NAF 5176 · vues 1–58 · Lecture modernisée · Papiers du Père MERSENNE et de Blaise PASCAL. — lecture modernisée du volume entier
Datation du catalogue : 1601-1700
Source gallica.bnf.fr / Bibliothèque nationale de France
Lecture automatique — interprétation non vérifiée

Résumé

Ce que le volume contient

1–58Cinquante-huit vues, que Gallica photographie le volume ouvert : presque chaque vue montre une page de gauche et une page de droite. Plusieurs feuillets portent des papillons collés, photographiés deux fois, rabattus puis relevés, et le texte n'est donné qu'à la vue où il se lit en entier.¹ Les vues 1 à 8 sont la reliure, des gardes et trois pièces de bibliothèque. On y trouve un billet sur papier quadrillé daté du 21 mai 1962 (vue 6), le certificat de 1888 (vue 7) et un « Feuillet A » qui porte, d'une main du XIX^e siècle, « Manuscrits autographes du père Mersenne » (vue 8).² Les vues 52 à 58 sont des gardes blanches et le plat de derrière.

Entre les deux, le texte ancien est de quatre mains au moins.

• La main A, une cursive française très rapide, à longues liaisons, chargée de ratures et d'ajouts entre les lignes. Elle couvre les vues 9 à 12 (gauche), 14 à 18, 20 à 29, 31 à 36 et 38. C'est le « premier ensemble » : mouvement, réflexion, coniques, réfraction, tangentes, lettre sur la lumière.³
• La main B, plus petite, plus serrée et plus abrégée, sur les seules vues 12 (droite) et 13 : une table de chapitres d'un traité des triangles et des problèmes sur les ellipses rationnelles.
• La main C, une cursive ronde, penchée et régulière, aux vues 40 à 42 : les partis et les dés. Deux lignes plus appuyées de la vue 40 sont peut-être d'une autre main encore.
• La main D, ronde et compacte, aux vues 47 à 51 : intérêts, combinaisons, loterie, ancêtres et pions.

Un feuillet moderne sépare les deux ensembles à la vue 39 ; il porte « Pascal / autographe / et copies ». C'est une marque de classement du XIX^e siècle, et non un témoignage sur les feuillets qui suivent.⁴

Pourquoi le volume n'est cité ici que par vues. Les transcriptions lisent à l'encre, en haut à droite de chaque recto et de chaque papillon collé, une série continue de 1 à 42, un nombre par morceau de papier, feuillets blancs compris. Elle s'accorde avec le certificat de 1888 et sa liste de feuillets blancs. À côté court une série plus ancienne et plus fine, qui n'est pas dans l'ordre.⁵ Parce que la série continue est à l'encre et non au crayon, aucune des trois transcriptions ne l'écrit comme foliotation tant qu'un œil humain n'a pas vu les feuillets. Cette lecture fait de même et ne cite que les vues.

I. Le traité des mouvements composés

9–12Le premier feuillet porte « Preface. » en tête et la pagination propre de l'auteur, de 5 à 8. Il ouvre un traité dont le programme est dit d'emblée : parmi les choses qui servent à « relever la puissance de la lumière et de ses rayons », il faut donner le premier rang « aux mouvemens tant simples que composez ». L'auteur y prépare le lecteur par quelques propositions sur la composition des mouvements, avant d'en venir à la lumière.⁶

Vitesse d'un mouvement composé

Le mouvement \(AC\) est composé des mouvements \(AD\) et \(AB\), faits dans le même temps. Le feuillet énonce que la vitesse sur \(AC\) est à la vitesse sur \(AD\) comme la longueur \(AC\) est à \(AD\). C'est la règle du parallélogramme des vitesses : si \(\vec v_1\) et \(\vec v_2\) sont les vitesses composantes, parcourues pendant le même temps \(t\), la vitesse résultante est \(\vec v_1+\vec v_2\), et les normes sont entre elles comme les longueurs parcourues. L'« impétuosité » et l'« effort » que le feuillet compare ensuite dans le même rapport sont, dans ce langage, la vitesse acquise et ce qui la produit.⁷

Proposition I : deux mouvements se nuisent d'autant plus que leur angle est grand

Deux mouvements rectilignes uniformes « s'empêchent et se retardent d'autant plus que l'angle qu'ils font est plus grand ». En langage actuel : deux vitesses de même norme \(u\), dont les directions font un angle \(\theta\), ont une résultante de norme \[ \lVert \vec v_1+\vec v_2\rVert = 2u\cos\frac{\theta}{2}, \] fonction décroissante de \(\theta\) sur \([0,\pi]\). L'énoncé est donc juste si l'on entend par « angle » l'angle entre les deux directions de mouvement, et si les vitesses sont égales, comme le feuillet le suppose (« que le mouvement qui se fait sur \(DB\), \(EB\), \(FB\) soit égal »).⁸

Proposition II : le cercle et sa tangente

Un mobile décrit un cercle d'un mouvement uniforme ; un second mouvement rectiligne uniforme lui « survient ». Un autre mobile parcourt la tangente avec la même vitesse, et le même mouvement lui survient. La proposition affirme que les deux mouvements composés ont la même vitesse. En termes actuels, c'est vrai au point de contact \(C\) : la vitesse instantanée d'un mouvement circulaire uniforme est portée par la tangente et a même norme, de sorte que les deux compositions ont en \(C\) la même vitesse résultante. La démonstration du feuillet procède par l'absurde, en comparant des angles rectilignes à l'angle que fait l'arc avec une droite, l'« angle de contingence ». Elle n'est pas une démonstration au sens actuel, puisque tout repose sur la notion de vecteur vitesse, qui lui manque.⁹

Le lemme : la vitesse moyenne d'un mouvement uniformément ralenti

« La vitesse qui se diminue toujours jusqu'à ce qu'elle cesse » est, prise en moyenne sur tout le temps du mouvement, « la moitié de la plus grande vitesse qui a été au commencement ». Si la vitesse décroît linéairement de \(v_0\) à \(0\) pendant le temps \(T\), la distance parcourue vaut \[ \int_0^T v_0\Bigl(1-\frac{t}{T}\Bigr)\,dt = \frac{v_0T}{2}, \] soit celle d'un mouvement uniforme de vitesse \(v_0/2\). C'est ce qu'on appelle aujourd'hui le théorème de la vitesse moyenne, ou règle de Merton.¹⁰

Proposition III : la longueur de la spirale — un énoncé faux

Le feuillet énonce que la première révolution de la spirale d'Archimède est égale à la droite « qui est égale en puissance » à la circonférence et au rayon, c'est-à-dire à l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont ces deux longueurs sont les côtés.¹¹

