NAF 9544 · vues 1–57 · Lecture modernisée · Recueil de lettres autographes de D'ALEMBERT, l'abbé BOSSUT, Sophie GERMAIN, C. HUYGHENS et le P. MERSENNE. — lecture modernisée du volume entier
Datation du catalogue : 1601-1700
Source gallica.bnf.fr / Bibliothèque nationale de France
Lecture automatique — interprétation non vérifiée

Résumé

Ce que le volume contient

1–57Cinquante-sept vues, dont les deux premières et les trois dernières sont la reliure et ses gardes. La page de titre de l'album (vue 3) porte « Autographes de Savants — Volume de 36 Feuillets — 27 Novembre 1899 ». Chaque pièce est montée sur onglet ou sur un feuillet de montage et, le plus souvent, précédée d'une coupure imprimée du catalogue de vente qui l'avait annoncée ; toutes portent la marque « R. D. 9555 » et le cachet de la Bibliothèque nationale.¹

La datation du catalogue, « 1601-1700 », est reprise telle quelle en tête de ce fichier comme des transcriptions. Elle ne vaut que pour les épigrammes et pour les pièces de Mersenne ; le reste s'étend de 1765 à 1884. Le titre du catalogue nomme cinq auteurs et en omet un, Libri, dont la description occupe pourtant le tiers de l'album.

La minute de d'Alembert à Malesherbes (vues 4 à 6)

4–6Deux petits feuillets, de la main rapide de d'Alembert, écrits à la troisième personne et sans signature : une minute, ou un mémoire destiné à être remis, plutôt qu'une lettre.² En voici le texte en français d'aujourd'hui.

M. d'Alembert est pensionnaire surnuméraire dans la classe de géométrie depuis neuf ans et demi. Il demande, et l'Académie demande pour lui, qu'il passe à la place de pensionnaire ordinaire mécanicien. La seule objection qu'on puisse lui faire, et qu'on lui fasse en effet, est la différence des classes : objection sans fondement, puisqu'il y a mille exemples, à l'Académie, de passages d'une classe à l'autre, et surtout de la géométrie à la mécanique et réciproquement, ces deux classes ayant toujours roulé ensemble. M. de Montigny, en 1758, est passé de la place d'associé géomètre à celle de pensionnaire mécanicien ; M. d'Alembert demande beaucoup moins, puisqu'il est déjà pensionnaire surnuméraire et qu'il ne s'agit que de le faire changer de classe.

Cela ne porte préjudice à personne : d'abord parce qu'il est plus ancien que tous les associés ; ensuite parce que M. de Courtivron, le plus ancien après lui, demande la vétérance et a déclaré par lettre qu'il ne voulait point concourir avec M. d'Alembert. Ainsi M. de Vaucanson, qui se trouve le second associé mécanicien, deviendra le premier, et c'est tout ce qu'il pouvait espérer, à supposer que les choses se passent à l'ordinaire et que M. de Courtivron n'eût point demandé la vétérance.³

M. de Saint-Florentin n'a donc autre chose à répondre à la demande de l'Académie que oui ou non. M. d'Alembert espère que M. de Malesherbes voudra bien représenter à M. de Saint-Florentin combien le non serait injuste, malhonnête pour l'Académie, qui doit savoir ce qui lui convient le mieux, et, on ose le dire, odieux après les travaux et les sacrifices de M. d'Alembert.⁴

L'argument est de pure procédure : un changement de classe à grade constant ne lèse aucun associé, puisque la place de mécanicien qui se libère par la vétérance de Courtivron va de toute façon à Vaucanson. Rien ici n'est mathématique, sinon la frontière — que d'Alembert tient pour poreuse — entre la géométrie et la mécanique.

Les pièces de l'abbé Bossut (vues 7 à 19)

7–19Quatre pièces, chacune annoncée par un feuillet de montage, une fiche ou une chemise : deux lettres, un reçu et le sommaire d'un mémoire.

La lettre à « Monsieur le Comte » (vues 7 à 10)

Paris, 12 janvier 177[4].⁵ Bossut s'excuse d'avoir tardé à répondre à la lettre du 29 novembre précédent. L'honneur que la « célèbre académie » du comte lui a fait de l'adopter le pénètre de reconnaissance ; il est glorieux de voir son nom associé à ceux de tant de grands hommes ; il prie le comte de le mettre aux pieds de l'académie et de lui témoigner sa vénération. Il s'est acquitté de la commission du comte auprès de d'Alembert, qui le charge d'un million de remerciements. Le comte a emporté l'estime et les regrets de tous ceux qui ont eu le bonheur de vivre « ici » avec lui ; Bossut regrette de n'avoir fait que l'entrevoir.⁶ Ni le comte ni son académie ne sont nommés sur les feuillets, et cette lecture ne les identifie pas.

La lettre à Antide Janvier (vues 11 à 16)

Paris, 2 novembre de l'an I de la République, soit le 2 novembre 1792.⁷ Bossut remercie Janvier du portrait gravé de Lalande. Il refuse de le conseiller sur la pétition que Janvier veut présenter à l'Assemblée nationale — il l'avait même prié de ne pas lui en envoyer la minute. Mais il estime ses talents : Janvier mérite un logement dans les maisons nationales, et Bossut l'engage à demander au ministre celui que M. Paris occupait aux Menus, en le priant de se faire rendre compte de ses talents par la commission du Muséum ; Bossut, alors légalement en mesure de le servir, y mettra tout son zèle.⁸ Si l'affaire prend un autre chemin, il aura peine à réussir pour un autre objet, les logements des Menus ne regardant pas en général la commission ; mais il pourrait se faire que M. Roland désire connaître l'avis de la commission sur Janvier.⁹ L'adresse (vue 16) est : « À Monsieur Janvier, horloger mécanicien, aux Menus, rue Poissonnière et Bergère, à Paris ».

