Manuscrits de Pierre de Fermat, NAL 2339, vues 41–60

Recto. En haut à droite, deux nombres l'un sous l'autre : « 17 » au crayon gris, d'un trait fin, et au-dessous « 17 » au crayon rouge. Voir l'en-tête. Cachet rond « BIBLIOTHÈQUE NATIONALE R.F. » à gauche du titre. Une nouvelle pièce commence en haut de la page, sous un titre ; la main est une cursive posée, à grandes initiales en volutes, qui est celle d'un copiste ou d'un auteur au net : rien sur la page ne permet de le dire.

Nouus Secundarum et Vlterioris ordinis Radicum In Analyticis Vsus

Nouus Secundarum et Vlterioris ordinis Radicum In Analyticis Vsus A Domino de Fermat ad Dominum De Carcaui Die 20a. Aprilis Anno 1650 Missus. Titre en quatre lignes. L'initiale N est une grande volute ; la dernière lettre du premier mot a la forme d'un e plutôt que d'un s (« Nouue ») : « Nouus » est proposé d'après l'accord avec « Vsus » et « Missus ». « Carcaui » touche presque le bord du feuillet ; les dernières lettres se lisent. Le millésime « 1650 » est souligné. C'est la seule date lue dans le lot, et c'est la page, non le catalogue, qui nomme ici Fermat comme auteur et Carcavi comme destinataire.

Redductio Secundarum et Vlterioris radicum ad primas quæ maximi est In Algebricis momenti Vnicam pro funda-mento Agnosci duplicatæ æqualitatis Analogiam, Eamque quoties opus fuerit Iterandam progressus Ipse quæstionis ostendit. « Redductio » est écrit avec deux d. La coupure « funda-mento » est celle de la ligne. Les majuscules à l'intérieur des phrases (« In », « Vnicam », « Ipse ») sont celles de la page.

Proponatur A Cubus + E Cubo Æquari Z solido.

Item B In A + E q+ D in E Æquari N qdto. après « E q », un petit signe surélevé, qui se lit comme un « + » ou comme le t d'une abréviation (« qt ») ; la reprise plus bas, « BA + E^2 + DE », donne un « + » à cet endroit, et c'est la lecture proposée. « qdto » : quadrato.

Vt secunda radix deuoluatur ad primam, hæc Sunto præcepta

Quæcunque a secunda Radice adficientur homogenea In Vnam æquationis partem transeunto.

Vt In superiori Exemplo Cum A^3 + E^3 Æquetur Z^{so}

Ergo Z^{s} - A^3 Æquabitur E^3. les exposants sont écrits en chiffres au-dessus de la lettre ; « Z^{so} », « Z^{s} » : Z solido, l'abréviation de la dimension en exposant.

Similiter Cum BA + E^2 + DE Æquetur N^2

Ergo N^2 - BA Æquabitur E^2 + DE.

In Vtraque Igitur Æquatione homogenea abs E siue ab secunda Radice adfecta Vnam æquationis partem constituunt.

Si Igitur duplicata huiusmodi æqualitas ad analogiam Reuocetur Erit Vt.

Z^{s} - A^3 ad E^3, Ita N^2 - BA ad E^2 + DE.

Cum Itaque factum sub extremis Comparabitur facto sub mediis tanquam ei Ipsi Æquale, omnia homogenea Diuisionem admittent per E siue per secundam Radicem Vt patet quia secundus et quartus terminus ab E adficiuntur. les fins de ligne sont remplies de traits. Le texte s'arrête au premier tiers de la page ; le reste est blanc. La suite est au verso, vue 42.

Verso de la vue 41, sans chiffre en tête (le « 17 » du recto transparaît à l'envers en haut à gauche). Même main ; la pièce continue.

Erit nempe Z^sE^2 - A^3E^2 + Z^sDE - A^3DE Æle N^2E^2 - BAE^3. « Æle » : un Æ bouclé suivi de « le », abréviation d'« æquale », employée dans toute la pièce. Le « − » devant A^3DE est traversé d'un petit trait vertical, comme un « + » corrigé ou l'inverse ; le calcul demande « − ». « N^2E^2 » est écrit tel quel, l'exposant 2 net à côté du 3 de « BAE^3 » : le produit des moyens donne N^2E^3, et la ligne suivante, divisée par E, a bien N^2E^2. L'erreur est laissée.