L'argument compose deux mouvements. Le point de la spirale descend le rayon d'un mouvement uniforme, et il tourne d'un mouvement circulaire dont la vitesse diminue uniformément jusqu'à zéro au centre. Par le lemme, cette vitesse circulaire vaut en moyenne la moitié de la vitesse initiale. Le feuillet remplace alors les deux mouvements par deux mouvements uniformes, de vitesses moyennes, sur deux droites perpendiculaires. La droite composée a pour longueur \(\sqrt{(\pi R)^2+R^2}\). C'est là que l'argument échoue : la longueur d'une trajectoire est l'intégrale de la norme de la vitesse, non la norme de l'intégrale des composantes. Pour la spirale \(r=R-\frac{R}{2\pi}\varphi\), \(0\le\varphi\le2\pi\), on a \[ L=\int_0^{T}\sqrt{v_r^2+v_\varphi(t)^2}\,dt\;\ge\;\sqrt{\Bigl(\int_0^T v_r\,dt\Bigr)^2+\Bigl(\int_0^T v_\varphi\,dt\Bigr)^2}=\sqrt{R^2+(\pi R)^2}, \] avec égalité seulement si le rapport \(v_\varphi/v_r\) est constant, ce qui n'est pas le cas.¹² La longueur exacte d'un tour, calculée à partir de \(r=a\varphi\) avec \(a=R/(2\pi)\), est \[ L=\frac{a}{2}\Bigl[\,2\pi\sqrt{1+4\pi^2}+\ln\bigl(2\pi+\sqrt{1+4\pi^2}\bigr)\Bigr]\approx 3{,}383\,R, \] alors que \(\sqrt{\pi^2+1}\,R\approx3{,}297\,R\). La valeur du feuillet est donc trop courte d'environ \(2{,}5\,\%\). C'est une minoration stricte, non une égalité.¹³

II. Les ellipses rationnelles

12–13Une autre main, petite et serrée, occupe le recto de la vue 12 et les deux pages de la vue 13. Elle commence par la table des chapitres d'un traité « Des triangles Rectilignes et Spheriques », en vingt-cinq chapitres avec renvois de pages, dont beaucoup de mots restent illisibles.¹⁴ Viennent ensuite des problèmes numérotés en marge de 1 à 8. Leurs mots se lisent mal, leurs nombres se lisent bien, et ce sont eux que la lecture suit.

La question

Dans une ellipse de grand axe \(2a\), de petit axe \(2b\) et de distance focale \(2c\), on a \(a^2=b^2+c^2\). Les trois axes entiers \((2b,2c,2a)\) forment donc un triangle rectangle en nombres, c'est-à-dire un triplet pythagoricien. Le feuillet le dit par l'exemple : « le grand diamètre \(AB\) étant 5, le petit pourra être 4 et la distance des foyers 3 ; ou bien le petit diamètre pourra être 3, et \(IL\) 4 ». Chaque triangle donne deux ellipses, en échangeant les deux côtés de l'angle droit. Le problème est de trouver un grand axe commun à autant d'ellipses rationnelles qu'on voudra : il faut un nombre qui soit hypoténuse de plusieurs triangles. Le problème 1 prend \(125\), hypoténuse de trois triangles, \[ 44^2+117^2=35^2+120^2=75^2+100^2=125^2, \] et le problème 2 prend \(65\), hypoténuse de quatre, \[ 16^2+63^2=25^2+60^2=33^2+56^2=39^2+52^2=65^2, \] d'où huit ellipses.¹⁵

Quand la « perpendiculaire sur le foyer » doit aussi être rationnelle

La page parle ensuite d'une ligne \(MI\). Elle la dit, doublée, « troisième proportionnelle au grand et petit diamètre », et elle écrit que « \(AK\) multiplié par \(MI\) donne le quarré de \(CK\) ». C'est le demi-paramètre (demi-côté droit) de l'ellipse, \(p=b^2/a\), c'est-à-dire la demi-corde menée par un foyer perpendiculairement au grand axe.¹⁶ Pour que \(p\) soit entier en même temps que les axes, le feuillet prend un grand axe qui soit un carré. Au verso (vue 13, gauche), avec le triangle \(3,4,5\) multiplié par 5, il obtient \[ AB=25,\quad CD=20,\quad IL=15,\quad MI=\frac{CD^2}{2\,AB}=8 . \] Il constate que \(M\), \(I\), \(L\) forment le triangle \(8,15,17\), dont les côtés \(MI\) et \(ML\) ont pour somme \(AB=25\). C'est la propriété focale de l'ellipse : la somme des distances de \(M\) aux deux foyers vaut le grand axe.¹⁷ Les problèmes 3 à 6 étendent la règle : \(125^2 =15625\) sert de grand axe à trois paires d'ellipses, et \(8450=2\cdot65^2\) aux ellipses du nombre 65. Les problèmes 5 et 6 imposent en outre que la distance des foyers soit plus grande que le petit axe.

Le « triangle fondamental » 8, 15, 17

Le recto suivant (vue 13, droite) fait le calcul complet sur le triangle \(8,15,17\), avec un grand axe \(2\cdot17^2=578\). On a donc \(a=289\), et \(c=17\cdot15=255\), \(b=17\cdot8=136\) ; on vérifie bien \(289^2=255^2+136^2\). Le tableau du feuillet donne alors, dans les deux cas où le côté 15 va à la distance focale ou au petit axe : \[ \begin{array}{lcc} & 2c=510,\ 2b=272 & 2c=272,\ 2b=510\\ \hline a-c & 34 & 153\\ p=b^2/a & 64 & 225\\ 2a-p & 514 & 353\\ a & 289 & 289 \end{array} \] Ici \(a-c\) est la distance d'un foyer au sommet voisin, \(p\) le demi-paramètre, et \(2a-p\) la distance de l'autre foyer à l'extrémité de la corde focale. Tous ces nombres sont justes.¹⁸ Le choix d'un grand axe égal au double du carré de l'hypoténuse est ce qui rend le demi-paramètre entier : si \(a=h^2\) pour un triangle \((s,l,h)\) et \(b=hs\), alors \(p=b^2/a=s^2\).

Problèmes 7 et 8 : comparer l'ellipse à un cercle

Le problème 7 cherche des triangles « auxquels le produit de l'hypoténuse par le petit côté soit plus grand que le carré de l'autre côté ». Avec \(29,21,20\) il prend \(AC=29\) pour grand axe, \(KI=21\) pour distance focale et \(BD=20\) pour petit axe. Le cercle de diamètre \(KI\) a alors une aire moindre que l'ellipse, dans le rapport \(441:580\). C'est exact : l'aire de l'ellipse vaut \(\pi\cdot\frac{29}{2}\cdot\frac{20}{2}\) et celle du cercle \(\pi\bigl(\frac{21}{2}\bigr)^2\), qui sont entre elles comme \(580:441\). La condition \(hs>l^2\) du feuillet est précisément \(29\cdot20>21^2\).