Le reçu à Agasse (vue 17)

« J'ai reçu du citoyen Agasse les 65^e, 66^e et 67^e livraisons de l'Encyclopédie méthodique. À Paris, ce 3 fructidor an X » — le 21 août 1802 — signé Bossut.¹⁰

Le sommaire du mémoire sur l'équilibre des voûtes (vues 18 et 19)

Un feuillet daté du 21 messidor an IX, soit le 10 juillet 1801, de la main de Bossut selon une note de collectionneur, avec dans la marge deux attestations de lecture : « Lu le 21 messidor an 9 à la réserve des calculs », d'une autre main, et « Le 21 messidor an 9 le cit. Bossut a lu le mémoire dont cette feuille est le sommaire », signé Delambre.¹¹ Le texte :

Le mémoire est divisé en trois sections : la première traite de l'équilibre des voûtes en berceau, la seconde de l'équilibre des voûtes en dôme, la troisième contient des expériences et des observations sur la résistance des pierres et sur la manière dont les voûtes trop chargées se rompent.¹²

• I.Voûtes en berceau. Chapitre 1 : épaisseur des pieds-droits lorsque la voûte se rompt en des points donnés des reins. Chapitre 2 : relations générales entre la forme de la voûte et les forces qui pressent les voussoirs. Chapitre 3 : forme à donner aux faces latérales et extérieures des pieds-droits lorsqu'ils peuvent se rompre par tranches horizontales.
• II.Voûtes en dôme. Chapitre 1 : épaisseur des pieds-droits pour résister à la poussée de la partie supérieure, formant une calotte que l'on considère comme un corps continu. Chapitre 2 : conditions de l'équilibre entre toutes les parties d'une voûte en dôme. Chapitre 3 : forme à donner aux faces latérales et extérieures des pieds-droits lorsqu'ils peuvent se diviser par tranches horizontales.
• III.Deux chapitres, l'un sur les expériences, l'autre sur les observations.

Le sommaire n'a pas de calcul, et l'attestation dit que les calculs n'ont pas été lus en séance ; cette lecture n'en supplée aucun.¹³ Ce qu'on peut dire, c'est sous quels noms ces questions sont connues aujourd'hui. La voûte en berceau est un arc prolongé ; les pieds-droits sont ses appuis ; les reins, la partie de l'arc entre la clé et les naissances. Le premier chapitre suppose la rupture en des points donnés, c'est-à-dire un mécanisme de ruine où la voûte se divise en blocs qui tournent autour de quelques joints : c'est l'approche de Coulomb (1773), qui cherche parmi ces mécanismes celui qui exige le plus grand appui, et que le calcul à la rupture du XX^e siècle a mise en forme de théorème.¹⁴ Le deuxième chapitre est le problème inverse : la forme d'un arc en équilibre sous des charges données, dont la chaînette renversée est le cas classique d'un arc sous son seul poids. Le troisième chapitre de chaque section cherche un profil des pieds-droits tel que chaque tranche horizontale soit en équilibre, un problème de solide d'égale stabilité. La seconde section passe à la symétrie de révolution, où la calotte traitée comme un corps continu annonce une coque plutôt qu'un assemblage de voussoirs.

Sophie Germain : l'idée fondamentale d'une science (vues 20 à 23)

20–23Deux petits feuillets, paginés 16 et 17, sans titre, sans date ni signature. Une ligne d'une autre plume les ouvre : « Ce qui suit s'est trouvé dans les papiers laissés par Mlle Germain ». L'attribution repose sur cette ligne et sur la chemise de la vue 20, « Sofia Germain (autogr.) », non sur un examen de la main par cette lecture.¹⁵ En voici le texte en français d'aujourd'hui.

Le texte

Pour celui qui commence l'étude d'une science, l'idée fondamentale de cette science n'est que ce qui en détermine le sujet. À mesure qu'il avance, il apprend à connaître les divers points de vue sous lesquels l'objet de la science peut être considéré ; et lorsqu'il est parvenu à la connaissance parfaite du sujet, l'idée fondamentale est pour lui la science tout entière, parce que cette idée s'est alors agrandie de toutes celles qu'il a acquises depuis, et de leurs rapports.

Mais, a-t-on dit, si la science tout entière n'était pas contenue dans l'idée fondamentale, comment pourrait-on l'y voir ?¹⁶

Je réponds : la proposition fondamentale d'une science, bien qu'exprimée en termes exacts et constants, ne contient pas, pour tous ceux qui l'entendent, une idée identiquement la même, mais seulement des idées qui s'accordent dans leurs traits caractéristiques ; de sorte que, pour tous les esprits, le sujet est également déterminé mais inégalement connu, et que cette proposition, qui n'a d'abord été, à l'entrée de la carrière, qu'une idée caractéristique, devient, lorsqu'on l'a parcourue, une véritable description du sujet, et remplit au plus haut degré la fonction de définition par rapport à la science dont elle détermine l'objet.¹⁷ En effet, le souvenir des propositions qui ont été déduites de la proposition fondamentale, et dont la réunion forme l'ensemble de la science, se lie, pour celui qui la possède, à l'énoncé de l'idée fondamentale, de sorte qu'il voit d'un seul coup d'œil le sujet tout entier.

On a confondu l'idée fondamentale avec le sujet de la science ; c'est ainsi que l'on a pu dire : l'inconnu est dans le connu ; lorsqu'on apprend, on va du même au même ; une science ne renferme qu'une seule idée. Rien n'est plus absurde que de dire que l'on puisse avoir une idée sans la connaître, et c'est pourtant ce que cette doctrine suppose.¹⁸

On est allé jusqu'à prétendre que, dans une suite de déductions, vers la deuxième ou la troisième il ne restait plus d'idées mais seulement des signes d'idées, puis des signes de signes, et qu'un raisonnement bien fait n'était qu'une opération mécanique exécutée sur des signes, dont il fallait, pour revenir aux idées, retourner jusqu'à l'idée fondamentale. Et, a-t-on dit, si vous croyez avoir des idées dans une longue suite de déductions, comment ne vous satisfaites-vous de leur démonstration qu'en revenant à l'idée première ?¹⁹

Je crois que l'on peut répondre : les propositions sont essentiellement des idées toutes les fois qu'elles ont un sens intelligible. Si, dans une suite de déductions, on sent le besoin de retourner en arrière, c'est uniquement pour s'assurer qu'elles conviennent au sujet auquel on les attribue ; c'est enfin pour s'assurer de l'identité du sujet énoncé avec le sujet qualifié. La certitude mathématique tient à l'identité du sujet, et la langue des calculs est bien faite parce qu'en raisonnant suivant les règles qu'elle prescrit, il est impossible d'attribuer au sujet de la science des propriétés qui ne soient pas contenues dans l'idée fondamentale ; de sorte que les questions que l'on examine ne se trouvent jamais compliquées de considérations qui lui soient étrangères.²⁰

Ce que le fragment soutient

La doctrine visée n'est pas nommée. Ses trois formules — l'inconnu dans le connu, le passage du même au même, la science réduite à une seule idée — et l'expression « la langue des calculs » sont celles de Condillac et de l'école des idéologues, pour qui toute évidence de raison est une identité et le calcul une langue bien faite.²¹ Sophie Germain retourne la formule contre la doctrine. Elle accepte que la langue des calculs soit bien faite, mais pour une autre raison : non parce qu'un raisonnement ne serait qu'une suite d'identités vides, mais parce que ses règles empêchent d'attribuer au sujet ce qui ne lui appartient pas. Elle distingue deux choses que la doctrine confond : ce qui détermine un objet, et ce qu'on en connaît. Une définition détermine l'objet pour tous ; la connaissance des propriétés qui en découlent est l'œuvre du temps, et elle est inégale.