Omnia diuidantur per E donec aliquod ex homogeneis adfectione sub E continuo Liberetur.

Erit Z^sE - A^3E + Z^sD - A^3D Æle N^2E^2 - BAE^2.

Quo peracto noua hæc æquatio Vno ad minus gradu depressior erit (quoad secundam Radicem) quam elatior ex duabus primum propositis

Patet nempe Elatiorem ex duabus primum propositis adfici sub Cubo E Istius Vero nullam ab E adfectionem Excedere E qdtum

Nec tamen sic quiescendum sed Iteranda duplicatæ æqualitis analogia donec adfectio secundæ Radicis fiat tantum sub Latere, Vt Asymmetria omnis Euanescat. « æqualitis » : ainsi écrit, pour « æqualitatis ».

Præparetur Itaque vltima hæc Æquatio Iuxta modum præscriptum Vt homogenea sub E quomodocunque affecta Vnam æquationis partem faciant.

Erit Itaque Z^sD - A^3D Æle N^2E^2 - BAE^2 - Z^sE + A^3E.

Sed ex duabus primum propositis quæ depressior est exhibet æquationem sequentem.

N^2 - BA Æle E^2 + DE.

Reuocetur rursum ad Analogiam duplicata Illa æqualitas

Erit Itaque Z^sD - A^3D. / ad N^2E^2 - BAE^2 - Z^sE + A^3E // vt N^2 - BA / ad E^2 + DE. les termes de la proportion sont séparés par des barres obliques, une simple entre les termes d'un rapport, une double entre les deux rapports ; elles sont gardées.

Cum Itaque factum sub extremis Æquabitur facto sub mediis Vt tanquam Ipsi Æquale, om omnia homogenea poterunt diuidi per E Vt supra demonstratum est.

Erit nempe.

Z^sDE^2 + Z^sD^2E - A^3DE^2 - A^3D^2E. la page s'arrête sur ce premier membre, aux deux tiers de sa hauteur ; l'égalité se poursuit en tête de la vue 43.

Recto. En haut à droite, « 18 » au crayon gris et au-dessous « 18 » au crayon rouge, comme à la vue 41. Même main ; la page poursuit l'égalité laissée au bas de la vue 42.

Æquale

N^4E^2 - N^2BAE^2 - N^2Z^sE + N^2A^3E - BAN^2E^2 + B^2A^2E^2 + BZ^sAE - BA^4E.

Et omnibus abs E diuisis fiet tandem.

Z^sDE + Z^sD^2 - A^3DE - A^3D^2 Æle N^4E - N^2BAE - N^2Z^s + N^2A^3 - BAN^2E + B^2A^2E + BZ^sA - BA^4 le second membre est coupé sur deux lignes, la seconde rejetée à droite ; un tiret suivi d'une virgule marque la coupure à gauche.

Quo peracto Noua hæc Æquatio Vnius adhuc gradus depressionem (quoad secundam Radicem) Lucrata est Vt hic patet Cum enim homogenea sub E adfecta In vnam Æquationis partem transierint fiet. « peracto » : le a est écrit au-dessus de la ligne. La fin de « transierint » est empâtée d'une tache d'encre.

Z^sD^2 - A^3D^2 + N^2Z^s - N^2A^3 - BZ^sA + BA^4 Æle N^4E - N^2BAE - BAN^2E + B^2A^2E - Z^sDE + A^3DE.

Neque vlterius progrediendum Cum Iam secunda radix sub Latere tantum appareat, Ideoque solo Applicationis beneficio Ipsius E relatio ad primam radicem manifestabitur.

Vt fit. \frac{Z^sD^2 - A^3D^2 + N^2Z^s - N^2A^3 - BZ^sA + BA^4}{N^4 - N^2BA - BAN^2 + B^2A^2 - Z^sD + A^3D} \text{ Æquabit}^{ur}\ E. « Vt fit. » est écrit petit, au-dessus du numérateur, contre la marge. La barre de fraction court sur toute la ligne et « Æquabitur E » est écrit à son extrémité droite.

quo tendendum Erat.

