NAL 2338 · vues 1–104 · Lecture modernisée · Papiers divers de Mersenne. NAL 2338 — lecture modernisée du volume entier
Source gallica.bnf.fr / Bibliothèque nationale de France
Lecture automatique — interprétation non vérifiée

Résumé

Ce que ce volume contient

1–104Cent quatre vues, une page par vue. La vue 1 est le feuillet de titre de la bibliothèque (« Papiers de Mersenne », « Volume de 50 Feuillets / 1er Octobre 1888 », « Libri 1846 ») ; la vue 104 est le verso blanc du dernier feuillet. Sont blancs, ou ne portent rien qui leur soit propre, les vues 51–52, 56, 72, 86, 92 et 95. Une seule série de numéros à l'encre, de 1 à 50 avec un « 34 bis », court sur les rectos à travers toutes les mains : c'est le compte de la bibliothèque ; comme elle est à l'encre, aucune transcription n'a écrit de folio, et cette lecture ne cite que des vues.² Les pièces, dans l'ordre de la reliure :

• Vues 2–7. Torricelli à Mersenne, daté « Dat: Flor: Kal: Maij: anno 1644 »³ , signé « Euang^a Torricellius », avec l'adresse au dos (vue 7) : la cycloïde et les trochoïdes.
• Vues 8–11. Torricelli à Mersenne, « Flor: die 7 Iulij 1646 », d'une main de copie : les verres, la lunette de Gassendi, une fausse quadrature du cercle.
• Vues 12–15. Torricelli à Mersenne, « Florentiæ Kalendis Februarij anno 1647 »⁴ , de la main des vues 2–6 : les verres, les bandes de Jupiter, les spirales, le problème de Fermat.
• Vues 16–19. Une pièce sans date ni signature, au nom de Torricelli, qui cite une lettre de Mersenne « sub die 28 Iunij 1644 » : la priorité du centre de gravité de la cycloïde.
• Vues 20–23. Torricelli à Roberval, « Flor. Kal. Octobr. 1643 »⁵ : la cycloïde, Galilée, le solide hyperbolique.
• Vues 24–35. « Clar.^mo Viro Roberuallio / Torr. S.P.D. », « die 7 Julij ann. 1646 » : la priorité, puis les tangentes et les quadratures de toutes les paraboles, et la spirale.
• Vues 36–39. Le « feuillet séparé » promis par cette lettre, identifié comme tel par une note d'une autre main.
• Vues 40–50. Une seconde copie de la lettre du 7 juillet 1646, avec son post-scriptum.
• Vues 53–55. Torricelli à Carcavy, « D. flor. Die [8?] Julij an. 1646 ».
• Vues 57–82. « Epistola Aegidii Personerii de Roberval ad Euangelistam Torricellium » : la réponse de Roberval, sans date ; elle s'arrête au milieu d'une phrase à la vue 82 ; sa fin n'est pas dans le volume.
• Vues 83–88. « Epistola Ægid. Personerii de Roberual ad R. P. Mersennum », sur les propositions de Torricelli ; figure seule à la vue 85 ; elle s'arrête au milieu d'une phrase à la vue 88.
• Vues 89–91. « Methodus Torricelli de dimensione infinitarum parabolarum », d'une main très rapide ; figure seule à la vue 91.
• Vues 93–94. « Extraict d'une lettre du Sieur Torricelli », « Al S.^r Ricci », en italien : les tubes de mercure.
• Vue 96. Le couvert d'une lettre, adressé « Au Reuerend Pere / Le Reuerend Pere Mersenne Religieux ez minimes de la Place Royale ».
• Vues 97–103. « De Vacuo Narratio Æ.ⁱ P.ⁱ de Roberual Ad Nob. virum D. des Noyers », « Parisijs 12 Calend. Octob. 1647 ».

L'ordre de la reliure n'est pas celui des dates, et une note moderne au crayon, sur la vue 83, le sait : « Il faut commencer par cette lettre ». Cette lecture suit l'argument, non la reliure : d'abord la cycloïde, puis la querelle lettre par lettre dans l'ordre de leurs dates, puis les mathématiques des paraboles, des figures infinies et des spirales de chaque côté, et enfin le vide.

Qui écrit : titres, signatures, copies

Il faut distinguer ce que les feuillets nomment de ce qu'ils montrent.

• Une seule signature propre. La lettre du 1^er mai 1644 (vues 2–6) se termine par « Addictiss^mus Seruus / Euang^a Torricellius. », de la main du corps de la lettre, une cursive italienne rapide ; son dernier verso porte l'adresse et les plis (vue 7). La transcription dit la date et la signature « autographes en apparence ». C'est l'aspect d'un original, non une attribution de la main : les feuillets ne disent nulle part que cette main est celle de Torricelli. La même main écrit la lettre du 1^er février 1647 (vues 12–15), qui n'a pas de souscription : le nom n'y figure que dans la dernière phrase (« adnumerabis Torricellium »).
• Un nom écrit par le copiste. La lettre du 7 juillet 1646 à Mersenne (vues 8–11) finit sur « Euangelista Torricellius. », mais dans la main posée du corps et de même module : c'est une copie, ou la main d'un secrétaire, et la page ne dit pas laquelle.
• Le nom dans l'intitulé seulement. Torricelli est nommé en tête, et pas au bas, dans les lettres à Roberval de 1643 (vue 20) et de 1646 (vues 24 et 40, « Torr. ») et dans la lettre à Carcavy (vue 53), où le nom revient dans la phrase finale ; Roberval est nommé en tête des deux lettres des vues 57 et 83 et de la « Narratio » (vue 97). Aucune de ces pièces n'est signée.
• Aucun nom d'auteur. La pièce des vues 16–19 ne nomme celui qui écrit que par le dernier mot, « Atque hic me tibi iterum commendo / Torricellium »⁶ , qui tient la place d'une signature ; ses notes encadrées (« uerbum deest », « Parata bis legitur ») sont celles d'un copiste. Le feuillet séparé (vues 36–39) n'est attribué que par la note d'une autre main, et la « Methodus » (vues 89–90) que par son titre.
• Mersenne. Aucun feuillet n'est d'une main que les feuillets attribuent à Mersenne. Il est destinataire, cité, nommé ; le couvert de la vue 96 lui est adressé, d'une main qui n'est celle d'aucune pièce voisine, et rien ne dit quelle lettre il a couverte.

Roberval lui-même fait de cette situation un grief : il demande qu'on ne croie, en matière de mathématiques, « nisi manu meâ illæ obsignata sint »⁷ , parce que les intermédiaires déforment tout. La querelle qui suit est en grande partie une querelle sur des lettres recopiées.

La cycloïde dans la lettre du 1er mai 1644

2–7La lettre répond à Mersenne, qui a demandé si Galilée avait laissé quelque chose sur la force de la percussion (presque rien, deux expériences), et qui a annoncé que Roberval avait pénétré très avant dans la nature de la cycloïde. Torricelli concède d'avance « omnium harum inuentionum gloriam » à Roberval si c'est vrai⁸ , dit avoir « aussi des solides trouvés il y a peu de mois et communiqués aux géomètres italiens », puis donne ses énoncés sans démonstration.

Les définitions

Un cercle \(AB\) de rayon \(r\) roule sur une droite et décrit, par son point de contact, la cycloïde « primaire ». Le rayon \(CA\) est prolongé indéfiniment au-delà de \(A\) ; chaque point de ce rayon prolongé, à la distance \(d\) du centre, décrit une « trochoïde » ou « cycloïde secondaire » : raccourcie si \(d<r\), allongée si \(d>r\). Le « cercle générateur propre » de chaque trochoïde est celui dont le diamètre égale la hauteur de la courbe, soit le cercle de rayon \(d\). En coordonnées, \[ x = rt - d\sin t,\qquad y = r - d\cos t , \] la base étant la droite \(y = r-d\) des points les plus bas, de longueur \(2\pi r\) sur une arche, et la hauteur \(2d\).

L'aire

Le premier énoncé : l'espace compris entre une trochoïde et sa base est au triangle de même base et de même hauteur comme la circonférence du cercle générateur propre plus deux fois la base, à deux fois la base. On calcule \[ \int_0^{2\pi}\bigl(y-(r-d)\bigr)\,x'(t)\,dt=\int_0^{2\pi} d(1-\cos t)(r-d\cos t)\,dt = 2\pi r d+\pi d^2 , \] et le triangle vaut \(\tfrac12\cdot 2\pi r\cdot 2d = 2\pi r d\) ; le rapport est \(\frac{2r+d}{2r} = \frac{2\pi d+2\cdot 2\pi r}{2\cdot 2\pi r}\), ce que dit la lettre. Sa seconde forme, « comme la hauteur plus deux fois l'axe de la cycloïde primaire, à deux fois cet axe », est \(\frac{2d+4r}{4r}\), le même nombre. Et l'espace est au cercle générateur propre, « par conversion de rapport »⁹ , comme \((2\pi d+4\pi r) : 2\pi d = (2r+d) : d\) ; c'est exact, puisque \((2\pi r d+\pi d^2)/(\pi d^2) = (2r+d)/d\). Pour la cycloïde primaire, \(d=r\) : l'aire est \(\tfrac32\) du triangle, soit \(3\pi r^2\), trois fois le cercle qui roule.¹⁰

La tangente, par composition des mouvements

La règle de la lettre : par le point donné \(P\), placer le cercle générateur propre tangent à la base ; mener en \(P\) la tangente à ce cercle, qui coupe la base en \(T\) ; prendre sur la base, à partir de \(T\) et du côté convenable, un segment \(TS\) tel que la hauteur de la trochoïde soit à la hauteur de la cycloïde primaire comme \(PT\) à \(TS\) ; la droite \(SP\) est la tangente. Et l'on peut prendre au lieu de la base n'importe quelle parallèle.