En termes d'aujourd'hui, la distinction est celle d'un objet fixé par une définition et de la théorie que l'on déduit de cette définition — théorie qui n'est pas « connue » du seul fait qu'elle est déterminée. Et la position qu'elle combat, celle d'un raisonnement réduit à une manipulation mécanique de signes, est ce qu'on appellera plus tard le formalisme.²² Sa réponse à l'objection — on revient au principe pour vérifier que l'on parle toujours du même sujet — fait de l'identité de référence, et non de la forme des signes, la garantie de la déduction. Le fragment se lit comme une note préparatoire ; il n'est pas daté, et le seul terme qu'il porte est celui que lui donne sa première ligne : il était dans ses papiers à sa mort.

L'achat de 1884 (vues 20 et 24 à 28)

20–28Le fragment de Germain est précédé d'une chemise, « Sofia Germain (autogr.) », d'un grand numéro « 677 », et d'un billet : « Sous ce pli l'autographe de Sophie Germain, acheté le lundi 30 juin (cabinet Dubrunfaut). La couverture imprimée Charavay sera envoyée avec une brochure quelconque. A. M. »²³ Il est suivi de deux télégrammes reçus à Rome, sur les formules imprimées de l'administration italienne, adressés à « Balthasar Boncompagni, Palais Piombino, Rome ».²⁴

Le premier, dans l'ordre des dates (vues 27 et 28), est du 28 juin 1884 : « Reçu télégramme achat autographe Germain ». Le second (vues 24 à 26), déposé à Paris le 30 et reçu le 30 juin 1884 à 19 heures : « Germain acheté 29 part demain ».²⁵ L'ordre des opérations se lit ainsi : Boncompagni, à Rome, télégraphie un ordre d'achat ; son correspondant de Paris en accuse réception le 28 juin ; l'achat est fait, et le 30 le même correspondant annonce que la pièce part le lendemain. Le 30 juin 1884 était un lundi, ce qui accorde le billet de la vue 20, qui ne porte pas d'année, avec les télégrammes.²⁶

Épigrammes latines sur la mort de Richelieu (vues 30 à 36)

30–36Deux feuillets d'une belle main calligraphique du XVII^e siècle, paginés 21 et 22, portant huit pièces de vers latins. Aucun nom d'auteur n'y figure. La coupure de catalogue de la garde (vue 30) les attribue à Constantin Huygens, le poète et homme d'État hollandais, et les résume : épigrammes sur le retour de Richelieu, sur sa mort, sur sa bibliothèque, d'autres contre Louis XIII, la dernière adressée à Marie de Médicis.²⁷ Ce ne sont pas des mathématiques ; on en donne ici une traduction française en prose, les lectures douteuses de la transcription étant signalées.

Sur le retour du cardinal Richelieu. L'Espagnol pâlit, déchu d'un noir espoir : le Gond sur lequel tourne la vaste machine du monde agit par un prodige. L'ancienne vigueur est revenue aux nerfs de Richelieu ; le fléau brûlant a quitté ses épaules d'Atlas. Acquitte ton vœu envers le chef qui revient, ô France, afin qu'il continue de vaincre pour toi et de t'embrasser.²⁸

Sur les détracteurs de Richelieu mort. La foule qui, suppliante, soumettait au cardinal vivant son esprit et sa main, et ne reconnaissait sur terre aucune divinité plus présente, se rue sur l'homme enseveli avec des sarcasmes, des plaisanteries, des injures, et vomit, impuissante, tout ce qu'une bouche mordante peut cracher sur les mânes de celui qui ne le méritait pas. Peuple léger, plèbe ingrate, inhumaine comme un serpent : l'Atlas, l'Atride, le Gond du roi et du royaume, une fois né pour la patrie, n'aurait pas dû cesser de naître ; mais pour toi, il n'aurait dû être ni mort ni vivant.²⁹

Sur ce vers de Bourbon, dont le titre cite le texte auquel il répond (« … pâture des vers qui naissent »). On arrache indignement la barbe du lion abattu ; la plèbe méchante frappe Richelieu de la dent ; elle l'emporte, mais sur un mort : la descendance qui naguère adorait le vivant, suppliante, mord à belles dents son père. Voilà — c'est la seule chose où tu ne te trompes pas, impie — il gît, pâture des vers ingrats nés de lui-même.³⁰

Sur la bibliothèque de Richelieu. Mille livres, et mille livres, et des milliers de livres, rassemblés par le soin public du magnifique Richelieu, pour le bien de la patrie, dans de superbes armoires, dressent les marbres vivants d'un nom éternel. Et pour que cette masse auguste de volumes achetés grandisse toujours vers ses titres, il ordonna que des milliers de livres fussent remplis de mille livres. Cesse, postérité, […], par où la masse, en roulant, se double comme une boule de neige. Il a laissé à vous qui écrivez une matière à la mesure de vos forces, où toute la France peut suer. Écrivez Richelieu, les triomphes remportés pour le roi, écrivez des actions à lire en caractères éternels : la bibliothèque qui recevra la gloire posthume d'un seul homme remplira mille livres.³¹

Sur sa mort.³² Il convenait ainsi : Armand est parti en compagnon de la dame étrusque. Français, pourquoi gémis-tu, dégénéré, d'une bouche insensée ? Veuille être ce que tu es : te voilà enfin monarchie sous un roi. Le Fils a succédé à la mère et au serviteur.³³

Sur le roi. Que celui qui a perdu son bâton prenne garde que le Juste ne tombe désormais plus de sept fois par jour.³⁴ Et : jusqu'ici l'Espagnol respectait non sans raison un roi bien armé — un Armand ; il espère maintenant, non sans raison, qu'il sera désarmé.³⁵

[Sans titre.] Marie, mère d'une grâce impuissante, où que tu sièges parmi les mânes, ayant obtenu du même coup le repos refusé à la vivante, garde-toi du Cardinal, si tu es sage : il est suspect, celui qui a voulu suivre si vite la morte qu'il avait persécutée vivante.³⁶

Les pièces se situent d'elles-mêmes : après la mort de Richelieu, qui suit celle de Marie de Médicis, et du vivant de Louis XIII, à qui l'une d'elles s'adresse. C'est une datation par le contenu, de cette lecture, entre la fin de 1642 et le printemps de 1643 ; aucune date n'est écrite.

