a\), on a \(\rho=1/\bigl(a\sqrt{2(1-\mu)}\bigr)\), et il obtient \[ u=\frac{a^2}{\sqrt2}\int\frac{y'\,d\varpi'\,d\mu}{\sqrt{1-\mu}},\qquad \frac{\partial u}{\partial r}\Big|_{r=a}=-\frac{a}{2\sqrt2}\int\frac{y'\,d\varpi'\,d\mu}{\sqrt{1-\mu}}, \qquad\text{donc}\qquad \frac u2+a\frac{\partial u}{\partial r}=0 . \] Les intégrales sont convergentes, car la singularité en \(\mu=1\) est en \(1/\sqrt{1-\mu}\).¹¹ Il en conclut qu'à la surface \[ \frac V2+a\frac{\partial V}{\partial r}=\frac{2\pi a^3}{3r}-\frac{4\pi a^4}{3r^2} =-\frac{2\pi a^2}{3}+2\pi a^2y\qquad(r=a(1+y)), \] ce qui est exact pour la partie sphérique, au premier ordre. Or, dit-il, « M. Laplace trouve \(\frac V2+a\frac{dV}{dr}=-\frac{2\pi a^2}{3}\) parce qu'il suppose que la sphere touche le spheroide, auquel cas \(y=0\) ».¹² Les deux calculs ne diffèrent que du terme \(2\pi a^2y\). Toute la suite du mémoire tient à ce terme.

Il faut dire tout de suite ce que vaut la dérivée calculée ainsi. Le nombre qu'on obtient en posant \(r=a\) sous le signe \(\int\) après la dérivation est une intégrale convergente. Ce n'est pourtant pas la dérivée de \(u\) en \(r=a\) : en général, \(u\) n'y est pas dérivable. On verra plus bas que cette « valeur directe » est la moyenne de deux dérivées latérales qui diffèrent.

Le cas d'une couche uniforme

25–25L'article 3 éprouve l'équation \(\frac u2+a\frac{\partial u}{\partial r}=0\) sur le cas le plus simple, \(y'\) constant. On porte le pôle des angles sur le rayon \(r\), « ce qui est permis, puisque cette ligne est fixe par rapport aux memes angles ». On a alors \(\mu=\cos\theta'\), et l'on intègre en \(\varpi'\) de \(0\) à \(2\pi\), puis en \(\mu\) de \(-1\) à \(1\) : \[ \int_{S^2}\frac{d\Omega'}{\sqrt{r^2-2ar\mu+a^2}} =\frac{2\pi}{ar}\Bigl[\sqrt{r^2-2ar\mu+a^2}\Bigr]_{\mu=1}^{\mu=-1} =\frac{2\pi\bigl((r+a)-|r-a|\bigr)}{ar}, \] qui vaut \(4\pi/r\) pour \(r\ge a\) et \(4\pi/a\) pour \(r\le a\). Le feuillet ne donne que la première ligne. Il écrit \(r-a\) pour la racine en \(\mu=1\), ce qui suppose \(r\ge a\) sans le dire.¹³ Il en tire, pour \(r>a\), \[ u=\frac{4\pi a^3y'}{r},\qquad \frac{\partial u}{\partial r}=-\frac{4\pi a^3y'}{r^2}, \qquad\text{et en }r=a:\qquad \frac u2+a\frac{\partial u}{\partial r}=-2\pi a^2y'\neq0 . \] C'est juste. Pour \(r<a\), en revanche, \(u=4\pi a^2y'\) est constant. C'est le théorème de Newton : une couche sphérique uniforme n'exerce aucune attraction à l'intérieur.¹⁴ La dérivée \(\partial u/\partial r\) saute donc de \(0\) à \(-4\pi ay'\) quand on traverse la sphère \(r=a\). Le calcul direct de l'article 2, refait ici, donne \(-2\pi ay'\), exactement la moyenne des deux. La difficulté est déjà tout entière dans ce cas.

Un facteur identiquement nul, et la série de Laplace

27–29L'article 4 met le calcul sous une forme qui fait voir la difficulté. Comme \(r\) n'entre que dans \(\rho\), \[ \frac u2+a\frac{\partial u}{\partial r} =a^3\int_{S^2}\Bigl(\frac\rho2+a\frac{\partial\rho}{\partial r}\Bigr)y'\,d\Omega', \] « en faisant \(r=a\) après la differentiation ». Or \(\partial\rho/\partial r=-(r-a\mu)\rho^3\), et en \(r=a\) on trouve \[ \rho=\frac{1}{a\sqrt{2(1-\mu)}},\qquad \frac{\partial\rho}{\partial r}=-\frac{1}{2\sqrt2\,a^2\sqrt{1-\mu}},\qquad \frac\rho2+a\frac{\partial\rho}{\partial r}=0\quad(\mu<1), \] ce que le feuillet appelle une « équation identique ».¹⁵ Le facteur est nul pour \(\mu<1\) ; en \(\mu=1\), il n'est pas défini.

Le feuillet le vérifie ensuite, « comme l'a fait M. Laplace », sur le développement de \(\rho\) en série descendante. Les \(R^{(n)}\) de Laplace sont ici des fonctions de \(\mu\) seul. Ce sont les polynômes de Legendre \(P_n(\mu)\) : pour \(r>a\), \[ \begin{aligned} \rho&=\sum_{n\ge0}\frac{a^n}{r^{n+1}}P_n(\mu),\qquad r\frac{\partial\rho}{\partial r}=-\sum_{n\ge0}(n+1)\frac{a^n}{r^{n+1}}P_n(\mu),\\ \frac\rho2+r\frac{\partial\rho}{\partial r}&=-\frac12\sum_{n\ge0}(2n+1)\frac{a^n}{r^{n+1}}P_n(\mu). \end{aligned} \] Le nom des polynômes vient après les travaux où ils apparaissent : Legendre les introduit dans ses recherches sur l'attraction des sphéroïdes, Laplace les note \(R^{(n)}\). Là où le feuillet écrit \(R^{(n)}\), le développement coïncide exactement avec celui de \(P_n\).¹⁶ En \(r=a\), le feuillet écrit \[ \frac\rho2+a\frac{\partial\rho}{\partial r}=-\frac1{2a}\bigl(R^{(0)}+3R^{(1)}+5R^{(2)}+\text{etc.}\bigr), \] « serie dans laquelle tous les termes doivent se detruire d'eux memes ; ce qu'on trouve en effet après la substitution des valeurs de \(R^{(0)}\), \(R^{(1)}\) &c. en fonctions de \(\mu\) ».