C'est juste. La vitesse du point est la somme de celle du centre, horizontale, de grandeur \(r\) par unité de \(t\), et de celle de la rotation autour du centre, tangente au cercle de rayon \(d\), de grandeur \(d\) : \[ \bigl(x'(t),\,y'(t)\bigr) = r\,(1,0) + d\,(-\cos t,\ \sin t). \] Le triangle \(PTS\) a ses côtés \(PT\) et \(TS\) portés par ces deux directions et dans le rapport \(d : r = 2d : 2r\) ; son troisième côté porte donc leur somme, qui est la vitesse. Une parallèle à la base coupe les deux côtés en un triangle homothétique de centre \(P\), d'où la dernière remarque. Pour la cycloïde primaire, \(d=r\), \(TS=PT\), et la tangente passe par le point le plus haut du cercle qui roule, ce que dit la lettre.¹¹

Les quatre solides

Pour la cycloïde primaire, aire \(3\pi r^2\), base \(2\pi r\), axe \(2r\) ; chaque solide est comparé au cylindre qui l'enveloppe.

• Autour de la tangente parallèle à l'axe (la verticale à un point de rebroussement) : le solide est « subsesquitertium », les \(\tfrac34\) du cylindre. On trouve \(V = 2\pi\int x\,y\,dx = 6\pi^3r^3\) contre \(\pi(2\pi r)^2\cdot 2r = 8\pi^3r^3\) : exact. La lettre dit n'en avoir pas la démonstration et l'attribue à Antonio Nardi ; « reliqua mea sunt ».
• Autour de la tangente au sommet, parallèle à la base : « subsesquiseptimum », les \(\tfrac78\). Le solide vaut \(8\pi^2r^3 - \pi\int (2r-y)^2\,dx = 8\pi^2r^3-\pi^2r^3 = 7\pi^2r^3\) contre \(\pi(2r)^2\cdot 2\pi r=8\pi^2r^3\) : exact.
• Autour de l'axe : « ut 11 ad 18 ». C'est faux. Le calcul donne \[ V_{\text{axe}} = 2\pi\int_0^{\pi r}(\pi r - x)\,y\,dx = \frac{\pi r^3}{6}\,(9\pi^2-16), \] et le cylindre de même axe et de même base vaut \(\pi(\pi r)^2\cdot 2r=2\pi^3r^3\) ; le rapport est \[ \frac{9\pi^2-16}{12\pi^2} = \frac34-\frac{4}{3\pi^2}\approx 0{,}6149 , \] irrationnel, alors que \(11/18\approx 0{,}6111\) est trop petit d'environ quatre millièmes (six pour mille en valeur relative).¹²
• Autour de la base : \(5:8\), que la lettre dit avoir été démontré par Roberval « ante nos ». On trouve \(\pi\int y^2dx = 5\pi^2r^3\) contre \(8\pi^2 r^3\) : exact.

La lettre ajoute que le solide autour de l'axe et le solide autour de la base ont un rapport « ineffable », composé de \(44:45\) et du rapport d'un cercle au carré circonscrit, soit \(\frac{44}{45}\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{11\pi}{45} \approx 0{,}7679\). C'est la conséquence exacte de \(11:18\) et de \(5:8\), car les deux cylindres sont entre eux comme \(\pi:4\) ; mais la valeur vraie est \(\frac{9\pi^2-16}{30\pi}\approx 0{,}7727\), qui n'est pas de cette forme. Le mot « ineffable » (irrationnel) est juste ; la composition ne l'est pas.

Les centres de gravité

De la cycloïde entière : il divise l'axe dans le rapport \(7:5\), la plus grande partie du côté du sommet. On trouve \[ \bar y = \frac{1}{3\pi r^2}\int_0^{2\pi r}\frac{y^2}{2}\,dx = \frac{5r}{6}, \] soit \(\tfrac{7r}{6}\) depuis le sommet et \(\tfrac{5r}{6}\) depuis la base : exact.

De la demi-cycloïde : il est sur la parallèle à l'axe qui coupe la base de la cycloïde entière en parties \(19\) et \(8\), ou la base de la demi-cycloïde en parties \(16\) et \(11\), la plus grande du côté de la courbe. Les deux énoncés s'accordent entre eux (\(8 : 5\tfrac12 = 16:11\)), mais ni l'un ni l'autre n'est exact. L'abscisse du centre de gravité, mesurée depuis le point de rebroussement, est \[ \bar x = r\Bigl(\frac{\pi}{2}+\frac{8}{9\pi}\Bigr)\approx 1{,}8537\,r , \] et sa distance à l'axe \(r\bigl(\frac{\pi}{2}-\frac{8}{9\pi}\bigr)\approx 1{,}2879\,r\). Le rapport vrai des deux parties de la base de la demi-cycloïde est donc \(\frac{9\pi^2+16}{9\pi^2-16}\approx 1{,}4394\), non \(16/11\approx 1{,}4545\) ; et celui des parties de la base entière \(\frac{27\pi^2-16}{9\pi^2+16}\approx 2{,}3895\), non \(19/8=2{,}375\). La hauteur de ce centre est la même que pour la cycloïde entière, \(\tfrac{5r}{6}\) ; la lettre ne la donne pas.

Pourquoi 11 à 18 et 16 à 11 sont une seule erreur

Le solide engendré par la cycloïde autour de son axe est celui qu'engendre la demi-cycloïde, d'aire \(\tfrac32\pi r^2\). Si \(\delta\) est la distance à l'axe de son centre de gravité, la règle que les lettres se disputent plus loin donne \[ V_{\text{axe}} = 2\pi\,\delta\cdot\tfrac32\pi r^2 ,\qquad \frac{V_{\text{axe}}}{2\pi^3r^3} = \frac{3\delta}{2\pi r}. \] Avec la valeur de la lettre, \(\delta = \tfrac{11}{27}\pi r\) (les 11 parts sur 27 de \(\pi r\)), on obtient exactement \(\tfrac{11}{18}\). Les deux énoncés faux de la lettre sont donc la même donnée lue dans les deux sens ; avec la valeur vraie de \(\delta\), la même règle redonne \(\frac34-\frac{4}{3\pi^2}\). Roberval l'a vu : il écrit que le centre de la demi-trochoïde « ab eo dependet », dépend du solide autour de l'axe (vue 66).¹³

Le reste de la lettre

Doni a reçu la lettre de Mersenne ; du Verdus, qui a remis la lettre, n'a rien dit du « mystère des tangentes » que Mersenne lui prête ; deux des opuscules de Torricelli sont imprimés, les deux autres avancent lentement ; il est occupé à la verrerie du Grand-Duc pour les lunettes et à construire des machines pour des expériences de physique ; on attend les « Cogitata physico-mathematica » de Mersenne. Sur la parabole égale en longueur à une autre courbe, attribuée à Roberval, et sur un problème numérique de du Verdus, rien.

Deux lettres à Mersenne, 1646 et 1647 : verres, quadratures, le problème de Fermat

8–15

La lettre du 7 juillet 1646 (vues 8–11)

Les lettres de Mersenne et de Roberval datées des calendes de janvier sont arrivées à la fin de mars, par le comte Ferdinando Bardi et Andrea Arrighetti. Torricelli défend ses verres : aucun, hors de ses mains ou de celles de Fontana, n'est aussi bon « in tota Gallia » ; une pièce sur dix seulement est parfaite, à cause de la matière. La lunette de Gassendi, qui vient de Galilée, ne peut pas, plus courte d'un quart avec les mêmes concaves, montrer l'objet plus grand : ce serait dire que de deux triangles isocèles semblables, celui qui a les côtés les plus courts a la plus grande base.¹⁴ Une lunette de dix pas a été faite, l'hiver passé, dans un mât de galère fendu, creusé et recollé, trop lourde pour servir.

Deux quadratures du cercle passent dans la lettre. Baliani a envoyé, de la part de Mersenne, l'examen d'une quadrature d'un certain Batanus ; Torricelli juge cet examen trop long : il aurait été plus court avec la proposition 3 du livre VI d'Euclide.¹⁵ Puis, transmise sans réfutation, celle d'un « mathématicien romain de la Compagnie de Jésus », dans un livre intitulé « Ars Magna lucis, et Vmbræ » : si l'on coupe en deux le rayon \(AB\) en \(D\) et l'arc de quadrant en \(E\), la droite \(DE\) prolongée retranche de la tangente en \(C\) un segment \(CF\) égal à l'arc \(CE\). C'est faux. Avec le centre à l'origine, \(D=(\tfrac r2,0)\), \(E = \frac{r}{\sqrt2}(1,1)\), la tangente en \(C=(0,r)\) étant \(y=r\), on trouve \[ CF = \frac{3-\sqrt2}{2}\,r\approx 0{,}7929\,r,\qquad \text{arc } CE=\frac{\pi}{4}\,r\approx 0{,}7854\,r , \] ce qui reviendrait à \(\pi = 6-2\sqrt2\approx 3{,}1716\).¹⁶ Le même auteur aurait montré que « le carré isopérimètre à un cercle est égal à ce cercle » : faux aussi, le carré de périmètre \(2\pi r\) a pour aire \(\pi^2r^2/4\), soit \(\pi/4\) du cercle.¹⁷

Enfin Torricelli envoie à Roberval des spirales « dont la ligne est montrée égale à une droite », à Fermat des hyperboles « peut-être les miennes », et à Mersenne un « Carollariolum », une quadrature tirée de ces hyperboles, dont il pourrait envoyer « des centaines, et même une infinité » : le corollaire n'est pas sur les feuillets. Un post-scriptum règle l'argent du verre prêté.

La lettre du 1er février 1647 (vues 12–15)

La lettre répond à plusieurs de Mersenne. Roberval tarde à répondre à la lettre que Torricelli lui a écrite au début d'août ; qu'il tarde tant qu'il voudra : « les lettres enflent démesurément et dégénèrent en volumes ». Le centre de percussion, sur lequel Mersenne revient sans cesse, « non arridet animo meo ». Un verre concave accompagne la lettre ; un cercle tracé à la plume (vue 13) donne l'ouverture à laisser à l'objectif, « un peu plus grande pour les objets obscurs, plus petite pour les clairs » ; la meilleure lunette n'est pas celle qui grossit le plus mais celle qui donne la vision la plus pure. Les longues lunettes n'ont rien montré de nouveau, sinon les bandes de Jupiter.

