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Francisci Vietæ opera nonnulla

imprimés, pag. 84 [?] de l'edition d'Elzevir 1646. in folio p [?] 158.

de [?] æquationum recognitione 1.

De emendatione [?] æquationum 32

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Opus duplicatæ [?] hypostaseos ad mechanicam Geometriam sit facile reducere.
<math display="block">\begin{array}{l} E\,cc \\ + Z\,s.\ \text{in}\ E\,c.\ \text{æq.}\ D\,ss. \end{array}</math>

Si fiat <math>D\,s.</math> ad <math>Z\,s.</math> ita quævis recta <math>D</math> ad <math>B</math>. Et facta <math>D</math> media et <math>B</math> differentia extremarum, inveniantur extremæ quarum minor sit <math>F</math>. Denique ut {{Rature|1=<math>D\,s.</math> ad <math>F\,s.</math>}} <math>D</math> ad <math>F</math> ita fiat <math>D\,s.</math> ad <math>E\,s.</math> et est [?] inter <math>D</math> et <math>F</math>. Inveniantur duæ mediæ continue proportionales quarum secunda erit ipsa <math>E</math> quæsita. <ref>Le <math>D</math> de « recta <math>D</math> ad <math>B</math> » est repassé à l'encre, sur une autre lettre. Les deux mots lus « et est » sont liés et incertains.</ref>

{{c|1=''Climactica paraplerosis.''}}

<math display="block">\begin{array}{l} E\,cc. \\ + Z\,ppl.\ \text{in}\ E\,q.\ \text{æq.}\ D\,ss. \end{array}</math>
[''en marge :'' in 2] <ref>Dans la marge de gauche, en regard de cette équation, « in 2 » ; le chiffre a la forme que la main donne aussi à la lettre <math>Z</math>, et l'on peut lire « in Z ».</ref>

fiat ut <math>Z\,ppl.</math> ad <math>D\,pp.</math> {{Rature|1=D est [?]}} constituta serie continue proportionalium quarum <math>Z</math> prima, <math>D</math> secunda, fiat ut <math>Z</math> ad quartam ita <math>D\,q.</math> ad <math>C\,q.</math> & [?] ut <math>Z\,p.</math> ad <math>C</math> plano ita <math>Z</math> ad <math>F</math>. Dataq; <math>Z</math> prima & serie quatuor continue proportionalium, <math>F</math> composita ex secunda et quarta, inveniantur proportionales, et sit ut <math>Z</math> ad secundam ita <math>Z</math> pla. ad aliud quod æquale erit ipsi <math>E\,q.</math> quæsito. <ref>« constituta » est écrit sur une première forme du mot ; les deux lettres lues « D est » qui précèdent sont barrées d'un trait qui les lie au mot suivant. La lettre lue <math>C</math> (« <math>C\,q.</math> », « <math>C</math> plano ») pourrait être un <math>G</math>.</ref>

{{c|1=''Facillima resolutio æquationum cubicarum affectarum. & opere duplicatæ hypostaseos restitutarum [?].''}}<ref>Le titre est précédé, à gauche, de deux traits de plume obliques.</ref>

{{Rature|1={{Illisible}}}} Quemadmodum æquationes cubicæ quorumcunq; tandem modo affectæ ad quadraticas deprimi possunt & radice simplici. Proponatur. <math>E</math> plani [?] cubus plus minusve <math>Z\,s.</math> in <math>E\,c.</math> æq. {{Rature|1=<math>Z</math>}} <math>B\,ss.</math> fingatur <math>\dfrac{E\,c.}{Z}</math> æquari <math>A\,q.</math> atq; ita ordinetur æquatio ut {{Rature|1={{Illisible}}}} {{Rature|1={{Illisible}}}} æquatio namq; orta sic se habebit <math>A\,c. + Z\,q.</math> in <math>A</math> æq. <math>\dfrac{B\,ss.}{Z\,c.}</math> <ref>Le premier mot du paragraphe, avant « Quemadmodum », est surchargé et illisible. Le <math>B</math> de « <math>B\,ss.</math> » est écrit fortement sur un <math>Z</math> barré ; la finale de « <math>B\,ss.</math> » compte un jambage de plus, et l'on pourrait lire « <math>B\,sss.</math> ». Les deux mots barrés de la ligne suivante sont couverts d'un trait épais.</ref>

Sit & opere climactices parapleroseos si reducatur in æquationem similem [?] <math>E</math> plani cubus <math>+</math> vel {{Rature|1={{Illisible}}}} <math>-</math> <math>Z\,ppl.</math> in <math>E\,q.</math> æq. <math>B\,ss.</math> supponatur <math>\dfrac{E\,q.}{Z}</math> esse <math>A</math> et reducetur in æquationem cubicam a radice simplici {{Rature|1={{Illisible}}}} ordinatæ [?]
<math display="block">\begin{array}{l} A\,c. \\ + Z\,q.\ \text{in}\ A\ \text{æq.}\ \dfrac{B\,ss.}{Z\,c.} \end{array}</math>
<ref>En marge de gauche, devant « et reducetur », un signe en forme de croix double, comme un renvoi. Le mot barré après « simplici » est souligné de deux traits et barré ; on devine « quadr… ». Le signe d'égalité est partout l'abréviation « æq. » ou un grand signe bouclé qu'on transcrit « æq. ».</ref>

atq; ita æquationes omnes a radice planâ solidave aut {{Illisible}} climactica restituuntur [?] ad æquationem a radice simplici.

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{{c|1=''Theorema''}}

Si fuerit series continue proportionalium numero parium, differentia postremarum cum [alterne sumptarum] accepta prima, minus differentia cum alterne sumptarum æquatur extremæ minori plus eadem maiori.

at si proportionales fuerint numero impares, differentia cum alterne sumptarum minus differentia cum postremarum [alterne sumptarum] accepta prima, æquatur extremæ minori, plus eadem maiori. Debet autem in serie proposita intelligi prima minor. quod methodo Analyticâ facile patebit. <ref>Les deux « alterne sumptarum » en ''add'' sont des ajouts interlinéaires de la main du texte, écrits au-dessus de « accepta », avec un signe d'insertion dans la première phrase. Le mot transcrit « cum » est partout abrégé en trois jambages et une boucle. Dans la première ligne, « series » est suivi d'un trait qui paraît une lettre reprise.</ref>

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{{c|1='''Francisci Vietæ De Recognitione Æquationum tractatus.'''}}

{{c|1=''De dignoscenda æquationum constitutione ex Zetesi, plasmate et Syncrisi. Cap. 1''}}

Generalem et generaliter traditam de numerosa potestatum resolutione doctrinam informat ac perficit tractatus de recognitione æquationum. Præparatione enim indigent æquationes sæpenumero antequam faciliter explicentur. ac præsertim cum potestates de homogeneis magnitudinibus negantur vel ita mixtim homogeneæ magnitudines de potestatibus negantur et affirmantur et affectiones negatæ affirmatis præpollent ac demq; quotquot æquationes fractionibus vel asymmetriis explicentur.

In Geometricis quidem ari [?]{{Illisible}} fractione vel asymmetria non solet [?] æquationibus offerre [?], quo minus [?] εὐμηχάνως explicentur. Sicuti neq; vitio negationis. Est enim certum semper [?] subiectum sub quo operatur Geometra, at abest πολυ{{Illisible}}, et quo elatior est potestas, affectionisq; gradus, eo maior se prodit in explicando problemate ἀρρηξία [?] ἢ ἀλογία. <ref>Le cachet couvre la fin du mot après « quidem » et le début de « fractione ». Après « non », le mot lu « solet » a sa finale repassée d'un trait. Les trois mots grecs sont en caractères grecs dans la ligne ; le premier, après « abest », commence par « πολυ » et sa fin n'est pas lue ; celui qui précède « ἢ ἀλογία » est lu avec doute.</ref>

Ergo [?] vero æquationi quæ proposita est agnita constitutione non tentabit Analysta, quo saxa et scrupulos effugiat. ne ignarus {{Rature|1={{Illisible}}}} imitetur [?], deprimet, attollet et undiq; operabitur semper, nova quæ {{Illisible}} postulaverit suscepto [?] Zetesi sub alio quam qui proponebatur termino, ad propositam tamen habenti datam differentiam vel rationem. <ref>Le mot barré après « ignarus » commence par « Anat… ». À droite de « rationem. », un signe à l'encre noire et épaisse, en forme de crochet, de la même encre que le « 1 » du haut de la page.</ref>

Omnino Æquationum ortus [?] et prima constitutio scitu digna est, illaq; [?] non solita ab Analysta repetenda et adsignanda quo sibi pateat ad eas deductionis [?] via.