Pour le prouver sans substituer, l'auteur remarque que \(\rho\sqrt r=\bigl(r+\frac{a^2}{r}-2a\mu\bigr)^{-1/2}\).¹⁷ Il dérive, multiplie par \(\sqrt r\), et obtient \[ \frac\rho2+r\frac{\partial\rho}{\partial r}=-\frac{r^2-a^2}{2}\,\rho^3, \] d'où, en posant \(t=a/r<1\), l'identité \[ \sum_{n\ge0}(2n+1)P_n(\mu)\,t^n=\frac{1-t^2}{(1-2t\mu+t^2)^{3/2}} . \] Cette identité est juste pour \(|t|<1\). C'est la fonction génératrice de la suite \((2n+1)P_n\), qu'on tire de celle de Legendre, \(\sum P_n t^n=(1-2t\mu+t^2)^{-1/2}\), en lui appliquant \(1+2t\,\frac{d}{dt}\).¹⁸ Le feuillet conclut : « par consequent en faisant \(r=a\) la serie \(R^{(0)}+3R^{(1)}+5R^{(2)}+\&c.\) sera necessairement nulle ».

Cette conclusion n'est pas juste telle qu'elle est écrite. La série \(\sum(2n+1)P_n(\mu)\) diverge pour tout \(\mu\in[-1,1]\) : ses termes ne tendent pas vers zéro, et leur module croît comme \(\sqrt n\) pour \(-1<\mu<1\). En \(\mu=0\), par exemple, les termes non nuls valent \(1\), \(-\tfrac52\), \(\tfrac{27}{8}\), \(-\tfrac{65}{16}\)… Les termes ne « se détruisent » donc pas après substitution. Ce qui est vrai, c'est la limite de la série entière : \[ \lim_{t\to1^-}\sum_{n\ge0}(2n+1)P_n(\mu)\,t^n=0\quad\text{pour }\mu\ne1, \qquad =+\infty\quad\text{pour }\mu=1 . \] La série a pour somme 0 au sens d'Abel, et elle n'a pas de somme au sens ordinaire.¹⁹ Faire \(r=a\) dans la série, c'est donc déjà faire le passage à la limite que tout le mémoire va examiner.

Le paradoxe, et le calcul « sans rien négliger »

31–33L'article 5 énonce le paradoxe. La fonction \(\frac\rho2+a\frac{\partial \rho}{\partial r}\) de \(\mu\) est toujours identiquement nulle. Son intégrale, multipliée par \(y'\,d\Omega'\), devrait donc être nulle « par les principes du calcul integral, suivant lesquels l'integrale est regardée comme la somme de toutes les valeurs successives de la differentielle ». Or « Cependant [nous] venons de voir que dans le cas le plus simple où \(y'\) est constant on a \(\frac u2+a\frac{du}{dr}=-2\pi a^2y'\) ; ce qui est un paradoxe dans le Calcul integral ».²⁰

L'article 6 donne l'explication : « je ferai d'abord le calcul sans rien negliger ».²¹ Pour \(r\ne a\), la fonction à intégrer est régulière, et la dérivation sous le signe \(\int\) est légitime : \[ \frac{\partial u}{\partial r}=a^3\int_{S^2}\frac{\partial\rho}{\partial r}\,y'\,d\Omega', \qquad r\frac{\partial\rho}{\partial r}=-r(r-a\mu)\rho^3=-\frac\rho2-\frac{(r^2-a^2)\rho^3}{2}, \] la dernière égalité venant de \(r(r-a\mu)=\frac12(r^2-2ar\mu+a^2)+\frac12(r^2-a^2)\). Donc \[ \frac u2+r\frac{\partial u}{\partial r}=-\frac{a^3(r^2-a^2)}{2}\int_{S^2}\rho^3\,y'\,d\Omega' . \] C'est exact.²² L'auteur voit d'abord le terme « disparoître » en \(r=a\), puis il se reprend : puisque \(\frac u2+a\frac{\partial u}{\partial r}\) n'est pas toujours nul, « il faut que le terme multiplié par \(r^2-a^2\) ne disparoisse pas toujours en faisant \(r=a\) ». Autrement dit, \(\int\rho^3y'\,d\Omega'\) doit devenir infinie comme \(1/(r^2-a^2)\).

L'article 7 le vérifie pour \(y'\) constant. On porte le pôle sur \(r\), comme au n° 3 (\(\mu=\cos\theta'\), \(d\mu=-\sin\theta'\,d\theta'\)). On intègre en \(\varpi'\), puis en \(\mu\), avec pour primitive \(\int(r^2-2ar\mu+a^2)^{-3/2}d\mu=\frac{1}{ar\sqrt{r^2-2ar\mu+a^2}}\), et pour \(r>a\) \[ \int_{S^2}\rho^3\,d\Omega'=\frac{2\pi}{ar}\Bigl(\frac1{r-a}-\frac1{r+a}\Bigr)=\frac{4\pi}{r(r^2-a^2)}, \qquad \frac u2+r\frac{\partial u}{\partial r}=-\frac{2\pi a^3y'}{r}\ \xrightarrow[r\to a]{}\ -2\pi a^2y', \] « comme on l'a trouvée dans le n°. 3 ».²³ Le calcul est juste, et il vaut « quelle que soit la valeur de \(r\) » plus grande que \(a\), ce que le feuillet sous-entend.

Le cas général : le pôle transporté, et une intégration par parties

35–40L'article 8 traite une fonction \(y'\) quelconque des sinus et cosinus de \(\varpi'\) et \(\theta'\). On porte encore le pôle sur la ligne \(r\), et l'on nomme \(\varphi\) et \(\psi\) la longitude et la colatitude de la molécule autour de ce nouveau pôle. On a \(d\Omega'=\sin\psi\,d\psi\,d\varphi\) et \(\mu=\cos\psi\), de sorte qu'il faut intégrer \(\rho^3y'\,d\varphi\,d\mu\) pour \(\varphi\) de \(0\) à \(2\pi\) et \(\mu\) de \(-1\) à \(1\).²⁴ Mais \(y'\) est donné en fonction des anciens angles. Il faut donc exprimer ceux-ci par les nouveaux, au moyen du triangle sphérique qui a pour sommets le pôle fixe, le point attiré et la molécule. Ses côtés sont \(\theta\), \(\theta'\), \(\psi\) ; l'angle au pôle est \(\varpi-\varpi'\), opposé à \(\psi\), et l'angle au point attiré est \(\varphi\), opposé à \(\theta'\). En mesurant \(\varphi\) à partir de l'arc qui va du point attiré vers le pôle fixe, les formules de la trigonométrie sphérique donnent \[ \begin{aligned} \cos\theta'&=\cos\theta\cos\psi+\sin\theta\sin\psi\cos\varphi,\\ \sin\theta'\sin(\varpi-\varpi')&=\sin\psi\sin\varphi,\\ \sin\theta'\cos(\varpi-\varpi')&=\sin\theta\cos\psi-\cos\theta\sin\psi\cos\varphi . \end{aligned} \] La première est la formule des cosinus. La deuxième est celle des sinus, au sens de \(\varphi\) près. La troisième est la formule dite « des cinq éléments ».²⁵ Si \(y'\) est un polynôme en \(\cos\theta'\), \(\sin\theta'\sin\varpi'\) et \(\sin\theta'\cos\varpi'\), c'est-à-dire en les cosinus directeurs de la molécule, il devient un polynôme en \(\cos\psi\), \(\sin\psi\cos\varphi\) et \(\sin\psi\sin\varphi\). L'intégration en \(\varphi\) sur un tour annule tout monôme de degré impair en \(\cos\varphi\) ou en \(\sin\varphi\). Il ne reste donc que des puissances paires de \(\sin\psi=\sqrt{1-\mu^2}\), et la fonction à intégrer en \(\mu\) est un polynôme en \(\mu\) multiplié par \(\rho^3\), que l'on intègre en termes finis.²⁶ « C'est ainsi que d'Alembert a calculé l'attraction des spheroides peu differens de la sphere ». Mais l'auteur n'a besoin que de la réduction à \(-\rho^3y'\,d\varphi\,d\mu\).²⁷

