NAL 1644 · vues 1–163 · Lecture modernisée · Viète (François). Papiers divers. NAL 1644 — lecture modernisée du volume entier
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Résumé

Ce que contient le volume

1–163Cent soixante-trois vues, une page par vue, feuillets de tailles inégales posés les uns sur les autres, de sorte que le haut ou le pied d'un feuillet voisin dépasse sur la plupart des images. Sous une couverture de papier fort qui porte, d'une grande écriture ancienne, « Francisci Vietæ opera nonnulla »¹ , le volume réunit trois pièces, précédées de trois petits feuillets lettrés.

• Vues 2 à 4 — trois petits feuillets lettrés A, B, C, d'une écriture serrée différente de celle des traités : deux réductions d'équations du sixième degré et un théorème sur les suites de proportionnelles (A, B) ; le feuillet C est blanc.
• Vues 5 à 68 — « Francisci Vietæ De Recognitione Æquationum tractatus. », ainsi titré en tête de la vue 5, chapitres 1 à XXI : comment une équation est faite à partir de ses racines, et comment, la voyant, on reconnaît de quoi elle est faite.
• Vues 69 à 141 — « Francisci Vietæ. De æquationum Emendatione tractatus secundus. », ainsi titré en tête de la vue 69, chapitres I à XIIII, qui s'achève sur « Finis » : comment préparer une équation pour la résoudre.
• Vues 142 à 163 — des feuillets d'astronomie, sans nom, d'une autre matière : les prostaphérèses de la Lune et le cadre de leurs tables, l'hypothèse lunaire de Tycho Brahe « restituée » par l'écrivain, un chapitre XII intitulé « Harmonici Ptolemaici Constructio » qui s'ouvre sur une charge contre la géométrie de Copernic, et deux fragments de théorie planétaire, dont le dernier porte sur Mercure et s'interrompt au milieu d'une phrase.

Les deux traités se suivent sans lacune : le second commence en tête du feuillet qui suit la dernière page du premier, et il est dit « secundus ». Leur écriture est, selon les transcriptions, une même cursive régulière, qui se corrige elle-même dans la marge — un mot souligné dans la ligne, la bonne leçon soulignée en regard. D'autres mains interviennent : une main rapide à l'encre noire, dans les marges des vues 13 à 18, qui démontre ce que le texte énonce et parle de ses propres travaux ; une petite main pâle à la vue 20 ; une écriture plus serrée dans les marges des vues 61 à 66 et une couche de corrections d'encre plus noire aux vues 121 à 140, dont les transcriptions ne décident pas si elles sont de l'écrivain ou d'un autre ; enfin un lecteur plus tardif, qui renvoie aux pages d'une édition in-folio de 1646 (vues 1, 5, 69 et 141).²

Le nom qu'on lit sur ces feuillets est celui des deux titres, écrits de la main du texte, et celui de la couverture. Qui a tenu la plume, les transcriptions ne le disent pas, et cette lecture ne le dit pas davantage. Trois notes, toutes douteuses, pourraient faire des traités une copie : « transcripta ex exemplari », en tête d'une addition marginale encadrée de la vue 100 (« copiée sur l'exemplaire », lecture probable, non certaine) ; « deerant hæc in exemplari », écrit entre les lignes puis biffé à la vue 114 (« ceci manquait dans l'exemplaire », lecture très incertaine) ; et, à la vue 20, une note d'une petite main pâle appelée par une croix, « in exemplari excripto / vel potius adscriptum », qui n'est lue qu'en partie.³ Les feuillets d'astronomie ne portent aucun nom d'auteur, et cette lecture ne les attribue à personne. Aucun feuillet n'est daté ; le catalogue ne donne pas de datation, et il n'en est inféré aucune.

Une seule série de chiffres court sur tout le volume : un chiffre à l'encre en haut à droite de chaque recto, de 1 (vue 5) à 79 (vue 162), sans lacune, avec « 5 bis », « 16 bis », « 46 bis » et « 47 bis » pour des béquets insérés. Elle traverse les trois pièces, et l'écrivain la cite lui-même : « ad sinistram paginam fol. 18. » à la vue 43, « vide annotata pag. 48 » à la vue 100. C'est donc le compte des feuillets de celui qui a écrit ou copié, non la foliotation de la bibliothèque ; les transcriptions ne l'ont pas écrite en folio, et cette lecture ne cite que des vues.⁴

Parce que les deux traités se tiennent et que l'astronomie en est séparée, la lecture qui suit leur donne deux suites de sections : l'algèbre d'abord, chapitre par chapitre dans l'ordre des feuillets, puis l'astronomie. Elle ne cherche pas de fil entre les deux.

Les trois petits feuillets A, B et C

2–4Trois feuillets plus petits que la page, lettrés A, B et C en haut à droite, d'une écriture compacte que la transcription dit différente de celle des traités, et que rien ne rattache à eux.⁵ Le feuillet A traite d'équations du sixième degré « a radice plana solidave », c'est-à-dire d'équations qui ne contiennent l'inconnue \(E\) que par \(E^3\) ou par \(E^2\).

La « duplicata hypostasis »

L'équation \[ E^6 + Z^3 E^3 = D^6 \] est ramenée à la géométrie des moyennes proportionnelles.⁶ On pose \(B = Z^3/D^2\) ; on cherche la plus petite, \(F\), de trois proportionnelles de moyenne \(D\) et de différence des extrêmes \(B\), c'est-à-dire \(F^2 + BF = D^2\) ; on fait \(E^3 = D^2 F\) ; et \(E\) est la première des deux moyennes proportionnelles entre \(D\) et \(F\). La construction est juste : si \(u = D^2 F\), alors \[ u^2 + Z^3 u = D^4\bigl(F^2 + BF\bigr) = D^6 , \] et la première moyenne entre \(D\) et \(F\) est bien \(\sqrt[3]{D^2F}\). C'est la résolution d'une équation du second degré en \(E^3\), suivie d'une extraction de racine cubique, faite en géométrie.

La « climactica paraplerosis »

L'équation \(E^6 + Z^4E^2 = D^6\) est, de même, une équation du troisième degré en \(E^2\). Le feuillet la ramène à la construction de quatre proportionnelles \(Z, s, s^2/Z, s^3/Z^2\) dont la somme du second et du quatrième terme est une longueur donnée \(F\), puis fait \(E^2 = Zs\). La réduction est juste à condition que \[ s + \frac{s^3}{Z^2} = \frac{D^6}{Z^5}, \] puisqu'alors \(E^6 + Z^4E^2 = Z^5\bigl(s + s^3/Z^2\bigr) = D^6\). Telle que la transcription la lit, la construction de \(F\) donne \(F = D^5/Z^4\) et non \(D^6/Z^5\) : il manque un facteur \(D/Z\).⁷

« Facillima resolutio æquationum cubicarum affectarum »

Le paragraphe suivant annonce que ces équations « se ramènent aux quadratiques et à la racine simple », et traite deux cas. Pour \[ E^6 + Z^4E^2 = B^6 , \] la substitution \(E^2 = ZA\) donne bien \[ A^3 + Z^2 A = \frac{B^6}{Z^3}, \] une cubique en la racine simple \(A\), comme l'écrit le feuillet. Pour le premier cas, \(E^6 \pm Z^3E^3 = B^6\), le feuillet pose \(E^3/Z = A^2\) et écrit la même équation \(A^3 + Z^2A = B^6/Z^3\) ; ce n'est pas ce que donne la substitution. Avec \(E^3 = ZA^2\) on obtient \[ A^4 \pm Z^2A^2 = \frac{B^6}{Z^2}, \] une équation du second degré en \(A^2\) ; et, plus simplement, l'équation proposée est du second degré en \(E^3\).⁸

Le théorème du feuillet B

Le feuillet B énonce un théorème sur les termes « pris alternativement » d'une suite de continues proportionnelles, en nombre pair puis en nombre impair, et renvoie sa preuve à la « méthode analytique ». Tel que la transcription le lit, avec deux additions interlinéaires, l'énoncé ne se laisse pas réduire à une identité qu'on puisse vérifier sans deviner la construction de la phrase ; cette lecture ne le reformule donc pas.⁹

La notation des feuillets, et sa traduction

5–23Les traités écrivent l'algèbre en « espèces » : des lettres pour les grandeurs, des mots pour les opérations. On la traduit ici une fois pour toutes ; la forme du feuillet est rappelée en note là où elle importe.

• L'inconnue est \(A\) ; une nouvelle inconnue, après transformation, est \(E\). On les écrit \(x\) et \(y\). Les grandeurs données sont des consonnes, \(B\), \(D\), \(G\), \(H\), \(S\), \(X\), \(Z\)…, que l'on garde.
• L'homogénéité. Chaque grandeur donnée porte sa dimension : « \(B\) planum » est une aire, « \(D\) solidum » un volume, « \(Z\) plano-planum » une grandeur de dimension 4, et tous les termes d'une équation ont la même dimension. Quand le feuillet nomme ainsi une grandeur par sa dimension, la lettre désigne ici cette grandeur elle-même, un nombre ; quand il écrit une puissance (« \(B\) quadratum », « \(B\) cubus »), on écrit la puissance, \(B^2\), \(B^3\). Ainsi « \(A\) cubus plus \(B\) plano ter in \(A\) æquatur \(D\) solido » devient \(x^3 + 3Bx = D\). La loi d'homogénéité est une contrainte que l'algèbre d'aujourd'hui n'impose pas ; la supprimer ne change aucun résultat, puisqu'un choix d'unité rend toutes les grandeurs numériques.
• Les puissances sont en mots : quadratum, cubus, quadrato-quadratum, quadrato-cubus, cubo-cubus, c'est-à-dire \(x^2\) à \(x^6\) ; « latus » est la racine. « In » est le produit ; « bis », « ter », « quater » sont les coefficients 2, 3, 4. Il n'y a pas de signe d'égalité : « æquatur », « æquabitur », ou une accolade entre les deux membres.
• Les exemples numériques sont en signes cossiques, coefficient d'abord : N le nombre (la racine), Q le carré, C le cube, QQ, QC, CC les puissances quatrième, cinquième et sixième. « \(1Q + 10N\) æquatur 144 » est \(x^2 + 10x = 144\), et « fit \(1N\) 8 » donne la racine. « \(L\,144\) » est \(\sqrt{144}\) ; \(LC\), \(LQQ\), \(LQC\) sont les racines cubique, quatrième et cinquième ; « \(LV\) » (latus universale) est la racine de toute la somme qui suit.
• Le double trait « = ». Là où le calcul demande une soustraction, les feuillets portent souvent un double trait horizontal, que la main distingue du moins simple. C'est le signe d'une différence dont l'ordre n'est pas donné : « \(Z\) plano \(=\) \(B\) quadrato » veut dire « la différence entre \(Z\) et \(B^2\), quelle que soit la plus grande ». Comme l'algèbre d'aujourd'hui admet les nombres négatifs, on l'écrit ici par la différence signée, \(Z - B^2\), qui couvre les deux cas ; là où la marge le corrige en « \(+\) », on suit la correction et on le dit.

Une convention de fond accompagne cette notation, et il faut la dire parce que les énoncés en dépendent : les racines des feuillets sont positives. Une équation n'y a de racine que positive ; c'est pourquoi chaque forme d'équation est écrite avec tous ses termes positifs de part et d'autre, et pourquoi \(x^2 + bx = c\), \(x^2 - bx = c\) et \(bx - x^2 = c\) sont trois espèces différentes, que les chapitres traitent séparément. Chaque fois qu'un énoncé ci-dessous dit « la racine », il faut entendre « la racine positive », et chaque fois qu'une équation a deux racines positives, le traité le dit ou on le dit pour lui.¹⁰

Le « De Recognitione » : ce qu'il se propose

5–6Le traité s'ouvre en disant à quoi il sert :

« Generalem et generaliter traditam de numerosa potestatum resolutione doctrinam informat ac perficit tractatus de recognitione æquationum. Præparatione enim indigent æquationes sæpenumero antequam faciliter explicentur. »¹¹

Préparer une équation, c'est la transformer ; mais pour savoir comment, il faut d'abord savoir comment elle est faite — sa « constitution ». Celle-ci, dit le chapitre 1, se reconnaît par trois voies : la zétèse, qui retrouve l'équation comme la mise en équation d'un problème de proportions ; le plasme, qui la voit naître d'une équation plus simple par un changement d'inconnue ; et la syncrise, qui compare deux équations de même forme et de mêmes données.¹² Les chapitres suivent cet ordre.

Le chapitre II définit la similitude de deux équations : elles sont « semblables » si elles ont même degré, les mêmes termes intermédiaires et les mêmes signes ; si une condition de plus est requise, la similitude est « anomale ».¹³

Les équations du second degré tirées des proportions

6–8Le chapitre III tire trois théorèmes d'un seul problème : trois grandeurs en proportion continue, \(a : m = m : c\), dont on connaît la moyenne \(m\) et la différence ou la somme des extrêmes.¹⁴ Puisque le produit des extrêmes vaut le carré de la moyenne :

• si \(x^2 + bx = m^2\), \(x\) est le plus petit extrême de trois proportionnelles de moyenne \(m\) dont les extrêmes diffèrent de \(b\) ;
• si \(x^2 - bx = m^2\), \(x\) est le plus grand ;
• si \(bx - x^2 = m^2\), \(x\) est l'un ou l'autre des extrêmes, dont la somme est \(b\).