Le problème 8 prend l'hypoténuse \(KI=50\), double d'un carré, et le triangle \(KEI\) rectangle en \(E\), de côtés \(30\), \(40\), \(50\) : \(E\) est sur l'ellipse de foyers \(K\), \(I\) et de grand axe \(30+40=70\). La hauteur \(EN=24\) partage \(KI\) en \(18\) et \(32\). Le centre \(L\) donne \(LN=7\), \(LE=25\), d'où le triangle \(7,24,25\). \(FK=17\frac17\) et \(FI=52\frac67\) sont le demi-paramètre \(b^2/a=600/35\) et son complément à \(70\). En multipliant par 7 pour ôter les fractions, on obtient les onze nombres de la colonne du feuillet : \(490, 350, 370, 120, 280, 210, 168, 224, 126, 49, 175\). Tous sont justes, et \(120\), \(350\), \(370\) forment un triangle rectangle.¹⁹

III. La lumière cendrée, et pourquoi la réflexion se fait à angles égaux

14–15La main A reprend au recto de la vue 14, au milieu d'un développement dont le début manque. Il porte sur la lumière que la Terre renvoie vers la Lune et qui éclaire faiblement sa partie privée du Soleil. C'est ce que nous appelons la lumière cendrée. Le texte se demande si les rayons réfléchis par la Terre et par les mers vont jusqu'à la Lune, et l'explication moderne est bien celle-là.²⁰

Vient une « Proposition III », « encor autrement » : expliquer pourquoi la réflexion se fait à angles égaux. L'auteur imagine une ligne physique rigide \(AB\) qui tombe obliquement sur un plan et s'y réfléchit. Il décompose le mouvement de chacun de ses points en une part parallèle au plan, que rien n'arrête, et une part perpendiculaire, que « la résistance du plan réfléchissant » renverse. Il en conclut l'égalité de l'angle d'incidence et de l'angle de réflexion. Ramené à l'essentiel, c'est le modèle de la réflexion spéculaire : la composante tangentielle de la vitesse est conservée, la composante normale change de signe, et l'angle avec la normale est donc le même avant et après. Le feuillet étend ensuite le raisonnement du segment au « point physique », puis aux petits globes « dont le mouvement fait la lumière ». Il termine par un « Avertissement » : toute réflexion n'est pas un rejaillissement, mais une « répression » ou « réaction » du corps frappé.²¹

IV. Les sections coniques, et comment les tracer par les foyers

15–18Deux petites figures imprimées, découpées et collées sur un onglet, portent à l'encre les numéros 6 et 7. Ce sont les « deux figures » qu'annonce le recto de la vue 16 : un cône coupé de trois façons, et les trois sections disposées autour d'un sommet commun \(A\) et d'un axe commun \(TD\).²²

La proposition 8 : expliquer les sections coniques

Le recto de la vue 16 commence ainsi : « J'ay expliqué ces sections en plusieurs livres ». Suivent des renvois : les pages 498 à 535 du « Commentaire sur la Genèse », le chapitre 16 du livre 4 de « la vérité des sciences », la proposition 28 du premier livre de « l'Harmonie universelle », la cinquième de « l'Utilité de l'Harmonie », les propositions 18 et 19 « des Hydrauliques ». Ce sont les titres des ouvrages du P. Mersenne. C'est sur ce seul passage, écrit par l'auteur de ces livres à la première personne, que repose l'attribution de la main A à Mersenne. Elle reste une inférence : la page ne signe pas.²³ La proposition identifie ensuite les sections sur les deux figures. La section dont l'axe rencontre le côté prolongé du cône est l'hyperbole. Celle dont l'axe est parallèle au côté est la parabole. Celle qui coupe les deux côtés est l'ellipse, et le cercle vient de la coupe parallèle à la base. Le point \(B\) est à la fois foyer de la parabole, de l'ellipse et de l'hyperbole ; l'hyperbole a deux asymptotes qui ne la touchent jamais. Rien de cela n'appelle correction.

La proposition suivante : tracer les trois coniques au compas

La vue 18 donne trois constructions point par point, que la lecture vérifie.

• Parabole. Soient le foyer \(A\) et le sommet \(B\). On porte \(BC=BA\) au-delà du sommet. Par chaque point \(D\) de l'axe on mène la perpendiculaire. Du centre \(A\), au rayon \(DC\), on coupe cette perpendiculaire en \(E\). Alors \(AE=DC\), qui est la distance de \(E\) à la perpendiculaire à l'axe menée par \(C\) : \(E\) est équidistant du foyer et de la directrice, donc sur la parabole. Le côté droit vaut « le double d'\(AC\), ou le quadruple d'\(AB\) », soit \(4f\) si \(f=AB\) est la distance focale : c'est juste.
• Ellipse. Soient les foyers \(A\), \(F\) et le sommet \(B\) du côté de \(A\), avec \(BC=BA\) sur la droite \(FAB\) prolongée. Un point \(E\) tel que \(FE=FD\) et \(AE=DC\) vérifie \(FE+AE=FC=FB+BA\), qui est le grand axe. La condition du feuillet, un rayon « plus grand que \(CB\) et moindre que \(FB\) », est exactement \(a-c<FD<a+c\).
• Hyperbole. Les foyers \(A\), \(F\), le sommet \(B\) avec \(AB<\frac12AF\), et \(BC=BA\) sur \(FCBA\). Alors \(FE-AE=FD-DC=FC=2a\). Le feuillet remarque avec raison que si \(AB\) égale la moitié d'\(AF\), la construction donne la médiatrice : c'est le cas dégénéré \(a=0\).

La page affirme enfin que l'hyperbole « servira particulièrement pour les réfractions », parce qu'elle rassemble par réfraction les rayons parallèles en un point. C'est vrai, et c'est ce que démontrent les propositions de la vue 21 et suivantes.²⁴

V. La réfraction : cinq propositions

20–29C'est le morceau le plus suivi de la main A. Les énoncés sont tenus dans des accolades, les démonstrations faites sur des figures d'apparence imprimée, collées sur des béquets.²⁵

Proposition I : la loi de réfraction, donnée par une construction

On connaît l'incidence et la réfraction d'un rayon ; il s'agit de trouver celles de tous les autres sur la même surface. La construction se lit ainsi. Autour du point d'incidence \(E\), on trace un cercle de rayon \(r=EF\) qui coupe le rayon incident en \(F\). La parallèle à la surface menée par \(F\), puis la perpendiculaire à la surface, rencontrent le rayon réfracté en \(G\). Le cercle de rayon \(EG\) sert ensuite pour tous les autres rayons : pour un rayon \(HE\), on reporte de la même façon la distance de \(H\) à la normale, et le point \(N\) du second cercle donne le rayon réfracté \(EN\). La construction conserve la distance à la normale, soit \(r\sin i=EG\cdot\sin\rho\), donc \[ \frac{\sin i}{\sin\rho}=\frac{EG}{EF}=n, \] constant pour tous les rayons. C'est la loi des sinus, dite de Snell-Descartes, et le corollaire le dit à sa façon : les angles d'inclinaison et de réfraction « doivent être comparés ensemble suivant la raison de la droite \(GE\) à la droite \(EF\) ».²⁶

Proposition II : mesurer la réfraction d'un cristal

On taille dans le cristal un prisme rectangle \(ABC\), droit en \(B\). Un rayon solaire, dirigé par deux pinnules, entre perpendiculairement par la face \(AB\) sans se briser, puis se brise en \(I\) sur la face oblique \(AC\) en sortant dans l'air. La même construction qu'à la proposition I donne alors le rapport \(LI/ID\), qui est celui de tous les rayons. Ici le rapport mesuré est celui du verre vers l'air, \(1/n\).