L'article 9 intègre par parties en \(\mu\). Comme \(\partial\rho/\partial\mu =ar\rho^3\), on a \(\int\rho^3d\mu=\rho/(ar)\). En \(\mu=1\), \(y'\) prend la valeur \(y\) du point attiré, et \(\rho=1/(r-a)\) pour \(r>a\). En \(\mu=-1\), on nomme \(Y\) la valeur de \(y'\), et \(\rho=1/(r+a)\). Ainsi, pour \(\varphi\) fixé, \[ \int_{-1}^{1}\rho^3y'\,d\mu=\frac{y}{ar(r-a)}-\frac{Y}{ar(r+a)}-\frac1{ar}\int_{-1}^{1}\frac{\partial y'}{\partial\mu}\,\rho\,d\mu . \] En \(\psi=0\) et en \(\psi=\pi\), \(y'\) ne dépend pas de \(\varphi\). L'intégration en \(\varphi\) multiplie donc les deux termes tout intégrés par \(2\pi\).²⁸ En reportant dans l'équation du n° 6, on obtient \[ \frac u2+r\frac{\partial u}{\partial r} =-\frac{\pi a^2(r+a)\,y}{r}+\frac{\pi a^2(r-a)\,Y}{r} +\frac{a^2(r^2-a^2)}{2r}\int_0^{2\pi}\!\!\int_{-1}^{1}\frac{\partial y'}{\partial\mu}\,\rho\,d\mu\,d\varphi , \] et, en faisant \(r=a\), \[ \frac u2+a\frac{\partial u}{\partial r}=-2\pi a^2y, \] « comme dans le cas où \(y\) est constant ».²⁹ Le terme en \(Y\) s'annule avec \(r-a\). Le dernier terme s'annule si l'intégrale double reste bornée quand \(r\to a\). Le feuillet l'affirme dans sa dernière phrase, qui court de la vue 39 à la vue 41 : « Il est bon de remarquer qu'une nouvelle integration par parties executée sur la differentielle \(\frac{dy'}{d\mu}\rho\,d\mu\) n'ajouteroit rien à l'equation que nous venons de trouver, car l'integrale de \(\rho\,d\mu\) etant \(-\frac{1}{ar\rho}=-\frac{\sqrt{r^2-2ar\mu+a^2}}{ar}\) il n'en peut resulter aucun terme où le facteur \(r-a\), qui devient nul lorsque \(r=a\), soit detruit par la division ».³⁰

La remarque est juste, et elle se complète ainsi. Pour \(r\ge a\), on a \(r^2-2ar\mu+a^2=(r-a)^2+2ar(1-\mu)\ge 2a^2(1-\mu)\), donc \(\rho\le1/\bigl(a\sqrt{2(1-\mu)}\bigr)\), qui est intégrable. Il faut encore borner \(\partial y'/\partial\mu\). Pour \(\varphi\) fixé, cette dérivée peut devenir infinie comme \(1/\sqrt{1-\mu}\) près du pôle, à cause du facteur \(1/\sin\psi\), sauf si le gradient de \(y\) s'annule au point attiré. On intègre donc d'abord en \(\varphi\) : la moyenne \(\bar y(\mu)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}y'\,d\varphi\) d'un polynôme en les cosinus directeurs, comme le suppose le feuillet, est un polynôme en \(\mu\), et sa dérivée est bornée. L'intégrale double est alors bornée uniformément en \(r\ge a\), et le dernier terme est \(O(r-a)\).³¹ Avec cette majoration, les articles 6 à 9 démontrent l'égalité \(\lim_{r\to a^+}\bigl(\frac u2+r\frac{\partial u}{\partial r}\bigr) =-2\pi a^2y\).

Au dos du feuillet 11 (vue 40), tête-bêche, trois lignes biffées de quatre longs traits obliques sont un premier départ de ce feuillet. Elles portent un « 11 » barré, les mots de la tête de la vue 39, et une première forme des termes tout intégrés, \(\frac{Y(r+a)}{ar}-\frac{y(r\pm a)}{ar}\), récrite en \(\frac{Y}{ar(r+a)}-\frac{y}{ar(r-a)}\), qui est la forme juste et celle qu'a gardée la vue 39.³²

La conclusion : l'équation de M. Laplace

41–41L'article 10 rassemble les morceaux. Comme \(V=\frac{4\pi a^3}{3r}+u\) (n° 2), en faisant \(r=a(1+y)\) et en négligeant les \(y^2\), \[ \frac V2+a\frac{\partial V}{\partial r} =-\frac{2\pi a^2}{3}+2\pi a^2y+\Bigl(\frac u2+a\frac{\partial u}{\partial r}\Bigr) =-\frac{2\pi a^2}{3}, \] « Comme M. Laplace l'a trouvé », dit la marge.³³ La phrase suivante disait : « C'est l'equation de M. Laplace qui se trouve ainsi demontrée rigoureusement et mise à l'abri de toute difficulté ». Elle est biffée de trois traits.³⁴ Le texte finit sur la remarque que le terme \(2\pi a^2y\), « du à l'action de la sphere sur un point élevé au dessus de sa surface de la quantité \(ay\), et par lequel l'equation que nous avons trouvée (n° 2) differoit de celle de M. Laplace », se trouve précisément détruit par l'intégrale de \(a^3\bigl(\frac\rho2+a\frac{\partial \rho}{\partial r}\bigr)y'\,d\Omega'\), « dans laquelle le facteur \(\frac\rho2+a\frac{d\rho}{dr}\) est toujours identiquement nul ».