Vt Igitur duæ primum propositæ radices In vnam transeant resumatur Ex duabus prioribus Æquationibus quam Volueris depressior tamen Idonea magis ne Alterius asendat Æquatio. « ne Alterius asendat » : ainsi écrit ; le sens attend « ne vlterius ascendat ».

Cum Itaque In vna Ex Æquationibus primum propositis BA + E^2 + DE Æquetur N^2. Loco Ipsius E subrogetur Iam agnitus eius valor per Relationem Vel ad terminos cognitos vel ad priorem Radicem quæ In Exemplo proposito Est A Et Rursum sub hac noua specie ordinetur æquatio manifestum est euanuisse omnino secundam radicem E In æquatione ab omni Asymmetria Liberam Itum esse methodumque esse generalem. « Liberam Itum esse » : ainsi écrit. Une tache d'encre couvre le haut de « æquatione ».

Si enim plures duobus termini proponantur Incogniti methodus Iterata tertias si opus fuerit Radices ad primas et secundas; Deinde secundas ad primas &c. eodem prorsus artificio reducet. la ligne finit par un trait de plume. Le texte s'arrête au milieu de la page, le reste est blanc ; la vue 44 ouvre un « Appendix » à cette méthode.

Verso de la vue 43, sans chiffre en tête (le « 18 » du recto transparaît à l'envers en haut à gauche). Même main. La page ouvre, sous un titre à grandes volutes, un appendice à la méthode qui précède.

Appendix Ad superiorem Methodum

Superiori methodo debetur perfecta et absoluta asymmetriarum In algebricis Expurgatio; neque enim Symetria climatismus Vietæa quæ vnicum hactenus ad Asymmetrias huic Remedium, Efficax satis et sufficiens Inuenta. « Symetria climatismus Vietæa » : les deux premiers mots se lisent ainsi, lettre à lettre ; l'accord avec « Vietæa » et « Inuenta » attend un nom féminin, que la page ne donne pas clairement. Le dernier mot de la troisième ligne, une majuscule bouclée suivie de « uic », est lu « huic » avec doute.

Proponatur quippe Latus Cubicum (BA^2 - A^3) + Latus quadratum (A^2 + ZA) + Latus quadrato-quadratum (B^3A - A^4) + Latus quadratum (\uncertain{G}A - A^2) æquari Rectæ N. dans « BA^2 » l'exposant est repassé. La lettre qui ouvre la dernière parenthèse, bouclée, se lit G ou D.

Qua ratione ab asymmetriis huiusmodi Extricabit sese questionem suam Analysta Vietæus. An non potius dum crescet Labor, crescet difficultas? Et tandem fatigatus et delusus Nouum ab Analytice Lumen Exposcet? « Quaratione » est écrit en un mot. Le premier mot de la ligne après « Extricabit » se lit « sese » ou « secet ».

Hoc sane Luculenter Superior methodus subministrat, Vnicum Exemplum Idque breuissimum adiungimus Recluso enim semel fundamento Cætera apertissime manifestantur.

Proponatur Lat. Cub. (ZA^2) + L. Cub. (A^3 + B^2A) æquari D. la première parenthèse porte ici « ZA^2 » seul ; la même quantité est écrite « ZA^2 - A^3 » quatre lignes plus bas. Transcrit tel qu'écrit.

Ita primum ordinetur æquatio Vt Vnica Ex Asymmetriis Vnam Illius partem faciat Fiat nempe.

D - Lat. Cub. (A^3 + B^2A) Æle Lat. Cub. (ZA^2 - A^3). devant « Æle », une première abréviation semblable est noircie d'une tache ou d'une rature.

Hoc peracto omnes termini Asymmetri a secundis et Vlterioribus si opus fuerit radicibus denominentur Excepto Eo quem Vnicum In vnam Æquationis parte rejecimus. « In vnam » : le premier jambage de « vnam » est repassé. Le texte s'arrête au milieu de la page ; la suite est au recto suivant, vue 45.

Recto. En haut à droite, « 19 » au crayon gris et au-dessous « 19 » au crayon rouge, souligné. Même main ; l'appendice continue.