Le corollaire : les foyers de l'hyperbole

Le corollaire invoque deux propriétés des foyers de l'hyperbole. La tangente en un point bissecte l'angle des deux rayons focaux, et la différence des rayons focaux égale l'axe transverse. Le feuillet les cite comme « la 49 prop. du 1 livre de mes Coniques » et « la 51 ». Ce sont, dans la numérotation usuelle, les propositions III, 48 et III, 51 des Coniques d'Apollonius.²⁷

Propositions III et IV : l'hyperbole et l'ellipse

Proposition III. Soit un point \(C\) d'une hyperbole. On mène par \(C\) la parallèle à l'axe, la droite vers le foyer « extérieur » (le plus éloigné) et la normale. Alors \[ \frac{\sin(\text{angle normale–parallèle à l'axe})}{\sin(\text{angle normale–droite focale})}=\frac{\text{axe transverse}}{\text{distance des foyers}}=\frac{a}{c}=\frac1e . \] Proposition IV. Pour l'ellipse, avec le foyer le plus éloigné, le même rapport vaut \(a/c=1/e\), qui est cette fois plus grand que 1. Les deux propositions sont exactes : la lecture les a vérifiées en tout point de la courbe, par le calcul en coordonnées. La démonstration du feuillet est synthétique : elle abaisse des perpendiculaires, utilise la bissection de l'angle focal par la tangente, et en tire que \(DP\) égale l'axe.²⁸

Le corollaire tire la conséquence optique. L'ellipse a \(a/c>1\), l'hyperbole \(a/c<1\) : leurs « lois de réfraction sont différentes », et chacune convient à un sens de passage.

Proposition V : les surfaces qui rendent les rayons parallèles, convergents ou divergents

La proposition V rassemble tout. Soit \(n\) l'indice du verre par rapport à l'air. Une hyperbole dont l'axe transverse est à la distance des foyers comme le rayon rompu au rayon d'incidence a pour excentricité \(e=n\). Une ellipse dont le rapport est « contraire » a \(e=1/n\). L'une et l'autre sont « propres pour les diaphanes ». Tournées autour de leur axe, elles donnent les conoïdes hyperboliques et les sphéroïdes elliptiques. Un verre plan d'un côté et hyperbolique de l'autre, « comme l'on fait ordinairement les verres pour les lunettes de longue vue », rassemble en un point les rayons reçus parallèles par le côté plat. En langage actuel, c'est la lentille anaclastique : le dioptre hyperbolique d'excentricité \(n\) est stigmatique pour un point à l'infini sur l'axe, et le dioptre ellipsoïdal d'excentricité \(1/n\) aussi, de l'autre côté. La proposition est juste.²⁹

La bande de la vue 27

Au milieu de la proposition V, une bande déchirée, de la même main, porte un fragment de méditation. Un « Luminaire » dont les rayons rejaillissent vers leur source y est pris pour figure de l'âme qui renvoie à Dieu « toutes les inspirations » qu'elle en reçoit, « jusqu'à ce que cette réflexion et cette vue par le miroir soit changée dans la claire [vue] du soleil divin ». Il n'y a pas de mathématique ; l'image du miroir parfait revient dans la lettre des vues 33 à 35.³⁰

VI. La méthode des tangentes par « adæqualité »

31–32Deux pages de la main A, plus serrées, sans titre, dans la notation des espèces : les grandeurs sont désignées par des capitales, « B in G » est le produit \(BG\), « Aq » le carré \(A^2\), « bis » le double.³¹

La tangente à l'ellipse (vue 31)

Soit une ellipse d'axe \(\zeta n\), et un point \(\delta\) de la courbe dont l'ordonnée tombe en \(o\). On pose \(o\zeta=B\), \(on=G\), et l'on cherche \(om=A\), où \(m\) est le point où la tangente coupe l'axe prolongé. On prend un point \(u\) entre \(o\) et \(n\) avec \(ou=E\). L'ordonnée de l'ellipse en \(u\) est plus courte que la portion de la parallèle comprise sous la tangente. Par la propriété de l'ellipse (\(\delta o^2/\varepsilon u^2=\zeta o\cdot on/\zeta u\cdot un\)) et par les triangles semblables, on obtient l'inégalité \[ \frac{BG}{BG-BE+GE-E^2}>\frac{A^2}{A^2+E^2-2AE}. \] En chassant les dénominateurs, en ôtant ce qui est commun et en divisant par \(E\), le feuillet « compare par adæqualité » les deux membres. Il efface ensuite les termes où \(E\) reste et obtient \[ BA-GA=2BG,\qquad\text{soit}\qquad A=\frac{2BG}{B-G}. \] C'est la bonne sous-tangente.³² Le procédé est ce que la littérature appelle la méthode d'adégalisation (adaequalitas). On pose une quasi-égalité entre deux expressions en \(E\), on divise par \(E\), puis on supprime les termes qui contiennent encore \(E\). En termes actuels, on prend la limite \(E\to0\) d'un taux d'accroissement, c'est-à-dire qu'on dérive. Le passage n'est une démonstration qu'une fois justifié ce droit de supprimer les termes en \(E\), ce que le feuillet ne fait pas.³³

Le feuillet compare enfin sa construction à celle d'Apollonius. La sienne revient à \(\frac{B-G}{G}=\frac{2B}{A}\), celle d'Apollonius à \(\frac{\zeta o}{on}=\frac{\zeta m}{mn}\), soit \(\frac{B}{G}=\frac{B+A}{A-G}\). Les deux donnent \(A(B-G)=2BG\) et « reviennent à la même », comme le feuillet l'affirme. La condition d'Apollonius dit que \(o\) et \(m\) divisent harmoniquement le segment \(\zeta n\). La page se termine sur l'annonce d'autres exemples « tant du 1^er que du 2 cas de ma methode », de ses usages pour « l'invention des centres de gravité, dont j'ay envoyé les exemples à M^r Roberval », et d'une « question à soudre » qui n'est pas écrite sur ce feuillet.