L'équation obtenue est celle que Laplace place au fondement de sa théorie de la figure des planètes : à la surface d'un sphéroïde homogène très peu différent d'une sphère de rayon \(a\), on a, au premier ordre en \(y'\), \[ \frac V2+a\,\frac{\partial V}{\partial r}=-\frac{2\pi a^2}{3} . \] Elle ne doit pas être confondue avec ce qu'on appelle aujourd'hui l'« équation de Laplace », \(\Delta V=0\) hors des masses. Dans la lecture moderne, elle en découle : on développe \(V\) extérieur en fonctions de Laplace, c'est-à-dire en harmoniques sphériques, comme on le fait plus bas pour \(u\). Le feuillet n'emploie pas ce développement, et sa démonstration n'en a pas besoin.

Ce qu'il faut en penser aujourd'hui

Le calcul de l'auteur se laisse lire exactement en termes modernes. Au premier ordre, \(u\) est le potentiel d'une couche simple de densité \(\sigma=ay'\) portée par la sphère \(r=a\). Si l'on écrit \(y'=\sum_nY_n\), avec \(Y_n\) la composante harmonique sphérique de degré \(n\), alors \[ u=4\pi a^2\sum_{n}\frac{Y_n}{2n+1}\Bigl(\frac ar\Bigr)^{n+1}\ (r\ge a),\qquad u=4\pi a^2\sum_{n}\frac{Y_n}{2n+1}\Bigl(\frac ra\Bigr)^{n}\ (r\le a). \] Le potentiel \(u\) est continu à la traversée de la sphère, mais sa dérivée radiale y saute de \(-4\pi\sigma=-4\pi ay\). C'est la relation de saut d'un potentiel de simple couche. On en tire, en \(r=a\), \[ \Bigl(\frac u2+a\frac{\partial u}{\partial r}\Bigr)_{\text{ext}}=-2\pi a^2y,\qquad \Bigl(\frac u2+a\frac{\partial u}{\partial r}\Bigr)_{\text{int}}=+2\pi a^2y, \] et la « valeur directe », qu'on obtient en faisant \(r=a\) sous le signe d'intégration, vaut \(0\), la moyenne des deux. Le calcul des articles 2 et 4, signes moins rétablis, ne se trompe pas sur cette valeur. Il se trompe en la prenant pour une dérivée.³⁵

La phrase du paradoxe, « l'integrale est regardée comme la somme de toutes les valeurs successives de la differentielle », n'est pas en défaut. Ce qui l'est, c'est l'échange de la limite \(r\to a\) et de l'intégration. Pour \(r>a\), la fonction \[ K_r(\mu)=\frac{r(r^2-a^2)}{4\pi}\,\rho^3 \] est positive et d'intégrale 1 sur la sphère, d'après l'article 7. Quand \(r\to a\), elle tend vers zéro uniformément sur \(\mu\le1-\delta\), pour tout \(\delta>0\), et toute sa masse se ramasse au point \(\mu=1\) : c'est, à la normalisation près, le noyau de Poisson de la boule, une « approximation de l'identité ». Pour \(y'\) seulement continu, on a donc \(\int K_r\,y'\,d\Omega'\to y\), et \[ \frac u2+r\frac{\partial u}{\partial r}=-\frac{2\pi a^3}{r}\int_{S^2}K_r\,y'\,d\Omega' \ \xrightarrow[r\to a^+]{}\ -2\pi a^2y . \] C'est la démonstration la plus courte du résultat de l'article 9. La fonction à intégrer tend bien vers zéro en chaque point \(\mu<1\), mais son intégrale ne tend pas vers zéro, parce que la convergence n'est pas dominée. Le « paradoxe » est cette différence.³⁶

Reste à savoir laquelle des trois valeurs est la bonne. Pour le corps réel, dont la densité est bornée, le gradient du potentiel est continu partout, et il n'y a aucune ambiguïté. Le saut vient de la linéarisation : on a écrasé la couche comprise entre les rayons \(a\) et \(a(1+y')\) sur la sphère \(r=a\). Le point attiré est au bord extérieur de la matière, et c'est la limite extérieure qu'il faut prendre. C'est celle que prend l'auteur aux articles 6 à 9, où la racine en \(\mu=1\) vaut \(r-a\). Il suppose ainsi \(r\ge a\) sans le dire, c'est-à-dire \(y\ge0\) au point attiré. Le cas \(y<0\) se ramène à celui-là. Changer le rayon de la sphère de référence de \(a\) en \(a(1+c)\), avec \(c\) petit, change \(\frac V2+a\frac{\partial V}{\partial r}\) de \(ac\,\frac{\partial V}{\partial r}=-\frac{4\pi a^2c}{3}\) et \(-\frac{2\pi a^2}{3}\) d'autant, au premier ordre. L'équation garde donc la même forme, et l'on peut toujours prendre une sphère de référence intérieure au corps, pour laquelle \(y'\ge0\). La sphère de rayon \(a(1+c)\) elle-même la vérifie exactement, quel que soit le signe de \(c\) : \(\frac{2\pi a^2(1+c)^2}{3}-\frac{4\pi a^2(1+c)}{3}=-\frac{2\pi a^2}{3}+O(c^2)\). C'est la raison profonde de la note marginale biffée de la vue 23 : Laplace n'avait pas besoin, pour que son équation soit vraie, que la sphère touche le sphéroïde.³⁷

Le bilan est donc le suivant. Les articles 2, 4 et 5 ne sont pas une démonstration : ils échangent sans droit une limite et une intégrale, et l'article 4 conclut à la nullité d'une série divergente. Les articles 3 et 7 sont des calculs exacts pour \(r>a\). Les articles 6 à 9 démontrent le résultat par la limite extérieure, à une majoration près, que la dernière phrase indique et que l'on a complétée plus haut. L'article 10 en tire l'équation de Laplace au premier ordre. L'auteur a biffé le mot « rigoureusement ». Au terme près de cette majoration, il aurait pu le garder.

II. « Notes de M^r Dela Grange » : quatre calculs courts (vues 43 à 56)

43–56Le feuillet 13 (vue 43), plus petit que les autres, ne porte qu'une ligne, d'une plume fine et d'une écriture posée aux majuscules ornées : « Notes de M^r Dela Grange ». C'est apparemment un titre de chemise pour les feuillets qui suivent. Ce qu'il couvre exactement n'est pas écrit, et la main n'est pas celle du mémoire.³⁸ Les quatre calculs qui suivent sont sans titre ni phrase d'introduction. Ils sont écrits de la main du mémoire (vues 45 à 51), et deux sont refaits d'une main soignée (vues 53 et 55).