Torricelli espère que Roberval ne dira plus « impossibles » ses spirales « qui font une infinité de révolutions avant d'arriver au centre », ni celles qu'il dérive de la définition d'Archimède « étendue aux puissances infinies de l'algèbre », ni le problème des hyperboles infinies ; ces spirales sont traitées plus bas. Il a résolu, l'automne précédent, un problème qu'on lui dit proposé par Fermat : trouver un point dont la somme des distances à trois points donnés soit minimale. « Construxi Problema, demonstraui, determinauique », par une voie qui passe par les lieux solides et par d'autres qui n'emploient que la règle et le compas.¹⁸ Il demande si la solution circule en France.

La querelle de la cycloïde : ce que chaque pièce affirme

16–84Les pièces sont prises ici dans l'ordre des dates qu'elles portent. Pour chacune, ce qu'elle affirme et ce qu'elle démontre ; les mathématiques en jeu sont vérifiées ailleurs dans cette lecture, et les dates sont celles des lettres. La lecture ne dit pas qui a trouvé le premier : une date écrite dans une lettre de l'un des deux adversaires, au sujet de sa propre découverte, est un témoignage de partie.

1er octobre 1643, Torricelli à Roberval (vues 20–23)

Torricelli rougirait de présenter le centre de gravité de la parabole comme inconnu ; il l'a montré par une démonstration brève. Il admire la fécondité de Roberval « circa tot parabolas, atque earum solida », dont lui-même n'a rien et n'aura peut-être rien. La « mesure de la cycloïde » — Galilée, écrit-il, a donné ce nom à la figure « il y a quarante-cinq ans » — « s'est offerte à lui sans qu'il la cherchât », et il l'a démontrée cinq fois par des principes différents. Puis : « Quo ad solida nihil habeo. »¹⁹ La tangente lui a été montrée par le jeune Vincenzo Viviani. Galilée a pesé des cycloïdes découpées dans une matière et a toujours trouvé l'espace « moins que triple » du cercle générateur, d'où un soupçon d'incommensurabilité qui lui fit abandonner.²⁰ Une proposition sur le solide engendré par une section conique tournant autour de son axe et sur son centre de gravité est démontrée « d'une seule et brève démonstration », mais écartée de ses opuscules. Quant au « solide hyperbolique », il est « non plus le mien, mais le tien » : Torricelli a deux démonstrations, l'une par les indivisibles, l'autre « par inscription et circonscription, à la manière des anciens » ; ce qu'il a de commun avec celle de Roberval est la construction qui coupe le solide en tranches dans un rapport donné.²¹

1er mai 1644, Torricelli à Mersenne (vues 2–7)

Les solides de la cycloïde ont été « trouvés il y a peu de mois ». Torricelli concède la gloire des inventions à Roberval sous condition ; attribue le solide autour de la tangente parallèle à l'axe à Nardi et le solide autour de la base à Roberval, « ante nos » ; revendique le reste, dont \(7:5\), \(11:18\), \(16:11\) et \(19:8\). Il ne démontre rien.

28 juin 1644, Mersenne à Torricelli, cité (vues 16–19)

La pièce commence : « Oro P. Vestram ut secum ipsa recordari uelit quando ego scripsi Centrum grauitatis Cycloidis secare axem in ratione 7 ad 5, et solidum circa axem esse ad cylindrum ut 11 ad 18 »²² , et elle recopie deux passages de la réponse de Mersenne, « sub die 28 Iunij 1644 » :

• Roberval « prædictum solidum, et centrum grauitatis tibi debere fatetur, qui primus inuenisti »²³ ;
• « Dubitat noster Roberuallus an Mechanicè tantum centra grauitatis Cycloidis, et semicycloidis inueneris, quæ Geometricè falsa suspicatur. »²⁴

Celui qui écrit affirme avoir alors envoyé la démonstration du centre de gravité de la cycloïde et du solide autour de la base, avec « sa » méthode, « pour trouver le centre de gravité à partir du solide donné, ou le solide à partir du centre » ; que Roberval, dans sa dernière lettre, dit avoir eu ce centre « depuis longtemps » et compte la méthode parmi les siennes « par la seule inversion de la proposition ». Il demande à Mersenne d'intervenir. Il n'a pas répondu à Roberval sur le solide autour de l'axe et demande « d'où Roberval croit qu'il a tiré le rapport qu'il réduisait aux nombres 11 et 18 », en rappelant qu'Archimède donne le cercle au carré du diamètre comme \(11:14\). La pièce ne donne pas la réponse.²⁵

7 juillet 1646, Torricelli à Roberval (vues 24–29 ; seconde copie, vues 40–44)

La trochoïde, italienne ou française, « meum certè non est quod ad inuentionem attinet » ; mais Galilée en ignorait la mesure jusqu'à sa mort, et Torricelli a trouvé ses démonstrations « proprio Marte ».²⁶ Sur le centre de gravité : il en a envoyé la démonstration en France, à la demande de Mersenne, « deux ans entiers avant que tu ne dises l'avoir » ; dans cette démonstration il tirait le solide du centre de gravité et de l'aire ; Roberval dit avoir une méthode pour tirer le centre de l'aire et du solide ; « Propositiones conuersæ sunt. Inuersio autem huiusmodi facillima est. »²⁷ Argument : Roberval, qui se glorifiait de la quadrature, des tangentes et des solides, ne parlait jamais du centre de gravité. Il cite la phrase de Mersenne sur le « soupçon » et en tire que Roberval doutait de ce qu'il prétend avoir su. Il a « une autre méthode » qui donne d'un seul énoncé les centres de gravité des lignes, des surfaces de révolution, des figures planes et des corps qui ont un axe, et prie qu'on ne la compte pas « inter vestra ». Sur la méthode des tangentes par le mouvement : il l'a trouvée « il y a plusieurs années, sans lumière ni secours de personne ».

Deux remarques de la lettre touchent le théorème de Pappus–Guldin. Roberval avait proposé comme nouveau que « la quadratrice passe par le centre de gravité de la demi-circonférence » ; Torricelli répond que cela a été démontré et publié « multo uniuersalius », qu'il l'avait montré lui-même, et qu'il a appris de Cavalieri « qu'un certain Guldin, jésuite, l'avait publié » : il a ainsi « perdu » une contemplation dont il n'a « aucune plus élégante ».²⁸ Et il admire le théorème de Roberval « de spatiis in infinitam longitudinem abeuntibus », auquel sa démonstration des paraboles infinies s'appliquait aussitôt (section suivante).

Un post-scriptum, d'une encre plus pâle, dit la lettre retenue jusqu'au début d'août.

Juillet 1646, Torricelli à Carcavy (vues 53–55)

Torricelli n'a pas travaillé les problèmes numériques de Fermat, et les juge peu plausibles : « Omnes potestates quarum exponens &c. Si vnitate augeantur numeros primos fieri », et un triangle rectangle en nombres dont deux côtés fassent un carré, « ou une autre condition semblable dont je ne me souviens pas ».²⁹ Le problème des paraboles infinies, il l'a cru de Roberval, puis de Fermat ; Cavalieri le revendique, l'ayant publié en 1639 et confié à Niceron, sans en avoir la solution. Torricelli a cinq méthodes pour les tangentes et autant pour les quadratures. Il énonce une règle pour les centres de gravité : le centre divise l'axe de toute figure qui en a un de sorte que la partie vers le sommet soit à l'autre « quemadmodum sunt omnes &c. ad omnes &c. ».³⁰ Du livre paru sous le nom d'Aristarque, il pense qu'il a été écrit de notre temps, et refuse d'en donner les raisons. Enfin : que Mersenne n'a pas fait circuler, comme il l'en avait prié, la démonstration du centre de gravité de la cycloïde et de la méthode, « quod si ille fecisset certe nunc mihi mea non eriperentur, quae alij mihi debent, nam primus inueni, imo solus inueni ».³¹ La vue 54 a pâli sur quatre lignes ; huit mots environ n'y sont pas lus, dont un verbe en « -to » après le nom de Roberval et le verbe dont « vos géomètres » est le sujet.³²

Sans date, Roberval à Torricelli (vues 57–66, 67–69, 75–79)

La lettre porte en tête « Epistola Aegidii Personerii de Roberval ad Euangelistam Torricellium », sur deux lignes françaises barrées ; une consigne en français au pied de la vue 57 demande de mettre en italiques « ce qu'il y a icy de gros caracteres » — les citations de Torricelli sont en effet en plus gros caractères, et la copie paraît préparée pour l'impression.³³ Les dates qu'elle donne sont celles de Roberval :

• 1628 : Mersenne lui propose à Paris la roue et ses trochoïdes ; il la juge au-dessus de ses forces et n'y pense plus pendant six ans (il a alors vingt-sept ans).
• Entre-temps il se forge, en lisant Archimède, la « doctrine de l'infini », qu'il dit être ce que Cavalieri appelle indivisibles, et dont il s'est servi « cinq années entières avant » la publication de Cavalieri, tout en lui en laissant l'invention : « Ille prior vulgauit ».³⁴
• 1634 : Mersenne lui rappelle la trochoïde, qu'il résout alors « nullo negotio » ; « Habes annum quo Trochoidem inuenimus ».³⁵
• 1635 : début de la correspondance avec Fermat par Carcavy ; Fermat lui envoie sans démonstration deux propositions, sur les paraboles et sur les aires des spirales, « de tous les degrés ».
• Vers 1636 : la proposition universelle des tangentes par la composition des mouvements, « vulgauimus », avec les leçons recueillies par du Verdus.
• 1637 : sa méthode des centres de gravité ; 1643 : il en énonce des résultats (les demi-fuseaux paraboliques) dans une lettre à Mersenne ; fin 1644 : la méthode de Torricelli arrive à Paris.