Fingatur verbigratia Lat. Cub. (A^3 + B^2A) esse E. Hac enim vna ad eam quam Iniungit superior methodus duplicatæ æqualitatis Analogiam deueniemus.

Erit nempe D - E Æ. Lat. Cub. (ZA^2 - A^3). « Æ. » : le signe d'égalité abrégé, sans le « le » d'« Æle ». Dans « ZA^2 », le A est repassé.

Et omnibus In Cubum ductis

D^3 + 3DE^2 - 3D^2E - E^3 Æ ZA^2 - A^3.

Sed et ex hypothesi E^3 Ætur A^3 + B^2A. « Ætur » : æquatur.

Ergo oritur duplicata æqualitas Vt In Vtraque (Iuxta methodum) termini abs secundâ radice adfecti in Vnam Æquationis partem sunt conijciendi. Erit nempe.

ZA^2 - A^3 - D^3 Æ 3DE^2 - 3D^2E - E^3

Item A^3 + B^2A Æ E^3.

Iteretur toties operatio donec secunda Radix ad primam reuocetur, quo peracto, Loco Ipsius E Nouus Ipsius Valor Vsurpetur Vt sub hac Noua specie quæ iis Ex prioribus æqualitatibus ordinetur, omnia constabunt.

Nec mutila adiungo aut moror In superfluis quis Enim non videt singulos terminos Asymmetros posse Eadem raõe, si non sufficiant secundæ radices, tertius, quartus &c. In Infinitum Insigniri Quo casu quartam siue Vltimam Radicem tanquam secundam considerabis, Reliquas vero tantisper vel pro primis vel pro terminis cognitis habebis donec Vltima Illa omnino Emanuerit siue ad primas, secundas et Tertias reductæ fuerint simili prorsus artificio tertias ad secundas et primas, ac deinde secundas ad primas Vt Iam sæpius Inculcauimus. « raõe » : ratione, abrégé par un trait au-dessus du mot. « tertius, quartus » : ainsi écrit. « Emanuerit » se lit ainsi (un m entre E et a) ; le sens attend « euanuerit ».

Nulla est ergo asymmetria quam non cogat exulerre hæc methodus, cuius vsus præsertim Eximius Imò. « exulerre » : lecture lettre à lettre d'un mot que le sens rapproche d'« exulare ». La phrase commencée par « Imò » continue au verso, vue 46. Le texte s'arrête au milieu de la page.

Verso de la vue 45, sans chiffre en tête (le « 19 » du recto transparaît à l'envers en haut à gauche). Même main ; la phrase de la vue 45 continue.

Et necessarius Innumerosa potestatum Euanuerint, non deerit vietæum In arithmeticis quæstionibus artificium, et si veris explicari numeris quæstio non possit, proximæ, quantumuis Libuerit, suppetent solutiones, Cum tamen proximas veris solutiones nullo pacto quandiu durauerint Asymmetriæ) consequi possis. la construction de la phrase, qui reprend « Imò. » à la fin de la vue 45, est donnée telle qu'elle se lit. Une parenthèse fermante suit « Asymmetriæ » ; aucune parenthèse ouvrante n'a été vue.

Sed et Vlterius Inquirenti obtulit Semira ad Locorum Superficialium plenam et perfectam notitiam Exinde deriuanda methodus, quæ et iis problematis Inseruit In quibus dantur ab Initio plura quam requirat Ipsa problematis construendi determinatio. « Semira » est écrit en un mot ; le sens le coupe « se mira ».

Quod Vt Clarius Intelligas, Sunt quædam problemata quæ Vnicam tantum agnoscunt positionem Ignotam, quæ vocari possunt determinata ad differentiam Inter Ipsa et problemata Localia constituendam Sunt alia quædam quæ duas positiones Ignotas habent, et ad Vnicam tantum numquam possunt reduci, Ea problemata sunt Localia, In prioribus Illis Vnicum tantum punctum Inquirimus In Illis Lineam Sed si problema propositum tres Ignotas positiones admittat, problema huiusmodi non Iam punctum dumtaxat aut Lineam tantum sed Integram Superficiem quæstioni Idoneam Inuestigat, Indeque oriuntur Loci ad Superfiæ. &c. In reliquis. « Superfiæ. » : ainsi abrégé, pour « superficiem ». Un trait de plume suit « In reliquis ».