Mersenne : les observations de 1620 et 1621 pour la hauteur du pôle à Paris (vues 33 à 39)

33–39La garde de la vue 33 porte la coupure d'une vente Charavay du 6 février 1889 : « 1° L. a. s. au Père Petau, 1 p. in-4 oblong. Belle lettre où il lui annonce la résolution d'un problème relatif à la hauteur du pôle au-dessus de l'horizon de Paris. 2° Pièce autographe, 1 p. 1/2 in-fol. C'est la résolution du problème annoncée dans la lettre précédente. » La pièce est un feuillet in-folio en latin (vue 38, et son verso à gauche de la vue 39), sans signature ; plié en lettre, il porte au dos l'adresse « Au Révérend Père Denis Petau, de la Société de Jésus, au Collège de Clermont ».³⁷

Le problème

« L'an 1621, le 3 janvier, la brillante du quadrilatère de la Petite Ourse a été vue au-dessus de l'horizon, dans le méridien, sous le pôle, à \(34^\circ 35'\) de hauteur. Au même moment, la longitude de l'étoile était de \(127^\circ 34' 20''\) comptés depuis l'équinoxe de printemps, sa latitude de \(72^\circ 51' 30''\). On cherche la déclinaison de l'étoile. »³⁸ L'étoile est aujourd'hui \(\beta\) de la Petite Ourse, Kochab, la plus brillante des quatre étoiles du quadrilatère.³⁹ La déclinaison obtenue, on en déduit la hauteur du pôle.

Notons \(\lambda\) la longitude écliptique, \(\beta\) la latitude écliptique, \(\delta\) la déclinaison, \(\varepsilon\) l'obliquité de l'écliptique et \(\varphi\) la hauteur du pôle, c'est-à-dire la latitude du lieu. Le feuillet prend \(\varepsilon = 23^\circ 31' 30''\) « selon Tycho ».⁴⁰ Les données sont donc \[ \lambda = 127^\circ 34' 20'', \qquad \beta = 72^\circ 51' 30'', \qquad \varepsilon = 23^\circ 31' 30'', \qquad h = 34^\circ 35', \] où \(h\) est la hauteur observée au passage inférieur.

La figure

Le grand cercle de la figure, que le feuillet appelle le méridien, est le plan qui contient à la fois l'axe du monde et l'axe de l'écliptique : le colure des solstices. Son diamètre \(\alpha\beta\) est la trace de l'équateur, \(\gamma\delta\) l'axe du monde (\(\gamma\) pôle nord, \(\delta\) pôle sud), \(\varepsilon\zeta\) la trace de l'écliptique, \(\eta\) le pôle nord de l'écliptique ; les arcs \(\alpha\varepsilon\), \(\beta\zeta\), \(\gamma\eta\) et \(\delta\theta\) valent l'obliquité. Le parallèle de latitude de l'étoile — le petit cercle des points de latitude écliptique \(\beta\) — se projette sur ce plan suivant la corde \(A\kappa\), avec \(\varepsilon A = \zeta\kappa = 72^\circ 51' 30''\). Le point \(A\) est le point de ce parallèle qui a la longitude \(90^\circ\) (au-dessus du solstice d'été), \(\kappa\) celui qui a la longitude \(270^\circ\). Rabattu dans le plan de la figure, le petit cercle porte l'étoile en \(\mu\), à l'arc \(A\mu = \lambda - 90^\circ = 37^\circ 34' 20''\) de \(A\).⁴¹

La solution à la règle et au compas. Tout étant tracé à l'échelle, on abaisse de \(\mu\) la perpendiculaire \(\mu F\) sur la corde \(A\kappa\) : \(F\) est la projection de l'étoile sur le plan du colure. Par \(F\) on mène la parallèle à l'équateur, qui coupe le cercle en \(o\) et \(\xi\) ; l'arc \(\alpha o\) (ou \(\beta\xi\)) est la déclinaison. C'est une projection orthographique de la sphère sur un plan méridien, le procédé que la tradition appelle l'analemme : toute la trigonométrie sphérique du problème est remplacée par une construction plane.⁴²

Le calcul par les sinus

Le feuillet refait la construction en nombres, avec des sinus de rayon \(100\,000\) ; on les écrit ici avec le rayon \(1\).⁴³ La hauteur d'un point du colure au-dessus du plan de l'équateur est le sinus de sa déclinaison. Les étapes, avec les nombres du feuillet :

1. 1.\(A\) est à \(\alpha A = \varepsilon + \beta = 96^\circ 23'\) de l'équateur, donc à la hauteur \(AB = \sin 96^\circ 23' = \sin 83^\circ 37' = 0{,}99380\).
2. 2.\(\kappa\) est à \(\kappa\beta = \beta - \varepsilon = 49^\circ 20'\) de l'équateur, à la hauteur \(\kappa\lambda = \sin 49^\circ 20' = 0{,}75851\). La corde \(A\kappa\) descend donc de \(AC = 0{,}99380 - 0{,}75851 = 0{,}23529\), et le demi-diamètre du petit cercle correspond à une descente \(AD = 0{,}11764\).
3. 3.L'étoile est à l'arc \(37^\circ 34' 20''\) de \(A\) sur le petit cercle ; sa projection \(F\) est à la distance \(AF = 1 - \cos 37^\circ 34' 20'' = 0{,}20741\) de \(A\), mesurée en rayons du petit cercle.
4. 4.Par les triangles semblables, \(AG : AD = AF : AE\) avec \(AG = 1\) : la descente de \(F\) au-dessous de \(A\) est \(AE = 0{,}11764 \times 0{,}20741 = 0{,}02440\).
5. 5.La hauteur de l'étoile au-dessus de l'équateur est \(EB = 0{,}99380 - 0{,}02440 = 0{,}96940 = \sin\delta\), d'où \(\delta = 75^\circ 47' 20''\).