La distance d'un point à un plan

45–53La vue 45 cherche le point d'un plan passant par l'origine, \(Ax+By+Cz=0\), qui est le plus proche du point \((a,0,0)\). Elle écrit que la sphère de centre \((a,0,0)\) et de rayon \(r\) touche le plan, c'est-à-dire que la différentielle du carré de la distance, \((x-a)\,dx+y\,dy+z\,dz\), s'annule pour tout déplacement dans le plan. En éliminant \(dz=-(A\,dx+B\,dy)/C\), les coefficients de \(dx\) et de \(dy\) doivent s'annuler séparément : \[ x-a-\frac{zA}{C}=0,\qquad y-\frac{zB}{C}=0 . \] Reporté dans l'équation du plan, cela donne, avec \(N=A^2+B^2+C^2\), \[ \begin{aligned} &z=-\frac{ACa}{N},\quad y=-\frac{ABa}{N},\quad x=a-\frac{A^2a}{N},\\ &r^2=\frac{a^2A^2(A^2+B^2+C^2)}{N^2}=\frac{A^2a^2}{N},\qquad r=\frac{|A|\,a}{\sqrt N}. \end{aligned} \] Tout est juste.³⁹ La note conclut que \(r/a\) est le sinus de l'angle du plan avec l'axe des \(x\), égal à \(A/\sqrt N\), et que ce nombre est le cosinus de l'angle que la normale au plan fait avec cet axe.⁴⁰ En langage actuel, la distance du point \(P_0\) au plan \(n\cdot X=0\) est \(|n\cdot P_0|/\|n\|\), et \((A,B,C)/\sqrt N\) est le vecteur des cosinus directeurs de la normale.

La vue 53, de la main 2, refait le même calcul en phrases complètes, jusqu'à la même équation différentielle. Elle en tire l'équation du plan sous la forme \[ \frac{A}{\sqrt N}\,x+\frac{B}{\sqrt N}\,y+\frac{C}{\sqrt N}\,z=0, \] celle d'un plan passant par l'origine et perpendiculaire à la droite dont les coordonnées sont proportionnelles à \(A\), \(B\) et \(C\). C'est la forme normale de Hesse, à ce nom près, qui est plus tardif.⁴¹

Une série « page 623 »

47–55Deux demi-feuillets, cotés « 15 A » et « 16 B » (vues 47 et 49), portent en tête « page 623 », qui renvoie à un ouvrage non nommé. Ils développent en série la quantité \[ Q(b)=-\frac1{\sqrt{1+b}}+\log\frac{1+\sqrt{1+b}}{\sqrt b} \] pour \(b\) petit et positif. La quantité n'est écrite en entier qu'à la vue 55 ; les vues 47 et 49 la dérivent.⁴² L'auteur dérive d'abord. Avec \(\frac{1}{1+\sqrt{1+x}}=\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\), il vient \[ Q'(x)=\frac12\Bigl(\frac{1}{(1+x)^{3/2}}+\frac{1}{\sqrt{1+x}\,(1+\sqrt{1+x})}-\frac1x\Bigr) =-\frac{1}{2x(1+x)^{3/2}} . \] Il développe ensuite par la série du binôme, et intègre terme à terme : \[ \begin{aligned} -\frac{(1+x)^{-3/2}}{2x}&=-\frac12\Bigl(\frac1x-\frac32+\frac{3\cdot5}{2\cdot4}x-\frac{3\cdot5\cdot7}{2\cdot4\cdot6}x^2+\dots\Bigr),\\ Q(x)&=-\frac12\log x+\frac{3x}{4}-\frac{3\cdot5}{2\cdot4}\,\frac{x^2}{4}+\frac{3\cdot5\cdot7}{2\cdot4\cdot6}\,\frac{x^3}{6}-\dots+K . \end{aligned} \] Le calcul se vérifie.⁴³ La vue 49 détermine la constante. « Ayant differentié et ensuite réintegré il s'ensuit que cette integrale peut differer de la quantité proposée d'une constante qu'il s'agit de trouver. » Pour \(b\to0\), on a \(Q(b)=-1+\log2-\frac12\log b+o(1)\), et la série vaut \(-\frac12\log b+K+o(1)\). Donc \(K=\log2-1\), et, pour \(0<b<1\), \[ Q(b)=\log2-1-\frac12\log b+\frac{3b}{4}-\frac{3\cdot5}{2\cdot4}\,\frac{b^2}{4}+\frac{3\cdot5\cdot7}{2\cdot4\cdot6}\,\frac{b^3}{6}-\dots \] Le raisonnement est complet : deux fonctions qui ont la même dérivée sur \(]0,1[\) diffèrent d'une constante, et la constante se lit à la limite.⁴⁴

La fiche supérieure de la vue 55, de la main 2, porte « Pag. 623 ». Elle reprend la même série par un autre chemin. Comme \(\log\frac{1+\sqrt{1+b}}{\sqrt b} =\log(1+\sqrt{1+b})-\log\sqrt b\), il faut que \[ -\frac1{\sqrt{1+b}}+\log(1+\sqrt{1+b})=\log2-1+\frac32\cdot\frac b2-\frac{3\cdot5}{2\cdot4}\cdot\frac{b^2}{4}+\dots, \] ce qui est la série précédente. Pour le vérifier, la fiche développe \(\log(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}-\dots\) avec \(t=\sqrt{1+b}\). Elle développe ensuite chaque puissance \((1+b)^{k/2}\) en \(b\), ainsi que \(-(1+b)^{-1/2}\), et rappelle \(\log2=1-\frac12+\frac13-\dots\). Les développements partiels sont justes.⁴⁵ Mais ce chemin n'est pas légitime tel quel : pour \(b>0\), \(t=\sqrt{1+b}>1\) est hors du disque de convergence de la série de \(\log(1+t)\). Si l'on regroupe les termes en \(b\), le coefficient de \(b\) devient \(\frac12(1-1+1-\dots)\), qui diverge. Le coefficient vrai, \(\frac14\), n'en est que la somme au sens d'Abel. La fiche s'arrête aux développements et ne regroupe rien. Elle ne tire donc pas de conclusion fausse, mais elle ne démontre rien non plus. Le premier chemin, celui des vues 47 et 49, est le bon.

L'arc d'ellipse

51–51Le demi-feuillet « 17 » (vue 51) calcule l'élément d'arc d'une ellipse de demi-axes \(a\) et \(b\), paramétrée par \(x=a\sin\varphi\) et \(y=b\cos\varphi\). Avec \(c=\sqrt{a^2-b^2}\), \[ dx^2+dy^2=(a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi)\,d\varphi^2=a^2\Bigl(1-\frac{c^2}{a^2}\sin^2\varphi\Bigr)d\varphi^2, \qquad \int\sqrt{dx^2+dy^2}=a\,E\Bigl(\frac ca,\varphi\Bigr), \] où \(E(k,\varphi)=\int_0^\varphi\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}\;d\phi\) est l'intégrale elliptique incomplète de seconde espèce, de module \(k\). C'est juste.⁴⁶ Le feuillet appelle \(c\) « l'excentricité ». C'est aujourd'hui la demi-distance focale, et l'on réserve le mot d'excentricité à \(e=c/a\), qui est précisément le module de l'intégrale. La notation \(E(c,\varphi)\), module en premier, est celle qu'emploie Legendre. Cette lecture n'en tire aucune date.