Sicut autem In prioribus data Ipsa sufficiunt ad determinaõne quæstionis, Ita In secundis Vnum datum deest ad determinationem, In tertiis vero duo tantũ data, determinaõne possunt Complere. Ac contrà, potest fieri Vt quemadmodum In his casibus data aut sufficiant aut desint, Ita In plerisque aliis data Ipsa superflua sint et abundent. « determinaõne » : determinatione(m), abrégé par un trait au-dessus de « na ». « Ac » est écrit en bout de ligne d'une encre plus noire, sur une première lettre repassée. Le texte s'arrête au milieu de la page ; la vue 47 ouvre un « Exemplum ».

Recto. En haut à droite, « 20 » au crayon gris et au-dessous « 20 » au crayon rouge. Même main ; l'appendice continue, avec un exemple et une petite figure.

Exemplo res fiet Euidens. à droite de ces mots, sur la même ligne, une figure : un segment horizontal lettré A à gauche, B aux deux tiers, C à droite, B et C marqués d'un petit trait vertical.

In recta AC datâ, datur rectangulũ ABC datur etiam differentia quadratorũ AB, et BC.

In hoc casu plura patet offerri data quam determinaõ Ideoque Solutio Ipsius quæstionis Exposuit. « Exposuit » : ainsi écrit.

Frequentissimus tamen horum problematũ In physicis præsertim et apud artifices est Vsus, eaque omnia per applicaõne simplicem beneficio nostræ methodi Expediuntur; neque recurrendum ad Extrationem Radicum Licet Æquationes ad quasuis potestates ascendant. un trait de plume suit « ascendant ».

Proponatur verbi gratia In quadam quæstione

A^3 + B^2A Æ Z^2D.

Item etiam (cum ex hypothesi quæstio supponatur esse abundans; has enim quæstiones abundantes sicut Locales Deficientes appellare consueuimus.)

G^sA - A^4 Æ B^2Npl. « abundans », « abundantes » et « Deficientes » sont soulignés. Au-dessus de « Deficientes », un mot bref est biffé. « G^sA » : G solido in A ; « N pl. » : N plano.

Duplicato hæc Æqualitas ad Analogiam reuocetur, et de præscripta methodo consideretur Vnica nostra radix Ignota quæ In hoc Exemplo est A, Sicut in præcedentibus secundam aut Vlterioris ordinis Radicem Considerauimus, et toties Iuxta methodum Iteretur operatio donec adfectio sub A per simplicem aplicaõne possit Expediri siue non tam ad primas radices quam ad Terminos omnino notos reduci patebit solutio problematis simplicissima, nec Analystam deinceps æquationes quadraticæ, Cubicæ quadrato-quadraticæ &c. remorabuntur.

Lubet Et Coronidis Loco famosi Illius problematis Datis Ellipsi Et puncto Extra Ipsius planum, superficie la page s'arrête au milieu de sa hauteur, au milieu de la phrase ; la suite est au verso, vue 48.

Verso de la vue 47, sans chiffre en tête (le « 20 » du recto transparaît à l'envers en haut à gauche). Même main ; la phrase de la vue 47 continue.

Conicam cuius vertex sit punctũ Datũ et basis Ellipsis data, Ita plano secare Vt sectio sit Circulus. Solutionem quæ huic methodo debetur, Indicare Eamque simplicissimam. un trait oblique suit « simplicissimam ».

Eo deducunt quæstionem Geometræ Vt sumptis quinque punctis ad Libitum In Ellipsi, Vt Iunctis rectis a vertice Conicæ superficiei ad puncta Illa per Iunctas quinque rectas circulum describant.

Sed cum puncta In Ellipsi sint Infinita, si Loco quinque punctorum sumatur sex, fiet problema abundans, et orietur necessario Duplicata Æqualitas quæ tandem Ignotam quantitatem per simplicem Applicationem patefaciet.

Eadem ratione si detur quæcumque Linea curua In plano aut etiam superficies Localis, cuiuscumque tandem gradus sint Inuenientur Diametri et axes figurarum. Imo et In superficie Locali exhibebuntur omnes omnino curuæ Loci superficialis constitutiuæ &c.