Sur le centre de gravité, il répond que les centres ne l'intéressaient pas : ayant l'aire, il ne cherchait que les solides, et les centres suivaient « statim, et absque labore ». C'est la fable du sculpteur d'Ésope : l'aire est la statue de Jupiter, le solide celle de Neptune, le centre celle de Mercure, qu'on donne par-dessus le marché à qui achète les deux autres.³⁶ Sur les mots de Mersenne : il lui a dit qu'il devrait à Torricelli le solide autour de l'axe et le centre de la demi-trochoïde « si vera essent » — et ils ne l'étaient pas ; il avait déjà ce solide « in terminis vero admodùm proximis », entre des bornes hors desquelles tombait \(11:18\), d'où il a vu aussitôt que ce rapport était trop petit.³⁷ Il soupçonnait une approximation mécanique. Il cite enfin, comme exemple des erreurs des intermédiaires, deux phrases de Torricelli sur ses hyperboles, dont Mersenne avait conclu que Torricelli avait quarré l'hyperbole conique ; il n'en est rien, dit Roberval, les hyperboles « légitimes » et les « bâtardes » n'obéissent pas aux mêmes lois.³⁸

Puis les griefs de Roberval : Torricelli a publié la trochoïde dans un livre imprimé alors qu'il promettait de la lui laisser ; la comparaison des paraboles et des spirales en longueur est de Roberval, publiée sous son nom par Mersenne « il y a cinq ans », et Torricelli ne s'y est mis qu'en 1645 ; les quadratrices, envoyées « à peine il y a deux ans », sont ce que Torricelli appelle « lignes de Roberval ». Et une thèse : les quadratures des paraboles ne sont ni à Torricelli ni à Roberval, mais à Archimède pour la parabole conique et à Fermat pour les autres, parce que le « moyen » de Fermat diffère de celui d'Archimède.³⁹

Roberval à Mersenne, sur les propositions de Torricelli (vues 83–84)

À l'article 11 : « In Cycloide Toricellj agnosco nrãm Trochoidem, nec recte percipio quomodo ipsa ad Italos peruenerit »⁴⁰ , suivi d'une phrase biffée qui accusait Beaugrand d'avoir propagé les découvertes des autres sous d'autres mots. Roberval annonce la publication de la trochoïde avec ses tangentes et le solide autour de la base, « peut-être autour de l'axe », pour toutes les trochoïdes, allongées et raccourcies. Cette lettre n'est pas datée sur les feuillets ; Roberval dit, dans la lettre précédente, avoir écrit en 1643 à Mersenne une lettre « de vestris inuentis » qui énonçait les centres des demi-fuseaux paraboliques et traitait du solide hyperbolique infini (vues 60, 64, 78) : c'est ce que fait celle-ci. Que ce soit la même lettre est un rapprochement de cette lecture, non un fait établi.

Ce que cette lecture ne tranche pas

Les feuillets donnent, pour la cycloïde, des dates qui sont toutes des affirmations de parties : 1634 pour Roberval, écrit par Roberval ; « il y a peu de mois » en mai 1644 pour les solides de Torricelli, écrit par Torricelli ; la lettre de Mersenne du 28 juin 1644 n'existe ici que citée, dans la copie d'une pièce écrite au nom de Torricelli, avec un mot qui manque. Ce que les feuillets établissent par eux-mêmes est d'un autre ordre : la phrase « Quo ad solida nihil habeo » est bien sur la lettre du 1^er octobre 1643 (vue 21), comme Roberval le dit ; les solides de Torricelli sont annoncés dans celle du 1^er mai 1644 ; et, des énoncés que Torricelli y donne, \(7:5\), \(5:8\), \(3:4\) et \(7:8\) sont exacts, \(11:18\), \(16:11\), \(19:8\) et \(44:45\) ne le sont pas. Le reste appartient à l'examen des sources, qui n'est pas celui de cette lecture.

Tangentes et quadratures de toutes les paraboles

30–48La lettre du 7 juillet 1646 (vues 30–34 ; seconde copie, vues 45–48) joint, « orsus a Tangentibus », la démonstration dont Torricelli s'était servi « dans la mesure des paraboles infinies ». Dans les termes de la lettre, une parabole a un « exposant des appliquées » \(m\) et un « exposant des diamétrales » \(n\) ; on écrira \[ y^m = p^{\,m-n}\,x^n , \] où \(y\) est l'ordonnée (« applicata »), \(x\) l'abscisse comptée du sommet sur le diamètre (« diametralis ») et \(p\) le paramètre (« latus rectum »).⁴¹

Lemme I : la sous-tangente

Énoncé. Si \(AD\) est l'ordonnée du point \(A\) et si l'on prend sur le diamètre \(E\) tel que \(ED : DC = m : n\), \(C\) étant le sommet, la droite \(AE\) ne rencontre la parabole qu'en \(A\). Autrement dit, la sous-tangente vaut \(\frac{m}{n}\,x\) : c'est bien ce que donne la dérivation de \(m\ln y = n\ln x + \text{cte}\), qui fournit \(y/y' = \frac{m}{n}x\).

Démonstration de la lettre. Si \(AE\) rencontre encore la courbe en \(B\), d'ordonnée \(BI\), on place \(O\) par \(EI : IO = ED : DC\) et l'on mène \(OP\) parallèle au côté droit \(CL\), jusqu'à \(EL\). Par les triangles semblables, on montre d'abord que \(BI^5 = IO^3\cdot OP^2\) ; comme \(B\) est sur la parabole, \(BI^5 = IC^3\cdot CL^2\) ; il faudrait donc \(IO^3\cdot OP^2 = IC^3\cdot CL^2\). Or \(IO : OE = n : (m-n) = 3:2\), et c'est le partage de \(EI\) qui rend maximal le produit \(IO^3\cdot OE^2\) ; comme \(OP : CL = OE : CE\), on en tire \(IO^3\cdot OP^2 > IC^3\cdot CL^2\), contradiction.⁴²

La preuve est juste. Elle montre que \(AE\) ne recoupe pas la courbe, ce qui est la définition ancienne de la tangente ; elle suffit ici parce que l'arc est convexe, hypothèse que la lettre ne formule pas.⁴³ « Hæc una est ex quinque Methodis quas habemus pro tangentibus. »

Lemme II, et la « ligne de Roberval »

Lemme II. Deux parallélogrammes sont dans le même rapport à leurs paraboles inscrites, pourvu que celles-ci soient « de même espèce » (mêmes exposants). Vrai : une dilatation dans chacune des deux directions conserve les rapports d'aires. La lettre omet la démonstration, « très facile surtout par la doctrine des indivisibles ».⁴⁴

La ligne de Roberval. En chaque point \(F\) de la courbe, la tangente coupe le diamètre en \(H\) ; le point \(D\) qui a l'ordonnée de \(F\) et l'abscisse de \(H\) décrit une nouvelle courbe (vue 33). Pour la parabole, \(H\) est à l'abscisse \(x-\frac{m}{n}x = -\frac{m-n}{n}x\), au-delà du sommet, et la nouvelle courbe est \(\bigl(-\frac{m-n}{n}x,\ y\bigr)\) : une parabole de même espèce, comme le dit la lettre, qui s'en attribue la remarque (« quod ego nouum esse scio »).

Première quadrature

La parabole \(ABC\) a pour diamètre \(BC\) et pour base \(AC\) ; \(FC\) est le parallélogramme circonscrit ; la tangente en \(A\) coupe le diamètre prolongé en \(D\) ; au-dessus, dans le parallélogramme \(FBDE\), est la ligne de Roberval \(EB\). La lettre utilise un théorème démontré sur le feuillet séparé (section suivante) : le trilinéaire \(EBA\), compris entre les deux courbes, est égal à la parabole \(ABC\). Alors, par le lemme I, \(DC : CB = m:n\), donc aussi \(EC : FC = m:n\) ; par le lemme II, les deux paraboles ensemble sont à \(ABC\) dans le même rapport ; par Euclide V, 19, les restes \(EBA\) et \(FBA\) sont encore dans ce rapport, d'où \(ABC : FBA = m:n\), et, « convertendo, componendoque », \[ \frac{\text{parallélogramme}}{\text{parabole}} = \frac{m+n}{m}. \] C'est exact : l'aire comprise entre la courbe, le diamètre et la base, sur une hauteur \(h\) et une demi-base \(a\), est \(\int_0^h a\,(x/h)^{n/m}\,dx = \frac{m}{m+n}\,ah\).⁴⁵

Seconde quadrature, « par les indivisibles à notre manière »

La seconde démonstration se passe de connaître l'espèce de la ligne de Roberval. Pour chaque point \(F\), le segment vertical \(DF\) compris entre la ligne de Roberval et la parabole est au segment \(FO\) compris entre la parabole et la tangente au sommet \(AL\) comme \(HI : IA\), soit \(m:n\) par le lemme I ; en effet \(FO = x\) et \(DF = x+\frac{m-n}{n}x = \frac{m}{n}x\). Cela valant pour toutes les verticales, « omnes antecedentes simul », c'est-à-dire le trilinéaire \(EDAFC\), sont à « omnes consequentes », le trilinéaire \(LAC\), comme \(m:n\) ; et \(EDAFC\) est égal à la parabole \(ABC\) par le théorème du feuillet séparé. D'où la même quadrature. La preuve est correcte ; son passage « de toutes les lignes » aux aires est encore le principe de Cavalieri.⁴⁶

La lettre dit encore avoir quatre autres méthodes pour les tangentes et trois autres pour les quadratures, dont une « très générale », commune aux paraboles et aux hyperboles, qu'il n'a pas l'intention de faire circuler.

Le feuillet séparé : la figure de Roberval égale à sa génératrice

36–39Une note d'une autre main, en tête de la vue 36, dit : « Hæc est demonstratio, quam Torricellius in pag. 9.^a et pag. 10 epistolæ ad Roberuallium datæ 7.^o die Julii, 1646. dicit à se missam fuisse in folio separato. »⁴⁷ Aucune figure n'est tracée sur ces pages.