La note de la vue 32

Le bifeuillet suivant commence par « M^r Fermat dans sa dernière let. de Juillet 1638 dit que M^r de […] s'est trompé en sa méthode ». C'est la seule date que portent les feuillets, et c'est une date citée, non la date où l'on écrit.³⁴ L'auteur propose alors la courbe \[ x^{10}+g\,x^{9}+g^{2}x^{8}+\cdots+g^{9}x \;=\; y^{10}-f\,y^{9}-f^{2}y^{8}-\cdots-f^{9}y . \] Il dit que sa méthode en donne la tangente « sans nulle difficulté », en substituant \(\frac{BA-BE}{A}\) à \(x\) et \(D-E\) à \(y\), sans qu'« une seule asymmétrie » s'y rencontre. La méthode de « M^r de Cartes », au contraire, « s'embarrasse dans les asymmétries » (page 344, ligne 3, d'un imprimé qui n'est pas nommé).³⁵ Sur le fond, la remarque est juste. Pour une courbe polynomiale \(F(x,y)=0\), la méthode d'adégalisation donne directement la pente \(-F_x/F_y\) par un calcul rationnel. La méthode des normales par le cercle oblige au contraire à éliminer une variable entre la courbe et un cercle, \(x=v\pm\sqrt{s^2-y^2}\), ce qui fait entrer un radical. On peut l'ôter en élevant au carré, mais le degré double. Cela rend le calcul très lourd sans le rendre impossible.

Suivent une figure de six demi-cercles de même origine \(A\) sur une même droite et quatre questions en latin.

1. Couper \(AB\) en \(y\) de sorte que la somme des six ordonnées \(yo+yu+ye+ys+yn+ym\) des demi-cercles soit égale à une droite donnée. Si les demi-cercles ont pour diamètres \(d_1<\dots<d_6\) depuis \(A\), et \(x=Ay\), on demande \(\sum_k\sqrt{x(d_k-x)}=\ell\).
2. Couper de sorte que cette somme soit maximale ou minimale. La somme est concave sur \([0,d_1]\) comme somme de racines de fonctions concaves positives. Elle est nulle en \(x=0\), qui est son minimum, et elle a un unique maximum intérieur, puisque sa dérivée tend vers \(-\infty\) en \(x=d_1\).
3. Trouver un plan égal à la surface d'un cône scalène (oblique). En langage actuel, l'aire latérale d'un cône circulaire oblique s'exprime par une intégrale elliptique et n'a pas de forme élémentaire.
4. Trouver des triangles rectangles en nombres dont l'aire soit un carré, « ou démontrer l'impossibilité de la question ». C'est l'impossibilité qui est vraie : aucun triangle pythagoricien n'a une aire carrée. C'est ce qu'on appelle aujourd'hui le théorème du triangle rectangle de Fermat, démontré par descente infinie.³⁶

VII. Une lettre sur la vitesse de la lumière et la grandeur de la Terre

33–35Trois pages de la main A, très raturées, forment une lettre sans en-tête ni signature. Elle s'achève ainsi : « je laisse mille considérations […] de peur de vous ennuyer par une si longue lettre ». L'auteur y dit avoir « employé quelque temps à la rendre françoise pour ceux qui n'entendent point d'autre langue » ; elle présente donc une optique mise en français. Ni l'auteur, ni le destinataire, ni l'ouvrage ne sont nommés.³⁷

L'échelle des vitesses

La lettre veut faire sentir combien la lumière est rapide, et monte pour cela une échelle de vitesses. La lieue y vaut 2500 toises, la toise six pieds. Les chiffres sont ceux du feuillet ; les conversions sont de la lecture.

• Un cheval à la course fait 21 toises en 3 secondes, soit 7 toises par seconde. En 6 minutes, il ferait \(7\times360=2520\) toises, à peu près une lieue, donc dix lieues à l'heure. C'est cohérent.
• L'oiseau le plus rapide ferait 28 toises par seconde, ou 40 lieues à l'heure. Les deux nombres s'accordent entre eux (\(28\times3600=100\,800\) toises). Mais 28, c'est quatre fois 7, et non « deux fois aussi vite que le cheval » comme le dit la phrase ; cela reviendrait au double du lévrier, qui va lui-même au double du cheval.³⁸
• La flèche fait 30 toises (le temps est biffé), le trait d'arbalète 30 toises par seconde, la balle d'arquebuse quatre fois plus : 120 toises par seconde.
• Si c'est la Terre qui tourne en 24 heures, et si son tour fait 7200 lieues, un point de l'équateur fait 300 lieues à l'heure, 5 lieues à la minute, \(208\frac13\) toises à la seconde. Le calcul est juste, mais 7200 lieues contredisent le tour de \(7857\frac17\) lieues que la même lettre calcule plus loin.
• Les étoiles, sur un firmament 14 000 fois plus grand que la Terre, feraient \(14\,000\times208\frac13\approx2\,916\,667\) toises par seconde, soit environ 1167 lieues. Le feuillet écrit en toutes lettres « plus de mille cinquante lieues », lu avec doute : la minoration est juste.

La lettre passe de là aux « douaires » du corps glorieux, c'est-à-dire aux dons que la théologie prête au corps des bienheureux : agilité, clarté, subtilité, impassibilité. Un corps glorieux qui irait aussi vite que la lumière emplirait tout l'univers dans « le temps d'une tierce », le soixantième d'une seconde. Puis vient l'idée que la lumière reproduit partout l'image de son principe, et que les couleurs sont « la lumière diversement réfléchie par une infinité de petits miroirs […] qui ne sont pas assez polis ».³⁹

La grandeur de la Terre par la dépression de l'horizon

La lettre s'achève sur « la considération d'un seul rayon ». L'œil \(D\) est à la hauteur \(h=AD\) au-dessus du point \(A\) de la surface, et le rayon visuel \(DF\) est tangent au globe en \(F\). Le feuillet écrit que « le quarré du rayon \(DF\) […] est égal au rectangle de \(BDA\) ». C'est la puissance du point \(D\) par rapport au cercle : \[ DF^2=DA\cdot DB=h\,(h+2R). \] Avec \(h=1\) toise et \(DF\) pris égal à \(AF\), une lieue, soit 2500 toises, il vient \(DB=6\,250\,000\) toises. Le diamètre vaut donc \(6\,249\,999\) toises, « moins une » comme dit le feuillet, et le rayon \(3\,125\,000\) toises, soit 1250 lieues. Le tour, pris dans le rapport \(22/7\), vaut \(2500\times22/7 =7857\frac17\) lieues. Les calculs sont justes.⁴⁰ Tout dépend d'une donnée que la lettre pose sans la mesurer : qu'un œil élevé d'une toise voie à une lieue. Comme \(R\approx DF^2/2h\), une erreur relative \(\epsilon\) sur cette distance devient une erreur \(2\epsilon\) sur le rayon. La réfraction atmosphérique, qui porte l'horizon plus loin, est ignorée. La lettre le sent d'ailleurs, puisqu'elle recommande les tours et les montagnes, où « l'angle de la vision sera d'autant plus aigu ».