Les trois exemples portent sur la suite \(8, 12, 18\) : \(x^2 + 10x = 144\) donne \(8\), \(x^2 - 10x = 144\) donne \(18\), et \(26x - x^2 = 144\) donne \(8\) ou \(18\). Tous sont justes.¹⁵

Les cubiques tirées des proportions

8–13Les chapitres IIII et V font de même avec quatre proportionnelles \(B, x, x^2/B, x^3/B^2\). Le chapitre IIII prend pour inconnue le second terme (les « affections sous le côté ») : puisque le cube du second vaut le carré du premier multiplié par le quatrième,

• \(x^3 + B^2x = B^2Z\) quand le second et le quatrième ont pour somme \(Z\) ;
• \(x^3 - B^2x = B^2D\) quand \(B\) est le plus petit extrême et que le quatrième surpasse le second de \(D\) ;
• \(B^2x - x^3 = B^2D\) quand \(B\) est le plus grand extrême et que le second surpasse le quatrième de \(D\).

Les exemples sont justes : \(x^3 + 64x = 2496\) donne \(12\) (suite \(8, 12, 18, 27\)) ; \(x^3 - 64x = 960\) donne \(12\) ; \(729x - x^3 = 7290\) donne \(18\) (suite \(27, 18, 12, 8\)).¹⁶ Le traité ajoute que, dans la troisième espèce, « le second peut être double », et le montre sur deux suites de même premier terme \(\sqrt{59319}\) et de même différence \(70\) entre second et quatrième : \(\sqrt{59319}, 195, \sqrt{24375}, 125\) et \(\sqrt{59319}, 78, \sqrt{624}, 8\). Ce sont bien les deux racines positives de \(59319x - x^3 = 4\,152\,330\), et l'exemple précédent en avait deux aussi.¹⁷

Le chapitre V prend pour inconnue la somme ou la différence du premier et du troisième terme (les « affections sous le carré ») :

• si \(x^3 - Bx^2 = BZ^2\), et que le second et le quatrième ont pour somme \(Z\), \(x\) est la somme du premier et du troisième ;
• si \(x^3 + Bx^2 = BD^2\), avec \(B\) le plus petit extrême et \(D\) la différence du second et du quatrième, \(x\) est la différence du premier et du troisième ;
• si \(Bx^2 - x^3 = BD^2\), avec \(B\) le plus grand extrême, \(x\) est encore la différence du premier et du troisième.

La démonstration est la même dans les trois cas : si \(x\) est la somme (ou la différence) du premier et du troisième terme, le second vaut \(BZ/x\), parce que les sommes (ou les différences) de termes de même rang sont dans le rapport de la suite ; le produit du premier par le troisième égale le carré du second, et l'on multiplie par \(x^2/B\). Les exemples sont justes : \(x^3 - 8x^2 = 12168\) donne \(26 = 8 + 18\) ; \(x^3 + 8x^2 = 1800\) donne \(10 = 18 - 8\) ; \(27x^2 - x^3 = 2700\) donne \(15 = 27 - 12\).¹⁸

Le chapitre VI : la cubique sans second terme

13–18Le chapitre VI est le plus important de ce premier groupe. Il donne une « constitution singulière » de la cubique privée de son terme en \(x^2\), celle qui porte aujourd'hui la formule de Cardan, et il traite à part le cas où cette formule échoue.

Deux côtés, leur produit et la différence ou la somme de leurs cubes

• Si \(x^3 + 3Bx = D\), il y a deux côtés \(u > v\) dont le produit est \(B\) et dont les cubes diffèrent de \(D\), et \(x = u - v\).
• Si \(x^3 - 3Bx = D\), et si \(D^2 > 4B^3\), il y a deux côtés de produit \(B\) dont les cubes ont pour somme \(D\), et \(x = u + v\).

C'est l'identité \[ (u \mp v)^3 \pm 3uv\,(u \mp v) = u^3 \mp v^3 . \] Les exemples sont justes : \(x^3 + 6x = 7\) donne \(1 = 2 - 1\) (\(2 \cdot 1 = 2\), \(8 - 1 = 7\)) ; \(x^3 - 6x = 9\) donne \(3 = 2 + 1\). Pour trouver \(u\) et \(v\) au premier cas, il suffit de résoudre une équation du second degré : \(u^3\) et \(-v^3\) sont les racines de \(t^2 - Dt - B^3 = 0\). On obtient ainsi, en toutes lettres, pour \(x^3 + 3Bx = D\) : \[ x = \sqrt[3]{\sqrt{\tfrac{D^2}{4} + B^3} + \tfrac{D}{2}} - \sqrt[3]{\sqrt{\tfrac{D^2}{4} + B^3} - \tfrac{D}{2}} . \] Cette formule n'est pas écrite ici ; le second traité l'écrit, au chapitre VII de l'« Emendatio » (vues 119 à 122).¹⁹

Le traité exige, au second cas, que \(D^2\) surpasse \(4B^3\). C'est la bonne condition : \(u^3\) et \(v^3\) sont les racines de \(t^2 - Dt + B^3 = 0\), qui sont réelles et positives si et seulement si \(D^2 \ge 4B^3\). L'égalité, que le traité n'envisage pas, donne \(u = v\) et une racine double \(x = 2u\).²⁰

La condition démontrée par une seconde main

Une main rapide, à l'encre noire, ajoute au pied de la vue 13 une preuve de cette condition, avec en marge « vide Zet. 20 lib. 2. » : si les côtés sont \(u\) et \(v\), alors \((u^3 + v^3)^2 = u^6 + 2u^3v^3 + v^6 > 4u^3v^3\), parce que \(u^6\), \(u^3v^3\), \(v^6\) sont en proportion continue et que, de trois proportionnelles inégales, la somme des extrêmes surpasse le double de la moyenne.²¹

La même main démontre, sur un béquet marqué « 5 bis » (vue 15, « vel sic ἀποδεικτικῶς », apodeiktikôs, « démonstrativement ») et dans une première rédaction barrée en marge de la vue 16, la condition du troisième théorème. Pour deux côtés \(A\) et \(B\), on pose \(p = A^2 + AB + B^2\) et \(q = AB(A + B)\), et il s'agit de montrer que \(4(p/3)^3 > q^2\). La main développe, retranche les termes communs et trouve qu'il faut \[ 4A^6 + 12A^5B + 12AB^5 + 4B^6 \;>\; 3A^4B^2 + 26A^3B^3 + 3A^2B^4 , \] ce qu'elle établit en comparant des termes de la suite continue \[ A^6,\; A^5B,\; A^4B^2,\; A^3B^3,\; A^2B^4,\; AB^5,\; B^6 . \] Le développement est juste, et la preuve aussi : la différence des deux membres est \[ 4p^3 - 27q^2 = (A - B)^2\,(2A + B)^2\,(A + 2B)^2 , \] qui est, au signe près, le discriminant de la cubique \(x^3 - px - q\) — positif dès que \(A \ne B\).²²

Le cas irréductible

Le troisième théorème traite le cas où \(x^3 - 3Bx = D\) avec \(D^2 < 4B^3\) : alors l'équation « inverse » \(3By - y^3 = D\) a aussi des racines, et

• il y a deux côtés \(u\) et \(v\) tels que \(u^2 + uv + v^2\) vaut le coefficient \(3B\) et que \(uv(u + v) = D\) ;
• \(x = u + v\) est la racine de \(x^3 - 3Bx = D\), et \(u\), \(v\) sont les deux racines de \(3By - y^3 = D\).

C'est juste : \((u+v)^3 - (u^2+uv+v^2)(u+v) = uv(u+v)\), et de même pour \(u\) et \(v\) dans l'équation inverse. L'exemple l'est aussi : \(x^3 - 21x = 20\) donne \(5\), et \(21y - y^3 = 20\) donne \(1\) ou \(4\), avec \(1 + 4 + 16 = 21\) et \(1 \cdot 4 \cdot 5 = 20\).²³

Le traité juge alors plus élégante une constitution tirée « des sections angulaires », et la donne sous le titre « Aliter, tertium theorema ». Si \(x^3 - 3B^2x = B^2D\) avec \(B > D/2\), on prend deux triangles rectangles de même hypoténuse \(B\), l'angle aigu du premier triple de celui du second, et tels que le double de la base du premier soit \(D\) ; alors \(x\) est le double de la base du second, et les racines de l'équation inverse \(3B^2y - y^3 = B^2D\) sont la base du second plus ou moins \(\sqrt{3}\) fois sa hauteur. C'est la résolution trigonométrique de la cubique : si \(x = 2B\cos\theta\), \[ x^3 - 3B^2x = 2B^3\cos 3\theta , \] de sorte que l'équation revient à \(\cos 3\theta = D/(2B)\), qui a une solution si et seulement si \(D < 2B\) ; les deux autres racines sont \(2B\cos(\theta \pm 120^\circ) = -B\cos\theta \mp \sqrt{3}\,B\sin\theta\), dont les opposées sont les racines positives de l'équation inverse.²⁴ L'exemple est juste : pour \(x^3 - 300x = 432\), l'hypoténuse est \(10\) ; le second triangle a pour base \(9\) et pour hauteur \(\sqrt{19}\) ; le premier a pour base \(10 \cos 3\theta = 2{,}16\), avec \(\cos\theta = 0{,}9\) ; \(x = 18\), et \(300y - y^3 = 432\) donne \(9 \pm \sqrt{57}\).²⁵

La seconde main démontre cette constitution dans les marges des vues 17 et 18, sur la figure d'un cercle de diamètre \(AB\) dont l'arc \(FB\) est partagé en trois en \(G\) et \(K\). En posant \(AB = B\), \(2\,AG = A\) et \(2\,AF = D\), elle obtient \(A^3 - 3B^2A = B^2D\) par deux proportions successives ; puis, prolongeant \(BG\) jusqu'à \(L\) de sorte que \(BL = 2\,BG\), elle traite l'équation inverse. C'est la relation \(\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha\) écrite sur les cordes issues de l'extrémité d'un diamètre (\(AG = B\cos\alpha\), \(AF = B\cos 3\alpha\)), et le calcul qu'on peut suivre est juste.²⁶

Cette main parle d'elle-même : « quoniam demonstratum a nobis ad sectiones angulares », puis « est è demonstratis a nobis in tractatu de sectionibus angularibus ».²⁷ Le texte principal, de son côté, renvoie ce dernier théorème à « un recueil particulier de zététiques qui touchent aux sections angulaires », et clôt le chapitre.²⁸

Changer d'inconnue : les chapitres VII et VIII

18–23Le chapitre VII pose la doctrine sur laquelle repose tout le reste des deux traités : transformer une équation. On peut le faire en changeant l'inconnue, ou en la gardant.

Changer l'inconnue

La nouvelle inconnue \(y\) doit avoir avec l'ancienne « une différence ou une raison donnée », de sorte que connaître l'une donne l'autre. Le traité énumère sept manières :

• première, par addition, \(y = x + B\) ;
• deuxième, par soustraction, \(y = x - B\) ou \(y = B - x\) ;
• troisième, par multiplication, \(y = Bx\) ;
• quatrième, par division, \(y = x/B\) ;
• cinquième et sixième, par proportion, \(B : G = x : y\) ou \(x : B = G : y\), c'est-à-dire \(x = By/G\) ou \(x = BG/y\) ;
• septième, par une relation du second degré entre les deux inconnues (la « parabolica hypostasis ») : \(y^2 + xy = D\), \(y^2 - xy = D\) ou \(xy - y^2 = D\), d'où \(x = (D - y^2)/y\), \(x = (y^2 - D)/y\) ou \(x = (y^2 + D)/y\) ;

et enfin par des manières composées, « à imaginer et à essayer ». Dans chaque cas on remplace \(x\) par sa valeur en \(y\) et l'on « ordonne » l'équation nouvelle. Les six premières manières sont les substitutions affines et l'inversion ; la septième est une substitution rationnelle, et c'est exactement celle dont le second traité se servira pour résoudre la cubique (vues 119 à 122) : \(x = B/y - y\), qu'on appelle aujourd'hui la substitution de Viète.²⁹

Garder l'inconnue

Sans changer l'inconnue, on peut élever ou abaisser le degré de l'équation : la « montée climactique » régulière élève les deux membres au carré ou au cube ; l'irrégulière multiplie tous les termes par une même puissance de l'inconnue, éventuellement affectée ; la descente fait l'inverse, par division, « en ajoutant le supplément donné ou à chercher ». La justification tient en une phrase : des grandeurs égales ont des puissances égales, et un multiplicateur ou un diviseur commun ne change pas l'égalité.³⁰

Le plasme

Le chapitre VIII appelle plasme la génération d'une équation affectée à partir d'une équation plus pure, par l'un de ces changements, et pose quatre règles.³¹

1. Une équation dont tous les degrés intermédiaires sont présents provient, par addition ou soustraction, d'une équation où manque le terme qui suit la plus haute puissance : la racine a été augmentée ou diminuée de la moitié du coefficient de \(x\) dans le second degré, du tiers du coefficient de \(x^2\) dans le troisième, du quart de celui de \(x^3\) dans le quatrième, du cinquième dans le cinquième, « et ainsi de suite ». C'est la réduction à l'équation privée de son second terme : la substitution \(x = y - a_{n-1}/n\) fait disparaître le terme en \(y^{n-1}\) de \(x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots\). Ainsi les quadratiques affectées viennent des pures, les cubiques affectées sous le carré et le côté viennent des cubiques affectées sous le seul côté, et de même plus haut.
2. Une équation dont la racine est « plane » ou « solide » (où l'inconnue n'entre que par son carré ou son cube) provient d'une autre par multiplication ou par proportion.³²
3. Toute équation du quatrième degré dont manquent certains termes provient d'une équation du second degré par « montée climactique » : on répartit les termes de la quadratique entre les deux membres et l'on élève au carré.
4. Toutes les affections cubiques se déduisent des quadratiques par montée régulière, mais on ne peut en revenir que par des équations de même degré.