Un brouillon de calculs numériques

55–56La fiche inférieure de la vue 55 (« 20 ») est un morceau de papier déchiré, couvert de chiffres à l'encre, sans un mot de texte. Le 4 y est fait comme un A. On y trouve des soustractions en degrés et minutes, justes : \(7^\circ25'-1^\circ39'=5^\circ46'\), et \(30^\circ04'-2^\circ44'=27^\circ20'\), où le chiffre des minutes noyé sous une tache doit être 0 pour que la soustraction tombe juste. On y trouve aussi \(27^\circ20'-51'=26^\circ29'\), écrit sous un \(28^\circ11'\) biffé, qui était la somme au lieu de la différence. Il y a encore la multiplication \(346\times4\frac12=1557\) et l'addition \(7681+5740=13421\).⁴⁷ Un petit tableau donne trois angles et trois nombres de huit chiffres : « SC. \(5\ 6\ 56\) », « SC. \(7\ 10\ 48\) », « S.DAB \(84\ 57\ 18\) », en regard de « \(1999658\ldots0\) », « \(99982668\) », « \(99983142\) ». Ce sont des logarithmes tabulaires, de caractéristique 10 : \[ \begin{aligned} 10+\log_{10}\cos5^\circ6'56''&=9{,}9982667,\\ 10+\log_{10}\cos7^\circ10'48''&=9{,}9965810,\\ 10+\log_{10}\sin84^\circ57'18''&=9{,}9983142 . \end{aligned} \] « SC. » se lit donc « sinus du complément », c'est-à-dire cosinus, et « S.DAB » « sinus de l'angle \(DAB\) ». Les deux traits croisés que la transcription signale entre les angles et les nombres échangent les deux premières lignes, comme il le faut ; le 8 final du deuxième nombre est un arrondi de table. Le chiffre illisible du premier nombre est un 1, par le calcul. Le « 46 » écrit sous le « 42 » final du troisième est moins juste que 42. Enfin \(84^\circ57'18''-84^\circ55'35''=1'43''\).⁴⁸ Au dos (vue 56), des tableaux de chiffres au crayon, en partie tête-bêche, portent des colonnes de degrés et minutes (« 55.30 / 56 0 / 56.30 / 57.0 … »), des capitales isolées (« G », « K », « E », « D ») et un croissant. S'y ajoutent un petit groupe à l'encre écrit en travers, « \(140\mid60\) / \(7\parallel7.\) », et « 420 » souligné.⁴⁹ Rien ne rattache ce brouillon aux calculs qui l'entourent. Le signe de la lune et les angles font penser à un calcul d'astronomie. C'est une conjecture, et le feuillet ne la confirme pas.

III. Des lettres sur les surfaces élastiques (vues 58 à 68)

58–68

La réponse à un jugement : l'équation de M^r De la Grange

Le feuillet 21, recto et verso (vues 58 et 59), et le recto du feuillet 22 (vue 60) portent un texte continu à la première personne, adressé à un « vous ». Il est sans formule d'appel, sans date ni signature : c'est une lettre, ou son brouillon, très corrigé. La personne qui écrit remercie son correspondant de lui avoir fait « obtenir un jugement qui m'éclaire sur les fautes que j'ai commises ». Elle explique son erreur par ses propres mots : « je n'avois guere de confiance dans mon travail j'y avois été entraîné par une analogie qui me sembloit frappante mais que je ne me croyois pas trop en état d'apprecier ».⁵⁰

Ce qui la surprend, c'est « l'equation que vous m'indiquez d'après M^r De la Grange ». Au premier coup d'œil, elle l'aurait crue « formée de la somme des deux equations » \[ p\,\frac{\partial^2z}{\partial t^2}+2k^2\Bigl(\frac{\partial^4z}{\partial x^4}+\frac{\partial^4z}{\partial x^2\partial y^2}\Bigr)=0, \qquad p\,\frac{\partial^2z}{\partial t^2}+2k^2\Bigl(\frac{\partial^4z}{\partial y^4}+\frac{\partial^4z}{\partial y^2\partial x^2}\Bigr)=0 . \] Leur somme, divisée par 2, est \[ p\,\frac{\partial^2z}{\partial t^2}+k^2\Bigl(\frac{\partial^4z}{\partial x^4}+2\frac{\partial^4z}{\partial x^2\partial y^2}+\frac{\partial^4z}{\partial y^4}\Bigr) =p\,\frac{\partial^2z}{\partial t^2}+k^2\,\Delta^2z=0, \] l'équation des vibrations transversales d'une plaque mince, où \(\Delta^2=\Delta\Delta\) est l'opérateur biharmonique. L'histoire de l'élasticité l'appelle équation de Germain–Lagrange.⁵¹ Elle ajoute : « Si je me suis egarée dans les doubles integrales je ne dois pas m'étonner que l'équation qu'a trouvée M^r De la Grange ne monte qu'au quatrième degré ». Le « degré » est ici l'ordre de dérivation. La phrase laisse entendre que l'équation de l'écrivante était d'un ordre plus élevé. Le feuillet ne l'écrit pas.

Elle cite alors l'équation de sa « note », qu'elle dit déduite « des formules de la mécanique analytique » : \[ \int dz\,dy\int X\,dm+\int dx\,dz\;Y\,dm-2\int dx\,dy\int Z\,dm=2\,\mathrm{I}\,d^2z\,.\,dx\,dy . \] La transcription est trop incertaine pour qu'on l'interprète, et cette lecture ne l'interprète pas.⁵² Sa question est de méthode. Ne faut-il pas différencier cette équation quatre fois, deux fois en \(x\) et deux fois en \(y\) ? En faisant abstraction du terme dû à l'élasticité et en prenant \(X=Y\), on obtient par ce procédé « l'equation connue de la surface tendue », \[ X\Bigl(\frac{\partial^2z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2z}{\partial y^2}\Bigr)=2Z, \] c'est-à-dire \(X\,\Delta z=2Z\). C'est l'équation d'équilibre d'une membrane tendue également dans les deux sens et chargée normalement, au facteur et à la convention de signe près. Elle est, dit la lettre, « au fond la même que celle donnée par M^r La Grange lui même p. 151 de la 1ère édition ». Comment le même procédé deviendrait-il « vicieux lorsqu'il s'applique au terme dependant de l'elasticité » ?⁵³ La question est légitime. Elle a sa réponse dans la mécanique actuelle : la différentiation n'est pas en cause, c'est l'expression du terme élastique qui l'est.