Æqualitatum constitutio potissimo deprehenditur, Zetesi, plasmate, et Syncrisi. <ref>Le texte s'arrête au bas du premier tiers inférieur ; le reste de la page est blanc.</ref>

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{{c|1=''De Zetesi Caput II''}}

Zetesin non instituit tendere [?] neq; {{Rature|1=at}} ἀτέχνως analysta, tam pura [?] & paris [?] affecta & affectis [?] prosequi [?] dictat [?] ratio. Et ideo ad deprehen[de]ndam æquationum ad potestates puras pertinentium conditionem, is qui [?] datis duobus lateribus potestates in genere, ad æquationes affectarum simpliciter potestatum Investigabit & data differentia vel summa laterum, vel suorum graduum cum dato sub iis {{Illisible}} eorum gradibus paribus vel disparibus facto, alterutrum è lateribus. Ad æquationes denique multipliciter affectarum, affectionem affectioni adiungens, sub dimidiis laterum parodicis gradibus. <ref>La syllabe « de » de « deprehendendam » est ajoutée au-dessus de la ligne par l'auteur, avec un signe d'insertion. Dans la première ligne, un long trait horizontal part de « non » et traverse « instituit » et le mot suivant : c'est d'abord la barre des t, et il n'est pas transcrit comme une rature ; seul « at », repassé d'un trait plus épais, est barré. Le mot grec est en caractères grecs dans la ligne. La deuxième ligne, lue « tam pura & paris affecta & affectis prosequi dictat ratio », est d'une lecture très incertaine.</ref>

At [?] etiam non se adiget uni quæstionis formulæ, sed se sub Zeteticis exercebit sub quocunq; effecto vel proposito themate.

Quæ Geometrico operi aptamus [?], recordabimur latera ad extremas lineas rectas in serie continue proportionalium referri, facta vero sub lateribus, aut laterum paribus vel disparibus gradibus, ad aliquam è mediis potestates.

Et cum incidet in æquationem mechanico [?] sive bene obviam, de illa condet theorema simile {{Rature|1={{Illisible}}}} cuiuscumq; æqualitatis Systaticum et Ecdoticum. <ref>Le mot barré après « simile » est couvert d'un trait épais.</ref>

Æquationem Æquationi similem regulariter dicimus cum utrobiq; par est potestas, seu æq. alta, ipsaq; affecta affectionibus sub pari gradu, et eadem affectionis nota. Quod si aliud quiddam præterea requiritur speciale et conditionarium, similitudo anomala est.

{{c|1=''Constitutiva Æquationum quadraticarum è Zeteticis Cap. III.''}}

Affectarum sane quæ adæquant [?] quadraticarum constitutio è Zeteticis dignoscitur probè, sunt autem Æquationum huiusmodi tres species καταφατική, ἀποφατική, ἀμφίβολος.

Tribus itaq; theorematis de earum constitutione, Analysta ita poterit ratiocinari. <ref>Les trois noms d'espèces sont écrits en grec dans la ligne. La page s'arrête ici ; la suite est à la vue 7.</ref>

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{{c|1=''Καταφατικῆς''}}

{{c|1=''Theorema 1.''}}

Si <math>A</math> quadratum plus <math>B</math> in <math>A</math> æquetur <math>Z</math> quadrato; sunt tres proportionales radices, quarum media est <math>Z</math>, differentia vero extremarum <math>B</math>. Et fit <math>A</math> minor extrema.

Ex Zetetico si placet [?] data media trium proportionalium linearum rectarum, et differentia inter extremas, Invenire minorem extremam.

quæ enim in lineis rectis locum habent comparationes easdem ad radices easdem quascumq; simplices, planas, solidasve, aut ulterioris ordinis homogeneas posse aptari disserunt [?] Campanus in libro de proportione.

Sit igitur data <math>Z</math> media trium proportionalium, <math>B</math> differentia extremarum, et oporteat Invenire minorem extremam. Esto illa <math>A</math>. maior igitur erit <math>A + B</math>. ducatur minor in maiorem fit <math>A</math> quadratum plus <math>B</math> in <math>A</math>. Et vero quando sunt proportionales, quod fit sub extremis æquatur mediæ quadrato: igitur <math>A</math> quadratum plus <math>B</math> in <math>A</math>, æquale est <math>Z</math> quadrato. id autem ipsum est quod ordinatur. <ref>« sunt proportionales » est repassé à l'encre plus noire en fin de ligne, de même que « minorem » plus haut, écrit sur un premier mot.</ref>

<math>1Q + 10N.</math> æquatur <math>144</math>. Est <math>L.\,144</math> media inter extremas, differentia [?] est <math>10</math>. et fit <math>1N.</math> minor extrema seriei trium proportionalium <math>8.\ 12.\ 18.</math> <ref>« L. 144 » : le côté (la racine) de 144, soit 12, le moyen terme de la série 8, 12, 18. <math>Q</math> et <math>N</math> sont le carré et le nombre (la racine) de l'exemple numérique ; le <math>Q</math> a la forme d'un 2 souligné.</ref>

{{c|1=''Ἀποφατικῆς''}}

{{c|1=''Theorema II''}}

Si <math>A</math> quadratum minus <math>B</math> in <math>A</math> æquetur <math>Z</math> quadrato: sunt tres proportionales, quarum media est <math>Z</math>, differentia vero extremarum est <math>B</math>, et fit <math>A</math> maior extrema.

Ex Zetetico, data media trium proportionalium, et differentia inter extremas Invenire maiorem extremam. Esto illa <math>A</math>. minor igitur erit <math>A - B</math>. ducatur maior in minorem fit <math>A</math> quadratum minus <math>B</math> in <math>A</math> æquale <math>Z</math> quadrato. Id autem ipsum est quod ordinatur.

<math>1Q - 10N.</math> æquatur <math>144</math>: est <math>L.\,144</math> media inter extremas differentia [?] est <math>10</math> et fit <math>1N</math> maior extrema è serie trium proportionalium <math>8.\ 12.\ 18.</math>

8Vue 82 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

{{c|1=''Ἀμφιβόλου.''}}

{{c|1=''Theorema III.''}}

Si <math>B</math> in <math>A</math> <math>-</math>[minus] <math>A</math> quadrato, æquetur <math>Z</math> quadrato; sunt tres proportionales, quarum media est <math>Z</math> aggregatum extremarum <math>B</math> et fit <math>A</math> maior minorve extrema. <ref>Au-dessus du signe « <math>-</math> », l'auteur a écrit « minus » en petites lettres.</ref>

Ex Zetetico, data media trium proportionalium et aggregato extremarum Invenire alterutram extremam.

Sit enim data <math>Z</math> media aggregatum vero extremarum <math>B</math> oportet Invenire minorem extremam. esto illa <math>A</math>, maior igitur erit <math>B - A</math> quare <math>B</math> in <math>A</math> minus <math>A</math> quadrato, æquabitur <math>Z</math> quadrato. Sed sit <math>A</math> maior extremarum erit <math>B - A</math> minor extremarum Atq; rursus <math>B</math> in <math>A</math>, minus <math>A</math> quadrato æquabitur <math>Z</math> quadrato. unde <math>A</math> sive de minore extremarum, sive de maiore potest enunciari.

<math>26N. - 1Q</math> æquatur <math>144</math>. est <math>L.\,144</math> media inter extremas, quarum aggregatum est <math>26</math>, et fit <math>1N.</math> minor, maiorve extrema è serie trium proportionalium. <math>8.\ 12.\ 18.</math>

{{c|1=''Rursus Ex Zeteticis''}}

{{c|1=''Constitutiva æquationum Cubicarum ac primum earum in quibus affectiones desinunt sub latere. Cap. IIII.''}}

Æquationum quoq; cubicarum affectionibus sub latere involutarum constitutio è Zeteticis scitu digna est, quo pertinent tria quæ sequuntur Theoremata.

{{c|1=''Καταφατικῆς''}}

{{c|1=''Theorema I.''}}

Si <math>A</math> cubus plus <math>B</math> quadrato in <math>A</math>, æquetur <math>B</math> quadrato in <math>Z</math>. sunt quatuor continue proportionales quarum prima, maior minorve inter extremas est <math>B</math>, aggregatum vero secundæ et quartæ est <math>Z</math>. et fit <math>A</math> secunda.

Ex Zetetico data prima et aggregato secundæ et quartæ in serie quatuor continue proportionalium, Invenire secundam.

Esto secunda <math>A</math> quarta igitur erit <math>Z - A</math>. solido autem sub primæ quadrato et quarta æquatur cubus è secunda, cum sit ut quadratum primæ, ad quadratum secundæ, ita secunda ad quartam. itaq; <math>A</math> cubus æquabitur <math>B</math> quadrato in <math>Z</math>, minus <math>B</math> quadrato in <math>A</math>. et per antithesin <math>A</math> cubus plus <math>B</math> quadrato in <math>A</math> æquabitur <math>B</math> quadrato in <math>Z</math>, ut est ordinatum. <ref>« involutarum » : la première syllabe est à demi effacée au début de la ligne. La page finit ici ; la suite est au recto suivant, vue 9.</ref>

9Vue 93 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

Si <math>1C + 64N.</math> æquetur <math>2496</math>; sunt quatuor continue proportionales quarum prima minor inter extremas est <math>L\,64</math>, id est <math>8</math>. aggregatum vero secundæ et quartæ <math>\dfrac{2496}{64}</math>, id est <math>39</math> et fit <math>1N</math> secunda è serie proportionalium
<math display="block">\overset{\mathrm{I}}{8}.\ \overset{\mathrm{II}}{12}.\ \overset{\mathrm{III}}{18}.\ \overset{\mathrm{IIII}}{27}.</math>
<ref>Au-dessus des quatre termes, les rangs I, II, III, IIII en chiffres romains, comme ici.</ref>

Et si <math>1C + 729N</math> æquatur <math>18954</math> prima maior inter extremas est <math>L\,729</math>, id est <math>27</math>, aggregatum secundæ et quartæ <math>\dfrac{18954}{729}</math> id est <math>26</math>. et fit {{Rature|1=<math>x</math>}} <math>1N</math> secunda è eadem serie.