Les « anomales plasmatiques », et un porisme

Le chapitre remarque enfin (vue 23) que si l'on forme \(y = B - x\) avec \(B\) plus grand que la racine, à partir de \(x^2 = Z\), on tombe toujours sur une équation de la forme \(2By - y^2 = B^2 - Z\) — celle dont les deux racines \(B \pm \sqrt{Z}\) sont positives. D'où le porisme : « toutes les fois que la puissance est retranchée de l'homogène d'affection, la racine est ambiguë ». L'énoncé, pris tel quel, est trop fort. Ce qui est vrai : une équation de la forme \((\text{termes affectés}) - x^n = c\), avec \(c > 0\), a zéro ou deux racines positives (comptées avec leur multiplicité) quand ses termes affectés sont d'un seul signe ; elle en a deux si elle en a une.³³

Les plasmes : chapitres IX à XIII

23–43Ces cinq chapitres sont une collection de théorèmes, chacun démontré en développant et en « ordonnant », la plupart suivis d'un exemple numérique. Ils appliquent systématiquement les changements d'inconnue du chapitre VII. On les donne ici dans l'ordre, en langage d'aujourd'hui ; tous ont été refaits, et ils sont justes, sauf là où une note dit le contraire.

Chapitre IX : les quadratiques tirées des pures

Si \(x^2 = Z\),

• \(y = x + B\) donne \(y^2 - 2By = Z - B^2\) ;
• \(y = x - B\) donne \(y^2 + 2By = Z - B^2\) ;
• \(y = B - x\), ou \(y = x + B\), donne \(2By - y^2 = B^2 - Z\).

Au premier théorème, le second membre est écrit avec le double trait, « \(Z\) plano \(=\) \(B\) quadrato » : \(Z\) et \(B^2\) peuvent être dans un ordre ou dans l'autre, et c'est ce que dit la différence signée \(Z - B^2\).³⁴

Chapitre X : cubiques affectées sous le carré, tirées des cubiques affectées sous le côté

Si \(x^3 - 3B^2x = Z\), la translation fait apparaître un terme en \(y^2\) et fait disparaître celui en \(y\) : \[ y = x - B : \; y^3 + 3By^2 = Z + 2B^3 ; \qquad y = x + B : \; y^3 - 3By^2 = Z - 2B^3 . \] Si \(3B^2x - x^3 = Z\) : \[ y = B - x : \; 3By^2 - y^3 = 2B^3 - Z ; \qquad y = B + x : \; 3By^2 - y^3 = 2B^3 + Z . \]

Chapitre XI : cubiques affectées sous le carré et le côté

Neuf théorèmes traitent \(x^3 + Dx = Z\), \(x^3 - Dx = Z\) et \(Dx - x^3 = Z\), chacun par \(y = x + B\), \(y = x - B\) et \(y = B - x\). Par exemple, \(x^3 + Dx = Z\) et \(y = x + B\) donnent \[ y^3 - 3By^2 + (3B^2 + D)\,y = Z + B^3 + DB , \] et \(Dx - x^3 = Z\) avec \(y = B - x\) donne \[ -y^3 + 3By^2 + (D - 3B^2)\,y = DB - B^3 - Z . \] Les neuf développements ont été refaits ; tous sont justes, une fois les signes corrigés par l'écrivain lui-même.³⁵

Chapitre XII : racines planes et solides

Si \(x^2 + Bx = Z\) et \(Bx = y^2\), alors \(y^4 + B^2y^2 = B^2Z\) ; si \(B^2x = y^3\), alors \(y^6 + B^3y^3 = B^4Z\) ; si \(x^3 + Bx^2 = Z\) et \(Bx = y^2\), alors \(y^6 + B^2y^4 = B^3Z\) ; et de même pour les deux autres espèces de chaque équation. La nouvelle inconnue est une moyenne proportionnelle entre \(B\) et \(x\), ou la seconde de quatre proportionnelles de premier terme \(B\) et de quatrième \(x\).³⁶

Chapitre XIII : quartiques tirées des quadratiques

C'est ici qu'apparaît l'idée qui fera la force du second traité. Si \(x^2 + Bx = Z\), on multiplie, on substitue \(x^2 = Z - Bx\), et l'on obtient une équation du quatrième degré qui a la même racine : \[ x^4 + (B^3 + 2BZ)\,x = Z^2 + B^2Z . \] Exemple juste : \(x^2 + 8x = 20\) donne \(x^4 + 832x = 1680\), de racine \(2\). De même pour \(x^2 - Bx = Z\) (racine \(10\) de \(x^2 - 8x = 20\), et \(x^4 - 832x = 1680\)) et pour \(Bx - x^2 = Z\) (\(12x - x^2 = 20\), \(1248x - x^4 = 2480\), racine \(2\)). Le théorème II, sauté sur la page, est sur une fiche montée (vue 38), qui porte « ad faciem aversam foly 16. » et un astérisque répondant à celui de la vue 37.³⁷

Les théorèmes IIII à XII font de même pour la quadratique dont le second membre est une somme ou une différence, \(x^2 + Bx = S \pm D\), en portant \(\mp D\) du côté de \(x^2\) et en élevant au carré : \[ (x^2 - D)^2 = (S - Bx)^2 \;\Longrightarrow\; x^4 - (2D + B^2)\,x^2 + 2BSx = S^2 - D^2 , \] puis toutes les combinaisons de signes. Les exemples sont justes : pour \(x^2 + 8x = 20 = 15 + 5\), \(x^4 - 74x^2 + 240x = 200\) ; pour \(12x - x^2 = 20\), \(114x^2 - 120x - x^4 = 200\) ; pour \(x^2 + 8x = 20 = 60 - 40\), \(x^4 + 16x^2 + 960x = 2000\) ; pour \(x^2 - 8x = 20 = 60 - 40\), \(x^4 + 16x^2 - 960x = 2000\) (racine \(10\)) ; pour \(12x - x^2 = 20 = 60 - 40\), \(960x + 24x^2 - x^4 = 2000\).³⁸

Les théorèmes X à XII (« De quadrato quadratis adfectis sub cubo », vues 41 à 43) éliminent au contraire le terme en \(x^2\). De \(x^2 + Bx = Z\) on tire \(x^3 = (Z + B^2)x - BZ\), donc \(x = (x^3 + BZ)/(Z + B^2)\) et \(x^2 = (Z^2 - Bx^3)/(Z + B^2)\) ; en portant cette valeur dans le carré de l'équation, on obtient \[ x^4 + \frac{2BZ + B^3}{Z + B^2}\,x^3 = \frac{Z^3}{Z + B^2} . \] L'exemple est juste : \(x^2 + 14x = 147\) donne \(x^4 + 20x^3 = 9261\), de racine \(7\), car \((2 \cdot 14 \cdot 147 + 14^3)/343 = 20\) et \(147^3/343 = 9261\). De même, \(x^2 - 14x = 147\) donne \(x^4 - 20x^3 = 9261\), de racine \(21\) ; et, pour \(Bx - x^2 = Z\), \[ \frac{B^3 - 2BZ}{B^2 - Z}\,x^3 - x^4 = \frac{Z^3}{B^2 - Z} , \] avec l'exemple \(21x - x^2 = 98\), \(15x^3 - x^4 = 2744\), de racine \(7\).³⁹

Des quadratiques aux cubiques ; l'ambiguïté démontrée

43–46Le chapitre XIIII multiplie une quadratique par \(x\) et remplace \(x^2\) par sa valeur : \[ x^2 + Bx = Z \;\Longrightarrow\; (Z + B^2)\,x - x^3 = BZ , \] avec l'exemple \(x^2 + 8x = 20\), \(84x - x^3 = 160\), de racine \(2\). Les théorèmes suivants donnent \(x^3 - (B^2 + Z)x = BZ\) pour \(x^2 - Bx = Z\) (racine \(10\)), \((B^2 - Z)x - x^3 = BZ\) pour \(Bx - x^2 = Z\) (\(124x - x^3 = 240\), racine \(2\)), puis, pour un second membre \(BD\), \(x^3 + (B + D)x^2 = BD^2\) (\(x^2 + 16x = 80\), \(x^3 + 21x^2 = 400\), racine \(4\)), \((B + D)x^2 - x^3 = BD^2\) (racine \(20\)) et \((B - D)x^2 - x^3 = BD^2\) (\(9x - x^2 = 18\), \(7x^2 - x^3 = 36\), racine \(3\)). Tous sont justes.⁴⁰

Le chapitre XV démontre, dans le cas quadratique, ce que le porisme de la vue 23 affirmait en général : si \(x\) diffère de \(B\) de \(S\), dans un sens ou dans l'autre, alors dans les deux cas \[ 2Bx - x^2 = B^2 - S^2 , \] et la racine est « double », \(B - S\) ou \(B + S\). Exemple : \(B = 6\), \(S = 4\), \(12x - x^2 = 20\), de racines \(2\) et \(10\). Le traité conclut que toute équation \(Dx - x^2 = Z\) se lit ainsi, avec \(D = 2B\) et \(Z = B^2 - S^2\).⁴¹

La syncrise : les coefficients par les racines

46–55Le chapitre XVI définit la syncrise : la comparaison de deux équations « corrélatives », c'est-à-dire semblables et faites des mêmes données, mais qui ont des racines différentes, soit parce que la forme de l'équation admet deux racines, soit parce que les signes diffèrent. Il en distingue trois espèces pour les équations à un seul terme affecté, écrites ici avec un exposant \(n\) pour la puissance et un exposant \(k < n\) pour le degré affecté :

• les ambiguës, où la puissance est retranchée dans les deux : \(Bx^k - x^n = Z\) et \(By^k - y^n = Z\) ;
• les contradictoires, où elle est ajoutée dans l'une et retranchée dans l'autre : \(x^n + Bx^k = Z\) et \(y^n - By^k = Z\) ;
• les inverses, où la puissance est diminuée du terme affecté dans l'une et le terme affecté diminué de la puissance dans l'autre : \(x^n - Bx^k = Z\) et \(By^k - y^n = Z\).⁴²

La méthode est toujours la même : deux choses égales à une même troisième sont égales entre elles ; on égale les deux premiers membres, on fait passer les puissances d'un côté et les termes affectés de l'autre, et l'on divise par la différence ou la somme des degrés affectés. On obtient ainsi le coefficient et le terme connu en fonction des deux racines. Pour les ambiguës, avec \(x > y\) : \[ B = \frac{x^n - y^n}{x^k - y^k}, \qquad Z = \frac{x^n y^k - y^n x^k}{x^k - y^k} ; \] pour les contradictoires, \[ B = \frac{y^n - x^n}{y^k + x^k}, \qquad Z = \frac{x^n y^k + y^n x^k}{y^k + x^k} ; \] pour les inverses, \[ B = \frac{x^n + y^n}{x^k + y^k}, \qquad Z = \frac{x^n y^k - y^n x^k}{x^k + y^k} ; \] et pour les inverses dont l'une est affectée par addition, \(x^n + Bx^k = Z\) et \(By^k - y^n = Z\), \[ B = \frac{x^n + y^n}{y^k - x^k}, \qquad Z = \frac{x^n y^k + y^n x^k}{y^k - x^k} . \] Les quatre paires de formules ont été vérifiées ; elles sont justes.⁴³

Dans le cas le plus simple, \(Bx - x^2 = Z\) et \(By - y^2 = Z\), le traité trouve \[ B = x + y, \qquad Z = xy , \] et, pour \(Bx - x^3 = Z\) et \(By - y^3 = Z\), \[ B = x^2 + xy + y^2, \qquad Z = xy\,(x + y) . \] Ce sont, pour ces deux formes, les relations entre coefficients et racines que l'on appelle aujourd'hui les formules de Viète : le coefficient est la somme des racines, le terme connu leur produit.⁴⁴ Le traité en tire aussitôt des « formules » d'équations dont on choisit les racines : pour les racines \(F\) et \(G\), \[ (F + G)\,x - x^2 = FG , \qquad (F^2 + FG + G^2)\,x - x^3 = FG(F + G) , \] avec \(F = 10\), \(G = 2\) : \(12x - x^2 = 20\) et \(124x - x^3 = 240\), qui ont bien pour racines \(10\) et \(2\).