VIII. Deux propositions de dioptrique

36–38Sous le titre « Propositions » (vue 36), la main A, plus posée, énonce que les rayons tombant sur un plan diaphane « se rompent tous de même façon » s'ils font des angles égaux. Autrement dit, la réfraction ne dépend que de l'angle d'incidence. Un cristal plan-convexe \(CFDGC\) laisse passer sans les briser les rayons qui tombent à plomb sur sa face plane, et ceux-ci se brisent ensuite sur la face courbe. Pour qu'ils se réunissent tous en un point \(I\), la face courbe « doit être hyperbolique », et la sphérique « s'en approche d'autant plus qu'elle est prise sur un plus grand cercle ». Les deux affirmations sont justes. La première est la proposition V ; la seconde est l'aberration de sphéricité, qui diminue quand l'ouverture est petite devant le rayon de courbure.⁴¹

La « Proposition XXII » (vue 38) demande si l'air réfracte la lumière et si elle peut passer par le vide. Elle répond seulement à la première question : oui, la lumière se brise en entrant obliquement dans l'atmosphère, plus dense que l'éther. C'est la réfraction atmosphérique. Le texte s'arrête sur « Quant à l'autre partie, » au milieu de la page, sans rien dire du vide.

IX. Le partage des enjeux

39–41Après le feuillet de séparation (vue 39), une autre main, ronde et régulière, écrit sur un papier bruni. Le titre est « Règles auxquelles se peuvent rapporter les partis ». Le « parti » est la part qui revient à chaque joueur quand une partie en plusieurs jeux est interrompue.⁴²

La première règle : l'espérance comme moyenne

« Si mon hasard est égal d'y gagner 10 ou 12, cela me vaut 11 » : avoir des chances égales d'obtenir \(a\) ou \(b\) vaut \(\frac{a+b}{2}\). La justification est celle d'un jeu équitable. Avec 11 en main, je joue 11 contre 11 à condition que le gagnant donne 9 au perdant. Si je gagne, j'ai \(22-9=13\) ; si je perds, j'ai 9. Me voici revenu à la même chance d'avoir 9 ou 13, que je puis donc échanger contre 11. Une seconde formulation, « plus courte », dit la même chose autrement : j'ai déjà sûrement le moindre, et je partage par moitié l'excédent. Une ligne ajoutée l'étend aux chances inégales. Deux chances pour 13 contre une pour 9 valent \(9+\frac23(13-9)=\frac{2\cdot13+9}{3}\).

En langage actuel, c'est la définition de l'espérance d'une variable aléatoire à deux valeurs équiprobables. La preuve par le jeu équitable en fait la seule valeur d'échange cohérente, à supposer que tout jeu symétrique vaut sa mise.⁴³

Deux joueurs : remonter depuis la fin

La seconde règle ramène tout à un cas simple : quand il faut encore deux jeux à l'un et un seul à l'autre, celui-ci a les \(\frac34\) de la somme. Avec des chances égales à chaque jeu, il gagne tout avec probabilité \(\frac12\) au jeu suivant, sinon on est à égalité et il a \(\frac12\), d'où \(\frac12(1+\frac12)=\frac34\). À partir de là, chaque position vaut la moyenne des deux positions où peut mener le jeu suivant. Si \(P(i,j)\) désigne la part du joueur à qui il manque \(i\) jeux quand il en manque \(j\) à l'autre, \[ P(i,j)=\tfrac12\bigl(P(i-1,j)+P(i,j-1)\bigr),\qquad P(0,j)=1,\ P(i,0)=0 . \] Le feuillet traite ainsi trois parties.

• En 2 jeux, chacun misant 6 écus. Qui a gagné le premier jeu a 9 écus sur 12 et l'autre 3.
• En 3 jeux, 8 écus contre 8. Après un jeu à rien, \(A\) a \(\frac{11}{16}\) ; après deux à rien, \(\frac{14}{16}\) ; à deux contre un, \(\frac{12}{16}\). Le premier jeu « vaut » donc \(\frac3{16}\) (de \(\frac8{16}\) à \(\frac{11}{16}\)), le second encore \(\frac3{16}\), le troisième \(\frac2{16}\).
• En 4 jeux (vue 41). À trois à rien, \(A\) a \(\frac{15}{16}\) ; à trois contre un, \(\frac{14}{16}\) ; à deux à rien, \(\frac{13}{16}\) ; à deux contre un, \(\frac{11}{16}\) ; à un à rien, \(\frac{21}{32}\). Les quatre jeux valent successivement \(\frac5{32}\), \(\frac5{32}\), \(\frac4{32}\), \(\frac2{32}\).

Toutes ces valeurs sont exactes.⁴⁴ Les valeurs des trois jeux d'une partie en trois, \(\frac3{16},\frac3{16},\frac2{16}\) de la mise totale, sont celles que donne la lettre de Pascal à Fermat du 29 juillet 1654 : 12, 12 et 8 pistoles sur 64.⁴⁵ La note marginale de la vue 41 dit qu'« il vaut mieux avoir 2 jeux à 0 de 4 qu'un à 0 de deux », de \(\frac1{16}\). C'est exact : \(\frac{13}{16}-\frac{12}{16}\). La même remarque suit la proposition VII du traité de Huygens.⁴⁶

La remarque intitulée « Autre » est juste en substance. Dès que les joueurs sont à égalité, « ces jeux-là sont comptés pour rien » et la partie recommence au nombre de jeux restants : à un contre un dans une partie en quatre, c'est une partie en trois. Elle contient pourtant un glissement : « le tout se joue en 2, auquel cas le premier vaudra \(\frac34\) ». Dans une partie en deux, le premier jeu donne à son gagnant \(\frac34\) de la somme, mais il ne « vaut », au sens où le feuillet l'a employé jusque-là, que \(\frac34-\frac12=\frac14\).

Trois joueurs, et la règle générale

Avec trois joueurs \(A\), \(B\), \(C\) en deux jeux, et des chances égales pour chacun à chaque jeu, le recto suivant fait le même calcul. Supposons que \(A\) et \(B\) aient chacun un jeu et \(C\) aucun. Si \(A\) gagne le jeu suivant, il a tout ; si \(B\) le gagne, \(A\) n'a rien ; si \(C\) le gagne, chacun est à un jeu et a \(\frac13\). Donc \(A\) a \(\frac13(1+0+\frac13)=\frac{12}{27}\), de même \(B\), et \(C\) a \(\frac3{27}\). Supposons ensuite que \(A\) ait un jeu, \(B\) et \(C\) aucun. Alors \(A\) a \(\frac13\bigl(1+\frac{12}{27}+\frac{12}{27}\bigr)=\frac{17}{27}\), et \(B\) et \(C\) chacun \(\frac5{27}\). Ces valeurs sont exactes.⁴⁷

La « Règle générale pour tout » l'énonce à \(n\) cas. Avec une égale facilité à obtenir \(A\), \(B\), \(C\) ou \(D\), « mon espérance vaut le quart de \(A+B+C+D\) » : l'espérance d'une variable à \(n\) valeurs équiprobables est leur moyenne. Trois cas pour avoir 12 et trois pour avoir 8 valent donc 10.⁴⁸ La preuve est celle d'un jeu équitable à six joueurs, où chacun met 10. Elle est ensuite appliquée aux trois joueurs : \(A\) joue 17 contre 17 et 17 avec des conventions de reversement qui lui rendent exactement ses trois espérances de 27, 12 et 12. Tout le calcul suppose que chaque joueur a la même chance de gagner chaque jeu et que les jeux sont indépendants. Le feuillet le dit pour chaque jeu (« a chaque jeu chacun joue jeu egal, dans un hasard egal ») ; l'indépendance y est tacite.