{{c|1=''Ἀποφατικῆς''}}

{{c|1=''Theorema II''}}

Si <math>A</math> cubus minus <math>B</math> quadrato in <math>A</math>, æquetur <math>B</math> quadrato in <math>D</math>, sunt quatuor continue proportionales, quarum prima minor inter extremas est <math>B</math>. differentia secundæ et quartæ <math>D</math> et fit <math>A</math> secunda.

Ex Zetetico. data prima minore inter extremas et differentia secundæ et quartæ in serie quatuor continue proportionalium Invenire secundam.

Sit data <math>B</math> prima minor inter extremas, differentia vero secundæ et quartæ <math>D</math>. oportet Invenire continue proportionales. sit secunda <math>A</math> quarta igitur erit <math>A + D</math>. Solido autem sub quadrato primæ et quarta, æquatur cubus è secunda, quare <math>A</math> cubus, æquabitur <math>B</math> quadrato in <math>A</math> plus <math>B</math> quadrato in <math>D</math>. et per Antithesin <math>A</math> cubus minus <math>B</math> quadrato in <math>A</math> æquabitur <math>B</math> quadrato in <math>D</math>. ut est ordinatum. <ref>Après « prima », une tache d'encre couvre une lettre, sans doute un <math>B</math> repassé.</ref>

Si <math>1C - 64N.</math> æquetur <math>960</math>. sunt quatuor continue proportionales quarum prima est {{Rature|1=latus}} <math>L\,64</math>. id est <math>8</math>. differentia vero secundæ et quartæ <math>\dfrac{960}{64}</math> id est <math>15</math>. et fit <math>1N.</math> secunda Ex serie proportionalium <math>\overset{\mathrm{I}}{8}.\ \overset{\mathrm{II}}{12}.\ \overset{\mathrm{III}}{18}.\ \overset{\mathrm{IIII}}{27}.</math>

{{c|1=''Ἀμφιβόλου''}}

{{c|1=''Theorema III.''}}

Si <math>B</math> quadratum in <math>A</math> minus <math>A</math> cubo æquetur <math>B</math> quadrato in <math>D</math>; sunt quatuor continue proportionales, quarum prima maior inter extremas est <math>B</math>. differentia vero secundæ et quartæ <math>D</math>. et fit <math>A</math> secunda. <ref>Le texte s'arrête ici, au milieu de la page ; le Zététique du Théorème III suit au verso, vue 10.</ref>

10Vue 102 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

Ex Zetetico data prima maiore inter extremas, et differentia secundæ et quartæ, in serie quatuor continue proportionalium Invenire secundam.

Sit data <math>B</math> prima maior inter extremas, differentia vero secundæ et quartæ <math>D</math>. oportet Invenire secundam. Sit secunda <math>A</math>. quarta igitur erit <math>A - D</math>. Solido autem sub quadrato primæ et quarta, æquatur cubus è secunda. quare <math>A</math> cubus æquabitur <math>B</math> quadrato in <math>A</math>, minus <math>B</math> quadrato in <math>D</math>. et per Antithesin <math>B</math> quadratum in <math>A</math>, minus <math>A</math> cubo, æquabitur <math>B</math> quadrato in <math>D</math>.

Si <math>729N - 1C.</math> æquentur <math>7290</math>; sunt quatuor continue proportionales, quarum prima est <math>L.\,729</math>. differentia vero secundæ et quartæ <math>\dfrac{7290}{729}</math> id est <math>10</math> et fit <math>1N</math> secunda è serie proportionalium. <math>\overset{\mathrm{I}}{27}.\ \overset{\mathrm{II}}{18}.\ \overset{\mathrm{III}}{12}.\ \overset{\mathrm{IIII}}{8}.</math>

potest autem ea secunda duplex esse, ut in duplici quatuor continue proportionalium serie quæ sequitur.
<math display="block">\begin{array}{llll} \overset{\mathrm{I}}{L.\,59319}. & \overset{\mathrm{II}}{195}. & \overset{\mathrm{III}}{L\,24375}. & \overset{\mathrm{IIII}}{125}. \\[4pt] L\,59319. & 78. & L\,624. & 8. \end{array}</math>

Stante eadem prima maiore inter extremas <math>L.\,59319</math>. et eadem differentia secundæ et quartæ <math>70</math>. secunda hic fit <math>78</math>. illic <math>195</math>.

Sit stante eadem prima <math>36</math>, eademq; differentia secundæ et tertiæ <math>5</math>. proponitur duplex series trium proportionalium
<math display="block">\begin{array}{lll} \overset{\mathrm{III}}{36}. & \overset{\mathrm{II}}{6}. & \overset{\mathrm{I}}{1}. \\[4pt] 36. & 30. & 25. \end{array}</math>
<ref>Dans la première série de trois, les rangs sont écrits à rebours, III sur 36, II sur 6, I sur 1.</ref>

{{c|1=''Constitutiva æquationum Cubicarum in quibus affectiones sunt sub quadrato. Cap. V.''}}

Quæ autem cubicæ affectionibus sub quadrato obvolvuntur æquationes, iisdem fere terminis constant, quæ in affectionibus sub latere. ut è Zeteticis similiter clarum fit. quo pertinebunt trina quoq; item enumeranda theoremata. <ref>La page s'arrête sur cette annonce ; les théorèmes suivent au recto suivant, vue 11.</ref>

11Vue 112 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

{{c|1=''Ἀποφατικῆς''}}

{{c|1=''Theorema I.''}}

Si <math>A</math> cubus minus <math>B</math> in <math>A</math> quadrato, æquetur <math>B</math> in <math>Z</math> quadratum; sunt quatuor continue proportionales, quarum prima maior, minorve inter extremas est <math>B</math>, aggregatum vero secundæ et quartæ est <math>Z</math>. et fit <math>A</math> aggregatum primæ et tertiæ.

Ex Zetetico data prima et aggregato secundæ et quartæ in serie quatuor continue proportionalium, Invenire aggregatum primæ et tertiæ.

Sit data prima <math>B</math>. maior minorve inter extremas: aggregatum vero secundæ et quartæ <math>Z</math>. in serie quatuor continue proportionalium. oportet Invenire aggregatum primæ et tertiæ.

Sit illud <math>A</math>, tertia igitur erit <math>A - B</math> est autem ut <math>A</math> ad <math>Z</math> ita <math>B</math> ad <math>\dfrac{B \text{ in } Z}{A}</math> quare <math>\dfrac{B \text{ in } Z}{A}</math> erit secunda cum sit ut aggregatum primæ et tertiæ ad aggregatum secundæ et quartæ ita prima ad secundam. at rectangulum sub prima et tertia æquabitur secundæ quadrato. Itaq; <math>\begin{array}{l} B \text{ in } A \\ - B \text{ quadrato} \end{array}</math> æquabitur <math>\dfrac{B \text{ quadrato in } Z \text{ quadratum}}{A \text{ quadratum}}</math> omnia multiplicentur per <math>A</math> quadratum et dividantur per <math>B</math>. igitur <math>\begin{array}{l} A \text{ cubus} \\ - B \text{ in } A \text{ quadrato} \end{array}</math> æquabitur <math>B</math> in <math>Z</math> quadrato. id autem est quod ordinatum. <ref>Les expressions en deux lignes sont écrites ainsi, l'une au-dessus de l'autre ; la seconde est fermée à droite par une accolade. Devant la fraction « <math>B</math> quadrato in <math>Z</math> quadratum », une tache d'encre.</ref>

Si <math>1C - 8Q</math> æquetur <math>12168</math>. sunt quatuor continue proportionales quarum prima inter extremas est <math>8</math> aggregatum vero secundæ et quartæ <math>L\,\dfrac{12168}{8}</math> id est <math>39</math>. et fit <math>1N.</math> aggregatum primæ et tertiæ è serie proportionalium
<math display="block">\overset{\mathrm{I}}{27}.\ \overset{\mathrm{II}}{18}.\ \overset{\mathrm{III}}{12}.\ \overset{\mathrm{IIII}}{8}.</math>
<ref>Le <math>Q</math> de « <math>8Q</math> » a la forme d'un 2 souligné, comme à la vue 7. La série est écrite en commençant par 27, le rang I sur 27, bien que la prima de l'exemple soit 8.</ref>

{{c|1=''Καταφατικῆς''}}

{{c|1=''Theorema II''}}

Si <math>A</math> cubus plus <math>B</math> in <math>A</math> quadratum æquetur <math>B</math> in <math>D</math> quadrato sunt quatuor continue proportionales, quarum prima minor inter extremas est <math>B</math>. differentia vero secundæ et quartæ est <math>D</math>. et fit <math>A</math> differentia primæ et tertiæ.

12Vue 123 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

Ex Zetetico data prima minore inter extremas et differentia secundæ et quartæ in serie quatuor continue proportionalium Invenire differentiam primæ et tertiæ.