Ce qui est démontré

La « figure telle que Roberval l'a définie » est la région comprise entre une courbe génératrice et la courbe construite à partir de ses tangentes comme on vient de le voir. Le lemme I compare un parallélogramme inscrit dans cette figure à un parallélogramme de la figure génératrice : « ducta tangente per A … æquale erit AB ipsi AI ». Le lemme II fait de même pour les parallélogrammes circonscrits. Le théorème montre, par une double réduction à l'absurde — on coupe en deux, et encore en deux, jusqu'à ce que l'écart soit moindre que tout excès donné — qu'une portion finie de la figure de Roberval est égale à la portion correspondante de la génératrice. Puis : « Abeat iam in infinitum … Dico æquales esse figuras », la même égalité quand la figure s'étend à l'infini.⁴⁸

En termes modernes : si la génératrice est donnée par l'abscisse \(x=g(y)\) en fonction de l'ordonnée, avec \(g(0)=0\), la tangente au point d'ordonnée \(y\) coupe le diamètre à l'abscisse \(g(y)-y\,g'(y)\), et la largeur de la figure de Roberval à cette ordonnée est \(y\,g'(y)\). L'énoncé est \[ \int_0^a y\,g'(y)\,dy = a\,g(a)-\int_0^a g(y)\,dy , \] le second membre étant l'aire de la figure génératrice comprise entre la courbe, le diamètre et l'ordonnée \(a\). C'est une intégration par parties. Les deux lemmes en sont la version élémentaire : la tranche de la figure de Roberval, de largeur \(y\,g'(y)\) et d'épaisseur \(dy\), et la tranche de la génératrice, de largeur \(y\) et d'épaisseur \(g'(y)\,dy\), sont égales par le triangle de la tangente. Quand \(g'\) devient infini à une extrémité — la tangente devient parallèle au diamètre — la figure de Roberval s'étend à l'infini, et l'égalité subsiste : c'est une intégrale impropre convergente.⁴⁹ C'est ce que Torricelli appelle, dans la lettre, le théorème de Roberval sur les espaces « in infinitam longitudinem abeuntibus » ; Roberval en donne sa propre version avec ses quadratrices (plus bas).

La spirale géométrique et les spirales d'Archimède généralisées

34–39La lettre du 7 juillet 1646 présente la spirale ainsi : Torricelli a mesuré des figures planes et solides « qui s'en vont à l'infini en ligne droite » ; « Alium modum habet Geometria in infinitum abeundi, et quidem mensurabilem » : une ligne courbe faite d'une infinité de spires, et pourtant égale à une droite. « Videbatur aliquid deesse … nulla de lineis adhuc facta esset mentio. »⁵⁰ Il en a envoyé des figures en France deux ans plus tôt, « sans aucune définition ».

Les deux définitions

Sur une droite \(AB\) coupée en \(C\), on élève \(CD\) perpendiculaire, moyenne proportionnelle entre \(CB\) et \(CA\) ; puis \(CE\), moyenne entre \(CD\) et \(CA\), sur la bissectrice de l'angle \(DCA\) ; puis \(CF\), moyenne entre \(CD\) et \(CE\), sur la bissectrice de \(DCE\) ; et ainsi de suite. Les points \(B, D, E, F, A, \ldots\) sont sur la « spirale géométrique ». Autrement dit, le rayon est la moyenne géométrique des rayons quand l'angle est la moyenne arithmétique des angles : \(r(\theta) = CB\,(CA/CB)^{\theta/\pi}\) aux angles dyadiques. Seconde définition : une droite tourne uniformément autour de \(A\) pendant qu'un point s'y déplace de façon que les chemins parcourus en temps égaux soient proportionnels aux distances au centre. Les deux définissent la courbe \(r = r_0e^{-k\theta}\), la spirale logarithmique.⁵¹

La longueur

« Si fuerit centrum A, vnusque ex radijs AB, ipsa veró BC tangens, et angulus BAC rectus, erit Tangens BC æqualis vniuersæ Speciali BDA. »⁵² C'est exact. Pour \(r=r_0e^{-k\theta}\), la longueur de \(B\) au centre, à travers une infinité de tours, est \[ \int_0^\infty\sqrt{r^2+r'^2}\,d\theta = r_0\,\frac{\sqrt{1+k^2}}{k}; \] la tangente en \(B\) fait avec le rayon un angle constant dont la tangente trigonométrique vaut \(1/k\), de sorte que \(AC = r_0/k\) et \(BC = r_0\sqrt{1+k^2}/k\). Et « dato arcu quocunque BI », la longueur de l'arc est la différence des deux segments de tangente correspondants. La lettre dit avoir démontré ces choses par exhaustion, « more veterum », plutôt que par les indivisibles, « minus receptam ». Elle ajoute que l'aire est « mensurable » et a un rapport connu à une figure finie, sans le donner : pour la spirale logarithmique, l'aire balayée de \(B\) au centre est \(\tfrac12\int_0^\infty r^2d\theta = \frac{r_0^2}{4k}\), la moitié du triangle \(ABC\).⁵³ Des spirales tracées sur des surfaces courbes sont annoncées, également égales à des droites ; la lettre n'en dit pas plus.

Les spirales d'Archimède étendues à toutes les puissances

Torricelli étend la spirale d'Archimède « in infinitas Species », en demandant que « non seulement les chemins parcourus par le point mobile, mais aussi leurs puissances » soient proportionnels aux angles : \(r^q \propto \theta^p\), soit \(r = a\theta^k\) avec \(k>0\) rationnel ; « il y a autant de spirales que de paraboles ». Il attribue à Michelangelo Ricci les rapports de leurs aires au cercle, sans les donner.⁵⁴ Il affirme que chaque spirale est égale en longueur à une ligne parabolique. C'est vrai : l'arc de \(r=a\theta^k\) de \(0\) à \(\theta\) a pour élément \(a\theta^{k-1}\sqrt{\theta^2+k^2}\,d\theta\), qui est aussi celui de la courbe \(X = at^k\), \(Y = \frac{a}{k+1}t^{k+1}\), c'est-à-dire de la parabole \(Y\propto X^{(k+1)/k}\). La lettre n'en donne pas la démonstration.

Roberval : sommes de puissances, et méthode des centres

60–66

Les spirales de Fermat

Fermat, dit Roberval (vues 60–61), a proposé non seulement des puissances mais aussi des racines dans les spirales : si les rayons à la fin des tours successifs sont comme les racines carrées des entiers, l'aire du premier tour est la moitié de son cercle. C'est exact : pour \(r^2 = a\theta\), l'aire du premier tour est \(\tfrac12\int_0^{2\pi}a\theta\,d\theta = \pi^2a\), et le cercle de rayon \(\sqrt{2\pi a}\) vaut \(2\pi^2a\).⁵⁵ Fermat lui aurait répondu, quand il demandait les démonstrations : « Ego vt inuenirem laboraui; labora et ipse ».⁵⁶

Les sommes de puissances

Pour y répondre, Roberval étend « nos infinis » aux nombres. Les paraboles, leurs solides et les aires des spirales se comparent à leurs parallélogrammes, cylindres et cercles dès qu'on connaît le rapport de la somme des puissances des entiers « pris dans l'ordre naturel et indéfiniment » à la plus grande « prise autant de fois » : \(\frac13\) pour les carrés, \(\frac14\) pour les cubes, \(\frac15\) pour les bicarrés, « et ainsi à l'infini ». Pour les racines : \(2:3\) pour les racines carrées des entiers, \(2:4\) pour celles des carrés, \(2:5\) pour celles des cubes, \(2:9\) pour celles des puissances septièmes ; \(3:4\), \(3:5\) pour les racines cubiques des entiers et des carrés ; en général, pour la racine \(p\)-ième des puissances \(q\)-ièmes, \(p:(p+q)\). Tout est exact, au sens d'une limite : \[ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n\cdot n^{q/p}}\sum_{j=1}^{n} j^{q/p} = \frac{p}{p+q} = \int_0^1 x^{q/p}\,dx . \] La démonstration, dit-il, se fait « per duplicem positionem more veterum », en partant de l'unité, et il en donne le ressort pour les carrés : \[ \sum_{j=1}^{n-1} j^2 < \frac{n^3}{3} < \sum_{j=1}^{n} j^2 , \] tiré de la « genèse » des carrés, \((a+1)^2 = a^2+2a+1\), et de celle des cubes, \((a+1)^3 = a^3+3a^2+3a+1\). Ces deux inégalités sont justes pour tout \(n\ge1\) (la somme vaut \(\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac n6\)).⁵⁷ Il ajoute une règle, qu'il ne donne pas, pour sommer les puissances de n'importe quel degré des nombres de \(1\) à \(100\,000\,000\), « ce que les auteurs ne donnent que pour les carrés et les cubes ».⁵⁸

La méthode des centres

Fermat a ensuite proposé de trouver les centres de gravité ; lui par l'analyse, Roberval par ses infinis. La méthode de Roberval, écrite à part avec ses figures, n'est pas dans le volume. Il en dit les limites : elle n'est universelle que pour un géomètre « absolu », procède rarement « a priori », demande presque toujours de comparer à la fois des plans et des solides, et ne donne les centres des solides qu'indirectement, par un plan convenable. De celle de Fermat, il dit qu'elle donne a priori les centres du triangle, de toutes les paraboles et de leurs solides. Les vues 64–66 sont la réponse sur la priorité, résumée plus haut.