Tous ces nombres sont justes : les sinus aux cinq décimales, les deux soustractions, la moitié, le produit.⁴⁴ Et la construction est exactement la formule d'aujourd'hui. En effet \(AB = \sin(\beta + \varepsilon)\), \(\kappa\lambda = \sin(\beta - \varepsilon)\), donc \[ AD = \tfrac12\bigl(\sin(\beta+\varepsilon) - \sin(\beta-\varepsilon)\bigr) = \cos\beta \,\sin\varepsilon , \] et \(AF = 1 - \cos(\lambda - 90^\circ) = 1 - \sin\lambda\). Il vient \[ \sin\delta = \sin(\beta+\varepsilon) - (1 - \sin\lambda)\cos\beta\,\sin\varepsilon = \sin\beta\,\cos\varepsilon + \cos\beta\,\sin\varepsilon\,\sin\lambda , \] qui est la formule de passage des coordonnées écliptiques à la déclinaison. Calculée directement avec les données du feuillet, elle donne \(\delta = 75^\circ 47' 21''\) : l'écart avec la valeur du feuillet est d'une seconde.

La hauteur du pôle

Au passage inférieur, l'étoile est au-dessous du pôle d'un arc égal à sa distance polaire \(90^\circ - \delta\) ; la hauteur du pôle est donc \[ \varphi = h + (90^\circ - \delta). \] Avec \(\delta = 75^\circ 47' 20''\), la distance polaire vaut \(90^\circ - 75^\circ 47' 20'' = 14^\circ 12' 40''\), et \[ \varphi = 34^\circ 35' + 14^\circ 12' 40'' = 48^\circ 47' 40''. \] Le feuillet écrit \(14^\circ 12' 35''\) pour la distance polaire, et par suite \(48^\circ 47' 35''\) pour la hauteur du pôle, « c'est-à-dire de Paris (Lutetiæ) ».⁴⁵ La valeur juste, avec les propres données du feuillet, est \(48^\circ 47' 40''\). La corde \(s\rho\) de la figure, menée à \(\varphi\) du pôle, représente l'horizon.

Les autres observations de l'hiver 1620–1621

Au verso, sous le titre « Autres observations de la même année », deux autres méthodes.

L'étoile polaire. Le 2 janvier, vers 5 h 30, sa hauteur minimale est de \(46^\circ 2' 30''\) ; le 4 janvier, sa hauteur maximale au méridien au-dessus du pôle est de \(51^\circ 28' 45''\) ; le 5 janvier, le matin, la hauteur minimale est notée \(46^\circ 2' 40''\), et le soir la hauteur maximale \(51^\circ 28' 45''\).⁴⁶ Une étoile circumpolaire passe au méridien au-dessus du pôle à la hauteur \(\varphi + p\) et au-dessous à la hauteur \(\varphi - p\), où \(p\) est sa distance polaire ; la demi-somme donne la hauteur du pôle, la demi-différence la distance polaire : \[ \varphi = \tfrac12\bigl(51^\circ 28' 45'' + 46^\circ 2' 30''\bigr) = 48^\circ 45' 37\tfrac12'', \qquad p = \tfrac12\bigl(51^\circ 28' 45'' - 46^\circ 2' 30''\bigr) = 2^\circ 43' 7\tfrac12''. \] Ce sont les nombres du feuillet, et ils sont justes.⁴⁷ La méthode a l'avantage de ne rien demander aux catalogues : elle ne suppose connue ni la position de l'étoile ni l'obliquité.

Le Soleil au solstice d'hiver. Le 23 décembre 1620, la hauteur méridienne du Soleil est de \(17^\circ 45'\) ; on ajoute la parallaxe, \(2' 58''\), ce qui donne \(17^\circ 47' 58''\), puis la déclinaison du Soleil, \(23^\circ 30' 22''\) (australe, le Soleil étant à la longitude \(272^\circ 13'\), soit \(2^\circ 13'\) du Capricorne) : la hauteur de l'équateur est \(41^\circ 18' 20''\). Le 25 décembre, la hauteur est de \(17^\circ 48'\), soit \(17^\circ 50' 58''\) avec la parallaxe, et avec la déclinaison \(23^\circ 27' 24''\) (longitude \(274^\circ 16'\)) la hauteur de l'équateur est \(41^\circ 18' 22''\), « plus grande à cause des réfractions dont on n'a pas tenu compte ».⁴⁸ La hauteur du pôle est le complément de celle de l'équateur, \(\varphi = 90^\circ - 41^\circ 18' 20'' = 48^\circ 41' 40''\) ; le feuillet s'arrête à la hauteur de l'équateur et ne fait pas cette soustraction.

La réfraction atmosphérique relève les astres ; en la négligeant, on surestime la hauteur de l'équateur et l'on sous-estime celle du pôle. Le feuillet a raison sur le sens de l'effet.⁴⁹ Les trois méthodes donnent ainsi \(48^\circ 47' 35''\) (corrigé : \(48^\circ 47' 40''\)), \(48^\circ 45' 37\tfrac12''\) et \(48^\circ 41' 40''\) ; le feuillet ne les compare pas.

La lettre de Mersenne au P. Petau (vues 39 et 40)

39–40Un petit feuillet oblong, monté seul, d'une écriture petite, rapide et très liée, dont beaucoup de mots ne se lisent qu'au sens et dont plusieurs ne se lisent pas. Il est signé « Mar. Mers. M. », Marin Mersenne, Minime ; une main plus tardive a écrit au-dessous « Cette lettre est du P. Mersenne, minime ».⁵⁰ Voici ce qui s'en lit, en français d'aujourd'hui ; les crochets marquent les mots non lus.

Mon révérend père, me souvenant de ce que vous me demandâtes l'hiver passé sur la hauteur du pôle, pour la latitude de Paris, il m'est souvenu de quelques observations […] de janvier 1621, […] lesquelles je vous envoie, si tant est que vous […] ; si vous ne les avez, je vous pourrais servir assez à propos. Je n'en ai point retenu de copie : c'est pourquoi je vous prie de me renvoyer celle-ci quand vous vous en serez servi. Je vous prie aussi de donner ce petit mot de lettre au révérend père Grandamy […] de ce qui est de la longitude de Paris, s'il vous vient quelque chose de […]. Cependant je me recommande à vos saintes prières. Votre très affectionné […], Marin Mersenne, minime.⁵¹

La lettre et la feuille se répondent : la lettre envoie des observations de janvier 1621 sur la hauteur du pôle, la feuille les contient et porte au dos l'adresse de Petau au Collège de Clermont. La lettre ne se date pas elle-même : elle est postérieure à l'hiver où Petau posa sa question, et aux observations qu'elle envoie. La seconde demande, qui touche la longitude de Paris, ne trouve rien sur la feuille : la hauteur du pôle donne la latitude, non la longitude, qui demandait des observations simultanées en deux lieux, d'éclipses par exemple.⁵²

La description des manuscrits de Roberval par Libri (vues 41 à 55)

41–55Une fiche moderne (vue 41) donne le titre : « G. Libri. Description des manuscrits de Roberval conservés à la Bibliothèque nationale ». Suivent onze feuillets d'un format plus grand que l'album, écrits recto et verso d'une seule main ronde et régulière, que le rédacteur pagine de 1 à 20 ; la première page porte « Manuscrit de Roberval. par G. Libri ».⁵³ Le texte décrit cinq volumes l'un après l'autre, chacun sous son titre courant. Ce n'est pas un texte de mathématiques mais un inventaire commenté ; on en donne ici le contenu, et l'on énonce en termes d'aujourd'hui ce qui peut l'être.