La fin du chapitre dit pour quelles puissances chaque espèce est « efficace », c'est-à-dire donne des coefficients entiers en les racines, et la raison qu'il en donne est exacte : \(x^n - y^n\) se divise toujours par \(x - y\) ; \(x^n - y^n\) se divise par \(x + y\) quand \(n\) est pair ; \(x^n + y^n\) se divise par \(x + y\) quand \(n\) est impair ; et \(x^n + y^n\) ne se divise jamais par \(x - y\). Les ambiguës sont donc efficaces à tous les degrés, les contradictoires aux degrés pairs, les inverses aux degrés impairs.⁴⁵

La « phrase géométrique » : suites de proportionnelles

55–58Le chapitre XVII habille la syncrise en géométrie, par sept propositions sur les suites de trois à sept proportionnelles \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) de raison \(r\). Toutes sont justes, parce que chaque terme vaut le précédent multiplié par \(r\).⁴⁶

• \(a_1 : a_n = a_1^{\,n-1} : a_2^{\,n-1}\) (proposition I) ;
• \(a_1 : a_n\) est aussi le rapport de la somme des puissances \((n-1)\)-ièmes des \(n - 1\) premiers termes à celle des \(n - 1\) derniers (II), le rapport des puissances \((n-1)\)-ièmes de leurs sommes (III), celui des sommes alternées de leurs puissances (IIII), celui des puissances de leurs sommes alternées (V) ;
• pour quatre proportionnelles \(B, D, F, G\) (VI et VII) : \[ G^3 + 3D^3 - B^3 - 3F^3 = (G - B)^3 , \qquad G^3 + 3D^3 + B^3 + 3F^3 = (G + B)^3 , \] parce que \(D^3 = B^2G\) et \(F^3 = BG^2\).

Les constitutions : ambiguës, contradictoires, inverses

58–68Les chapitres XVIII à XXI donnent, pour chaque espèce, la constitution des équations à partir des termes d'une suite de proportionnelles, avec pour chaque proposition un exemple dont les racines sont connues d'avance. C'est la syncrise appliquée : on choisit la suite, on en tire les coefficients.

Chapitre XVIII : les ambiguës

Pour les ambiguës « affectées sous le côté », \(Bx - x^n = Z\) :

• \(n = 2\) : \(B\) est la somme de deux côtés, \(Z\) leur produit ; exemple \(12x - x^2 = 20\), racines \(2\) et \(10\) ;
• \(n = 3\) : \(B\) est la somme des carrés de trois proportionnelles \(a, b, c\), et \(Z = a(b^2 + c^2) = c(a^2 + b^2)\) ; les racines sont \(a\) et \(c\). Exemple : \(2, \sqrt{20}, 10\), et \(124x - x^3 = 240\) ;
• \(n = 4, 5, 6\) : \(B\) est la somme des puissances \((n-1)\)-ièmes de \(n\) proportionnelles, \(Z\) le produit d'un extrême par la somme de celles des autres, et les racines sont les deux extrêmes. Exemples : \(2, \sqrt[3]{40}, \sqrt[3]{200}, 10\) et \(1248x - x^4 = 2480\) ; \(2, \sqrt[4]{80}, \sqrt{20}, \sqrt[4]{2000}, 10\) et \(12496x - x^5 = 24960\) ; \(2, \sqrt[5]{160}, \ldots, 10\) et \(124992x - x^6 = 249920\).

Tout est juste, une fois corrigé le dernier second membre.⁴⁷

Pour les ambiguës « sous le degré le plus élevé », \(Bx^{n-1} - x^n = Z\), \(B\) est la somme de \(n\) proportionnelles, \(Z\) le produit d'un extrême par la puissance \((n-1)\)-ième de la somme des autres, et les racines sont la somme des \(n - 1\) premiers et la somme des \(n - 1\) derniers. Sur la suite \(1, 2, 4, \ldots\) : \(7x^2 - x^3 = 36\) (racines \(3\) et \(6\)), \(15x^3 - x^4 = 2744\) (\(7\) et \(14\)), \(31x^4 - x^5 = 810\,000\) (\(15\) et \(30\)), \(63x^5 - x^6 = 916\,132\,832\) (\(31\) et \(62\)). Tout est juste.⁴⁸

Les « degrés intermédiaires » (vues 60 à 63) se ramènent aux précédents par une racine plane ou solide.⁴⁹

• \(Bx^2 - x^4 = Z\) : \(B\) est la somme de deux carrés \(u^2 + v^2\), \(Z\) leur produit, et \(x^2\) vaut l'un ou l'autre ; exemple \(17x^2 - x^4 = 16\), racines \(1\) et \(4\) ;
• \(Bx^3 - x^6 = Z\) : \(B = u^3 + v^3\), \(Z = u^3v^3\) ; exemple \(513x^3 - x^6 = 512\), racines \(1\) et \(8\) ;
• \(Bx^2 - x^6 = Z\) : \(B\) est la somme des carrés de trois plans proportionnels, \(Z\) le produit d'un extrême par la somme des carrés des deux autres, et \(x^2\) vaut un extrême ; exemple \(21x^2 - x^6 = 20\), avec les plans \(1, 2, 4\), racines \(1\) et \(2\) ;
• \(Bx^4 - x^6 = Z\) : \(B\) est la somme de trois plans proportionnels, \(Z\) le produit d'un extrême par le carré de la somme des deux autres, et \(x^2\) vaut la somme des deux premiers ou des deux derniers ; exemple, avec les plans \(5, 20, 80\) : \(105x^4 - x^6 = 50\,000\), racines \(5\) et \(10\).

La vue 62 montre comment trouver trois plans proportionnels dont la moyenne, ajoutée au premier ou au dernier, fasse un carré : ce sont \[ \frac{B^4}{B^2 + G^2}, \quad \frac{B^2G^2}{B^2 + G^2}, \quad \frac{G^4}{B^2 + G^2} , \] car la moyenne plus le premier vaut \(B^2\), plus le dernier \(G^2\). Avec \(B = 1\), \(G = 2\) on a \(\tfrac15, \tfrac45, \tfrac{16}{5}\), et, multipliés par \(25\), les plans \(5, 20, 80\) de l'exemple.⁵⁰

Les deux dernières propositions du chapitre (« De reliquis », vues 62 et 63) sont justes dans leurs exemples. Pour \(Bx^2 - x^5 = Z\) et la suite \(1, 2, 4\) : \(279x^2 - x^5 = 2268\), racines \(3\) et \(6\), sommes des deux premiers et des deux derniers termes. Le coefficient vaut \(B = u^3 + v^3 + a\,v^2\), où \(u = a + b\), \(v = b + c\), et le terme connu \(Z = u^2v^2(a + b + c)\).⁵¹ Pour \(Bx^3 - x^5 = Z\) et la suite \(1, 2, 4, 8\) : \(217x^3 - x^5 = 57\,624\), racines \(7\) et \(14\) ; ici \(B = u^2 + v^2 - c\,(a + b + c)\), et \(Z = (B - u^2)\,v^3 = (B - v^2)\,u^3\), avec \(u = a + b + c\), \(v = b + c + d\), ce que la page dit, une fois intervertis par la marge les mots « primis » et « postremis ».⁵²

Chapitre XIX : les contradictoires

Si \(x^2 + Bx = Z\) et \(y^2 - By = Z\), les deux racines sont deux côtés dont la différence est \(B\) et le produit \(Z\) (\(x^2 + x = 2\) donne \(1\), \(y^2 - y = 2\) donne \(2\)). Si \(x^4 + Bx = Z\) et \(y^4 - By = Z\), il y a quatre proportionnelles \(a, b, c, d\) dont les cubes pris alternativement diffèrent de \(B\), \(B = d^3 - c^3 + b^3 - a^3\), avec \(Z = a\,(b^3 - c^3 + d^3)\), et \(x = a\), \(y = d\) : sur \(1, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4}, 2\), \(x^4 + 5x = 6\) donne \(1\) et \(y^4 - 5y = 6\) donne \(2\). De même au sixième degré avec six proportionnelles (\(x^6 \pm 21x = 22\), racines \(1\) et \(2\)). Si \(x^4 + Bx^3 = Z\) et \(y^4 - By^3 = Z\), \(B\) est la différence alternée des quatre termes, \(x\) celle des trois premiers, \(y\) celle des trois derniers : sur \(1, 2, 4, 8\), \(x^4 \pm 5x^3 = 216\) donne \(3\) et \(6\). De même au sixième degré sur \(1, 2, 4, 8, 16, 32\) : \(x^6 \pm 21x^5 = 5\,153\,632\), racines \(11\) et \(22\).⁵³

Chapitres XX et XXI : les inverses

Si \(Bx - x^3 = Z\) et \(y^3 - By = Z\), il y a trois proportionnelles dont les carrés pris alternativement font \(B = a^2 - b^2 + c^2\), avec \(Z = a\,(c^2 - b^2)\), \(x = a\) et \(y = c\) (sur \(1, \sqrt{2}, 2\) : \(3x - x^3 = 2\) donne \(1\), \(y^3 - 3y = 2\) donne \(2\)) ; de même au cinquième degré (\(11x - x^5 = 10\) donne \(1\), \(y^5 - 11y = 10\) donne \(2\)). Si \(Bx^2 + x^3 = Z\) et \(By^2 - y^3 = Z\), sur \(1, 2, 4\) : \(3x^2 + x^3 = 4\) donne \(1\) et \(3y^2 - y^3 = 4\) donne \(2\) ; au cinquième degré, \(11x^4 \pm x^5 = 10\,000\) donne \(5\) et \(10\). Avec six proportionnelles \(1, 2, \ldots, 32\) : \(231x^3 \pm x^5 = 96\,040\) (racines \(7\) et \(14\)) et \(297x^2 \pm x^5 = 2916\) (racines \(3\) et \(6\)), où \(231 = (1 + 32)(8 - 1)\) et \(297 = (1 + 32)(4 - 1)^2\).⁵⁴ Le chapitre XXI donne deux constitutions de plus : si \(Bx - x^3 = Z\) et \(y^3 - By = Z\), sur trois proportionnelles, \(B = a^2 + b^2 + c^2\), \(Z = (a + c)\,b^2\), \(x\) vaut un extrême et \(y\) la somme des extrêmes (\(21x - x^3 = 20\) donne \(1\) ou \(4\), \(y^3 - 21y = 20\) donne \(5\)) ; et si \(Bx^2 - x^3 = Z\) et \(By^2 + y^3 = Z\), \(B = a + b + c\), \(Z = a(b + c)^2\), \(x = a + b\) ou \(b + c\), \(y = b\) (\(7x^2 - x^3 = 36\) donne \(3\) ou \(6\), \(7y^2 + y^3 = 36\) donne \(2\)). C'est la fin du premier traité.⁵⁵

Le « De Emendatione » : cinq préparations, et l'expurgation

69–79Le second traité commence en tête d'un nouveau feuillet, sous son titre, et dit d'emblée ce qu'il fait :

« Agnita æquationum constitutione analysta ad præparandum eas quæ sunt alioqui mechanicismo respuant aut demum ægre subeunt toto se confert […] fere autem quæ prosunt geometricæ ad εὐμηχανίαν prosunt et arithmeticæ ut etiam e contra. […] nunc autem circa numerosam analysim magis esse intentum nostri est instituti. »⁵⁶

Les préparations « solennelles » sont au nombre de cinq, numérotées sur le feuillet : l'expurgation par onces, la transmutation πρῶτον ἔσχατον (prôton eschaton, « premier-dernier »), l'anastrophe, l'isomérie et la paraplérose climactique. S'y ajouteront un climactisme « symétrique » (chapitre V), l'hypostase double (chapitre VII) et une transmutation « canonique » (chapitre VIII).

L'expurgation par onces

C'est le remède contre la multiplicité des termes. Une équation dont figure le terme de degré \(n - 1\) vient, par translation, d'une équation qui ne l'a pas ; pour le faire disparaître, on translate la racine en sens contraire d'une « once » du coefficient : la moitié pour le carré (« diahemysis »), le tiers pour le cube (« diatritemorion »), le quart pour le carré-carré, le cinquième, le sixième, « et ainsi à l'infini ». Selon le signe du terme, on pose \(x = y - B/n\), \(x = y + B/n\) ou \(x = B/n - y\).⁵⁷ En termes d'aujourd'hui, c'est la réduction d'une équation à la forme réduite, sans second terme, par la substitution \(x = y - a_{n-1}/n\).