Exponatur verbi gratia superficies Conica cuius vertex sit punctum datum, basis verò parabole aut Ellipsis Cubica aut quadrato-quadratica aut Vlterioris in Infinitum gradus.

huiusmodi superficies Conica beneficio Illius methodi Ita secari, Vt In Ea Exhibeatur quælibet Curua quæ Ex Constitutione figuræ In ea superficie potest describi, Et problematis solutio semper euadet simplicissima. les deux mots brefs qui ouvrent la phrase, après une initiale en volute, se lisent lettre à lettre « Oti di » ou « Vti dr » ; la construction (« … secari ») attend un verbe comme « poterit ». Laissés illisibles.

Nihil addimus de Tangentibus Curuarum Et plerisque aliis huiusmodi Vsibus, fient quippe obuij, nec sedulam Indagatoris Analytici meditationem effugient. la ligne finit par un trait de plume qui clôt la pièce ; la fin de la page est blanche. Aucune signature. La pièce commencée à la vue 41 (« Nouus Secundarum et Vlterioris ordinis Radicum In Analyticis Vsus ») se termine ici.

Recto. En haut à droite, « 21. » au crayon gris et au-dessous « 21 » au crayon rouge. Même main que les vues 41–48, qui passe ici au français. Une lettre commence sous un titre à grande volute.

Lettre de Mons.r De fermes A Monsieur De Carcaui

Lettre de Mons.r De fermes

A Monsieur De Carcaui De Castres

Le 20e auril 1650. « De fermes » se lit ainsi, en deux mots, la fin nette (« -mes ») ; le titre de la pièce latine, vue 41, porte « de Fermat ». Le « r » de « Mons.r » est pris dans la volute du L. « De Castres » est écrit à la suite du nom du destinataire, séparé de lui par un blanc : la page ne dit pas si c'est le lieu d'où la lettre part ou une qualité du destinataire. La date est celle de la pièce latine (« Die 20a. Aprilis Anno 1650 », vue 41), que la lettre accompagne selon toute apparence (« ma methode generale pour le desbrouilement des Asymmetries ») ; ce rapprochement est une inférence.

Monsieur

Je n'ay point voulu differer a vous Enuoyer ma methode generale pour le desbrouilement des Asymmetries, Les festes m'ont tout a propos donné le loisir necessaire pour y Vacquer. Je vous enuoye mon original par pure paresse et vous prie me le renuoyer au plutôt, ou bien vne coppie a vostre chois. Vous mesnagerez mes Interestz comme vous l'entendez; Ils consistent seulem.t a me laisser La satisfaction (J'use a dessein de ce mot adouci) d'auoir deuoilé vne matiere qui n'estoit pas cognüe, ce que diuerses questions que Je vo.s ay proposées a diuerses fois, et dont pas vne solution n'a Jamais esté donnée preuuent assés suffisamment. « tout » est empâté d'une tache. La fin de la phrase est suivie d'un trait oblique.

Mais si vous voulés auoir le plaisir tout entier proposez hardiment a trouuer La tangente d'vne courbe dont par Exemple La proprieté soit (en prenant A pour L'appliquée, et E pour La portion du diametre qui luy correspond)

Lat. Cub. (Z^2A - A^3) + Lat. quad. quad. (B\,ppl\uncertain{- D^2BA} + A^4) + Lat quad. (BA - A^2) + Lat quad. Cub. (A^5 - B^4A). dans la deuxième parenthèse, « B ppl » (B plano-plano) est souligné ; le terme suivant, une lettre bouclée (D ?) avec un 2 repassé ou barré, puis « BA », est lu avec doute, et le signe qui le précède se confond avec le soulignement.

hæc omnia quatuor homogenea (quæ in hoc casu sunt Rectæ) æquentur B + A - E.

Quæritur tangens ad punctum datum in Curuâ, cuius superior æqualitas proprietatem specificam repræsentat. la page s'arrête ici, au milieu de sa hauteur ; la lettre continue au verso, vue 50.

Verso de la vue 49, sans chiffre en tête (le « 21 » du recto transparaît à l'envers en haut à gauche). Même main ; la lettre continue.