Roberval : paraboles et hélices, spirale de Torricelli, loxodromies

67–69

Paraboles et hélices égales en longueur

Roberval revendique la comparaison des paraboles et des spirales en longueur, et en donne la règle : si la sous-tangente de la parabole au bout d'une ordonnée est égale à la circonférence du cercle du premier tour de la spirale, et l'ordonnée à son rayon, l'arc de parabole du sommet à cette ordonnée est égal au premier tour de la spirale ; et deux portions se correspondent quand le rayon de la spirale est égal à l'ordonnée de la parabole. Même chose pour les hélices coniques d'un cône droit, en prenant au lieu du rayon la génératrice du cône.⁵⁹

Pour la parabole ordinaire et la spirale d'Archimède, c'est exact : si \(r=a\theta\) et \(x = y^2/(2a)\), les deux éléments d'arc sont \(\sqrt{1+y^2/a^2}\,dy\), et au bout du premier tour, \(R=2\pi a\), la sous-tangente \(2x = R^2/a\) vaut \(2\pi R\). Pour les hélices coniques d'Archimède, le développement du cône donne la même chose. Mais la règle, telle qu'elle est écrite, ne vaut que pour ce cas. Si la parabole est \(x = Cy^q\), la spirale dont les arcs lui correspondent rayon pour ordonnée est \(\theta = \frac{q}{q-1}\,C\,r^{q-1}\), et au bout du premier tour la sous-tangente vaut \((q-1)\cdot 2\pi R\), non \(2\pi R\) : il faut le facteur \(q-1\), qui ne vaut \(1\) que pour la parabole conique.⁶⁰

La spirale de Torricelli, et les loxodromies

Roberval sait que la spirale « quæ describuntur, dum recta vniformiter quidem circa manens centrum circumuoluitur, at punctum interim secundùm illam rectam fertur proportionaliter » est égale à l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont un côté est le rayon — c'est l'énoncé de Torricelli. Mais « qui donnera ce triangle » quand on connaît deux points de la spirale, ou la spirale quand on connaît le triangle ? Sans cela, dit-il, la proposition « nullius pretij remanebit ».⁶¹ L'objection est juste en substance : passer d'un point à l'autre de \(r=r_0e^{-k\theta}\) demande de calculer \(e^{-k\Delta\theta}\), ou un logarithme, ce que la règle et le compas ne donnent pas en général.⁶²

Il ajoute que la proposition n'est pas nouvelle : c'est celle de la ligne par laquelle un poids descendrait vers le centre de la terre avec une inclinaison constante sur son horizon — une courbe qui coupe tous les rayons sous le même angle, ce qui est bien la définition de la spirale équiangle. Et que les loxodromies des globes, « finies des deux côtés », tournent une infinité de fois autour de chaque pôle : c'est exact, la loxodromie qui coupe les méridiens sous un angle \(\alpha\), \(0<\alpha<90^\circ\), a une longueur finie d'un pôle à l'autre et s'enroule indéfiniment autour de chacun. Il propose enfin d'imiter Apollonius, I, 21, pour les hyperboles infinies, comme Fermat a imité I, 20 pour les paraboles.⁶³

Roberval : les quadratrices et les espaces infinis

70–77« Ego enim figurarum quadraturæ intentus … in tales lineas incidi. »⁶⁴ La construction (vue 70, figure sur la bande de la vue 71) : un trilinéaire \(ABC\), \(B\) sommet, \(AB\) hauteur, \(AC\) base, \(BC\) une courbe quelconque qui s'éloigne de \(BA\) et se rapproche de \(CA\), concave vers la corde \(BC\) et tout entière hors du triangle \(ABC\). En chaque point \(D\), la tangente coupe l'axe en \(F\) ; par \(A\) on mène la parallèle à \(DF\), qui coupe la verticale de \(D\), prolongée sous la base, en \(M\). Les points \(M\) décrivent la « quadratrice primaire » \(AML\ldots N\) ; si la tangente en \(C\) est parallèle à l'axe, \(N\) est à l'infini et la verticale de \(C\) est asymptote.

Ce qui est démontré

Avec \(A\) à l'origine, la courbe \(v=f(u)\), \(f(c)=0\) : la tangente en \(D=(u,f(u))\) a la pente \(f'(u)\), et \(M = (u,\ u f'(u))\), sous la base à la profondeur \(-uf'(u)\). Roberval énonce :

• le quadrilinéaire \(ABCN\) est double du trilinéaire \(ABC\), et donc le trilinéaire \(ACN\), sous la base, lui est égal, que \(N\) soit à distance finie ou à l'infini : \[ \int_0^c -u f'(u)\,du = \int_0^c f(u)\,du ; \]
• chaque trilinéaire \(BDX\) (compris entre l'arc \(BD\), l'horizontale \(DX\) et l'axe) est égal au trilinéaire \(AIM\) correspondant sous la base, et le trilinéaire \(BDF\) au bilinéaire compris entre la corde \(AM\) et l'arc \(AM\) ;
• par révolution autour de l'axe, le solide de \(ABCN\) est triple de celui de \(ABC\), et le solide de \(ACN\) double : \[ 2\pi\!\int_0^c u\,(f-uf')\,du = 3\cdot 2\pi\!\int_0^c u f\,du,\qquad 2\pi\!\int_0^c u\,(-uf')\,du = 2\cdot 2\pi\!\int_0^c uf\,du . \]

Tout est exact ; c'est encore l'intégration par parties, \(\int u f' = [uf]-\int f\) et \(\int u^2f' = [u^2f]-2\int uf\). La démonstration de la lettre est plus parlante : on découpe \(ABC\) en triangles infiniment minces de sommet \(A\) et \(ABCN\) en quadrilatères entre les verticales ; chaque triangle et le parallélogramme correspondant ont « la même base » (l'élément de courbe) et sont « entre les mêmes parallèles » (la tangente \(DF\) et sa parallèle \(AM\)) ; le parallélogramme est donc double du triangle, « ex legibus infiniti » — ce que Roberval souligne : « absque tangentibus enim falsum esset ».⁶⁵ Il en tire « d'innombrables espèces de solides infiniment-finis », qui, à la différence des solides hyperboliques de Torricelli, « ne relâchent jamais rien de leur largeur extérieure ».⁶⁶

La quadratrice secondaire, et les autres

En portant au-dessus de la base, sur la verticale de \(D\), une longueur égale à \(DM\), on obtient la « quadratrice secondaire » \(BTS\) : son point est à la hauteur où la tangente coupe l'axe. C'est exactement la « ligne de Roberval » de Torricelli, et Roberval le dit : « hæc autem illa erit quam ad vos misimus ».⁶⁷ Le point \(A\) peut être remplacé par tout autre point du plan, ce qui engendre d'autres quadratrices ; une addition marginale d'une plume plus rapide précise qu'il faut mener par ce point les parallèles aux tangentes.

La quadrature de toutes les paraboles

Si \(BC\) est une parabole quelconque, de sommet \(B\), d'axe \(AB\) et de base \(AC\), la profondeur de la quadratrice, \(-uf'(u)\), est la sous-tangente, qui est dans un rapport constant avec l'abscisse comptée du sommet : la quadratrice \(AMN\) est une parabole de même espèce, d'axe \(AO = AK\), \(K\) étant le point où la tangente en \(C\) coupe l'axe. Par les égalités précédentes et deux proportions (« ex æquo in ratione perturbata »), Roberval conclut que le rectangle \(AY\) circonscrit est à la parabole \(ABC\) comme \(AK+AB\) à \(AK\), et que le cylindre est au solide de révolution comme \(AK+2AB\) à \(AK\). Avec \(x\propto y^q\) depuis le sommet, \(AK = q\, AB\), et ces rapports sont \((q+1):q\) et \((q+2):q\) : c'est la quadrature de Torricelli, \((m+n):m\) avec \(q = m/n\), et le volume exact du paraboloïde généralisé de hauteur \(h\) et de rayon de base \(c\), \(\pi c^2h\,\frac{q}{q+2}\).

« Florem mittebamus, non arborem »

Roberval en tire son grief (vues 75–77) : il avait indiqué à Torricelli la quadrature de la seule parabole conique, « comme une fleur cueillie dans ce jardin », et Torricelli en a tiré les autres, qui suivent de la même méthode, puis a écrit qu'il ne souffrirait pas qu'on les lui arrache. Les trois phrases de Torricelli qu'il cite sont celles des vues 34 et 32, et celle de la lettre à Carcavy (vue 54). Il demande ce qui, dans ces quadratures, est à Torricelli, et répond : peut-être l'usage des compléments égaux des parallélogrammes et de l'exhaustion, « ob tantillum ».

Roberval : Archimède, le 11 à 18, et le catalogue de ses travaux

79–82

Archimède défendu

Roberval nie qu'Archimède ait jamais supposé que les projectiles décrivent ses spirales, comme l'écrit Torricelli pour excuser son livre du mouvement. Puis il reprend le « 11 ad 18 » : Archimède, dans la Mesure du cercle, donne \(11:14\) pour le cercle au carré du diamètre, mais dit aussitôt, à la proposition 3, que ce rapport n'est qu'approché ; et \(11:18\) n'est pas tiré des bornes d'Archimède, « cùm eadem extra ipsos terminos longè euagetur ».⁶⁸ C'est exact. Avec \(3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac17\), le rapport vrai \(\frac34-\frac{4}{3\pi^2}\) est compris entre \(0{,}61484\) et \(0{,}61501\) ; \(11/18 = 0{,}6111\) en sort, et aucune valeur de \(\pi\) entre ces bornes ne le donne.

Le cône de plus grande surface inscrit dans la sphère

Dans la liste de ce qu'il possède « ex nobis, tùm ex nostris », Roberval annonce : la sphère ayant pour diamètre \(32\), l'axe du cône inscrit dont la surface, base comprise, est maximale est « l'apotome » \(23-\sqrt{17}\). C'est exact. Si le cône a son sommet sur la sphère et pour axe \(h\), le rayon de sa base vérifie \(\rho^2 = h(32-h)\) et son apothème vaut \(\sqrt{32h}\) ; sa surface totale est \[ S(h) = \pi\bigl(h(32-h) + h\sqrt{32(32-h)}\bigr). \] \(S'(h)=0\) s'écrit \((16-h)\sqrt{32(32-h)} = 8(3h-64)\) ; en élevant au carré, \(h(h^2-46h+512) = 0\), d'où \(h = 23\pm\sqrt{17}\) ; seule la racine \(23-\sqrt{17} \approx 18{,}877\) satisfait l'équation avant élévation au carré, et comme \(S\) est nulle en \(0\) et en \(32\), c'est le maximum.⁶⁹

Le reste du catalogue

Des cylindres et des cônes isopérimètres, avec ou sans base, inscrits et circonscrits à la sphère ; les portions de surface sphérique découpées par des cercles, comparées entre elles et avec leurs centres de gravité ; une portion de cylindre droit égale en surface à une portion donnée de cylindre oblique ; et « une portion de surface cylindrique égale à un carré donné, sans supposer la quadrature du cercle ».⁷⁰ En analyse, « de æquationum recognitione, et emendatione » ; les lieux plans, solides et à la surface, et « les lieux solides à trois et quatre lignes restitués ». La liste continue par l'arithmétique, la musique, l'optique, l'astronomie, la gnomonique et la géographie (vue 81), et une question : où la lune se lève-t-elle deux fois en moins de vingt-quatre heures ?⁷¹