X. Les dés

42–42« Pour les partis des dés » : un dé a six faces, deux dés 36 coups, trois dés 216, quatre dés 1296. Le feuillet dresse la table des manières de faire chaque point. Avec deux dés, 1, 2, 3, 4, 5, 6 façons pour les points 2 et 12, 3 et 11, …, 7 ; avec trois dés, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 25, 27 façons pour 3 et 18, …, 10 et 11. Les deux tables sont exactes (sommes 36 et 216).

Amener un six avec un dé

Qui entreprend d'amener un six en \(n\) coups a pour part \[ p_n=1-\Bigl(\frac56\Bigr)^n=\frac{6^n-5^n}{6^n}, \] et le feuillet l'obtient coup par coup : « la sixième partie de ce qui reste ». Il trouve \(\frac{11}{36}\), \(\frac{91}{216}\), \(\frac{671}{1296}\), \(\frac{4651}{7776}\), \(\frac{31031}{46656}\), \(\frac{201811}{279936}\), tous justes. En quatre coups on peut donc jouer 671 contre 625, « un peu d'avantage ». Les comparaisons de la table sont justes aussi : 91 contre 125 est « un peu moins que 3 contre 4 », 4651 contre 3125 « un peu moins que 3 contre 2 », 31031 contre 15625 « un peu moins que 2 contre 1 », 201811 contre 78125 « un peu plus que 5 contre 2 ».⁴⁹ Le feuillet conclut qu'« on ne peut jamais trouver un nombre de coups dans ce party la pour jouer jeu égal ». C'est vrai : il faudrait \(6^n=2\cdot5^n\), et 5 ne divise aucune puissance de 6.

Deux six avec deux dés

De même, qui entreprend d'amener deux six d'un coup de deux dés en \(n\) coups a pour part \(q_n=1-\bigl(\frac{35}{36}\bigr)^n\). Le feuillet trouve \(\frac{71}{1296}\), \(\frac{3781}{46656}\), \(\frac{178991}{1679616}\), tous justes. Il s'arrête là, les nombres devenant « trop grands », et affirme qu'« à le prendre en 24 coups on a un peu de désavantage, et qu'en 25 coups on a un peu d'avantage ». C'est exact : \[ q_{24}\approx0{,}4914<\tfrac12<q_{25}\approx0{,}5055 . \] Là non plus, aucun nombre de coups ne donne un jeu exactement égal, puisque \(36^n\neq2\cdot35^n\).⁵⁰

La page s'achève sur une question sans réponse : « avec combien de dés entreprendre de faire du premier coup deux six ». Si l'on entend au moins deux six, la probabilité avec \(k\) dés est \[ 1-\Bigl(\frac56\Bigr)^k-k\cdot\frac16\Bigl(\frac56\Bigr)^{k-1}, \] qui vaut \(0{,}457\) pour \(k=9\) et \(0{,}515\) pour \(k=10\). Il faut donc dix dés. Cette réponse est de la lecture ; la page est blanche après la question.⁵¹

XI. Les feuillets de la seconde main ronde

47–51Après quatre vues de feuillets blancs, une main ronde et compacte, différente de celle des partis, écrit sur de petits feuillets montés sur onglets. Ce sont des problèmes indépendants, chacun complet.

Un ducat « à multiplico » pendant trente-deux ans

Un ducat placé à 5 pour 100 avec intérêts composés vaut, au bout de \(n\) ans, \(\bigl(\frac{21}{20}\bigr)^n\) ducat.⁵² Le feuillet choisit 32 ans « pour la commodité de la multiplication » : il suffit d'élever cinq fois au carré. Il écrit en entier \[ \Bigl(\frac{21}{20}\Bigr)^{32}=\frac{2046526777500669368329342638102622164679041}{429496729600000000000000000000000000000000}\approx4{,}765, \] soit « 4 ducats \(\frac34\) peu plus », et un profit « presque quadruple du principal ». Les puissances intermédiaires sont justes (\(441/400\), \(194481/160000\), \(37822859361/25600000000\), et celle de 16 ans). Pour 33 et 34 ans, le feuillet tronque les deux termes à leurs premiers chiffres, ce qui laisse la valeur intacte au degré de précision voulu. Il trouve « un peu plus de 5 » (\(5{,}003\)) et « 5 ducats \(\frac14\) peu plus » (\(5{,}253\)). Tout est juste.⁵³

Des combinaisons multiples

Le feuillet distingue la « combinaison d'ordre », c'est-à-dire les permutations (\(n!\)), et la « combinaison de variété », c'est-à-dire les arrangements de \(k\) objets pris parmi \(n\) (\(n!/(n-k)!\)). Il les multiplie entre elles.

• Six soldats se rangent de \(6!=720\) façons. Avec six armes différentes en plus, \(720^2=518\,400\) ; avec six livrées encore, \(720^3=373\,248\,000\).
• Si l'on a trois épées et trois armes différentes, les armes se distribuent de \(\frac{6!}{3!}=120\) façons. Si l'on a deux livrées de chacune de trois sortes, de \(\frac{6!}{2!\,2!\,2!}=90\) façons. D'où \(720\cdot120\cdot90=7\,776\,000\) : ce sont les permutations d'un multi-ensemble.
• Avec sept sortes d'armes et huit de livrées, on a \(7\cdot6\cdots2=5040\) arrangements pour les armes et \(8\cdot7\cdots3=20\,160\) pour les livrées. D'où \(720\cdot5040\cdot20\,160=73\,156\,608\,000\).

Tous ces nombres sont justes.

Les commandants et les places

Un brouillon très corrigé, d'abord posé en bouquets et en pots, devient un problème de commandants : on choisit trois commandants parmi six arrivés et on les place dans trois postes parmi six. En comptant quel commandant va à quel poste, on obtient \(\binom63\cdot6\cdot5\cdot4=20\cdot120=2400\), comme le feuillet. Avec cinq postes, \(20\cdot60=1200\), comme le feuillet. Avec huit postes, la même règle donne \(20\cdot336=6720\), et non les 1120 du feuillet.⁵⁴

Les anagrammes

Combien de « dictions ou anagrammes » peut-on faire avec les huit lettres \(a,b,c,d,e,i,o,s\) sans que \(b,c,d\) se trouvent jamais ensemble ? On compte les mots où les trois consonnes sont consécutives en les traitant comme un bloc : \(6!\cdot3!=4320\). Il reste \(8!-4320=36\,000\). Si l'on interdit en outre que deux d'entre elles occupent les deux premières ou les deux dernières places, on retranche \(12\cdot(6!-5!)=7200\). Il reste \(28\,800\). Les deux nombres sont justes, la lecture les ayant vérifiés par énumération.⁵⁵