Les deux exemples sont justes : \(x^2 + 2Bx = Z\) devient, avec \(y = x + B\), \(y^2 = Z + B^2\) ; et \(x^3 + 3Bx^2 + Dx = Z\) devient, avec \(y = x + B\),⁵⁸ \[ y^3 + (D - 3B^2)\,y = Z + DB - 2B^3 . \] Ainsi, conclut le chapitre, toutes les quadratiques se ramènent aux pures, les cubiques aux cubiques affectées sous le seul côté, les quartiques à celles qui ne sont affectées que sous le côté et le carré, et ainsi de suite.

Les « formules » de réduction

Suit une phrase sur les anciens, qui s'interrompt au bas de la vue 72 : « Credebant autem antiqui quoniam hac reductione æquationes quadraticas omnino expurgabant et facile explicabant » ; la vue 73 reprend sur une ligne en partie effacée, et la transcription ne sait pas si c'est la suite.⁵⁹ Viennent des formules, chacune avec son « conséquent » et des exemples :

• \(x^2 + 2Bx = Z\) : \(x = \sqrt{Z + B^2} - B\) ; exemple \(x^2 + 2x = 20\), \(x = \sqrt{21} - 1\) ;
• \(x^2 - 2Bx = Z\) : \(x = \sqrt{Z + B^2} + B\) ; exemple \(x = \sqrt{21} + 1\) ;
• \(2Dx - x^2 = Z\) : \(x = D \mp \sqrt{D^2 - Z}\) ; exemple \(10x - x^2 = 20\), \(x = 5 \mp \sqrt{5}\).

Et pour les cubiques affectées sous le carré, ramenées à des cubiques affectées sous le côté :

• \(x^3 + 3Bx^2 = Z\), \(y = x + B\) : \(y^3 - 3B^2y = Z - 2B^3\) ; exemple \(x^3 + 6x^2 = 1600\), \(x = 10\), et \(y^3 - 12y = 1584\), \(y = 12\) ;
• \(x^3 - 3Bx^2 = Z\), \(y = x - B\) : \(y^3 - 3B^2y = Z + 2B^3\) ; exemple \(x^3 - 6x^2 = 400\), \(x = 10\), et \(y^3 - 12y = 416\), \(y = 8\) ;
• \(3Bx^2 - x^3 = Z\), \(y = x - B\) ou \(y = B - x\) : \(3B^2y - y^3 = Z - 2B^3\) ou \(2B^3 - Z\) ; exemples \(21x^2 - x^3 = 972\), \(x = 9\) ou \(18\), et \(147y - y^3 = 286\), \(y = 2\) ou \(11\) ; puis \(9x^2 - x^3 = 28\), \(x = 2\), et \(27y - y^3 = 26\), \(y = 1\).

Tout est juste.⁶⁰

Puis sept formules pour les cubiques « affectées sous le carré et le côté », \(x^3 \pm 3Bx^2 \pm Dx = Z\) et leurs inverses, toutes ramenées par \(y = x \pm B\) ou \(y = B - x\) à une cubique sans terme en \(y^2\) ; ainsi, pour la première, \(x^3 + 3Bx^2 + Dx = Z\) et \(y = x + B\), \[ y^3 + (D - 3B^2)\,y = Z + DB - 2B^3 , \] et de même pour les autres, les signes de la page étant souvent le double trait, puisque l'ordre des grandeurs comparées dépend des données. Chacune porte deux à quatre exemples ; tous ont été refaits et sont justes, une fois reçues les corrections que l'écrivain a lui-même portées en marge.⁶¹

Les onces triangulaires et pyramidales

La fin du chapitre (vues 78 et 79) étend l'expurgation : on peut aussi faire disparaître, par une translation, un terme de degré plus bas, en prenant pour once l'inverse d'un nombre triangulaire ou pyramidal. Pour \(x^n\) affecté sous \(x^{n-2}\) par \(B^2\), on prend le carré de la translation égal à \(B^2\) divisé par le nombre triangulaire \(\binom{n}{2}\) (tiers pour le cube, sixième pour le carré-carré, dixième pour le carré-cube) ; pour \(x^n\) affecté sous \(x^{n-3}\) par \(B^3\), le cube de la translation égal à \(B^3\) divisé par le nombre pyramidal \(\binom{n}{3}\) (quart pour le carré-carré, dixième pour le carré-cube). C'est juste : dans \((y + h)^n\), le coefficient de \(y^{n-k}\) est \(\binom{n}{k}h^k\). Le traité ajoute, et c'est exact, qu'à la place du terme supprimé apparaissent les autres.⁶²

La transmutation πρῶτον ἔσχατον (prôton eschaton)

79–82Le chapitre II est le remède contre la négation : quand le terme connu est « nié » de la puissance, c'est-à-dire quand les termes affectés l'emportent, on prend pour nouvelle inconnue le quotient du terme connu par la racine, \(y = Z/x\). Le nom vient de la proportion qui en résulte, où « le premier devient le dernier ». Pour \(x^3 - Bx = Z\), on obtient \[ y^3 + By^2 = Z^2 , \] où l'affection négative est devenue positive ; et, en effet, \(x : \sqrt[3]{Z} = \sqrt[3]{Z^2} : (x^2 - B)\), avec \(y = x^2 - B\). Exemple : \(x^3 - 96x = 40\) ; \(y = 40/x\) donne \(y^3 + 96y^2 = 1600\), de racine \(4\), d'où \(x = 10\).⁶³ La même transformation fait disparaître certaines irrationnelles : \(x^3 - 10x = \sqrt{48}\) devient \(y^3 + 10y^2 = 48\), de racine \(2\), et \(x = \sqrt{48}/2 = \sqrt{12}\).

Pour la quartique \(x^4 - Bx^3 - Dx^2 = Z\), \(y = Z/x\) donne \[ y^4 + DZ\,y^2 + BZ^2\,y = Z^3 , \] avec l'exemple \(x^4 - 3x^3 - 8x^2 = 50\) : \(y^4 + 400y^2 + 7500y = 125\,000\), de racine \(10\), d'où \(x = 5\) ; et \(x^4 - 8x = \sqrt[3]{80}\) donne \(y^4 + 8y^3 = 80\), de racine \(2\), d'où \(x = \sqrt[3]{10}\).⁶⁴

Le chapitre résume la transformation en quatre préceptes, justes : le terme connu, inchangé pour les quadratiques, s'élève au carré pour les cubiques, au cube pour les quartiques, et ainsi de suite ; les affections négatives deviennent positives et inversement ; le coefficient du terme en \(x^k\) se multiplie par \(Z^{k-1}\) ; et la racine cherchée est le terme connu divisé par la nouvelle. Il remarque enfin qu'on pourrait diviser par une autre grandeur que le terme connu, mais que celui-ci évite les fractions, et qu'en géométrie on préfère une grandeur homogène au carré de la racine.⁶⁵

L'anastrophe

83–92Le chapitre III traite les équations « inversement niées » de degré impair, \(Bx - x^3 = Z\), qui ont deux racines positives et que l'analyse numérique résout mal. L'anastrophe les ramène à une équation plus basse par l'intermédiaire de leur corrélative : si \(y\) est la racine de \(y^3 - By = Z\) (qui n'en a qu'une positive), on ajoute \(y^3\) aux deux membres de \(x^3 = Bx - Z\) : \[ x^3 + y^3 = Bx + By , \] et l'on divise par \(x + y\) : \[ x^2 - xy + y^2 = B , \qquad\text{soit}\qquad yx - x^2 = y^2 - B . \] Connaissant \(y = D\), les deux racines de l'équation proposée sont celles de cette quadratique. Exemple : \(39x - x^3 = 70\) ; la corrélative \(y^3 - 39y = 70\) a la racine \(7\) ; d'où \(7x - x^2 = 10\), et \(x = 2\) ou \(5\).⁶⁶

De même, pour \(Bx^2 - x^3 = Z\), avec \(y^3 + By^2 = Z\) de racine \(D\) : \((B + D)x - x^2 = D^2 + BD\). Exemple : \(7x^2 - x^3 = 36\) ; \(y^3 + 7y^2 = 36\) donne \(2\) ; d'où \(9x - x^2 = 18\), \(x = 3\) ou \(6\).⁶⁷ Le traité dit que la méthode vaut pour les degrés impairs, et renvoie les degrés pairs à la paraplérose climactique.

Au cinquième degré, pour \(Bx - x^5 = Z\), avec \(y^5 - By = Z\) de racine \(D\) : \[ D^3x - D^2x^2 + Dx^3 - x^4 = D^4 - B ; \] exemple : \(11x - x^5 = 10\) ; \(y^5 - 11y = 10\) donne \(2\) ; d'où \(8x - 4x^2 + 2x^3 - x^4 = 5\), qui donne \(1\). Et pour \(Bx^4 - x^5 = Z\), avec \(y^5 + By^4 = Z\) : \[ (BD^2 + D^3)\,x - (BD + D^2)\,x^2 + (B + D)\,x^3 - x^4 = BD^3 + D^4 ; \] exemple : \(11x^4 - x^5 = 10\,000\) ; \(y^5 + 11y^4 = 10\,000\) donne \(5\) ; d'où \(400x - 80x^2 + 16x^3 - x^4 = 2000\), qui donne \(10\). Tout est juste. Au cinquième degré, cependant, l'anastrophe n'abaisse l'équation qu'au quatrième, et l'exemple le montre : \(11x - x^5 = 10\) a une seconde racine positive, \(x \approx 1{,}4026\), qui est aussi racine de la quartique obtenue, et que la page ne donne pas.⁶⁸

La seconde moitié du chapitre prend « la voie contraire » : si l'on connaît une racine d'une équation ambiguë, on obtient les autres par la même division. Quatre théorèmes, justes.⁶⁹

• \(x^3 - Bx = Z\) et \(By - y^3 = Z\) de racine \(D\) : \(x^2 - Dx = B - D^2\) ; exemple \(x^3 - 8x = 7\) avec \(D = 1\) : \(x = \sqrt{29/4} + \tfrac12\) ;
• \(Bx^2 + x^3 = Z\) et \(By^2 - y^3 = Z\) : \(x^2 + (B - D)x = BD - D^2\) ; exemple \(9x^2 + x^3 = 8\) avec \(D = 1\) : \(x = \sqrt{24} - 4\) ;
• \(Bx - x^3 = Z\), deux racines \(x\) et \(D\) : \(x^2 + Dx = B - D^2\) ; exemple \(8x - x^3 = 7\) avec \(D = 1\) : \(x = \sqrt{29/4} - \tfrac12\) ;
• \(Bx^2 - x^3 = Z\), deux racines \(x\) et \(D\) : \(x^2 + (D - B)x = BD - D^2\) ; exemple \(9x^2 - x^3 = 8\) avec \(D = 1\) : \(x = 4 + \sqrt{24}\).

L'isomérie, et le climactisme symétrique

92–97Le chapitre IIII, l'isomérie, chasse les fractions : on réduit les fractions au même dénominateur \(D\), on pose \(y = Dx\), et l'on multiplie le coefficient du terme en \(x^{n-1}\) par \(D\), celui du terme en \(x^{n-2}\) par \(D^2\), et ainsi de suite ; la racine nouvelle est la racine ancienne multipliée par le dénominateur. Ou, inversement, on divise. La justification est qu'égaux multipliés ou divisés par égaux donnent des égaux. Les exemples sont justes.⁷⁰

• \(x^3 + \tfrac32 x = 225\) devient \(y^3 + 6y = 1800\), \(y = 12\), \(x = 6\) ; \(x^3 + \tfrac32 x = \tfrac{265}{2}\) devient \(y^3 + 6y = 1060\), \(y = 10\), \(x = 5\) ;
• \(x^3 + \tfrac32 x^2 = 270\) devient \(y^3 + 3y^2 = 2160\), \(y = 12\) ; \(x^3 + \tfrac32 x^2 = \tfrac{325}{2}\) devient \(y^3 + 3y^2 = 1300\), \(y = 10\) ;
• \(x^3 + \tfrac{11}{12}x = \tfrac{19}{4}\) devient, avec \(y = 48x\), \(y^3 + 2112y = 525\,312\), \(y = 72\), \(x = \tfrac32\) ; ou, avec le dénominateur commun \(12\), \(y^3 + 132y = 8208\), \(y = 18\) ; et l'on passe de l'une à l'autre en divisant par \(4\) ;
• \(x^3 + 12x^2 + 8x = 2280\), \(x = 10\), divisée par \(2\), donne \(y^3 + 6y^2 + 2y = 285\), \(y = 5\) ; et \(x^3 = 1728\) donne \(y^3 = 8\).