Sit data <math>B</math> prima in serie quatuor continue proportionalium eademq; minor inter extremas. differentia vero secundæ et quartæ <math>D</math>. oportet Invenire differentiam primæ et tertiæ. Esto illa <math>A</math>. tertia igitur erit <math>A + B</math>. est autem ut <math>A</math> ad <math>D</math> ita <math>B</math> ad <math>\dfrac{B \text{ in } D}{A}</math> quare <math>\dfrac{B \text{ in } D}{A}</math> erit secunda. cum sit ut differentia primæ et tertiæ ad differentiam secundæ et quartæ ita prima ad secundam. at rectangulum sub prima et tertia æquatur secundæ quadrato, Itaq; <math>\left.\begin{array}{l} B \text{ in } A \\ + B \text{ quadrato} \end{array}\right\}</math> æquabitur <math>\dfrac{B \text{ quadrato in } D \text{ quadrato}}{A \text{ quadrato}}</math> omnia ducantur in <math>A</math> quadratum et dividantur per <math>B</math>. igitur <math>A</math> cubus, plus <math>B</math> in <math>A</math> quadratum æquabitur <math>B</math> in <math>Z</math> quadratum. id autem ipsum est quod ordinatum. <ref>« <math>B</math> in <math>Z</math> quadratum » : le <math>Z</math> est souligné sur le feuillet ; l'énoncé du Théorème II (vue 11) et le calcul qui précède portent <math>D</math>.</ref>

Si <math>1C + 8Q</math> æquetur <math>1800</math>. sunt quatuor continue proportionales, quarum prima inter extremas est <math>8</math>. differentia vero secundæ et quartæ <math>L.\,\dfrac{1800}{8}</math> id est <math>15</math> et fit <math>1N.</math> differentia primæ et tertiæ è serie proportionalium.
<math display="block">\overset{\mathrm{I}}{8}.\ \overset{\mathrm{II}}{12}.\ \overset{\mathrm{III}}{18}.\ \overset{\mathrm{IIII}}{27}.</math>

{{c|1=''Ἀμφιβόλου.''}}

{{c|1=''Theorema III.''}}

Si <math>B</math> in <math>A</math> quadratum minus <math>A</math> cubo æquetur <math>B</math> in <math>D</math> quadrato sunt quatuor continue proportionales quarum prima maior inter extremas est <math>B</math>. differentia vero secundæ et quartæ est <math>D</math>. et fit <math>A</math> differentia primæ et tertiæ.

Ex Zetetico data prima maiore inter extremas et differentia secundæ et quartæ in serie quatuor continue proportionalium Invenire differentiam secundæ et tertiæ. <ref>« secundæ et tertiæ » est bien la leçon du feuillet ; l'énoncé qui précède et la phrase qui suit portent « primæ et tertiæ ».</ref>

Sit data <math>B</math> prima in serie quatuor continue proportionalium eademq; maior inter extremas, differentia vero secundæ et quartæ <math>D</math>. oportet Invenire differentiam primæ et tertiæ. Esto illa <math>A</math> tertia igitur erit <math>B - A</math>. Erit autem ut <math>A</math> ad <math>D</math> ita <math>B</math> ad <math>\dfrac{B \text{ in } D}{A}</math>. quare <math>\dfrac{B \text{ in } D}{A}</math> erit secunda. cum sit ut differentia primæ et tertiæ ad differentiam secundæ et quartæ ita prima ad secundam at rectangulum sub prima et tertia æquatur secundæ quadrato. Itaq; <math>\left.\begin{array}{l} B \text{ quadrato} \\ - B \text{ in } A \end{array}\right\}</math> æquabitur <math>\dfrac{B \text{ quadrato in } D \text{ quadratum}}{A \text{ quadrato}}</math> <ref>La page s'arrête sur cette égalité ; la suite du calcul est attendue au recto suivant. Le « t » initial de « tertiæ », au début de l'avant-dernière ligne, est repassé à l'encre noire.</ref>

13Vue 134 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

omnia ducantur in <math>A</math> quadratum et per <math>B</math> dividantur. Igitur <math>\left.\begin{array}{l} B \text{ in } A \text{ quadratum} \\ - A \text{ cubo} \end{array}\right\}</math> æquabitur <math>B</math> in <math>D</math> quadrato. Id autem ipsum est quod ordinatum. <ref>Le <math>D</math> de « <math>B</math> in <math>D</math> quadrato » est repassé en une tache d'encre noire.</ref>

Si <math>27Q - 1C</math> æquentur <math>2700</math>. sunt quatuor continue proportionales, quarum prima maior inter extremas est <math>27</math>. differentia vero secundæ et quartæ <math>L\,\dfrac{2700}{27}</math> id est <math>10</math> et fit <math>1N.</math> differentia primæ et tertiæ è serie proportionalium
<math display="block">\overset{\mathrm{I}}{27}.\ \overset{\mathrm{II}}{18}.\ \overset{\mathrm{III}}{12}.\ \overset{\mathrm{IIII}}{8}.</math>

{{c|1=''Alia insuper Constitutio Cuborum sub latere adfectorum. Ex Zeteticis Cap. VI.''}}<ref>Le « A » de « Alia » est repassé à l'encre noire.</ref>

Sed neq; omittenda est è Zeteticis quoq; depromenda singularis quædam constitutio. cubi, qui sub latere affirmate afficitur, atq; etiam eius qui adficitur negate, cum videlicet (is enim casus præmonendus est) quadruplus cubus è triente coefficientis plani cedit [?] solidi dati medietatis [?] quadrato. quocirca bina iam proferuntur theoremata.

{{c|1=''Theorema I.''}}

Si <math>A</math> cubus plus <math>B</math> plano ter in <math>A</math>, æquetur <math>D</math> solido, est <math>B</math> planum quod fit sub lateribus, a quibus qui fiunt cubi differunt per <math>D</math> solidum. et fit <math>A</math> differentia laterum.

Ex Zetetico, data differentia cuborum et rectangulo sub lateribus Invenire differentiam laterum.

Si <math>1C + 6N</math> æquatur <math>7</math>. est <math>\dfrac{6}{3}</math> seu <math>2</math> rectangulum sub lateribus a quibus cubi differunt per <math>7</math>. et fit <math>1N</math> differentia laterum. è hypothesi laterum <math>1</math> et <math>2</math>.

{{c|1=''Theorema II.''}}

Si <math>A</math> cubus minus <math>B</math> plano ter in <math>A</math> æquetur <math>D</math> solido. præstet autem <math>D</math> solidi quadratum quadruplo <math>B</math> plani cubo. est <math>B</math> planum rectangulum sub lateribus a quibus qui fiunt cubi componunt <math>D</math> solidum et fit <math>A</math> aggregatum laterum.

Ex Zetetico. dato rectangulo sub lateribus et aggregato cuborum Invenire latera. <ref>« et aggregato » est d'une encre plus noire que la ligne, peut-être repassé ou ajouté.</ref>

[''en marge :'' vide Zet. 20 lib. 2.] adscripta conditio hic patet. sit latera <math>B</math>. <math>A</math>. rectangulum sub lateribus <math>B</math> in <math>A</math>. aggregatum cuborum <math>A\,c + B\,c</math>. cubus rectanguli sub lateribus est <math>B\,c</math> in <math>A\,c</math>. quadratum aggregati cuborum <math>\begin{array}{l} A\,cc \\ + B\,c \text{ in } A\,c\ 2 \\ + B\,cc. \end{array}</math> est autem <math>\begin{array}{l} A\,cc \\ + B\,c \text{ in } A\,c\ 2 \\ + B\,cc \end{array}</math> maius <math>B\,c</math> in <math>A\,c\ 4</math>. quandoquidem <math>A\,cc + B\,c</math> in <math>A\,c. + B\,cc.</math> sunt continue proportionales atq; in tribus continue proportionalibus in ratione inæqualitatis summa extremarum maior est mediæ dupla. quare <math>A\,cc + B\,cc</math> maius erit <math>B\,c</math> in <math>A\,c\ 2</math>. unde constat propositum. quando [?] {{Illisible}} <ref>Cette addition est d'une autre main que le texte, plus petite, à l'encre noire ; elle commence plus à gauche que la justification et déborde la marge. La note marginale « vide Zet. 20 lib. 2. » est de la même main. La première expression à trois lignes est entourée d'un trait qui la rattache à la fin de la deuxième ligne. Dans cette main, « <math>A\,c</math> », « <math>A\,cc</math> » s'écrivent avec des <math>c</math> qui ressemblent à des <math>r</math>. Le dernier mot, après « quando », est sous une tache au bord déchiré du feuillet.</ref>

14Vue 144 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

[''en marge :'' <math>B\,p.</math> rectangulo sub lateribus / <math>D\,s.</math> aggregato cuborum / quadruplus <math>B\,p</math> cubus. cedit [?] <math>D</math> solidi quadrato] Si <math>1C - 6N.</math> æquatur <math>9</math> est <math>\dfrac{6}{3}</math> seu <math>2</math>. rectangulum sub lateribus a quibus cubi aggregati faciunt <math>9</math> et fit <math>1N</math> aggregatum laterum è hypothesi laterum <math>1</math> et <math>2</math>. <ref>La note marginale, en quatre lignes, est reliée par une accolade au « Si » qui ouvre l'exemple ; elle nomme les données du Théorème II et répète sa condition.</ref>

Eadem autem theoremata Geometrice ita concipiuntur.

{{c|1=''Aliter. Primum theorema.''}}

Si <math>A</math> cubus plus <math>B</math> plano ter in <math>A</math> æquetur <math>B</math> plano in <math>D</math> sunt quatuor continue proportionales lineæ rectæ sub quarum mediis vel extremis fit <math>B</math> planum. differentia vero extremarum est <math>D</math>. et fit <math>A</math> differentia mediarum.