Le correspondant lui a fait remarquer que l'équation que « M^r De la Grande a trouvée en suivant mon hypothese » contient celle de la lame élastique, tandis que la sienne n'a pas cet avantage. En effet, si \(z\) ne dépend pas de \(y\), \(\Delta^2z\) se réduit à \(\partial^4z/\partial x^4\), et l'équation des plaques redonne celle de la poutre d'Euler–Bernoulli, \(p\,\partial_t^2z+k^2\,\partial_x^4z=0\). Elle s'était fait la même objection, et avait cru y répondre. La suite, à la vue 60, est un brouillon trop repris pour qu'on en reconstruise la construction. On y lit l'idée d'un « facteur qui compose l'équation propre à la surface », qui n'est « pas necessairement egal à zéro », et d'un « autre facteur » propre à la lame. On y lit aussi qu'elle avait cru que la formule, « considerée avant les differentiations successives », renfermait le cas de la lame, « et c'est ce que j'ai eu l'intention de prouver à la fin de la note ».⁵⁴

La lettre se termine sur une remarque, avec une réserve. « Il est singulier que l'on puisse obtenir les deux [équations] dont j'ai deja parlé et dont celle-ci semble [la somme] en substituant tout bonnement dans l'équation de la lame \(\frac1r+\frac1{r'}\) à la place de \(\frac1r\) », et en prenant successivement \(x\) puis \(y\) pour variable de la lame.⁵⁵ La remarque est juste. Dans la lame, le terme élastique est \(\partial_x^2(1/r)\), avec la courbure \(1/r\approx\partial_x^2z\). Si l'on remplace \(1/r\) par la somme des courbures principales, \(\frac1r+\frac1{r'}\approx\Delta z\), qui vaut deux fois la courbure moyenne au premier ordre, on obtient \(\partial_x^2\Delta z=\partial_x^4z+ \partial_x^2\partial_y^2z\), puis \(\partial_y^2\Delta z\) de même, et leur somme est \(\Delta^2z\). L'opérateur des plaques est le laplacien de la somme des courbures. « Je sais bien que ce n'est pas ainsi qu'a du operer M^r De la Grange mais cette idée m'a tellement frappée à la vue de son équation que je n'ai pû resister à la tentation de vous la communiquer en protestant au reste de ma parfaite soumission aux oracles … jugement d'un autre grand géomètre. »⁵⁶

Un second brouillon, au dos du feuillet 22

61–61L'autre face du feuillet 22 (vue 61) porte un brouillon de lettre, inachevé et très corrigé. « Vous m'engagez à reprendre une tache que j'ai déja fort mal remplie ; je m'y sens peu disposée et il faut convenir que puisque j'ai pû me tromper si grossierement je ne suis que trop fondée à me méfier de mes forces, cependant j'aime assez la verité pour etre encore contente de la connoitre lors même qu'elle ne m'est pas favorable ». Le reste remercie le correspondant de son intérêt et du « soin que vous prenez de me dissimuler le ridicule attaché au mauvais succès ». La lettre s'arrête sur « que vous me témoignez », biffé, sans point ni formule.⁵⁷ On y lit : « je vous prie, Monsieur d'ageer, l'expression de ma reconnoissance ». La feuille écrit « d'ageer » pour « d'agréer », le r omis ; ce n'est pas un nom. La construction le demande (« je vous prie … d'agréer l'expression … et de croire que »), et la lettre des vues 62 à 68 finit par la même formule, « en vous priant, Monsieur, d'agréer l'assurance ».⁵⁸ Les transcriptions ne disent pas lequel des deux textes du feuillet 22 fut écrit le premier, ni s'ils forment un seul brouillon.

La lettre qui recommande le « mémoire N° 1 »

62–68Les feuillets 23 à 26 (vues 62 à 68) portent une lettre complète et continue, du premier mot à la souscription, mais sans nom, sans date, sans lieu et sans nom de destinataire. Elle est écrite d'une cursive penchée qui emploie le s long, et ses accords sont au féminin. Elle commence ainsi : « Je recommande à votre protection le mémoire N^o 1 portant cette épigraphe » :

« Sed longe maximum progressibus scientiarum, et novis pensis ac provinciis in isdem suscipiendis obstaculum deprehenditur in desperatione hominum et suppositione impossibilis. » Baco novum org.

L'épigraphe est tirée du Novum Organum de Bacon.⁵⁹ L'écrivante aurait voulu consulter son correspondant avant de l'adopter, car elle a « un air de venterie » qui ne lui convient guère. Elle ne voit pas « de plus forte objection contre ma théorie que l'improbabilité d'avoir rencontré juste ».⁶⁰ Elle craint « l'influence de l'opinion qu'avoit manifestée M^r De la Grange ». La question n'a sans doute été abandonnée, écrit-elle, « que parceque ce grand géomètre l'avoit jugée difficile », et le même préjugé pourrait la faire condamner sans examen. Elle demande que « les commissaires prennent la peine d'entendre mon long et ennuieux travail », bien que « le sujet du mémoire ne me laisse pas l'espérance de vous avoir pour juge ».⁶¹

Le plaidoyer suit le mémoire point par point.