La mécanique « en huit étages »

La mécanique de Roberval est « en huit livres » : centre des puissances en général, balance, centre des puissances en particulier, cordes, machines, puissances dans divers milieux, mouvements composés, centre de percussion. Il en tire quelques énoncés (vues 81–82) :

• Il reproche à Torricelli d'avoir démontré la première proposition de son livre du mouvement des graves avec un « postulat nouveau », des poids liés par une corde souple au lieu d'une balance rigide ; lui la démontre par la balance, et l'a publiée en 1636, en français, comme prodrome. Il traite aussi le cas où la force qui retient le poids sur le plan incliné n'est pas parallèle au plan.⁷²
• Un pressoir à deux plans parallèles parfaitement rigides, non horizontaux, ne retient aucun poids, quelque force qu'on y mette : juste si les plans sont sans frottement, les réactions étant normales aux plans et le poids ayant une composante parallèle à eux.⁷³
• Trois forces tirant sur un nœud par trois cordes et en équilibre : il existe un triangle dont le nœud est le centre de gravité et dont les sommets sont sur les cordes, et les forces sont comme les distances du centre aux sommets ; tous ces triangles sont semblables. Juste : l'équilibre est \(\vec F_1+\vec F_2+\vec F_3 = \vec 0\), et les points \(N+\lambda\vec F_i\) ont pour isobarycentre le nœud \(N\). Pour quatre forces non coplanaires, le même énoncé vaut pour un tétraèdre.⁷⁴
• Une corde parfaitement souple qui n'est pas verticale ne peut pas être tendue droite dès qu'elle porte un poids, même le sien ; et des cordes nouées ensemble dans un plan non vertical ne peuvent y rester si l'on y suspend un poids. Juste : la force verticale doit être équilibrée par des tensions qui ne sont pas dans le plan.
• Le centre de percussion d'un secteur circulaire, au plus un demi-cercle, tournant autour du centre du cercle : sur la bissectrice, à une distance \(\delta\) du centre telle que la corde soit à l'arc comme \(\tfrac34\) du rayon à \(\delta\). Juste : \(\delta = \frac{I_O}{m\,\bar r}\), avec \(I_O = \tfrac12 mr^2\) et \(\bar r = \frac{2r\sin\alpha}{3\alpha}\) pour le demi-angle \(\alpha\), d'où \(\delta = \tfrac34 r\,\frac{\alpha}{\sin\alpha} = \tfrac34 r\,\frac{\text{arc}}{\text{corde}}\), qui dépasse \(r\) pour les grands secteurs, « extra sectorem », comme le dit la lettre.⁷⁵

La lettre finit sur les « lois » d'une amitié par lettres — « Nihil tentandi gratiâ scribam » — et s'arrête au milieu d'une phrase, à la vue 82 ; la fin n'est pas dans le volume.

Roberval à Mersenne sur les propositions de Torricelli

83–88Roberval passe les huit premières propositions, sur la sphère et ses solides inscrits et circonscrits, qu'il juge à la portée de tout géomètre moyen, et examine les propositions 9 à 14. La lettre s'arrête au milieu d'une phrase à la vue 88.

La vis (proposition 9)

La mesure de la « cochlea » est vraie, « certissimâ demonstratione », et suffit à mettre son auteur parmi les grands ; il importe peu que les spires soient plus ou moins serrées, pourvu que ce soit toujours le même triangle qui les décrive.⁷⁶

Les demi-fuseaux paraboliques (article 10)

Roberval offre le centre de gravité de la parabole a priori, sans supposer sa quadrature, et bien plus : pour la parabole conique (« quadratiua »), la cubique, la bicarrée, et leurs solides, autour de l'axe, de la tangente au sommet, ou d'une ordonnée. Il en donne un exemple : dans le demi-fuseau parabolique, le centre de gravité divise l'axe dans le rapport \(11:5\) pour la parabole « quadratiua », \(13:7\) pour la cubique, \(15:9\) pour la bicarrée, \(17:11\) pour la « quadrato-cubique », « et ainsi à l'infini en ajoutant toujours 2 à chaque terme ».

Le fuseau est le solide engendré par la parabole tournant autour de sa base (une ordonnée) ; le demi-fuseau en est la moitié coupée par le plan perpendiculaire passant par l'axe de la parabole, et son axe va de la pointe au centre de la face circulaire.⁷⁷ Si la parabole, de hauteur \(h\) et de demi-base \(a\), est \(x\propto y^n\) depuis le sommet (la « quadratiua » est \(n=2\)), le rayon du fuseau à la distance \(s\) de la face est \(h\bigl(1-(s/a)^n\bigr)\), et le centre de gravité est à la distance \[ \bar s = a\,\frac{\int_0^1 t(1-t^n)^2\,dt}{\int_0^1 (1-t^n)^2\,dt} = a\,\frac{2n+1}{4(n+2)} \] de la face. Le rapport de la partie vers la pointe à la partie vers la face est \((2n+7):(2n+1)\) : \(11:5\), \(13:7\), \(15:9\), \(17:11\) pour \(n=2,3,4,5\), et chaque terme augmente de 2 quand \(n\) augmente de 1. Les quatre énoncés et la règle sont exacts.

La cycloïde, les solides des coniques, le segment sphérique (articles 11 à 13)

Sur la cycloïde, voir la querelle. La proposition sur le solide engendré par une section conique autour de son axe, comparé d'un seul énoncé au cône inscrit, et celle sur son centre de gravité, sont « très élégantes et très vraies », et Roberval dit les avoir démontrées ; il soupçonne Torricelli de les avoir tirées des démonstrations d'autres auteurs, ce qui serait encore méritoire. La lettre ne donne pas l'énoncé ; cette lecture ne le restitue pas. Sur le segment sphérique entre deux plans parallèles, rien.

Le solide hyperbolique aigu (article 14)

« Omnium elegantissima est decimaquarta » ; Roberval en donne sa démonstration « pour savoir s'il est tombé sur le même moyen ». La figure est seule sur le feuillet de la vue 85. \(B\) est le centre d'une hyperbole équilatère d'asymptotes \(BA\), \(BC\) ; le solide tourne autour de l'asymptote \(BA\). Si \(y\) est la distance à \(B\) le long de \(BA\), le rayon du solide est \(\rho = k/y\).

Premier énoncé. Le solide compris entre les plans menés en \(H\) et en \(A\) (\(BH = b < BA = c\)) est moyen proportionnel entre les deux cylindres de même hauteur \(AH\) qui ont pour bases ses deux faces. Exact : \[ V = \int_b^c \pi\frac{k^2}{y^2}\,dy = \pi k^2\,\frac{c-b}{bc} = \sqrt{\pi\frac{k^2}{c^2}(c-b)\cdot\pi\frac{k^2}{b^2}(c-b)} . \] La démonstration insère entre \(BH\) et \(BA\) des moyennes proportionnelles successives (\(BT\), puis \(BN\), \(B4\), \(BK\), \(BQ\), …), de sorte que les tranches soient en progression géométrique ; les cylindres inscrits et circonscrits diffèrent de moins que le dernier cylindre, aussi petit qu'on veut ; le cylindre moyen, de base \(SV\) (au point \(T\) où \(BT^2 = BA\cdot BH\)), coupé aux mêmes hauteurs, a ses tranches comprises, dans l'ordre inverse, entre les cylindres inscrits et circonscrits. La démonstration est correcte.⁷⁸ Un corollaire : les tranches découpées par des plans en progression géométrique sont elles-mêmes en progression géométrique, de raison inverse. En effet la tranche entre \(y_i\) et \(y_{i+1} = \lambda y_i\) vaut \(\pi k^2\frac{\lambda-1}{\lambda y_i}\). C'est la construction que la lettre de Torricelli de 1643 disait commune à sa démonstration et à celle de Roberval.

Second énoncé. Le solide « infiniment prolongé » vers \(A\) au-delà du plan mené au point \(4\), à la distance \(B4 = b\) de \(B\), est égal au cylindre qui a pour base la face circulaire et pour hauteur \(B4\) : \[ \int_b^{\infty}\pi\frac{k^2}{y^2}\,dy = \frac{\pi k^2}{b} = \pi\Bigl(\frac kb\Bigr)^2\cdot b . \] C'est exact. La démonstration commence par l'absurde (si le cylindre surpassait le solide de la grandeur « 25 »…) et s'arrête au bas de la vue 88.⁷⁹

La « Methodus Torricelli »

89–91Le titre se lit « Methodus Torricelli de dimensione infinitarum parabolarum » ; la suite (« anno 1646 a Roberuallio » ?) est douteuse. La main est la plus rapide et la plus abrégée du volume : environ trois cent dix mots ne sont pas lus, et seuls les lettres des figures, les nombres et les termes techniques sont sûrs. Ce que l'on peut dire avec certitude :

• La vue 89 recopie, dans le même ordre et avec les mêmes lettres, le lemme I de la lettre du 7 juillet 1646 (exposants 5 et 3, cubo-carré, \(IO:OE = 3:2\), « maximus »), le lemme II (« Lemma 11 »), la « linea Robervaliana » et les deux quadratures (« 19, 5ⁱ », « trilineum EDAFC », « trilineum LAC »). On y lit encore « 4 alias » et « Torricelli » près de « tangentibus », et « parabolarum et hyperbolarum » : la phrase sur les autres méthodes.
• La vue 90 recopie le feuillet séparé : lemme I, lemme 2, « Theorema », l'extension à l'infini, puis la spirale, avec la construction par moyennes proportionnelles et bissectrices, la seconde définition, les révolutions infinies, la tangente égale à la spirale entière, l'arc \(BI\). La figure de la vue 91, un escalier de rectangles sous une courbe, porte les lettres du « Theorema ».
• Les huit dernières lignes, les plus rapides, laissent lire « Archimedis », « hyperbolas et ellipses », peut-être « Mersenno », « de rectis abscissis à tangentibus » et « lineam spiralem utriusque lineæ parabolicæ æqualem esse demonstrauimus » : la fin du feuillet séparé.