{{Rature|1=Si <math>1C + 24N.</math> æquatur <math>56</math>, sunt quatuor continue proportionales}}

Ex Zetetico data differentia extremarum et rectangulo sub mediis vel extremis in serie quatuor proportionalium Invenire differentiam mediarum.

Si <math>1C + 24N.</math> æquatur <math>56</math> sunt quatuor continue proportionales sub quarum mediis vel extremis quod fit planum æquale est <math>\dfrac{24}{3}</math> id est <math>8</math> differentia vero extremarum est <math>\dfrac{56}{8}</math> id est <math>7</math> et fit <math>1N.</math> differentia mediarum è serie continue proportionalium <math>\overset{\mathrm{I}}{1}.\ \overset{\mathrm{II}}{2}.\ \overset{\mathrm{III}}{4}.\ \overset{\mathrm{IIII}}{8}.</math> <ref>La phrase barrée est un premier départ de l'exemple, écrit avant le Zététique puis rayé d'un trait continu ; l'exemple est récrit après.</ref>

{{c|1=''Aliter. Secundum theorema.''}}

[''en marge :'' est enim aggregatum extremarum in serie quatuor continue proportionalium maius aggregato mediarum quadratum autem semissis mediarum maius est rectangulo sub iisdem sive quadrato mediæ proportionalis inter easdem medias quare et extremarum semissis quadratum eodem rectangulo erit multo maius.] Si <math>A</math> cubus minus <math>B</math> plano ter in <math>A</math> æquetur <math>B</math> plano in <math>D</math>, sit autem <math>D</math> semissis quadratum maius <math>B</math> plano, sunt quatuor continue proportionales lineæ rectæ sub quarum mediis vel extremis fit <math>B</math> planum. aggregatum vero extremarum est <math>D</math>. et fit <math>A</math> aggregatum mediarum.

Ex Zetetico dato aggregato extremarum, et rectangulo sub mediis vel extremis in serie quatuor continue proportionalium, Invenire aggregatum mediarum.

Si <math>1C - 24N.</math> æquatur <math>72</math> sunt quatuor continue proportionales, sub quarum extremis vel mediis quod fit planum æquale est <math>\dfrac{24}{3}</math> id est <math>8</math> aggregatum vero extremarum est <math>\dfrac{72}{8}</math> id est <math>9</math> et fit <math>1N</math> aggregatum mediarum è serie continue proportionalium <math>\overset{\mathrm{I}}{1}.\ \overset{\mathrm{II}}{2}.\ \overset{\mathrm{III}}{4}.\ 8.</math> <ref>Ici, seuls les trois premiers termes portent un rang.</ref>

Cum autem quadruplus cubus è triente coefficientis plani præstat solidi dati medietatis quadrato, aliam eo casu sortitur æqualitas constitutionem ambiguæ seu eius quæ negatur Inversæ [?], communem, quo pertinet sequens theorema. <ref>Le mot lu « Inversæ » montre « Inu…st… » ; la lecture reste douteuse. La page s'arrête sur cette annonce ; le théorème annoncé est attendu au recto suivant.</ref>

15Vue 151 note : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

vel sic ἀποδεικτικῶς [?]

quoniam ex <math>A + B</math> in <math>B</math> in <math>A</math> fit <math>\begin{array}{l} B\,q \text{ in } A \\ + B \text{ in } A\,q \end{array}</math>. cuius quadratum si comparetur {{Rature|1=cum}} {{Rature|1=sub}} cum quadruplo cubo ab <math>\dfrac{\begin{array}{l} A\,q \\ + B\,q \\ + B \text{ in } A \end{array}}{3}</math> fiunt illinc <math>\begin{array}{l} B\,qq \text{ in } A\,q\ 3 \\ + B\,q \text{ in } A\,qq\ 3 \\ + B\,c \text{ in } A\,c\ 26 \end{array}</math> hinc vero <math>\begin{array}{l} A\,cc\ 4 \\ + B \text{ in } A\,qc\ 12 \\ + B\,cc\ 4 \\ + B\,qc \text{ in } A\ 12 \end{array}</math> (reiectis scilicet è facti solido-solidis {{Rature|1={{Illisible}}}} utrinq; æqualibus.) Sunt autem proportionales continue <math>\begin{array}{l} A\,cc \\ + B \text{ in } A\,qc \\ + B\,q \text{ in } A\,qq \\ + B\,c \text{ in } A\,c \\ + B\,qq \text{ in } A\,q \\ + B\,qc \text{ in } A \\ + B\,cc \end{array}</math> quare erit quoq; ut <math>B</math> in <math>A\,qc</math> ad <math>B\,q</math> in <math>A\,qq</math> ita <math>B\,qq</math> in <math>A\,q</math> ad <math>B\,qc</math> in <math>A</math> et summa extremarum præstabit summæ mediarum. quare et <math>\begin{array}{l} B \text{ in } A\,qc\ 12 \\ + B\,qc \text{ in } A\ 12 \end{array}</math> maius erit quam <math>\begin{array}{l} B\,qq \text{ in } A\,q\ 12 \\ + B\,q \text{ in } A\,qq\ 12 \end{array}</math>. et ablatis utrinq; <math>\begin{array}{l} B\,qq \text{ in } A\,q\ 3 \\ + B\,q \text{ in } A\,qq\ 3 \end{array}</math>. restabit illinc magnitudo maior quam <math>\begin{array}{l} B\,qq \text{ in } A\,q\ 9 \\ + B\,q \text{ in } A\,qq\ 9 \end{array}</math>. atqui inter <math>B\,qq</math> in <math>A\,q</math> et <math>B\,q</math> in <math>A\,qq</math> media proportionalis est <math>B\,c</math> in <math>A\,c</math>. in serie autem continue proportionalium summa extremarum maior est media dupla. quare <math>\begin{array}{l} B\,qq \text{ in } A\,q\ 9 \\ + B\,q \text{ in } A\,qq\ 9 \end{array}</math> maius erit quam <math>B\,c</math> in <math>A\,c\ 18</math>. est autem et <math>B\,c</math> in <math>A\,c</math> media quoq; proportionalis inter <math>A\,cc</math> et <math>B\,cc</math> quare <math>\begin{array}{l} A\,cc\ 4 \\ + B\,cc\ 4 \end{array}</math> maius quoq; erit quam <math>B\,c</math> in <math>A\,c\ 8</math>. Summa igitur <math>\begin{array}{l} A\,cc\ 4 \\ + B \text{ in } A\,qc\ 12 \\ + B\,cc\ 4 \\ + B\,qc \text{ in } A\ 12 \end{array}</math> maior erit quam summa <math>\begin{array}{l} B\,qq \text{ in } A\,q\ 3 \\ + B\,q \text{ in } A\,qq\ 3 \\ + B\,c \text{ in } A\,c\ 26. \end{array}</math> quod erat demonstrandum.

unde patet è dat. [?] hypothesi {{Illisible}} <math>D</math> solidi quadratum cedere [?] quadruplo <math>B\,p.</math> cubo. <ref>Toutes les sommes sont écrites en colonnes de termes, l'une sous l'autre, comme ici. Le premier mot grec est lu avec doute (« ἀπ…δεικτικῶς »). Après « hypothesi », une tache pâle couvre un ou deux signes. Le reste du feuillet, sous cette ligne, est blanc.</ref>

16Vue 165 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

{{c|1=''Theorema III''}}

[''en marge :'' Si sit aggregat. laterum <math>A</math> {{Rature|1={{Illisible}}}} cuius quadrat. erit <math>A\,q</math>. et {{Rature|1=<math>B\,pl</math>}} <math>A\,q - B</math> planum [<math>D</math>] erit rectangul. sub lateribus æquale <math>\dfrac{D\,s.}{A}</math> quare <math>\begin{array}{l} A\,c \\ - B\,pl. \text{ in } A \end{array}</math> æq. <math>D\,s.</math> / Sit rursus latus unum <math>A</math> cuius ergo [?] quadrat. erit <math>A\,q</math> et <math>B\,p - A\,q</math> erit summa rectanguli sub lateribus et quadrati reliqui atqui solidum sub aggregato laterum in rectang. sub lateribus applicat. alteri lateri dat rectang. sub aggregato laterum in latus alterum vel aggregat. quadrati lateris alterius et rectanguli sub lateribus eodem [?] quare <math>B\,p\,3 - A\,q\,3</math> {{Illisible}} <math>\dfrac{D\,s.}{A}</math> ac proinde <math>\begin{array}{l} B\,p \text{ in } A\,3 \\ - A\,c \end{array}</math> æq. [?] <math>D\,s.</math> et fit <math>A</math> latus alterutrum.] Si <math>A</math> cubus minus <math>B</math> plano ter in <math>A</math> æquetur <math>D</math> solido, cedat autem <math>D</math> solidi quadratum quadruplo <math>B</math> plani cubo: <math>B</math> planum ter in <math>E</math> minus <math>E</math> cubo æquabitur rursus <math>D</math> solido. et Enunciatur <math>E</math> de duobus lateribus a quibus singulis [?] quadrata adiecta rectangulo sub ipsis lateribus faciunt <math>B</math> planum. {{Rature|1=Ex}} <math>\overset{\circ}{x}\,4</math> quod autem fit ab uno laterum in quadratum reliqui, adiunctum rectangulo, seu aliter quod fit abs aggregato laterum in rectangulum est <math>D</math> solidum. <math>A</math> vero enunciatur de aggregato illorum laterum. <ref>La première note marginale, en deux paragraphes séparés par un trait, justifie les deux énoncés (<math>A</math> agrégat des côtés ; <math>A</math> l'un des côtés). Le signe « <math>\overset{\circ}{x}\,4</math> » dans la ligne, après « <math>B</math> planum », est un signe de renvoi ; le même signe se retrouve dans la marge, plus bas, en tête de la seconde addition, et en tête du feuillet « 5 bis » (vue 15), qui commence par « vel sic ».</ref>

Ex Zetetico. dato plano quod constat aggregato quadratorum a duobus lateribus, plus rectangulo sub iisdem, et dato insuper solido, quod fit abs aggregato laterum in rectangulum, Invenire latera vel etiam laterum aggregatum.