Le manuscrit français au numéro laissé en blanc (vues 42 à 49)

Un in-folio de 948 pages non numérotées, dont le numéro est resté en blanc dans la description. Il contient cinq écrits : des éléments de géométrie (pages 11 à 681) ; un petit écrit sur la quadrature de la parabole, composé en mars 1651 (685 à 703) ; des propositions sur la comparaison et la mesure des surfaces (705 à 747) ; des éléments de musique en latin (751 à 818) ; des observations sur la composition des mouvements et sur le moyen de trouver les tangentes des courbes (821 à la fin).⁵⁴

Les éléments de géométrie. Roberval prévoit dix livres pour la géométrie de la pratique ordinaire — cinq pour la géométrie plane, les rapports et les proportions, trois pour la géométrie dans l'espace, deux pour les nombres — et promet dix autres livres de spéculation.⁵⁵ Il donne d'abord les définitions, axiomes, demandes et énoncés des neuf premiers livres, et quatre définitions pour un treizième livre qui devait reprendre les livres XIII et XIV d'Euclide.⁵⁶ Libri critique plusieurs définitions : celle de l'unité, « ce par quoi une chose est dite une », qui n'apprend rien à qui ne le sait déjà ; celle du solide, longue et obscure. Il approuve l'ordre qui définit ensuite la surface comme l'extrémité du solide, la ligne comme l'extrémité d'une surface et le point comme l'extrémité d'une ligne ; la droite est la ligne qui reste immobile quand tout tourne autour de deux de ses points. Roberval nomme « portion de cercle » le segment, « angle de contingence » l'angle d'une tangente avec le cercle, et définit la tangente comme une droite passant par deux points consécutifs de la courbe — définition que Libri rapproche de la théorie des infiniment petits.⁵⁷ Les triangles sont dits rectangles, amblygones (obtusangles) et oxygones (acutangles) ; les solides semblables, ceux qui sont compris sous un même nombre de plans semblables ; la « portion de sphère » est un segment sphérique, le « trapèze sphérique » la portion comprise entre deux plans. Libri juge que les définitions n'ont pas toute la précision voulue.

Chaque proposition porte en marge la proposition d'Euclide dont elle relève, ou la mention qu'elle est nouvelle. Libri compte les propositions : 32 au livre I, dont sept nouvelles ; 32 au livre II ; 32 au livre III ; 35 au livre IV ; 39 au livre V, dont 25 tirées d'Euclide ; 33 au livre VI, dont deux seulement tirées d'Euclide ; 38 au livre VII, qui est le livre XII d'Euclide amplifié et réordonné, avec quatre propositions nouvelles ; rien pour le livre VIII ; 35 propositions élémentaires sur les nombres au livre IX, sans les irrationnelles d'Euclide.⁵⁸ Il relève quelques énoncés, tous justes : il existe des plans, et l'on peut leur mener une perpendiculaire, une droite tournant autour d'une droite qui lui est perpendiculaire engendrant un plan ; trois points non alignés déterminent un plan ; un cercle a un seul centre ; par trois points non alignés passe un seul cercle ; deux cercles concentriques ne peuvent se couper sans se confondre ; la position relative de deux cercles se lit sur la distance \(d\) des centres comparée aux rayons \(r\) et \(r'\) — ils se coupent si et seulement si \(|r - r'| < d < r + r'\) — et réciproquement.⁵⁹

Parmi les nouveautés du livre II, Libri cite la septième : des droites parallèles ont des perpendiculaires communes, démontré à partir d'une définition des parallèles comme droites équidistantes. Il faut noter ce que cette définition contient : poser qu'il existe des droites équidistantes d'une droite donnée équivaut au cinquième postulat d'Euclide, de sorte que la proposition, juste, repose sur un postulat des parallèles caché dans la définition.⁶⁰

La quadrature de la parabole (1651). Par la méthode des indivisibles, Roberval donne l'aire du segment parabolique, d'abord du côté convexe, puis du côté concave ; puis il montre que le conoïde parabolique (le paraboloïde de révolution) est la moitié du cylindre de même base et de même hauteur, et que le fuseau parabolique — le solide engendré par un segment de parabole tournant autour de sa base — est les \(8/15\) du cylindre qui l'enveloppe. Ces deux rapports sont justes.⁶¹ Il donne ensuite la quadrature de « toutes les paraboles à l'infini », le triangle étant la parabole du premier degré : en termes d'aujourd'hui, \[ \int_0^a x^n\,dx = \frac{a^{n+1}}{n+1}, \] l'aire sous la parabole de degré \(n\) est la fraction \(1/(n+1)\) du rectangle circonscrit. Il en tire les rapports des solides engendrés par ces paraboles tournant autour de leur ordonnée commune, puis autour de leur axe — pour la courbe \(x = y^n\) tournant autour de son axe, le conoïde est au cylindre comme \(n\) est à \(n + 2\), ce qui redonne la moitié pour \(n = 2\) — puis autour d'un diamètre quelconque.⁶²

La comparaison des surfaces. L'écrit porte en marge « Archimède, livre I de la sphère et du cylindre », et en reprend les grands énoncés, tous justes : la surface de la sphère est égale à la surface latérale du cylindre circonscrit (\(4\pi r^2 = 2\pi r \cdot 2r\)) ; la surface latérale d'un cylindre droit est au cercle de base comme le côté est à la moitié du rayon (\(2\pi r h : \pi r^2 = h : \tfrac{r}{2}\)) ; celle d'un cône droit est à sa base comme le côté est au rayon (\(\pi r l : \pi r^2 = l : r\)) ; la sphère est au cylindre circonscrit comme 2 est à 3, et de même, dit Libri, pour le secteur.⁶³ Vient ensuite un lemme qui ramène les démonstrations par les indivisibles à la méthode d'exhaustion des Anciens : si deux quantités sont telles qu'en augmentant ou en diminuant très peu l'une, leur rapport devienne dans un cas plus grand, dans l'autre plus petit qu'un rapport donné, elles sont entre elles dans ce rapport. Tel quel, l'énoncé n'est vrai que si « très peu » s'entend « aussi peu qu'on veut » : si, pour tout \(\epsilon > 0\), on a \((A - \epsilon)/B < r < (A + \epsilon)/B\), alors \(A/B = r\).⁶⁴