Le chapitre V, le climactisme symétrique, chasse les irrationnelles en élevant les deux membres à la puissance qui les fait disparaître. Si \(x^3 - Bx = \sqrt{Z}\), on élève au carré : \[ x^6 - 2Bx^4 + B^2x^2 = Z , \] une cubique en \(x^2\) ; exemple : \(x^3 - 2x = \sqrt{1200}\) devient, en \(u = x^2\), \(u^3 - 4u^2 + 4u = 1200\), de racine \(12\), et \(x = \sqrt{12}\). Le traité note qu'on y arrivait aussi par πρῶτον ἔσχατον : \(y^3 + 2y^2 = 1200\), \(y = 10\), \(x = \sqrt{1200}/10 = \sqrt{12}\). Si \(x^3 - \sqrt[3]{B}\,x = Z\), on divise par \(x\), on élève au cube et l'on multiplie par \(x^3\) : \[ x^9 - 3Zx^6 + (3Z^2 - B)\,x^3 = Z^3 ; \] exemple : \(x^3 - \sqrt[3]{18}\,x = 6\) devient, en \(u = x^3\), \(u^3 - 18u^2 + 90u = 216\), de racine \(12\), et \(x = \sqrt[3]{12}\). Tout est juste.⁷¹

La paraplérose climactique : les quartiques par une cubique

97–119Le chapitre VI est le cœur du second traité. Son titre dit ce qu'il fait : « Quemadmodum æquationes quadratoquadraticæ deprimuntur ad quadraticas per medium cubicarum a radice plana. Seu de climactica paraplerosi. »⁷²

La méthode

Soit \(x^4 + Bx = Z\). On écrit \(x^4 = Z - Bx\) et l'on ajoute aux deux membres \(x^2y^2 + \tfrac14 y^4\), où \(y\) est une grandeur auxiliaire : le premier membre devient le carré \(\bigl(x^2 + \tfrac12 y^2\bigr)^2\). On veut que le second, \(y^2x^2 - Bx + Z + \tfrac14 y^4\), soit aussi un carré, et l'on choisit pour sa racine \[ \frac{B}{2y} - yx , \] dont le carré est \(y^2x^2 - Bx + B^2/(4y^2)\). « Ainsi, dit le feuillet, les affections sous \(A\) disparaîtront dans la comparaison, et l'on sera ramené à une équation en \(E\), où l'on voulait aller. » Il faut et il suffit que \(Z + \tfrac14 y^4 = B^2/(4y^2)\), c'est-à-dire \[ y^6 + 4Z\,y^2 = B^2 , \] une équation du troisième degré en \(y^2\). Si \(D\) en est la racine, les deux carrés sont égaux, leurs racines aussi, et \[ x^2 + Dx = \frac{B}{2D} - \frac{D^2}{2} . \] C'est la méthode que l'on appelle aujourd'hui de Ferrari : ajouter à une quartique un terme qui en fasse une égalité entre deux carrés, et déterminer le paramètre par une équation du troisième degré, la résolvante.⁷³ Tout est juste pour la racine positive que cherche le traité ; la quartique a en outre une racine négative et deux racines imaginaires, dont le traité ne parle pas.

Pour \(x^4 - Bx = Z\), la racine à comparer est \(B/(2y) + yx\), la résolvante est la même, et \(x^2 - Dx = B/(2D) - D^2/2\). Pour \(Bx - x^4 = Z\), la résolvante est \(y^6 - 4Zy^2 = B^2\), et \(Dx - x^2 = D^2/2 - B/(2D)\), ce qui suppose \(B/(2D) < D^2/2\), comme le note une marge de la vue 104.⁷⁴

Les trois théorèmes, et la constitution

La vue 101 et le béquet « 47 bis » (vues 102 et 103) en tirent trois théorèmes et les vérifient par la syncrise : l'équation \(x^4 + Bx = Z\) est faite de deux côtés \(x\) et \(x + D\), avec \[ B = 2x(x + D)\,D + D^3 , \qquad Z = x(x + D)\,\bigl(x^2 + xD + D^2\bigr) , \] ou, sur quatre proportionnelles \(a, b, c, d\), avec \(D = d - a\), \(B = d^3 - c^3 + b^3 - a^3\) et \(Z = a\,(b^3 - c^3 + d^3)\) — la constitution des contradictoires du premier traité (chapitre XIX). L'exemple est juste : sur \(2, \sqrt[3]{40}, \sqrt[3]{200}, 10\), l'équation \(x^4 + 832x = 1680\) a pour résolvante, en \(u = y^2\), \(u^3 + 6720u = 692\,224\), de racine \(64\) ; donc \(D = 8\), et \(x^2 + 8x = 52 - 32 = 20\) donne \(x = 2\). De même, \(x^4 - 832x = 1680\) donne \(x^2 - 8x = 20\), \(x = 10\) ; et \(1248x - x^4 = 2480\) a pour résolvante \(u^3 - 9920u = 1\,557\,504\), de racine \(144\), d'où \(D = 12\) et \(12x - x^2 = 20\), \(x = 2\) ou \(10\).⁷⁵

La quartique affectée sous le cube

Le problème II traite \(x^4 + 2Bx^3 = Z\). On forme le carré de \(x^2 + Bx - \tfrac12 y\), où \(y\) est un plan : \[ \bigl(x^2 + Bx - \tfrac12 y\bigr)^2 = x^4 + 2Bx^3 + (B^2 - y)\,x^2 - Byx + \tfrac14 y^2 . \] Il faut que \(Z + (B^2 - y)x^2 - Byx + \tfrac14 y^2\) soit un carré, de racine \(\sqrt{B^2 - y}\;x - By/\bigl(2\sqrt{B^2 - y}\bigr)\) ; d'où la résolvante \[ y^3 + 4Z\,y = 4ZB^2 , \] et, \(D\) en étant la racine, \[ x^2 + \Bigl(B + \sqrt{B^2 - D}\Bigr)x = \frac{D}{2} + \frac{DB}{2\sqrt{B^2 - D}} . \] Pour \(x^4 - 2Bx^3 = Z\), les signes de \(B\) changent ; pour \(2Bx^3 - x^4 = Z\), la résolvante est \(y^3 - 4Zy = 4ZB^2\) et la racine carrée porte sur \(B^2 + y\). Les exemples sont justes : sur \(1, 2, 4, 8\), \(x^4 + 5x^3 = 216\) a pour résolvante \(y^3 + 864y = 5400\), de racine \(6\) ; comme \(\sqrt{4B^2 - 4D} = \sqrt{25 - 24} = 1\), on a \(x^2 + 3x = 18\), \(x = 3\) ; \(x^4 - 5x^3 = 216\) donne \(x^2 - 3x = 18\), \(x = 6\) ; \(15x^3 - x^4 = 2744\) a pour résolvante \(y^3 - 10976y = 617\,400\), de racine \(126\), d'où \(\sqrt{225 + 504} = 27\) et \(21x - x^2 = 98\), \(x = 7\) ou \(14\).⁷⁶

La quartique complète, par deux formules

Le problème III traite \(x^4 \pm 2Gx^2 \pm Bx = Z\), la quartique privée seulement de son terme en \(x^3\) — la forme à laquelle l'expurgation ramène toute quartique. La « première formule » forme le carré de \(x^2 + G + \tfrac12 y^2\) et compare au carré de \(B/(2y) - yx\) ; la résolvante est \[ y^6 + 4G\,y^4 + (4Z + 4G^2)\,y^2 = B^2 , \] et \(x^2 + Dx = B/(2D) - D^2/2 - G\) (avec les signes changés selon les cas). La « seconde formule » (« Aliter », vues 111 à 113), pour \(x^4 + Gx^2 + Bx = Z\), ajoute \(Fx^2 + \tfrac14F^2\), où \(F\) est un plan, et obtient la résolvante \[ F^3 - G\,F^2 + 4Z\,F = B^2 + 4ZG , \] puis \(x^2 + \sqrt{F - G}\;x = B/\bigl(2\sqrt{F - G}\bigr) - F/2\). Chaque formule donne sept théorèmes, un par combinaison de signes, chacun avec un exemple ; on les a tous refaits. Par exemple, \(x^4 + 6x^2 + 880x = 1800\) a pour résolvante, selon la première formule (\(G = 3\)), \(u^3 + 12u^2 + 7236u = 774\,400\), de racine \(64\), et, selon la seconde (\(G = 6\)), \(F^3 - 6F^2 + 7200F = 817\,600\), de racine \(70\), avec \(70 - 6 = 64\) ; dans les deux cas \(x^2 + 8x = 20\), \(x = 2\). De même \(44x^2 + 720x - x^4 = 1600\) donne \(u = 144\) (première formule) ou \(F = 100\), \(100 + 44 = 144\) (seconde), puis \(12x - x^2 = 20\), \(x = 2\) ou \(10\). Tous les exemples sont justes, une fois reçues les corrections de la marge ; une faute reste dans l'énoncé du quatrième théorème de la seconde formule.⁷⁷

La feuille volante « 46 bis »

Une feuille volante posée sur la vue 99, numérotée « 46 bis » d'une autre main, récapitule en deux tableaux tous les cas : pour chaque forme de quartique, la « racine » à former et la grandeur à lui comparer. On les a vérifiés ligne à ligne ; tous sont justes, sauf un signe.⁷⁸

Deux notes marginales

La marge de la vue 100 porte, en tête d'une addition encadrée, les mots « transcripta ex exemplari » — lecture probable, non certaine — puis un calcul abrégé du problème ; à quoi ces mots s'appliquent, la marge ne le dit pas. Et, au problème IIII de la première formule (vue 114), au-dessus de la résolvante, des mots soulignés puis biffés se lisent, avec beaucoup de doute, « deerant hæc in exemplari ». Si ces lectures sont bonnes, l'écrivain copie un modèle et note où son modèle est défaillant. Cette lecture ne va pas plus loin.⁷⁹

L'hypostase double : la formule de Cardan

119–122Le chapitre VII revient à la cubique, avec la septième manière de changer d'inconnue. Pour \(x^3 + 3Bx = 2Z\), on pose \[ y^2 + xy = B , \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad x = \frac{B - y^2}{y} , \] et l'équation devient \[ y^6 + 2Z\,y^3 = B^3 , \] une équation du second degré en \(y^3\), « de racine solide ». D'où le conséquent : si \(D^3 = \sqrt{B^3 + Z^2} - Z\), alors \(x = (B - D^2)/D\). Avec \(y^2 - xy = B\), on trouve de même \(y^6 - 2Zy^3 = B^3\), \(G^3 = \sqrt{B^3 + Z^2} + Z\) et \(x = (G^2 - B)/G\). Et, les deux ensemble, \[ x = G - D = \sqrt[3]{\sqrt{B^3 + Z^2} + Z} - \sqrt[3]{\sqrt{B^3 + Z^2} - Z} . \] C'est la formule de Cardan, et la substitution est celle qu'on appelle aujourd'hui la substitution de Viète.⁸⁰ Les exemples sont justes : \(x^3 + 81x = 702\) ; \(\sqrt{27^3 + 351^2} = \sqrt{142\,884} = 378\) ; \(378 - 351 = 27 = 3^3\), d'où \(x = (27 - 9)/3 = 6\) ; et \(378 + 351 = 729 = 9^3\), d'où \(x = (81 - 27)/9 = 6\) ; enfin \(x^3 + 6x = 2\) donne \(x = \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2}\).⁸¹

Le problème II traite \(x^3 - 3Bx = 2Z\) sous la condition que le cube du tiers du coefficient soit moindre que le quart du carré du terme connu, \(B^3 < Z^2\) — c'est la bonne condition. Avec \(xy - y^2 = B\), \(x = (B + y^2)/y\), l'équation devient \(2Zy^3 - y^6 = B^3\), et \[ x = \sqrt[3]{Z + \sqrt{Z^2 - B^3}} + \sqrt[3]{Z - \sqrt{Z^2 - B^3}} ; \] exemple : \(x^3 - 81x = 756\), \(\sqrt{378^2 - 27^3} = 351\), \(x = 9 + 3 = 12\). C'est juste. Le feuillet remarque que la condition découle de la forme même de l'équation réduite ; quand elle n'est pas remplie, on est dans le cas irréductible, que le premier traité résolvait par les sections angulaires (vues 16 à 18).⁸²

La transmutation canonique ; les racines entières

122–125Le chapitre VIII apprend à transformer une équation pour que son coefficient, ou son terme connu, soit une grandeur prescrite. On pose \(x = By/X\) pour remplacer le coefficient \(B\) par \(X\) : \[ x^3 + Bx^2 = Z \;\Longrightarrow\; y^3 + Xy^2 = \frac{X^3 Z}{B^3} , \] et de même pour les autres formes ; pour prescrire le terme connu, on pose \(x = Zy/D\). Les exemples sont justes : \(x^3 + 20x^2 = 96\,000\) devient \(y^3 + y^2 = 12\), \(y = 2\), \(x = 40\) ; \(x^3 - 144x = 10\,368\) devient \(y^3 - y = 6\), \(y = 2\), \(x = 24\) ; \(x^3 + 860x = 12^3\) devient \(y^3 + 215y = 6^3\), \(y = 1\), \(x = 2\).⁸³

Le chapitre le justifie par une remarque de calcul : quand le coefficient vaut l'unité, on voit tout de suite si la racine est entière. Pour \(x^3 + x = 10\), le cube le plus proche est \(8\), et \(8 + 2 = 10\) : la racine est \(2\). Pour \(x^3 - x = 24\), on trouve \(3\). Pour \(x^3 + x = 9\) ou \(x^3 - x = 25\), le calcul tombe à côté, « donc la racine est irrationnelle ». La conclusion est juste, mais elle suppose un fait que le chapitre ne dit pas : une racine rationnelle d'une équation à coefficients entiers dont le premier coefficient vaut \(1\) est un entier.⁸⁴

Réductions « anomales »

125–135Les chapitres IX et X rassemblent des équations qu'on abaisse d'un degré parce qu'on leur connaît un facteur. Le traité n'en fait pas une règle : « de irregularibus autem non statuitur præcepta quoniam anomalia non magis finita est quam artificis in indagando vis et solertia ».⁸⁵ En termes d'aujourd'hui, chaque proposition divise le polynôme par \(x \pm B\), où \(\mp B\) est une racine, ce que l'on appelle le théorème du facteur ; et chaque fois que le facteur divisé est \(x - B\) avec \(B\) positif, la division fait perdre la racine \(x = B\), que le traité ne donne pas toujours.