« Hasard » : le tirage de Gênes et les banquiers

« C'est la coutume à Gennes d'élire ou plutôt de tirer au sort tous les ans » cinq personnes pour les principales charges de la République. Des banquiers prennent des paris sur les noms. Le feuillet suppose qu'ils paient 20 000 pistoles pour une si les cinq nommés sortent, 5000 pour quatre, 300 pour trois et 4 pour deux.⁵⁶ Il calcule d'abord \(\binom{100}{5}=75\,287\,520\), en divisant \(100\cdots96\) par \(5!=120\) (« ou bien multiplier seulement 80 par 97, 98 et 99 »). Il donne ensuite le nombre de tirages qui contiennent exactement \(k\) des cinq noms, \(\binom5k\binom{95}{5-k}\) : \[ \begin{array}{c|c|c} k & \text{feuillet} & \binom5k\binom{95}{5-k}\\ \hline 5 & 1 & 1\\ 4 & 5\cdot95=475 & 475\\ 3 & 10\times\text{« triangle de 94 »}=10\cdot4465=44\,650 & 44\,650\\ 2 & 10\times\text{« tétraèdre de 93 »}=10\cdot138\,415=1\,384\,150 & 1\,384\,150\\ 1 & 5\times\text{« triangle-triangle de 92 »}=5\cdot3\,183\,545=15\,917\,725 & 15\,917\,725\\ 0 & \text{(reste)}\ 57\,940\,519 & \binom{95}{5}=57\,940\,519 \end{array} \] Le « triangle », le « tétraèdre » et le « triangle-triangle » sont les nombres figurés, triangulaires, pyramidaux et de dimension 4. En langage actuel, \(\binom{95}{2}\), \(\binom{95}{3}\) et \(\binom{95}{4}\). La partie finale, « le fondement de ces raisons », les justifie : \(\binom{95}{2}=94+93+\cdots+1\), parce que chacun des 95 non-nommés s'associe à chacun des suivants. C'est l'identité \(\binom{n}{2}=\sum_{j<n}j\), prélude à \(\binom{n+1}{k+1}=\sum_{m\le n}\binom{m}{k}\).⁵⁷

Les rapports que le feuillet donne ensuite, cas par cas, sont moins sûrs.

• Pour les cinq noms : 75 287 519 chances contre une, divisées par 20 000, donnent \(3764{,}376\), soit \(3764\frac38\) « et plus », et non \(3764\frac34\).⁵⁸
• Pour quatre : \(15\,057\frac25\) « peu plus », puis \(31\frac7{10}\) « peu moins ». C'est juste (\(15\,057{,}41\) et \(31{,}6998\)).
• Pour trois : \(250\,808\) « peu moins », puis \(5\frac35\) « peu plus ». C'est juste (\(5{,}617\)).
• Pour deux : \(18\,464\,561\), puis « \(13\frac12\) peu moins ». Il faut \(13{,}34\), soit \(13\frac13\) peu plus, comme la transcription le note.
• Pour un : \(3\frac{16}{25}\). C'est juste (\(3{,}64\)).

La soustraction en cascade que fait le feuillet (des « hazards du banquier » sur cinq, il ôte ceux du parieur sur quatre, et ainsi de suite) n'a pas de sens probabiliste net. La synthèse qui suit est en revanche juste. Pour un parieur qui mise une pistole, la somme des gains possibles pondérés par leurs cas est \[ 1\cdot20\,000+475\cdot5000+44\,650\cdot300+1\,384\,150\cdot4=21\,326\,600 , \] sur 75 287 520 tirages. Son espérance de gain est donc \(21\,326\,600/75\,287\,520\approx0{,}283\) pistole par pistole misée : le rapport « comme 1 à un peu plus de \(3\frac12\) » du feuillet (\(3{,}530\)). Sans rien payer pour deux noms, il reste \(15\,790\,000\), et le rapport « un peu plus de \(4\frac34\) » (\(4{,}768\)) est juste aussi. En termes actuels, le banquier garde en moyenne environ 72 % des mises, et 79 % s'il ne paie rien pour deux noms.⁵⁹

Les ancêtres et les pions

Le dernier petit feuillet (vue 51, droite) porte deux problèmes. Le nombre des ancêtres « en 30 générations », sans mariage entre descendants communs, est donné pour \(2^{30}=1\,073\,741\,824\). C'est le nombre des ancêtres de la trentième génération ; le total des trente générations serait \(2^{31}-2=2\,147\,483\,646\).⁶⁰

Au jeu d'échecs, les huit pions peuvent avancer d'une ou de deux cases au premier coup. En les jouant chacun une fois, dans tous les ordres, on a \(8!\cdot2^8=10\,321\,920\) façons. La table du feuillet donne les produits des nombres pairs, \(2\cdot4\cdots2n=2^n\,n!\) : 2, 8, 48, 384, 3840, 46 080, 645 120, 10 321 920. C'est ce qu'on appelle aujourd'hui la double factorielle \((2n)!!\). Si les pions pouvaient avancer d'une, deux ou trois cases, il faudrait \(3^n\,n!\), produit des multiples de 3 : 3, 18, 162, …, \(264\,539\,520\). Toutes les valeurs sont justes.⁶¹

Ce que les feuillets ne disent pas

1–58Les feuillets ne disent pas qui les a écrits. Aucune des pièces n'est signée, et une seule est datée par son contenu : la note de la vue 32, qui cite une lettre de juillet 1638. Cette lecture n'infère aucune autre date.

• La main A est prêtée à Mersenne par une note du XIX^e siècle et par les renvois de la vue 16 à des livres qui portent les titres des siens. C'est une inférence forte, mais une inférence. Rien ne permet de dire si les pages de la vue 31, qui parlent de « ma méthode » d'adæqualité et d'exemples « envoyés à M^r Roberval », sont de lui ou copiées par lui.
• Les mains C et D ne nomment personne. Le feuillet de la vue 39, qui les range sous « Pascal / autographe / et copies », est un classement du XIX^e siècle. La note de 1962 rapporte les partis au traité de Huygens et avance, sous forme de possibilités, une date (1656) et un copiste traducteur (Des Billettes). Les énoncés des vues 40 à 42 coïncident en effet, dans leur suite et souvent dans leurs nombres, avec les propositions I à XII de ce traité, jusqu'à la question sur laquelle la page s'arrête. Le texte n'est pourtant pas une traduction littérale : il compte en écus, dit « je » et « quidam », et donne la valeur de chaque jeu en seizièmes et en trente-deuxièmes. La lecture s'en tient à la coïncidence.
• Les valeurs des jeux d'une partie en trois et la position des trois joueurs coïncident aussi avec celles de l'échange entre Pascal et Fermat de 1654, et l'énoncé des 24 et 25 coups avec le problème que la tradition attache au chevalier de Méré. Ces noms sont donnés pour ce qu'ils sont : des repères pour chercher, non des auteurs.