Deux écarts avec les autres copies. La spirale y est dite « spiralis … seu Torricelliana » là où le feuillet séparé écrit « Spiralem Geometricam ». Et l'angle droit est placé en \(B\) (« angulus ABC rectus ») au lieu de \(A\) ; c'est impossible, la tangente à la spirale n'étant jamais perpendiculaire au rayon, et la vue 38 porte « angulus BAC », que le calcul confirme. L'ordre de lecture des vues 89 et 90 n'est pas établi : la vue 89 invoque un « 2^m lemma » que la vue 90 énonce. Le reste de la pièce n'est pas lu, et cette lecture ne le reconstitue pas à partir des autres copies.

Le vide : les tubes de Torricelli

93–96Deux « extraits » portent des titres français et un texte italien, avec, en marge, « Al S.^r Ricci ». Le premier décrit l'expérience : des vases de verre, dont un à boule, et un tube droit, longs de deux bras, remplis de vif-argent, bouchés du doigt et retournés sur une cuvette ; le vif-argent descend et reste dans le col à la hauteur « d'un bras et un quart et un doigt de plus » ; si l'on verse de l'eau sur le mercure de la cuvette et qu'on soulève le vase jusqu'à ce que sa bouche atteigne l'eau, le mercure tombe et l'eau remplit tout le vase « con impeto horribile ».

Puis l'interprétation : on a cru jusqu'ici que la force qui retient le mercure était intérieure au vase, qu'elle vînt du vide ou d'une matière très raréfiée ; « io pretendo che ella si esterna, & che la forza venga di fuori ». « Su la superficie del liquore che è nella catinella grauita l'altezza di 500 miglia d'aria. »⁸⁰ L'eau, dans un vase semblable mais beaucoup plus long, montera à presque 18 bras : plus haut que le mercure dans la mesure même où le mercure est plus lourd que l'eau. Et la preuve : dans le vase à boule et dans le tube droit, le mercure s'arrête au même niveau \(AB\), alors qu'il y a bien plus d'espace vide dans la boule ; si la force était dedans, elle serait plus grande là où il y a plus de matière raréfiée.

C'est l'équilibre hydrostatique d'une colonne de liquide avec la pression atmosphérique, \(p_{\text{atm}} = \rho g h\) : la hauteur ne dépend ni de la forme du vase ni du volume vide, et les hauteurs de deux liquides sont inversement comme leurs densités.⁸¹

Le second extrait répond à une objection : si l'on couvre la cuvette d'une lame soudée qui touche le mercure, le mercure du tube reste suspendu, mais parce que celui de la cuvette ne peut céder ; si la lame enferme de l'air au même degré de condensation que l'air extérieur, rien ne change ; plus raréfié, le mercure descend un peu ; infiniment raréfié, c'est-à-dire vide, il descend tout entier. L'exemple est un cylindre de laine comprimée par un poids de plomb : si l'on tranche la laine d'une lame, la partie inférieure, toujours comprimée, presse le fond comme avant, bien qu'elle ne porte plus le plomb. C'est la pression d'un gaz enfermé, qui ne dépend que de son état de compression et non de la colonne qui l'a comprimé.

La vue 96 est le couvert d'une lettre adressée à Mersenne « ez minimes de la Place Royale » ; rien ne dit qu'il ait couvert ces extraits.

La « De Vacuo Narratio » de 1647

97–103Le titre nomme Roberval (« Æ.ⁱ P.ⁱ de Roberual ») et le destinataire, « D. des Noyers » ; la pièce n'est pas signée et se termine sur « Parisijs 12 Calend. Octob. 1647 ».⁸² Celui qui écrit parle à la première personne.

Une question de priorité, encore

Le récit commence contre le capucin Valerianus Magnus, qui s'est présenté comme le premier auteur de l'expérience dans un livre paru en juillet 1647 : elle était connue en Italie depuis 1643 ; celui qui écrit a la lettre italienne de Torricelli à Ricci de la fin de 1643, avec les figures des vases et des tubes, envoyée à Mersenne au début de 1644 ; Mersenne l'a essayée sans tube convenable, est allé en Italie, a vu les vases chez Torricelli à Florence, est revenu à la fin de 1645 et a publié la chose ; faute de tubes à Paris, il a écrit à Rouen, où est une grande verrerie ; mais à Rouen l'expérience avait déjà été faite, « multoties », en janvier et février « de cette année », par « D. de Paschal », avec du mercure dans des tubes de 3 à 5 pieds, et avec de l'eau et du vin dans des tubes de cristal de 40 pieds attachés à un mât.⁸³

Ce que montrent les expériences

• Le mercure s'arrête toujours à \(2\frac{7}{24}\) pieds au-dessus du mercure de la cuvette, quelle que soit la partie du tube immergée, sa largeur et sa hauteur ; si l'on incline le tube jusqu'à ce que son sommet soit à cette hauteur ou plus bas, il se remplit entièrement.⁸⁴
• Contre ceux qui disent qu'une goutte d'air imperceptible est restée et s'est raréfiée : la même hauteur de mercure devrait produire des raréfactions très différentes ; un tube évasé en « lagena » de 18 livres de mercure se vide jusqu'à la même hauteur, et il faudrait qu'une goutte s'étende cent mille fois ; or une goutte d'air admise exprès ne se dilate jamais plus de huit fois, se comprime quand on incline le tube et se dilate quand on le redresse, et plus on admet d'air, plus la colonne est basse.⁸⁵
• L'expérience de celui qui écrit, à Paris : une goutte d'air dans le tube plein, le tube redressé, bouché du doigt et retourné ; le vide apparaît « comme en un instant » contre le doigt, bien avant que la goutte d'air ne monte lentement à travers le mercure. « Vnde omnes exclamarunt tale vacuum non esse aerem. »⁸⁶
• Contre les « esprits » du mercure : leur quantité devrait varier avec la quantité de mercure. « D. de Paschal » calcule d'abord que \(2\frac{7}{24}\) pieds de mercure équilibrent environ \(31\frac19\) pieds d'eau et \(31\frac23\) de vin, fait admettre à ses adversaires que le vin, plus riche en esprits, devrait laisser plus de vide, puis dresse le mât : l'eau s'arrête à \(31\frac19\) et le vin plus haut, à \(31\frac23\), comme le calcul l'annonçait et contre ce que la doctrine des esprits prédisait.⁸⁷
• Dans un tube de 15 pieds, puis de 4 ou 5, avec du mercure et de l'eau par-dessus : la hauteur d'eau compense le mercure manquant à raison de \(13\frac47\) pour un, « quandoquidem grauitas aquæ ad grauitatem hydrargyri sub æquali mole se habet, vt 1. ad \(13\frac47\) » ; et si l'on met de l'eau sur le mercure de la cuvette, les colonnes montent d'une hauteur égale à celle de cette eau divisée par \(13\frac47\). Tout cela est l'équilibre hydrostatique : ce qui compte est la somme des \(\rho h\).⁸⁸
• Les siphons de « D. de Paschal » : si le sommet d'un siphon plein de mercure est à moins de \(2\frac{7}{24}\) pieds au-dessus des deux cuvettes, il fonctionne ; plus haut, le mercure retombe dans chaque branche jusqu'à cette hauteur, et le sommet paraît vide. D'où : aucun siphon ne fera passer l'eau par-dessus une montagne de plus de 31 pieds, et aucune pompe qui ne fait qu'aspirer ne l'élèvera plus haut ; une pompe qui refoule le peut. Exact.⁸⁹

Celui qui écrit ne décide pas ce qu'est l'espace « comme vide » : on attend des tubes où introduire des animaux, pour voir s'ils y vivent et s'ils y volent — s'ils volent, il y a un corps sur lequel s'appuient leurs ailes. Il refuse la « matière très subtile » affirmée gratuitement. Du moins presque tous s'accordent que cet espace, s'il n'est pas le vide pur, est vide de tous les corps dont parle la philosophie péripatéticienne — terre, eau, air, feu et ciel — et que dans le liquide seul compte le poids.

Deux questions restent « agitées entre les érudits » : comment le liquide est retenu en équilibre à sa hauteur ; et pourquoi, si l'on laisse entrer par la bouche du tube une goutte d'un autre liquide, la colonne monte d'un coup au sommet, assez fort pour briser les tubes, oscille, et recommence à chaque goutte, jusqu'à ce que le liquide plus léger ait remplacé le plus lourd.⁹⁰ Il attendra, sur ce sujet, les lettres de son correspondant.

Ce qui reste incertain

2–103

• Les lectures qui portent sur un nombre. Le « 18 » de « 11 ad 18 » (vues 4, 16, 19) et le « 8 » de « 5 ad 8 » (vues 4, 16) ont une forme ouverte qu'on peut lire 0 ou 6 ; les deux lectures sont confirmées ici par le calcul (\(5:8\) exact, \(44:45\) qui se déduit de \(11:18\)). Le jour « 28 » de la lettre de Mersenne (vue 16) et le « 8 » de la lettre à Carcavy (vue 55) sont douteux ; le « 7 » de la vue 35 l'est aussi, mais la seconde copie (vue 50) et la note de la vue 36 écrivent 7 sans doute.
• Les lacunes. Quatre lignes pâlies à la vue 54 (environ huit mots), sept lignes à la vue 57 (le début de la lettre de Roberval) ; le mot manquant que signale le copiste de la vue 16 ; les termes omis de la règle « omnes &c. ad omnes &c. » (vue 54) ; la fin des lettres des vues 82 et 88, qui ne sont pas dans le volume ; le « Carollariolum » et les « Theoremata » des hyperboles, annoncés et absents.
• La « Methodus » (vues 89–90), lue aux lettres et aux termes techniques seulement.
• Les noms. « Personerii » (vue 83), l'initiale de Beaugrand (vue 84), « Caua[serio] » (vue 44), « ez » (vue 96), « exteri » (vue 101) sont des lectures incertaines de la transcription, reprises telles quelles.
• Les identifications proposées ici, et seulement proposées : la lettre des vues 83–88 comme celle que Roberval date de 1643 ; le solide de l'article 10 comme le fuseau engendré autour d'une ordonnée ; la spirale géométrique comme spirale logarithmique ; la courbe de Torricelli comme la quadratrice secondaire de Roberval.