Suivent : l'ellipse est au cercle de même diamètre comme la perpendiculaire abaissée de l'extrémité du diamètre conjugué sur le premier diamètre est au rayon du cercle, ce qui est juste, l'aire de l'ellipse de demi-diamètres conjugués \(a'\), \(b'\) faisant l'angle \(\theta\) étant \(\pi a' b' \sin\theta\) ; la comparaison des conoïdes hyperboliques et du sphéroïde avec leurs cylindres et leurs cônes ; un article sur les spirales, comparées à leur cercle pour en conclure l'aire ; deux autres démonstrations du rapport du conoïde hyperbolique au cylindre ; enfin les conchoïdes, celle de Nicomède d'abord, avec des comparaisons d'aires, puis des conchoïdes en nombre infini.

Les éléments de musique. Un traité latin, Elementa Musicae, en six chapitres : les rapports et proportions de l'harmonie ; le son et ses accidents, et les intervalles ; les trois genres ; l'espèce, le système et le mode ; un chapitre très court sur le chant, qui n'examine aucun instrument malgré son titre ; la durée, la mesure et la valeur des notes, et les instruments.⁶⁵

La composition des mouvements et les tangentes. C'est la méthode des tangentes de Roberval : une courbe étant décrite par un point animé de deux mouvements connus, la tangente en un point est la direction de la vitesse résultante, obtenue en composant les deux vitesses par le parallélogramme. Libri note que l'écrit est imprimé dans le tome VI des anciens Mémoires de l'Académie des sciences, mais que l'imprimé s'arrête au treizième exemple, la tangente à la parabole de Descartes, alors que le manuscrit en contient un quatorzième, sur une courbe qu'il appelle « Téroïde ou Aile de Rob[erval] ».⁶⁶ Suivent cinq planches de vingt-six figures ; une série de propositions attribuée à « M. de Rob », où l'auteur donne une parabole égale à une hélice ; une septième proposition qui applique la méthode des mouvements composés à plusieurs problèmes et retrouve les conséquences que Fermat avait tirées de sa méthode de maximis et minimis ; enfin une copie de lettre, sans signature ni adresse, sur les oscillations de corps de figures diverses.⁶⁷

Le manuscrit latin 7226 (vues 51 et 52)

Un in-folio relié de 532 pages non numérotées, qui contient : un Tractatus mechanicus de Roberval daté de 1648 (pages 7 à 70) ; une lettre de Roberval à Fermat, « conseiller de Toulouse » (71 à 111) ; une proposition pour trouver les centres de gravité (112 à 116), adressée à Fermat le 1^er avril 1645 et réduite à des définitions et des énoncés ; un Theorema lemmaticum sur les centres de gravité, daté de 1645 (121 à 167) ; un traité de mécanique « et spécialement de la conduite et élévation des eaux » (173 à 421).⁶⁸

Le Tractatus mechanicus pose des postulats et des définitions, traite de l'équilibre de forces situées dans un même plan, définit un « centre de la vertu de la puissance », et se termine par la démonstration mécanique de la loi du levier : deux poids en raison inverse des bras se font équilibre. La lettre à Fermat démontre de même l'équilibre du levier et envoie à Fermat « un principe de géostatique » qu'il avait demandé. Le Theorema lemmaticum distingue trois cas selon la position de points donnés par rapport à un plan — tous du même côté ; certains sur le plan, les autres d'un même côté ; des deux côtés, avec parfois des points sur le plan — et l'applique au demi-cercle, à la demi-circonférence, à la trochoïde, à sa « compagne » et au triangle.⁶⁹

Le traité des eaux explique d'abord les machines simples — balance, levier, roue et essieu, poulies et moufles, plan incliné, coin, vis, marteau — puis la pesanteur des corps plongés dans les liquides, les formes propres à nager, la conduite naturelle des eaux (siphon, écluses), et la conduite forcée, dont Roberval dit qu'elle se fait de deux manières, par une pression plus forte que la pesanteur et par « la crainte du vide » : contrepoids, moulins, chapelets, vis d'Archimède, « escalier », pompes aspirantes et foulantes.⁷⁰ Le volume se termine par le principe d'Archimède, que Roberval fonde sur l'action de l'eau qui soulève le corps par-dessous ; d'où il conclut qu'un corps même plus léger que l'eau, appliqué contre le fond sans liquide au-dessous de lui, ne remonterait pas. La conclusion est juste : la poussée est la résultante des pressions sur la surface mouillée, et si la face inférieure ne l'est pas, la résultante des pressions est dirigée vers le bas.⁷¹

Le supplément français 597 (vue 53)

Un in-folio relié de 430 pages, dont la page 9 porte le n^o 290.⁷² Il contient un « livre troisième de dioptrique, ou des lunettes » (pages 7 à 197) ; un traité de Roberval sur la résolution géométrique des équations planes et cubiques (247 à 309) ; un traité de la division des lieux en divers degrés (310 à 329) ; un traité pour ramener un lieu géométrique donné à une équation analytique (330 à 354).

Le premier ouvrage paraît à Libri être du P. Mersenne, dont les deux premiers livres auraient été publiés à la suite du traité de perspective du P. Niceron, et ce troisième livre, incomplet, être l'analyse d'un traité d'optique de Roberval.⁷³ Il traite de la réfraction et de la densité des corps, du rapport de réfraction et de sa détermination — l'indice de réfraction —, des termes de la dioptrique, de la différence entre réfraction et réflexion, des lunettes simples, dont il distingue dix-huit cas, des lunettes composées d'un ou de plusieurs verres ; une dix-septième proposition, seulement énoncée, devait traiter de l'œil, de ses défauts et des lunettes qui les corrigent. Sept planches, huit figures. Le traité des équations n'est, dit Libri, que le commencement d'un travail plus étendu imprimé dans le tome VI des anciens Mémoires.