Si <math>1C - 21N.</math> æquetur <math>20</math>. quoniam quadruplus cubus è <math>7</math> maior est quam <math>400</math>. igitur <math>21N</math> <math>-</math> {{Rature|1=<math>1Q</math>}} [<math>1C</math>] æquabitur <math>20</math>. et sunt duo latera, a quibus quadrata adiuncta rectangulo a lateribus, faciunt <math>21</math>. aggregatum autem laterum, ductum in rectangulum est <math>20</math>. et fit <math>1N.</math> in æqualitate Inversa negata, alterutrum è lateribus, maius minusve, in directa vero negata aggregatum ipsorum laterum. è hypothesi laterum <math>1.</math> et <math>4.</math> <ref>« <math>1C</math> » est écrit au-dessus d'un « <math>1Q</math> » barré.</ref>

[''en marge :'' {{Rature|1=<math>\overset{\circ}{x}\,4</math> positis duobus lateribus <math>B</math> et <math>A</math>. fiet cubus è triente coefficientis plani <math>\dfrac{\begin{array}{l} A\,cc \\ + A\,qq \text{ in } B\,q\ 6 \\ + B \text{ in } A\,qc\ 3 \\ + B\,qq \text{ in } A\,q\ 6 \\ + B\,c \text{ in } A\,c\ 7 \\ + B\,cc \\ + B\,qc \text{ in } A\ 3 \end{array}}{27}</math> at <math>D\,s.</math> quadrat. <math>\begin{array}{l} B\,qq \text{ in } A\,q \\ + B\,q \text{ in } A\,qq \\ + B\,c \text{ in } A\,c\ 2 \end{array}</math> et quadruplato priore reductisq; omnibus in <math>27</math> partes [?] ablatis communibus remanebit <math>\begin{array}{l} A\,cc\ 4 \\ + B \text{ in } A\,qc\ 12 \\ + B\,cc\ 4 \\ + B\,qc \text{ in } A\ 12 \end{array}</math> quod maius esse debet quam <math>\begin{array}{l} B\,qq \text{ in } A\,q\ 3 \\ + B\,q \text{ in } A\,qq\ 3 \\ + B\,c \text{ in } A\,c\ 26 \end{array}</math> quod vero sic {{Illisible}} patebit quoniam <math>A\,cc</math>. <math>B</math> in <math>A\,qc</math>. <math>B\,q</math> in <math>A\,qq</math>. <math>B\,c</math> in <math>A\,c</math>. <math>B\,qq</math> in <math>A\,q</math>. <math>B\,qc</math> in <math>A</math>. sunt proportionales continue. est autem in serie quotcunq; continue proportionalium summa extremarum maior summa mediarum quare erit primo <math>B\,qq</math> in <math>A\,q + B\,q</math> in <math>A\,qq</math> maior quam <math>B\,c</math> in <math>A\,c</math> {{Illisible}} <math>B\,qq</math> in <math>A\,q\ 12 + B\,q</math> in <math>A\,qq\ 12</math> maior {{Illisible}} quam <math>B\,c</math> in <math>A\,c\ 12</math> atq; <math>B</math> in <math>A\,qc\ 12 + B\,qc</math> in <math>A\ 12</math> maiores {{Illisible}} quam <math>B\,qq</math> in <math>A\,q\ 12 + B\,q</math> in <math>A\,qq\ 12</math> id est multo maiores quam <math>B\,c</math> in <math>A\,c\ 24</math>. et <math>A\,cc\ 4 + B\,cc\ 4</math> maior est [multo] quam <math>B\,qq</math> in <math>A\,q\ 4 + B\,q</math> in <math>A\,qq\ 4 + B\,c</math> in <math>A\,c\ 4</math> {{Illisible}}}}] <ref>Seconde addition marginale, de la même main, qui commence au signe de renvoi « <math>\overset{\circ}{x}\,4</math> » dans la marge et se poursuit au pied de la page sous le texte. Elle est barrée : sa moitié inférieure par de grands traits obliques croisés, ses deux dernières lignes au pied de la page par des traits horizontaux. C'est une première démonstration de la condition « quadruplus cubus è triente coefficientis plani … », que la même main a récrite au propre sur le feuillet « 5 bis » (vue 15, « vel sic ἀποδεικτικῶς »). Dans le produit à sept termes, le « 26 » est écrit sur un premier chiffre ; les deux « 3 » qui précèdent sont écrits sur des « 21 » barrés. La fin, au pied de la page, porte encore, lisibles sous les ratures : « summa extremarum … », « quadruplo », « multo igitur maius erit quadruplum cubi … ». Lecture d'ensemble incertaine.</ref>

Neq; vero in Geometrica phrasi, hic erit magna dissimilitudo. {{Illisible}} dicet Geometra <math>B</math> planum esse aggregatum quadratorum a tribus proportionalibus lineis rectis <math>D</math> vero solidum quod fit ab aggregato extremarum in mediæ quadratum, seu ab alterutra extrema in aggregatum quadratorum è reliquis. et fieri <math>A</math> aggregatum extremarum, <math>E</math> vero primam vel tertiam. <ref>Le mot avant « dicet » montre « ſ…mmendo » ; il n'est pas lu.</ref>

Sic in Exposito themate, <math>21</math> est aggregatum quadratorum a tribus proportionalibus, et solidum <math>20</math> est ab aggregato extremarum in mediæ quadratum, seu ab alterutra extrema in quadrat{{Rature|1=um}}[a] è reliquis. Ex serie proportionalium <math>1.\ 2.\ 4.</math>

At Elegantius et præstantius ex analyticis angularium sectionum huiusmodi æqualitatum constitutio eruitur et ad εὐμηχανίαν [?] accommodatius in hanc formulam. <ref>Le mot grec est en caractères grecs dans la ligne. La phrase annonce une formule qui n'est pas sur cette page ; elle est attendue au verso, vue 17.</ref>

17Vue 176 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

[''en marge :'' (D) a [?] <math>\dfrac{\begin{array}{l} B\,q \\ + A\,q \\ + B \text{ in } A \end{array}}{3}</math> quam quadrat. solidi <math>\begin{array}{l} B\,q \text{ in } A \\ + B \text{ in } A\,q \end{array}</math> unde constat oppositum {{Illisible}} theorematis 3 antecedentis.] <ref>Figure dans la marge, sous ce cadre : un cercle de diamètre <math>AB</math>, avec sur la circonférence, dans l'ordre, les points <math>A</math>, <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>, <math>K</math>, <math>G</math>, <math>B</math>, <math>L</math>, <math>M</math>, <math>H</math> ; un point <math>C</math> hors du cercle, à droite, joint à <math>G</math> et à <math>B</math> ; des cordes en pointillé de <math>A</math> vers <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>, <math>K</math>, <math>G</math>, <math>B</math>, de <math>H</math> et <math>M</math> vers le haut, et plusieurs intersections intérieures, dont une marquée <math>H</math> au milieu. Un arc <math>KG</math> est repassé à l'encre.</ref>

{{c|1=''Aliter, tertium theorema''}}

Si <math>A</math> cubus, minus <math>B</math> quadrato ter in <math>A</math> æquetur <math>B</math> quadrato in <math>D</math>, sit autem [<math>B</math>] maior <math>D</math> semisse <math>\left.\begin{array}{l} B \text{ quadratum ter in } E \\ - E \text{ cubo} \end{array}\right\}</math> æquabitur <math>B</math> quadrato in <math>D</math>. <ref>L'ajout interlinéaire après « autem » est un <math>B</math> surmonté de deux petits signes, peut-être « <math>B\,q^{o}</math> » ; il est donné sous la forme <math>B</math>.</ref>

Et sunt duo triangula rectangula æqualis <math>B</math> hypotenusæ, ita ut angulus acutus subtensus a perpendiculo primi sit triplus [ad] angulum acutum subtensum a perpendiculo secundi, basis vero dupla primi est <math>D</math>. et fit <math>A</math> dupla basis secundi. <math>E</math> vero basis simpla secundi, contracta {{Illisible}} longitudine lineæ quæ potest quadrato triplum perpendiculi eiusdem. <ref>Le mot entre « contracta » et « longitudine » montre « prohartam » ou « pro partem » ; il n'est pas lu.</ref>

<math>1C - 300N</math> æquetur <math>432</math>, vel etiam <math>300N - 1C.</math> æquetur <math>432</math>. sunt duo triangula rectangula, quorum hypotenusa communis est {{Rature|1={{Illisible}}}} <math>10</math> ita ut angulus acutus primi, à perpendiculo videlicet subtensus, sit triplus ad acutum secundi a suo quoq; perpendiculo subtensum, basis autem primi dupla est <math>\dfrac{432}{100}</math>. et <math>1N</math> in æqualitate directe negata est basis dupla secundi, In inversa vero negata est basis simpla secundi plus minusve ea quæ potest quadrato triplum perpendiculum secundi. <ref>Dans « <math>1C - 300N</math> », le <math>N</math> est ajouté au-dessus de la ligne.</ref>

Constituta hypotenusa {{Rature|1=secundi}} communi <math>10</math> basi secundi trianguli <math>9</math> fit perpendiculum eiusdem secundi <math>L\,19</math>. primi vero hypotenusa stante <math>10</math> fit basis <math>2\tfrac{16}{100}</math>. itaq; cum in ea hypothesi dicetur <math>1C - 300N.</math> æquari <math>432</math>, fiet <math>1N.</math> <math>18</math>. vel cum dicetur <math>300N - 1C</math> æquari <math>432</math> fiet unus numerus <math>9 + L\,57</math> vel <math>9 - L\,57</math>.