Que fera en ce rencontre La methode de Mons.r Des Cartes que vous sçauës estre Infiniment plus Embarassée que la mienne si les Asymmetries ne sont ostées. pour les oster La methode que Je vous enuoye en vient about sans nulle difficulté. Car en donnant a chacune des Lignes Irrationelles Le nom d'vne seconde Racine. tierce, quarte &c. on vient tousiours a des doubles Egalitez Lesquelles se reiterent, Jusque a ce que L'application ou la diuision simple oste la derniere de ces racines, puis la penultiesme et ainsy en retrogradant Jusqu'a ce que toutes Les nouuelles Racines Incognues que vous aurés pris a discretion ayent entierem.t disparu, Et pour Lors Il vous restera vne Equation sans Asymmetrie en laquelle Il n'y aura des Racines Incognües que les deux premieres A et E, qui n'auront que changé de degré a cause des multiplications frequentes et necessaires a chaque operation, et cette Equation Exempte d'Asymmetries representera la proprieté specifique de la Courbe. « Mons.r » : le r est porté sur une volute au-dessus de la ligne. « about » est écrit en un mot.

Or quand nous auons La proprieté specifique de la Courbe sans Asymmetries ma methode de Tangentibus, donne La tangente tres simplement et par La seule application en tous les Cas generalement, soit que La proprieté specifique ait relation a des Lignes droites seulement, soit qu'elle L'ait aussi a des Courbes, et partant en Joignant Les deux methodes, La tangente de la question proposée se trouue par L'application simple, ce qui semble merueilleux. « nous » : la première lettre, ouverte, se lit n plutôt que v.

Je n'adiouste pas L'operation Entiere pour ce que La Longueur du trauail me laisseroit, mais en vn mot, Il suffit que vous voyez tres clairement le progrez et La fin de L'ouurage, ce que Je croy auoir esté Incognu la page s'arrête ici, au milieu de sa hauteur et de la phrase ; la lettre continue au recto suivant, vue 51.

Recto. En haut à droite, « 22 » au crayon gris et au-dessous « 22 » au crayon rouge, sur un long trait rouge. Même main ; la lettre continue et s'achève sur cette page. Cachet rond « BIBLIOTHÈQUE NATIONALE R.F. » au bas du texte.

Jusqu'a present, puisque Monsieur Des Cartes que Je nomme auec tout le respect qui est deub) a la memoire d'vn si grand ~~homme~~ et si merueilleux homme, proposoit comme vne difficulté Insurmontable La question suiuante. une parenthèse fermante suit « deub » ; aucune parenthèse ouvrante n'a été vue. Le premier « homme » est biffé et repassé.

Estans donnez quatre points Et Courbe En laquelle prenant vn point a discretion Les droites menées de ce point aux quatre donnez fassent vne somme donnée, trouuer vne tangente a quelconque point de cette courbe &c.

Ainsy que Je puis faire voir par vne de ses Lettres. Pourtant mes methodes Jointes Ensemble en donne la solution simple et L'operaõn se fait en se Joüant. « operaõn » : operation, abrégé par un trait au-dessus du mot.

Vous comprenez par la que le principal et plus considerable effect de cette nouuelle methode paroist aux tangentes de toutte sorte de lignes a l'Infiny, puisque les Tangentes s'y trouuent tousiours par applicaõn simple; et apres cela aux questions que J'appelle abondantes, qui se resoluent aussy par la seule diuision et sans aucunes Extractions de Racines &c.

En voila trop pour vne seconde Lettre, mais Je suis d'humeur a vous faire paroistre ce que peut nostre ancienne Amitié peut estre ces petits Esclaircissemens seruiront a ce qu'il y aura de trop concis dans mon escrit Latin, quoy que Je ne doute point qu'apres que vous et Mess.rs a qui vous Le Communiquerez y auront vn peu resué, Ils n'en trouuent L'Intelligence et La pratique aysée &c. « vne seconde Lettre » se lit ainsi. « mon escrit Latin » renvoie, selon toute apparence, à la pièce latine des vues 41–48 ; c'est une inférence. La lettre finit sur « &c. » au tiers supérieur de la page ; il n'y a ni formule finale ni signature, et le reste de la page est blanc.