Chapitre IX

• \(x^3 - 2B^2x = B^3\) donne \(x^2 - Bx = B^2\) (on ajoute \(B^3\) et l'on divise par \(x + B\)) ; exemple \(x^3 - 18x = 27\), \(x^2 - 3x = 9\). La racine est \(x = \tfrac{1 + \sqrt5}{2}\,B\) : \(B\) et \(x\) sont dans la moyenne et extrême raison.
• \(2B^2x - x^3 = B^3\) donne \(x^2 + Bx = B^2\) (on divise par \(x - B\)), dont la racine \(\tfrac{\sqrt5 - 1}{2}\,B\) est le plus grand segment de \(B\) coupé en moyenne et extrême raison ; mais \(x = B\) est aussi racine, et la division la perd.⁸⁶
• \(x^3 - 3B^2x = 2B^3\) a la racine \(x = 2B\) ; exemples \(x^3 - 12x = 16\), \(x = 4\), et \(x^3 - 3x = 2\), \(x = 2\). Et \(3B^2x - x^3 = 2B^3\) a la racine double \(x = B\) : \(12x - x^3 = 16\) donne \(2\), \(6x - x^3 = \sqrt{32}\) donne \(\sqrt2\).⁸⁷
• \(x^3 - Bx^2 + Dx = BD\) a la racine \(B\) (\(x^3 - 4x^2 + 5x = 20\), \(x = 4\)) ; \(x^3 + Bx^2 - D^2x = BD^2\) a la racine \(D\) (\(x^3 + 5x^2 - 4x = 20\), \(x = 2\)) ; \(Bx^2 + D^2x - x^3 = D^2B\) a les racines \(B\) et \(D\) (\(6x^2 + 4x - x^3 = 24\), \(x = 6\) ou \(2\)). Toutes sont justes : ce sont \((x - B)(x^2 + D) = 0\), \((x + B)(x^2 - D^2) = 0\) et \((x - B)(x^2 - D^2) = 0\).⁸⁸
• \(Dx^2 + BDx - x^3 = B^3\) donne \((D + B)x - x^2 = B^2\) ; exemple \(10x^2 + 20x - x^3 = 8\), \(12x - x^2 = 4\), \(x = 6 \pm \sqrt{32}\).⁸⁹
• \(x^3 - Dx^2 + DBx = B^3\) donne \((D - B)x - x^2 = B^2\) ; exemple \(8x - x^2 = 4\), \(x = 4 \pm \sqrt{12}\). Ici encore la division par \(x - B\) fait perdre la racine \(x = B\).⁹⁰
• \(x^3 - 3Bx = \sqrt{2B^3}\) a la racine \(x = \bigl(\sqrt{3B} + \sqrt B\bigr)/\sqrt2\) ; exemple \(x^3 - 6x = 4\), \(x = \sqrt3 + 1\). Et \(3Bx - x^3 = \sqrt{2B^3}\) a les racines \(\bigl(\sqrt{3B} - \sqrt B\bigr)/\sqrt2\) et \(\sqrt{2B}\) ; exemple \(6x - x^3 = 4\), \(x = \sqrt3 - 1\) ou \(2\). Une marge vérifie le premier cube par un développement juste.⁹¹

Chapitre X

Le chapitre X, « Similium reductionum Continuatio », multiplie une quadratique par \(x \pm B\) ou \(B - x\) :

• \(x^3 + 3Bx^2 + Dx = 2B^3 - DB\) donne \(x^2 + 2Bx = 2B^2 - D\) ; exemple \(x^3 + 30x^2 + 44x = 1560\), \(x^2 + 20x = 156\), \(x = 6\) ;
• \(x^3 + 3Bx^2 - Dx = 2B^3 + DB\) donne \(x^2 + 2Bx = 2B^2 + D\) ; exemple \(x^3 + 30x^2 - 24x = 2240\), \(x^2 + 20x = 224\), \(x = 8\) ;
• \(x^3 - 3Bx^2 + Dx = DB - 2B^3\) donne \(2Bx - x^2 = D - 2B^2\), et la racine \(x = B\) ; exemple \(x^3 - 30x^2 + 236x = 360\), racines \(2\), \(10\) et \(18\) ; et \(x^3 - 30x^2 + 264x = 640\), racines \(4\), \(10\), \(16\) ;
• \(3Bx^2 + Dx - x^3 = 2B^3 + DB\) donne \(x^2 - 2Bx = 2B^2 + D\), et la racine \(B\) ; exemple \(30x^2 + 24x - x^3 = 2240\), racines \(28\) et \(10\) ;
• \(3Bx^2 - Dx - x^3 = 2B^3 - DB\) donne \(x^2 - 2Bx = 2B^2 - D\), et la racine \(B\) ; exemple \(30x^2 - 156x - x^3 = 440\), racines \(22\) et \(10\).

Tout est juste, et le chapitre, cette fois, donne toujours la racine \(B\) que la multiplication a introduite.⁹²

La proposition VI, « ad quadrato-quadraticam pertinens », est d'une autre sorte : pour \(x^4 - 2Xx^3 + 4X^3x = 2X^4\), la page, corrigée par la marge, trouve \[ 2X^2x^2 - x^4 = \bigl(4 - 2\sqrt3\bigr)\,X^4 , \] d'où \(x^2 = X^2 \pm X^2\sqrt{\sqrt{12} - 3}\) ; exemple \(X = 1\), \(x^4 - 2x^3 + 4x = 2\). Seul le signe moins donne une racine de l'équation proposée : \(x = \sqrt{1 - \sqrt{\sqrt{12} - 3}} \approx 0{,}5646\). Le signe plus donne \(1{,}2966\), valeur absolue de la racine négative, qui est racine de \(x^4 + 2x^3 - 4x = 2\) et non de l'équation proposée.⁹³

Quatre recueils ; les relations entre coefficients et racines

135–141Les chapitres XI à XIIII sont des recueils de « constitutions singulières », sans démonstration : « hæc singula suam habent ex Zetesi demonstrationem ».

La moyenne et extrême raison, « duplicata, triplicata… »

Le chapitre XI part de \(x^2 + Bx = B^2\) : la longueur \(2B\) est coupée en trois segments proportionnels, \(B\), \(x\) et \(B - x\), et l'on dit que \(B\) est coupée en moyenne et extrême raison ; \(x = \tfrac{\sqrt5 - 1}{2}B\). Il généralise : \(x^3 + Bx^2 + B^2x = B^3\) coupe \(2B\) en quatre segments continûment proportionnels \(B, x, x^2/B, x^3/B^2\) (« moyenne et extrême raison doublée »), et ainsi de suite jusqu'à sept segments. C'est juste : la somme des segments est \(2B\) si et seulement si \(x^n + Bx^{n-1} + \cdots + B^{n-1}x = B^n\).⁹⁴

Le chapitre XII fait de même avec \(B\) premier terme d'une suite de proportionnelles et \(Z\) la somme des autres : \(x^2 + Bx = BZ\), \(x^3 + Bx^2 + B^2x = B^2Z\), …, où \(x\) est le second terme. Le chapitre XIII prend les sommes alternées : \(Bx - x^2 = BZ\), avec deux racines, le second terme et la différence du premier et du second ; \(x^3 - Bx^2 + B^2x = B^2Z\), etc. Les exemples sont justes : sur \(4, 6, 9\), \(9x - x^2 = 18\) donne \(6\) et \(3\), et \(x^2 - 4x = 12\) donne \(6\) ; sur \(1, 2, 4, 8\), \(x^3 - 8x^2 + 64x = 192\) donne \(4\) ; sur \(1, 2, 4, 8, 16\), \(4096x - 256x^2 + 16x^3 - x^4 = 20\,480\) donne \(8\) ; sur \(1, 2, \ldots, 32\), \(x^5 - 32x^4 + 1024x^3 - 32768x^2 + 1048576x = 11\,534\,336\) donne \(16\).⁹⁵

Le chapitre XIIII : les équations à plusieurs racines

Le dernier chapitre, « Collectio quarta », « laisse librement à l'examen analytique » des théorèmes sur les équations « admirablement explicables par plusieurs racines ». Ce sont les relations entre coefficients et racines, dans leur forme générale :

• \((B + D)\,x - x^2 = BD\) a pour racines \(B\) et \(D\) ;
• \(x^3 - (B + D + G)\,x^2 + (BD + BG + DG)\,x = BDG\) a pour racines \(B\), \(D\) et \(G\) ;
• \((BDG + BDH + BGH + DGH)\,x - (BD + BG + BH + DG + DH + GH)\,x^2 + (B + D + G + H)\,x^3 - x^4 = BDGH\) a pour racines \(B\), \(D\), \(G\), \(H\) ;
• et de même au cinquième degré, pour cinq racines \(B\), \(D\), \(G\), \(H\), \(K\).

Les exemples sont justes : \(3x - x^2 = 2\) (racines \(1\), \(2\)) ; \(x^3 - 6x^2 + 11x = 6\) (\(1, 2, 3\)) ; \(50x - 35x^2 + 10x^3 - x^4 = 24\) (\(1, 2, 3, 4\)) ; \(x^5 - 15x^4 + 85x^3 - 225x^2 + 274x = 120\) (\(1, 2, 3, 4, 5\)). C'est l'énoncé que l'on appelle aujourd'hui les formules de Viète : le polynôme unitaire de racines \(r_1, \ldots, r_n\) a pour coefficients, au signe près, les fonctions symétriques élémentaires \(\sigma_1 = \sum r_i\), \(\sigma_2 = \sum_{i<j} r_ir_j\), …, \(\sigma_n = r_1\cdots r_n\), de sorte que \[ x^n - \sigma_1x^{n-1} + \sigma_2x^{n-2} - \cdots + (-1)^n\sigma_n = 0 . \] Le traité l'énonce pour des racines positives données, et répartit les termes entre les deux membres pour qu'ils soient tous positifs ; les signes alternés que l'on écrit aujourd'hui y sont déjà.⁹⁶

Le traité s'achève là, sur une phrase qui dit ce qu'il pense de ce qu'il vient de faire :

« Atq; hæc elegans et perpulchra Speculationis Sylloge tractatui alioquin effuso finem aliquem et coronida tandem Imponito. »⁹⁷

Les tables des prostaphérèses de la Lune

142–147Les feuillets d'astronomie commencent à la vue 142, en tête du feuillet 67, sous le titre « Ad Tabulas Prostaphæreseōn Lunarium ». La prostaphérèse est l'angle qu'il faut ajouter au mouvement moyen, ou en retrancher, pour avoir le mouvement vrai — ce qu'on appelle aujourd'hui une équation, au sens astronomique. Les grandeurs dont elle dépend sont l'anomalie, la longitude « double » de la Lune au Soleil, c'est-à-dire deux fois l'élongation moyenne, qu'on note ici \(2\eta\), et les distances des centres, exprimées en parties d'une « altitude moyenne ».⁹⁸

Cinq propositions, chacune avec un exemple calculé pour \(2\eta = 60^\circ\) :

• La première prostaphérèse. Le centre \(E\) de l'épicycle décrit, autour d'un point \(B\) situé à la distance moyenne \(AB\) de la Terre \(A\), un petit cercle, l'« eccentrulus », de rayon \(BC = AB/91\), et il y avance selon \(2\eta\). L'angle \(EAB\) est la première prostaphérèse, additive dans le premier demi-cercle de \(2\eta\), soustractive dans le second : \[ \tan EAB = \frac{BE\sin 2\eta}{AB + BE\cos 2\eta} . \] Pour \(2\eta = 60^\circ\) : \(EF = 86\,602\), \(FB = 50\,000\), \(AF = 9\,150\,000\) en parties où \(AB = 9\,100\,000\), et l'angle vaut \(0^\circ\,32\tfrac{15}{29}'\). C'est juste ; le feuillet calcule par la tangente, « ut \(AF\) ad \(EF\) ita \(100\,000\) ad \(946\) ».
• L'altitude moyenne corrigée est \(AE\), l'hypoténuse du triangle \(AFE\). La page donne \(9\,150\,131\) ; le calcul donne \(\sqrt{9\,150\,000^2 + 86\,602^2} \approx 9\,150\,410\).⁹⁹
• La seconde prostaphérèse. Un second petit cercle, de centre \(G\) et de rayon \(GI\), porté à la distance \(EG\), est parcouru selon \(2\eta\) à partir de son point le plus bas ; l'angle \(GEK\) est la seconde prostaphérèse. Pour \(2\eta = 60^\circ\), avec \(EG = 1\,000\,000\) et \(GK = 200\,000\) : \(KL = 173\,205\), \(EL = 900\,000\), et l'angle vaut \(10^\circ\,53\tfrac35'\), ce qui est juste (\(\tan = 0{,}19245\)).¹⁰⁰
• Le demi-diamètre corrigé de l'épicycle est \(EK = \sqrt{900\,000^2 + 173\,205^2} = 916\,515\). Juste.
• La prostaphérèse maximale a pour sinus \(EK/AE\), soit \(916\,515/9\,150\,131 = 0{,}10016\), et vaut \(5^\circ\,44\tfrac{26}{29}'\). Juste : un épicycle de rayon \(r\) vu à la distance \(R\) donne une équation maximale \(\arcsin(r/R)\).¹⁰¹

La vue 147 porte, tracés à la plume, les cadres des deux tables, celle de la Lune de \(0\) à \(60\) degrés de \(2\eta\) par pas de cinq, et celle du Soleil ; seule la ligne de \(60^\circ\) de la table lunaire est remplie, avec les cinq valeurs ci-dessus.