Atq; hæc ad assequendum ex Zeteticis constitutiones adæquatarum, quæ affectæ sunt potestatum exempla nunc [?] sufficiendo [?]. Etsi enim de simpliciter affectis theoremata tantum proposita sunt, tamen quemadmodum ad multipliciter affectas possint trahi, vix ignorabitur, quando præsertim deteget earum plasma, de quo Jam succedit dicendi locus. ipsorum enim Zeteticorum, a quibus antedictæ constitutiones depromptæ sunt Jam patuit processus sufficienter in Expositis {{Illisible}}, hoc postremo theoremate excepto, quod par est reiici in peculiarem Zeteticorum ad angulares sectiones pertinentium {{Illisible}}. <ref>Le mot après « Expositis » montre « Ex…sil » ; le dernier mot de la page, « Syl…milam », souligné d'un trait qui revient en crochet, n'est pas lu.</ref>

[''en marge :'' Sit circulus cuius diameter <math>AB</math> cuiusque [?] circumferentiæ {{Illisible}} <math>FB</math> tertia pars sit <math>GB</math>. et quoniam {{Rature|1=ita}} [2] demonstratum a nobis ad sectiones angulares Elementa [?] <math>GB</math>, <math>GK</math>, <math>KF</math> sunt æquales erit ut semidiameter ad rectam <math>AG</math> ita <math>AG</math> ad compositam è <math>AB</math>, <math>AK</math> et ita <math>AK</math> ad compositam è <math>AG</math> <math>AF</math>. in rectis simplicibus sit <math>AB</math> (<math>B</math>). <math>AF</math> (<math>D</math>). <math>AG</math> bis (<math>A</math>) ut <math>B</math> semissis ad <math>\tfrac{A}{2}</math> {{Illisible}} <math>B</math> ad <math>A</math> {{Rature|1=duplum}} ita <math>A</math> ad <math>\dfrac{A\,q}{B}</math> a quo ablato <math>B</math>, relinquitur <math>\dfrac{A\,q - B\,q}{B}</math> æqualis ipsi <math>AK</math> {{Rature|1={{Illisible}}}} itemque ut <math>B</math> ad <math>A</math> ita <math>\dfrac{A\,q - B\,q}{B}</math> ad <math>\dfrac{A\,c - B\,q \text{ in } A\ 2}{B\,q}</math> a quo sublato <math>A</math> relinquitur <math>\dfrac{A\,c - B\,q \text{ in } A\ 3}{B\,q}</math>. æquale sit ipsi <math>AF</math> bis vel <math>D</math>. Jam ipsius <math>BG</math> [rectæ] dupla fiat {{Illisible}} <math>BL</math>. quæ occurrat circumferentiæ in <math>L</math> puncto et quoniam <math>BG</math> tertia pars est circumferentiæ <math>BF</math> et <math>GB</math> tertia pars totius circuli {{Illisible}} nam quoniam <math>BL</math> dupla est ipsius <math>BG</math> erit in triangulo <math>GBL</math> rectangulo angulus <math>GBL</math> <math>\tfrac{2}{3}</math> unius recti sive <math>\tfrac{1}{3}</math> duorum rectorum. et quadratum {{Illisible}} <math>GL</math> triplum quadrati <math>GB</math>. tota circumferentia <math>BD</math> metietur circulum integrum et præterea peripheriam <math>BF</math>. metiatur peripheriis <math>BD</math>, <math>DM</math>, <math>MF</math>, erit igitur circumferentia <math>BM</math> residua dupli ipsius <math>BD</math> è integro circulo, dupla ipsius <math>BDA</math> residuæ eiusdem è semicirculo, circumferentia vero <math>BM</math> æqualis est ipsa <math>FD</math> quoniam subtensæ <math>BD</math>, <math>DM</math> æquales sunt subtensis <math>DM</math>, <math>MF</math>. circumferentia igitur <math>DF</math> dupla est circumferentiæ <math>DA</math> totaq; <math>FA</math> eiusdem] <ref>Longue addition de la main à l'encre noire : elle occupe la colonne de gauche depuis la figure jusqu'au bas, puis, sous le texte principal, trois lignes sur toute la largeur de la page, qui s'arrêtent au bord inférieur sur « eiusdem » sans conclusion visible ; la suite n'est pas sur ce feuillet. Elle démontre par la figure (trisection de l'arc <math>FB</math> en <math>G</math>, <math>K</math>) la constitution du « tertium theorema ». Beaucoup de lettres de la figure et de chiffres y sont repassés ou corrigés ; la lecture en est donnée sous réserve. « bis » au-dessus de « <math>AF</math> » et de « <math>AG</math> » est interlinéaire.</ref>

18Vue 182 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

[''en marge :'' <math>DA</math> tripla. Secta igitur <math>DF</math> æqualiter in <math>E</math> et ducta <math>AE</math>, et quoniam triangula <math>BIG</math>, <math>ADI</math> similia sunt erit <math>AD</math> ipsius <math>AI</math> semissis. in rectis itaq; simplicibus sit <math>AD</math> bis sive <math>AI</math> (<math>E</math>). <math>AB</math> (<math>B</math>). <math>AF</math> bis (<math>D</math>) est è demonstratis a nobis [in tractatu de sectionibus angularibus [?]] ut semidiameter ad <math>AD</math> vel <math>AB</math> ad <math>AI</math> hoc est <math>B</math> ad <math>E</math> ita <math>E\,\tfrac{1}{2}</math> ad <math>\dfrac{E\,q\,\tfrac{1}{2}}{B}</math>. differentiam scilicet <math>AB</math>. <math>BE</math>. quo a <math>B</math> ablato relinquitur <math>\dfrac{B\,q - E\,q\,\tfrac{1}{2}}{B}</math> æquale ipsi <math>BE</math>. Deinde ut <math>B</math> ad <math>E</math> ita <math>\dfrac{B\,q - E\,q\,\tfrac{1}{2}}{B}</math> ad <math>\dfrac{B\,q \text{ in } E - E\,c\,\tfrac{1}{2}}{B\,q}</math> differentiam <math>AD</math> {{Illisible}} <math>AF</math> {{Rature|1=cui adiectum data}} <math>E\,\tfrac{1}{2}</math> {{Rature|1={{Illisible}}}} dat <math>\dfrac{B\,q \text{ in } E\,\tfrac{3}{2} - E\,c\,\tfrac{1}{2}}{B\,q}</math> æquale ipsi <math>AF</math>. cuius duplum <math>\dfrac{B\,q \text{ in } E\,3 - E\,c}{B\,q}</math> [vel <math>D</math>] æquale ipsi <math>AF</math> bis. / Protrahatur <math>AG</math> in <math>C</math> et fiat <math>BC</math> dupla ipsius <math>BG</math> erit igitur angulus <math>GBC</math> <math>\tfrac{2}{3}</math> unius recti et quadratum <math>GC</math> triplum quadrati <math>GB</math>. et angulus <math>ABH</math> æqualis ipsis <math>ACB</math> tertiæ parti unius recti et <math>CAB</math> tertiæ parti circumferentiæ <math>BF</math>. est igitur circumferentia <math>AH</math> tertia pars totius circumferentiæ <math>A</math><math>H</math> [?]<math>E</math>. in rectis igitur simplicibus sit <math>AB</math> (<math>B</math>) <math>AC</math> (<math>E</math>). <math>AF</math> bis (<math>D</math>) et quoniam triangula <math>GBC</math>, <math>CAH</math> sunt similia erit <math>AH</math> semissis ipsius <math>AC</math>. erit igitur ex demonstratis a nobis ut <math>B</math> ad <math>E</math> ita <math>E\,\tfrac{1}{2}</math> ad [?] <math>\dfrac{E\,q\,\tfrac{1}{2}}{B}</math> quo è diametro ablato relinquitur <math>\dfrac{B\,q - E\,q\,\tfrac{1}{2}}{B}</math> æquale ipsi <math>BL</math>. deinde ut <math>B</math> ad <math>E</math> ita <math>\dfrac{B\,q - E\,q\,\tfrac{1}{2}}{B}</math> ad <math>\dfrac{B\,q \text{ in } E - E\,c\,\tfrac{1}{2}}{B\,q}</math> differentiam ipsarum <math>AH</math>, <math>AF</math>. quo ad <math>AH</math> vel <math>E\,\tfrac{1}{2}</math> addito fit <math>\dfrac{B\,q \text{ in } E\,\tfrac{3}{2} - E\,c\,\tfrac{1}{2}}{B\,q}</math> æquale ipsi <math>AF</math> et omnibus duplicatis <math>\dfrac{B\,q \text{ in } E\,3 - E\,c}{B\,q}</math> æquabitur [<math>D</math> vel] <math>AF</math> bis quod erat demonstrandum.] <ref>L'addition marginale est donnée sous réserve : les fractions y sont écrites de façon serrée, avec des « ½ » et des « 3/2 » en exposant à côté des lettres, et plusieurs lettres de la figure y sont reprises. Elle se termine par « quod erat demonstrandum », au niveau de la dernière ligne du texte principal.</ref>

{{c|1='''De Generali methodo transmutandarum æquationum Cap VII.'''}}

Plasmatis ratio pendet è doctrina transmutandarum æquationum generaliter Imprimis proponenda et demonstranda.