• L'accord avec l'expérience. Elle a comparé sa théorie aux expériences de M^r Chladni. Il reste une différence, peu considérable, qui n'apparaît que dans certains cas. Ce sont les cas qui appartiennent à une intégrale particulière « qui donne lieu à une équation de la forme de celle aux cordes vibrantes », quand on compare les sons de ses figures à ceux d'une autre intégrale particulière. Les sons d'une même intégrale, comparés entre eux, donnent des rapports « conformes à l'expérience ». Elle juge sa théorie « plus avancée, sous le rapport de la comparaison à l'expérience que celle des surface tendues sur laquelle personne n'élève de doute ».⁶² Les figures sont celles que Chladni rendait visibles avec du sable sur les plaques vibrantes : les figures de Chladni, qui dessinent les lignes nodales.
• Le § 3, sur « la valeur analytique des mots appuyé et libre », employés « d'une manière tellement vague qu'il en est résulté, même dans le mémoire d'Euler, une grande confusion d'idée ». Ce sont les conditions aux bords : un bord simplement appuyé, où la flèche et le moment de flexion sont nuls, et un bord libre, où le moment et l'effort tranchant sont nuls.⁶³
• Les lignes de repos. Les points et lignes de repos de la lame et de la plaque élastiques diffèrent de ceux de la corde et de la surface tendue. Cette différence « tient à l'ordre des équations différentielles de ces corps sonores ». Elle résulte, pour la lame, de la théorie d'Euler, du travail de Ricati, et de l'expérience. Avec des lames assez longues, l'expérience montre entre les lignes de repos des intervalles « sensiblement inégaux », conformes à la théorie d'Euler, ce que Chladni, qui s'est « sans doute » servi de lames trop courtes, n'a pas mentionné.⁶⁴ Chez la corde, le nœud de Sauveur est « une véritable limite analytique » : si l'on coupait la corde en son nœud, chaque moitié vibrerait comme avant. Chez la lame, dans « le plus grand nombre » des cas, les parties séparées par des points de repos ne pourraient, isolées, ni se ployer aux mêmes courbures ni rendre les mêmes sons. C'est juste, et c'est bien affaire d'ordre. Pour l'équation de la corde, qui est du second ordre, un nœud (\(z=0\)) est exactement la condition d'extrémité fixe. Pour l'équation de la lame, qui est du quatrième ordre, le moment \(z''\) et l'effort tranchant \(z'''\) ne s'annulent pas en général en un nœud. La partie isolée ne satisferait donc ni aux conditions d'un bord appuyé ni à celles d'un bord libre.
• Le programme. Elle demande qu'en tout état de cause la classe change, si la question est « encore remise », le passage de son programme sur les découvertes de Chladni, qui aurait rendu perceptibles « des nappes vibrantes analogues aux ondes des cordes de Sauveur, et des courbes d'équilibres ou de repos auxquels correspondent les nœuds ou points de repos des mêmes cordes ». L'analogie qu'il suggère est précisément celle qui est fausse pour les lames.⁶⁵
• Le § 6, « un véritable hors d'œuvre au sujet du mémoire ». Il expose « un fait singulier » : en appliquant un corps mou aux côtés d'une plaque rectangulaire élastique, on peut tirer d'une portion aussi petite qu'on veut le même son que d'une portion de longueur donnée. Elle en donne la raison : « les termes qui doivent être nuls aux limites, sont l'un et l'autre multipliés par un facteur dépendant de la rigidité naturelle ». Au bord libre, en effet, le moment et l'effort tranchant sont proportionnels à la rigidité de flexion. Là où une matière non élastique remplace la plaque, ces deux conditions sont satisfaites d'elles-mêmes. Le paragraphe du mémoire n'est pas dans ce volume, et cette lecture ne peut pas vérifier le fait lui-même.⁶⁶
• Le dernier chapitre explique les différences entre la théorie de l'anneau d'Euler et les expériences de Chladni. « Ainsi voila plusieurs points parfaitement indépendans de la théorie des surfaces et qui sont appuyés tant sur la théorie d'Euler que sur des expériences faciles à répéter. »⁶⁷

La lettre finit sur un regret : « Combien je regrette l'avis de M^r De la Grange ! s'il m'eut condamnée il auroit au moins remarqué ce qui a indépendamment de la théorie principale, peut mériter l'attention, s'il m'eut aprouvé j'aurais été sûre d'avoir raison ». L'idée que la question est difficile, qui empêchera peut-être « que l'on ne se donne la peine d'examiner un mémoire condamné d'avance », n'aurait alors pu lui donner aucune crainte. Elle réclame donc la protection de son correspondant. Puis vient la formule finale : « en vous priant, Monsieur, d'agréer l'assurance des sentimens de d'admiration et de respect de votre servante ».⁶⁸ Le regret porte sur un avis que l'écrivante n'a pas eu. La lettre ne dit pas pourquoi elle ne l'a pas eu, et cette lecture ne le devine pas.

IV. Ce que les feuillets permettent d'affirmer

13–68Le mémoire des vues 17 à 41. Son titre porte « Par J. L. Lagrange », de la même main et de la même encre que le texte. C'est un brouillon, et l'auteur y parle à la première personne. Les transcriptions ne disent pas si la main est celle de Lagrange ; la chemise de la vue 15 parle de papiers « autographes ». Le mémoire cite le tome 2 de la Mécanique céleste et lui est donc postérieur. C'est une borne que le contenu impose, pas une date, et cette lecture n'en tire pas d'année.

Les notes des vues 43 à 56. La chemise dit « Notes de M^r Dela Grange ». Les calculs des vues 45 à 51 sont de la main du mémoire, et deux d'entre eux sont recopiés par une autre main, aux vues 53 et 55. Le brouillon numérique est d'une autre main encore, qui n'écrit que des chiffres. La chemise ne dit pas quels feuillets elle couvre.

Les lettres des vues 58 à 68. Voici ce que les feuillets montrent. L'écrivante emploie des accords féminins et signe « votre servante ». Elle est l'auteur d'une théorie des surfaces élastiques vibrantes et d'un mémoire présenté à « la classe », sous le numéro 1 et une épigraphe de Bacon. Ce mémoire compare la théorie aux expériences de Chladni, discute Euler, et repose sur une « hypothèse » dont M^r De la Grange a tiré une équation du quatrième ordre. Voici ce que la chemise affirme : que le volume contient des « notes etc de M^lle Sophie Germain ». Le vocabulaire de ces lettres (« la classe », « le programme », les « commissaires », un mémoire numéroté sous une épigraphe) est celui d'un concours de l'Institut. Leurs sujets, les vibrations des surfaces élastiques comparées aux figures de Chladni, sont ceux du prix que la Première classe de l'Institut mit au concours sur la théorie des surfaces élastiques.

L'identification de l'écrivante avec Sophie Germain est une inférence de cette lecture, non un fait des feuillets. Plusieurs indices la soutiennent. La chemise l'annonce. L'écrivante est une femme qui a concouru à un prix de l'Institut sur les surfaces élastiques. Son hypothèse porte sur la somme des courbures principales \(\frac1r+\frac1{r'}\). Lagrange a tiré de cette hypothèse l'équation des plaques, ce qui répond à ce que l'histoire du prix rapporte de Sophie Germain et de Lagrange.⁶⁹ D'autres éléments manquent ou vont en sens contraire. Aucun feuillet ne porte de nom, de date ni de signature. La chemise est d'une main du XIX^e siècle, qui n'est pas celle des lettres. Les transcriptions n'ont comparé ces mains à aucun autographe authentifié. Elles ne décident pas non plus si les mains des vues 53–55, 58–60 et 61–68 sont une seule main. L'inférence est donc forte, mais elle n'est pas établie. Ni le destinataire, un « Monsieur » qui n'est pas nommé, ni l'autre « grand géomètre » ne sont identifiés ici.

Quand. Aucun feuillet ne porte de date. Le champ de datation est celui du catalogue, 1701–1900, et cette lecture n'en tire aucune année, ni pour le mémoire, ni pour les notes, ni pour les lettres. Les « avant » et « après » des notes de bas de page qui situent le mémoire par rapport à des travaux ultérieurs sont conditionnels : ils supposent que le titre dit vrai en nommant Lagrange.