En termes d'aujourd'hui, ce modèle fait deux choses. La première prostaphérèse est une inégalité en longitude à peu près proportionnelle à \(\sin 2\eta\), nulle aux syzygies et aux quadratures, maximale aux octants, d'amplitude \(\arcsin(1/91) \approx 0^\circ 38'\) : c'est la forme de l'inégalité que l'on appelle la variation. La seconde fait dépendre de \(2\eta\) le rayon effectif de l'épicycle, \(EK\), qui va de \(800\,000\) à \(1\,200\,000\) parties, et donc l'équation maximale de l'épicycle : c'est le dispositif par lequel Copernic rendait la seconde inégalité de la Lune, que l'on appelle aujourd'hui l'évection.¹⁰²

L'hypothèse lunaire de l'« astroscope danois »

148–156Les vues 148 à 152 contiennent un brouillon très raturé (vue 148), puis sa mise au net (vues 150 à 152), d'un texte qui commence par un jugement : l'hypothèse lunaire de Tycho Brahe est mal construite, et l'écrivain la « restitue ». Le brouillon nomme Tycho ; la mise au net biffe le nom et écrit à la place « ab Astroscopo Dano », « l'astroscope danois » :

« Hypothesis Lunæ ab Astroscopo Dano proposita […] eum Geometram nequaquam […] arguit. An igitur suis fidendum observatis Viderint αὐτόπται (autoptai). Ego suam Hypothesim ita restituo. »¹⁰³

Le modèle

Huit articles le décrivent (vue 150) :

• la Lune se meut sur un « ellipsidium » (une petite ellipse), dont le centre parcourt une ellipse, dont le centre est porté par l'« homocentre », le cercle de rayon moyen autour de la Terre ;
• le centre de l'ellipse oscille (« libratur ») sur une ligne droite, vers l'occident puis vers l'orient, selon la longitude double \(2\eta\) ;
• l'ellipse est décrite selon l'anomalie \(M\) comptée de l'apogée « in antecedentia » ; l'ellipsidium selon l'« anomalie mixte » \(2\eta - M\), comptée du périgée « in consequentia » ;
• dans l'une et l'autre, le demi-axe transversal (vers la Terre) est le tiers du demi-axe droit (perpendiculaire) ;
• en parties où l'homocentre vaut \(276\) : ellipse \(10\) et \(30\), ellipsidium \(2\) et \(6\), cercle de libration \(3\).¹⁰⁴

L'exemple (vues 151 et 152) est calculé pour \(M = 45^\circ\,37\tfrac12'\) et \(2\eta = 230^\circ\,23\tfrac25'\), d'où l'anomalie mixte \(184^\circ\,45\tfrac{9}{10}'\). En parties où \(AB = 27\,600\,000\), la page trouve \(AI = 27\,600\,000 + 699\,360 + 199\,308 = 28\,498\,668\) pour la composante le long de la ligne moyenne, et, perpendiculairement, \(IH = 714\,800 - 16\,616 = 698\,184\), triplé en \(IK = 2\,094\,552\), auquel s'ajoute la libration \(KP = 231\,114\), soit \(IP = 2\,325\,666\) ; l'angle \(IAP\), différence entre le lieu moyen et le lieu apparent, a pour tangente \(0{,}08161\) et vaut \(4^\circ\,40'\). Tout est juste : \(699\,360\) et \(714\,800\) sont \(10^6\cos M\) et \(10^6\sin M\) (à la dernière unité près), \(199\,308\) et \(16\,616\) sont \(2 \cdot 10^5\cos\) et \(2 \cdot 10^5\sin\) de \(4^\circ\,45\tfrac{9}{10}'\), et \(231\,114\) vaut \(3 \cdot 10^5 \sin 50^\circ\,23\tfrac25'\).¹⁰⁵

En termes d'aujourd'hui, et au premier ordre dans les petits rapports \(30/276\), \(6/276\), \(3/276\), le lieu de la Lune s'écarte donc du lieu moyen de trois termes périodiques : un terme en \(\sin M\) d'amplitude \(30/276\) radian, soit \(6^\circ 14'\) ; un terme en \(\sin(2\eta - M)\) d'amplitude \(6/276\) radian, soit \(1^\circ 15'\) ; un terme en \(\sin 2\eta\) d'amplitude \(3/276\) radian, soit \(37'\). Ce sont les arguments de l'équation du centre, de l'évection et de la variation, les trois plus grandes inégalités de la longitude de la Lune.¹⁰⁶

Les problèmes pour construire les tables

Sous le titre « Ad condendum Canonas Problematia », l'écrivain calcule les inégalités de la nouvelle hypothèse dans des cas simples :

• la première prostaphérèse due au cercle de libration, de rayon \(1/92\) de la distance moyenne (vue 149) : pour \(2\eta = 60^\circ\), le rapport est \(941\) pour \(100\,000\) ; la page garde la valeur \(0^\circ\,32\tfrac{15}{29}'\) de la vue 142, calculée pour \(946\) ; avec \(941\), on trouve \(0^\circ\,32\tfrac13'\) ;
• la prostaphérèse quand la Lune est à \(45^\circ\) du Soleil (vue 152), par une figure où l'on reporte les longueurs \(2\) et \(3\) de l'ellipsidium et du cercle ;
• quand l'anomalie vaut \(90^\circ\) ou \(270^\circ\) (vue 153), avec un tableau des cas intitulé « Factio » et des différences en lettres grecques, que la transcription ne reconstitue pas ;
• à la pleine et à la nouvelle Lune (vue 155) : en parties où \(AB : BF = 34\tfrac12 : 1\), pour une anomalie de \(30^\circ\), \(AE = 3\,536\,602\), \(EG = 3\,EF = 150\,000\), et l'angle \(EAG\) vaut \(2^\circ\,25\tfrac34'\) ;
• à la demi-Lune (vues 155 et 156) : \(AB : BF = 23 : 1\), \(AE = 2\,386\,602\), et l'angle vaut \(3^\circ\,35\tfrac45'\).

Les nombres des deux derniers problèmes sont justes.¹⁰⁷

L'« harmonique ptolémaïque », Copernic, et les planètes

157–163La vue 157 ouvre un chapitre, « Harmonici Ptolemaici Constructio CAPUT XII », dont on n'a que le préambule. Il commence par Copernic :

« Copernicus sibi suarumque hypotheseōn si qua est præstantiæ detrahit adeò eas mala construit Geometriâ. Itaque cum in quinque Planetis angulum exquirit quem vocat Prostaphæreseos eccentri, Triangulum rectangulum ex quo is statim dabatur proscindit in duo, quæ dicuntur obliquangula sex septemue Analogias pro una exercens. »¹⁰⁸

L'objection est de méthode et elle est juste dans son principe : dans les modèles à excentrique, l'angle cherché se lit directement dans un triangle rectangle dont on connaît deux côtés, comme le fait la première proposition des vues 142 et 143, par une seule proportion (la tangente). La page ne montre pas le calcul de Copernic qu'elle critique, et cette lecture ne le compare à aucun imprimé.

La vue 158 donne, sans titre, une légende et une construction pour la Lune — homocentre, ellipse, ellipsidium, petits cercles « ad ellipsim » et « ad ellipsidium » — où le rapport des deux demi-axes est double, et non triple comme à la vue 150.¹⁰⁹ La vue 160 s'ouvre au milieu d'une phrase qui définit « l'angle \(KAG\), parallaxe de l'orbe », puis énonce une « Propositio II » pour « les mêmes planètes » — Saturne, Jupiter, Mars et Vénus, précise la vue 161 : connaissant les anomalies, la prostaphérèse apparente, l'altitude moyenne et les « adlaterales » vers la Terre, trouver l'« adlateralis » vers le Soleil. La construction commence : un eccentrulus de rayon \(\varphi\) (le demi-axe transversal), un point \(E\) pris selon l'anomalie \(\sigma\), la perpendiculaire \(EF\) prolongée en \(G\) avec \(FG = 2\,EF\), et \(G\) centre de l'épicycle ; la page s'arrête là.¹¹⁰

Les deux dernières vues (162 et 163), sous le titre grec « Δεδομένον » (Dedomenon, « donné »), posent qu'à partir de l'altitude moyenne de Mercure, des « adlaterales » et des anomalies à la Terre et au Soleil, on trouve la distance de Mercure au Soleil. Suivent une « préparation » par proportions de sinus — l'altitude moyenne est allongée (« protractio ») ou raccourcie (« contractio ») selon le quadrant de l'anomalie double à la Terre, puis « corrigée ad Omœopathiam » — et quatre « factæ », chacune une proportion « comme le sinus total au sinus de tel angle, ainsi telle ligne à telle autre ». Le texte s'arrête sur « Ac denique Vt Altitudo media Mercurij », au milieu d'une proportion ; un mot, « emendata », d'une encre plus noire au pied de la dernière page, est peut-être une réclame. La suite n'est pas dans le volume.¹¹¹

Ce que ces feuillets ne disent pas

1–163Ils ne disent pas qui les a écrits. Deux titres, de la main du texte, portent le nom de François Viète ; la couverture aussi. Les transcriptions n'identifient aucune main, et cette lecture n'en identifie aucune. Une seconde main, dans les marges du chapitre VI du premier traité, parle de ses propres démonstrations sur les sections angulaires ; elle ne se nomme pas. Les notes « transcripta ex exemplari » (vue 100) et « deerant hæc in exemplari » (vue 114), et celle de la vue 20, pourraient faire de ces traités la copie d'un modèle ; ce sont des lectures douteuses, et elles ne disent ni quel modèle, ni qui copie. Les feuillets d'astronomie ne portent pas de nom ; ils nomment Tycho Brahe, Copernic, Ptolémée et Aristarque, et ne sont attribués ici à personne.¹¹²

Ils ne sont pas datés. Le catalogue ne donne pas de datation ; cette lecture n'en infère aucune, ni des titres, ni du nom de Tycho, ni des renvois à l'édition de 1646, qui sont d'un lecteur. Chaque fois qu'un résultat est dit « postérieur », c'est par rapport au traité si celui-ci est de Viète, comme le disent ses titres ; les feuillets eux-mêmes peuvent être plus tardifs.

Ils ont été lus sans imprimé. Aucune édition imprimée des œuvres de Viète n'a été ouverte : ni pour combler une lacune, ni pour trancher une leçon, ni pour vérifier les renvois aux pages de 1646. Ce qui manque à la transcription manque ici, et est dit à sa place.

Ce qui reste illisible ou incertain. Le théorème du feuillet B (vue 3), dont l'énoncé ne se laisse pas reconstituer ; une proportion de la construction du feuillet A (vue 2) ; les longues marges de la seconde main aux vues 16 à 18, données « sous réserve » ; plusieurs mots grecs (vues 5, 32, 83, 150, 157) ; des phrases entières de la syncrise (vues 47 et 54) et du climactisme symétrique (vue 96) ; les calculs marginaux des vues 42, 55 et 138 ; la liaison entre les vues 72 et 73 ; l'exemple « \(1C + 9Q - 24N\) æq. \(33\) » de la vue 32 ; le passage de la proposition VI du chapitre X de l'« Emendatio » où l'équation est élevée au carré (vue 134) ; les tableaux en lettres grecques des vues 153 et 156, et la note française de la vue 156 ; les proportions des « factæ » de Mercure (vue 163), dont la figure n'a pas été entièrement vue. Tout cela est signalé en note à sa place.