{{c|1=''De transmutatione per alterationem radicis.''}}

Æquationis transmutatio instituitur duplici formæ permutatione [?]. aut {{Rature|1=enim}} placet alterari radicem de qua primo quæritur aut manere Invariatam.

qualiscumq; autem alteratio sit, primigenia radix et nova datam habent inter se differentiam vel rationem, adeo ut una cognita, altera non possit ignorari.

ad opus itaq; transmutationis alterata radix quæsititia conceditur alteri quoq; inquirendæ esse æqualis, atq; adeo è ea concessione novam induit speciem, sub qua æquatio primo posita dirigitur, et ordinatur nova.

ac pluribus quidem modis radix de qua quæritur potest artificiose alterari, et nova specie exhiberi. at dirigendi ratio sub ea nova specie ipsam quæ primo proposita est æquationem, constans est et uniformis per modos illos quosvis [?].

quæ ut fiant evidentiora, proponatur æquatio quævis de <math>A</math> radice exponenda, et sit <math>Z</math> magnitudo cui adæquetur {{Illisible}}, et oporteat propositam illam æquationem alterata radice arte transmutare.

primo igitur <math>A</math> radix potest alterari et nova specie exhiberi per additionem, utpote tali concessione et argumentatione <math>A + B</math> esto <math>E</math>. ergo <math>E - B</math> erit <math>A</math>.

secundo per subductionem, utpote tali concessione et argumentatione <math>A - B</math> esto <math>E</math>. ergo <math>E + B</math> erit <math>A</math>. vel etiam ista <math>B - A</math> esto <math>E</math> ergo <math>B - E</math> erit <math>A</math>.

tertio per multiplicationem. utpote tali concessione et argumentatione <math>B</math> in <math>A</math> esto <math>E</math> planum. ergo <math>\dfrac{E \text{ planum}}{B}</math> {{Rature|1=applicatum}} erit <math>A</math>.

quarto per divisionem. utpote concedendo et argumentando. <math>\dfrac{A \text{ planum}}{B}</math> esto <math>E</math>. ergo <math>B</math> in <math>E</math> erit <math>A</math> planum.

quinto per analogiam rationis explicatæ. utpote concedendo esse ut <math>B</math> ad <math>G</math> ita <math>A</math> ad <math>E</math>, deinde resolvendo analogiam et argumentando ergo <math>\dfrac{B \text{ in } E}{G}</math> erit <math>A</math>. <ref>Le texte de ce feuillet s'arrête ici, au-dessus du bord inférieur déchiré ; la suite est attendue au verso, vue 19.</ref>

19Vue 192 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

Sexto per analogiam rationis explicitæ. utpote concedendo esse ut <math>A</math> ad <math>B</math> ita <math>G</math> ad <math>E</math>, deinde resolvendo analogiam et argumentando ergo <math>\dfrac{B \text{ in } G}{E}</math> erit <math>A</math>.

Septimo per parabolicam hypostasin in {{Illisible}} quibuscumq; æquationibus, utpote in quadraticis concedendo <math>\left.\begin{array}{l} E \text{ quadratum} \\ + A \text{ in } E \end{array}\right\}</math> æquari <math>D</math> plano, quæ æquatio est quadrati affirmate affecti deinde argumentando ergo <math>\dfrac{D \text{ plano} - E \text{ quadrato}}{E}</math> erit <math>A</math>. <ref>Le mot après « in » montre « condicibus » ou « ordinibus » ; il est repassé.</ref>

vel concedendo <math>\left.\begin{array}{l} E \text{ quadratum} \\ - A \text{ in } E \end{array}\right\}</math> æquari <math>D</math> plano, quæ æquatio est quadrati negate affecti. et argumentando ergo <math>\dfrac{E \text{ quadrato} - D \text{ plano}}{E}</math> æquabitur <math>A</math>.

vel denique concedendo <math>\left.\begin{array}{l} E \text{ in } A \\ - E \text{ quadrato} \end{array}\right\}</math> æquari <math>D</math> plano quæ æquatio est plani sub latere negati de quadrato. et argumentando ergo <math>\dfrac{E \text{ quadratum} + D \text{ plano}}{E}</math> æquabitur <math>A</math>.

postremo per modos compositos, et excogitanda ab artifice et tentanda, quæ suo fini magis inservire conjicit, figmenta.

Quamcumq; autem speciem induit <math>A</math>, æquatio Juxta eam transformabitur et nova de <math>E</math> ordinabitur. si quæ de <math>A</math> enunciantur in æquatione proposita, eadem enuncientur de nova quam <math>A</math> induit specie.

Alteretur enim <math>A</math> per additionem, fingendo <math>A + B</math> esse <math>E</math> ut supra unde <math>E - B</math> fit <math>A</math>. Cum igitur par potestas eliciatur ab <math>E - B</math>, quæ proponebatur ab <math>A</math>, et similes quoq; parodici gradus, in quos ducantur Invariandæ coefficientes, ad efficienda eadem adfectionum homogenea; omnino facta huiusmodi, æquabuntur proposito homogeneo. Expediet [?] igitur secundum artis præcepta, et ita demum æquatio de <math>E</math> ordinetur. Jam transmutata erit in novam æquationem de <math>E</math>, id est ipsa <math>A</math> producta incremento [?] <math>B</math> enunciandam quod faciendum erat.

quod in reliquis quibuscumq; alterandi modis, quibus semper <math>A</math> valor exprimitur locum habere conspicuum est.

{{c|1=''De transmutatione Invariata radice''}}

quod ad secundam permutationem attinet, Invariata radice æquationem transmutare, est gradum æquationis deprimere vel attollere. <ref>La page finit ici, au trois quarts ; la suite est attendue au recto suivant.</ref>

20Vue 203 notes : <references/> en pied de pageGallica ↗WikicodeCopier

Climacticus autem sive adscensus sive descensus regulariter fit vel irregulariter.

Climacticus regularis ascensus fit, cum utraq; propositæ æquationis pars, distributa ordinate, vel sine ea artificis industria ducitur quadratice, cubice et ulterius climactice.

descensus contra cum dividitur sub quadratice, subcubice et depressius subclimactice, adiectione, ne ad id supplemento dato vel inquirendo. omnia autem post ductionem, divisionemve congrue ordinantur. <ref>« ne ad id » est lu tel quel ; la phrase parallèle plus bas porte « adiecto nempe ad id supplemento ».</ref>

Irregularis autem adscensus fit, cum omnia quibus proposita æquatio constat, singularia homogenea ducuntur in eundem parodicum gradum, sive purum[''en marge :'' + in exemplari excripto [?] / vel potius adscriptum [?]], sive adfectum a datis coefficientibus magnitudinibus, vel etiam eas adficientium, et ducta congruam interpretationem arripiunt, et ordinationem. <ref>Deux petites croix « + » sont posées au-dessus de « purum » et de « eas » ; la note marginale correspondante, d'une petite main pâle, n'est lue qu'en partie.</ref>

descensus contra cum omnia singularia illa homogenea adplicantur, sive ad radicem quæsititiam, sive radicis gradum potestate inferiorem, vel puro, vel cum adficientibus adfectione datis coefficientibus magnitudinibus, et divisa adiecto nempe ad id supplemento dato vel inquirendo congruam interpretationem arripiunt, et ordinationem.

demonstratio vero in quacumq; artificiosa transmutandi forma statim evidens fit, quoniam quæ æqualia sunt longitudine, æqualia quoq; sunt similis potestate, et contra. neq; communis divisor, vel multiplicator æqualitatem Immutat vel rationem.

Atq; hæc ut a nobis generaliter proposita sunt, ita specialibus inde regulæ præceptis, et exemplis concedendum est, quæ diffunduntur passim in commentationes locos, prout eadem artificij transmutatorij exigunt specimina.

{{c|1=''Singularia de plasmate. Cap. VIII''}}

plasma Inesse æquationibus intelligitur cum deducuntur potestates adfectæ a puris, vel minus adfectis æqualitatis aut etiam altiores a depressioribus.

Itaq; plasma potest institui per omnes transmutationum modos, præter divisionem et climacticum descensum.

finis plastices ac præcipuus illius usus est, ut agnitæ æquationes plasmaticæ, ad simpliciores[''en marge :'' + vel in] a quibus deductæ sunt reducantur resolui, si quo id liceat compendio <ref>Une croix « + » au-dessus de « ad simpliciores » renvoie à la note marginale « + vel in ». « liceat » est écrit sur un premier mot. Le texte s'arrête ici, sans ponctuation, au bas de la partie écrite du feuillet ; la phrase est inachevée sur cette vue et continue vraisemblablement au verso (vue 21, hors de ce lot).</ref>