Le traité des lieux reprend la classification des Anciens : il y a une infinité de degrés de lieux ; au premier genre, les lieux qui sont des lignes, au second ceux qui sont des surfaces. Les lignes se répartissent en lieux plans (la droite et le cercle), lieux solides (les trois coniques) et lieux linéaires (toutes les autres courbes), et l'auteur ne retient que ceux qui s'enferment dans une équation. En termes d'aujourd'hui, les lieux plans sont les courbes de degré 1 et le cercle, les lieux solides les courbes de degré 2, c'est-à-dire les coniques ; la classification est celle de Pappus, et la restriction aux courbes qui ont une équation est le programme de la géométrie analytique. Le dernier écrit l'applique au cercle, à la parabole, à l'hyperbole, à l'ellipse et à la conchoïde.⁷⁴

Le supplément latin 218, et ce qu'il est devenu (vues 54 et 55)

Le supplément latin 218, dit Libri, se compose de trois volumes in-quarto reliés.

Le tome I porte au recto de son deuxième feuillet le n^o 171 et le titre De recognitione aequationum, au verso le n^o 26 ; l'ouvrage commence au feuillet suivant et compte 37 pages.⁷⁵ Libri en donne le plan : les équations du second degré en quatre chapitres (deux racines positives ; deux négatives ; une de chaque signe ; l'équation qui « subsiste par elle-même ») ; les équations cubiques en six chapitres, suivis de leur « détermination » ; les équations du quatrième degré en dix chapitres, jusqu'aux racines « fictives ». Il ajoute qu'un ouvrage du même titre est imprimé dans le tome VI des anciens Mémoires de l'Académie des sciences, mais que la rédaction et la disposition des matières ne ressemblent pas à celles du manuscrit. Le volume se termine, dit-il, par une petite dissertation latine sur l'art de voler, et par un article italien avec figures, où l'auteur soutient qu'il n'est pas impossible à l'homme de voler et fait intervenir les noms de Galilée et d'Archimède.⁷⁶

Ce tome I est l'actuel Latin 11195. La transcription de ce volume, faite dans ce projet, relève sur les feuillets exactement ce que Libri décrit : l'ancienne cote « Suppl. lat. 218 » sur la garde et sur la première page du traité ; au recto du deuxième feuillet (vue 2), le titre De Recognitione Æquationum sous un « 171 » à l'encre ; au verso (vue 3, page de gauche), un « 26 » ; le traité commençant à la page suivante, paginé par son scripteur de 1 à 37 et s'achevant à la vue 23 ; quatre chapitres pour les équations du second degré, six pour les cubiques, dix pour les quarto-quadratiques ; puis le dossier du vol, avec un feuillet de titre « Ars Volandi », des notes latines, et un traité italien illustré de deux dessins, qui nomme Galilée, Sagredo et Archimède.⁷⁷ Une différence doit être dite. Libri range le traité sur les équations parmi les manuscrits de Roberval ; les feuillets du Latin 11195 ne nomment Roberval que comme l'auteur, « D. Rob. », de lemmes que le traité emprunte, et la lecture modernisée de ce volume n'attribue le traité à personne. Le classement de Libri est un fait sur Libri ; il n'est pas une preuve.

Le tome II, de 41 feuillets, porte le n^o 27 au verso du feuillet 2 et le n^o 119 en haut du feuillet 3. Il contient un petit écrit d'optique, Appendix ad tractatum de legitimo Dioptrarum usu, de cinq propositions (deux théorèmes, trois problèmes) avec huit planches et vingt-quatre figures, qui renvoie souvent au traité des coniques de son auteur ; un problème adressé au P. Mersenne le 10 novembre 1642, « trouver le cylindre de plus grand ambitus inscrit dans une sphère donnée » ; l'extrait d'une lettre au P. Mersenne du 3 juin 1639 qui annonce de nouvelles hélices avec leur démonstration ; et le De Vacuo de Roberval, adressé à Des Noyers aux ides de mai 1648, qui rapporte ses propres expériences sur le vide, celle de Pascal sur la cause de l'ascension du mercure dans le baromètre, et des expériences semblables faites sur les petites montagnes des environs de Paris.⁷⁸

Le problème de 1642 se résout aisément aujourd'hui, et sa réponse dépend du sens d'ambitus. Soit \(R\) le rayon de la sphère, \(r = R\cos t\) le rayon du cylindre inscrit et \(2R\sin t\) sa hauteur. Si l'ambitus est la surface latérale, \(4\pi R^2 \sin t \cos t = 2\pi R^2 \sin 2t\) est maximale pour \(t = 45^\circ\), et vaut \(2\pi R^2\). Si c'est la surface totale, \(2\pi R^2(\cos^2 t + \sin 2t)\) est maximale pour \(\tan 2t = 2\), et vaut \(\pi R^2 (1 + \sqrt5)\).⁷⁹

Le tome III, de 68 feuillets, porte le n^o 28 au verso du feuillet 1 et le n^o 172 au recto du feuillet 2. Libri y compte dix lettres, dont certaines sont des écrits : une lettre de Roberval à Torricelli datée de Paris aux calendes de janvier 1646 (le 1^er janvier), où il revendique la priorité des découvertes sur la cycloïde et attribue à la France presque toutes les inventions faites sur cette courbe ; une lettre de Huygens, datée de Leyde en octobre 1646, sur le mouvement des corps, où l'auteur soutiendrait que la parabole décrite par les projectiles n'est pas un effet de l'attraction terrestre ; une lettre de Torricelli à Roberval, de Florence, 7 juillet 1646, avec plusieurs problèmes sur la cycloïde ; une lettre à Roberval contenant un théorème sur une sorte de spirale ; une lettre de Torricelli au P. Mersenne, de la même date ; un théorème sur l'hyperbole ; une lettre de Torricelli à Carcavi, 8 juillet 1646, sur un problème de Fermat sur les nombres et sur la priorité de la cycloïde ; une lettre de Roberval à Torricelli, imprimée dans le tome VI des anciens Mémoires ; un « nouvel usage en analyse des radicaux du second degré et des degrés supérieurs » par Fermat, avec un appendice ; enfin la copie d'une lettre de Fermat à Carcavi du 20 août 1650 sur le « débrouillement des asymétries ».⁸⁰

Ces deux derniers volumes sont, sous leurs cotes d'aujourd'hui, les Latin 11196 et 11197, que la notice de la bibliothèque groupe avec le Latin 11195 sans en décrire le contenu, et qui ne sont pas numérisés : la description de Libri est ici le seul inventaire de leur contenu que le projet ait sous les yeux. Laquelle des deux cotes répond à quel tome, les feuillets de cet album ne le disent pas.⁸¹