NAL 2339 · vues 1–66 · Lecture modernisée · Fermat. Mémoires de mathématiques. NAL 2339 — lecture modernisée du volume entier
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Résumé

Ce que contient le volume

1–66Soixante-six vues, une page par vue. Les vues 1 à 6 sont la reliure et les gardes (une étiquette « LAT NOUV. ACQ. 2339 » sur la contre-garde). La vue 7 est le feuillet de titre de la bibliothèque, calligraphié : « Mémoires de Fermat », le certificat « Volume de 24 Feuillets / Les Feuillets 23 & 24 sont blancs / 8 Octobre 1888 », « Libri 1848. » et la cote ; la transcription le relève sans le transcrire, puisqu'il n'est pas du manuscrit. La vue 8 est blanche. Le texte occupe les vues 9 à 51, avec deux pages blanches (vues 36 et 39) ; suivent la page blanche de la vue 52, les deux feuillets blancs 23 et 24 (vues 53 à 56), des gardes (vues 57 à 60) et, aux vues 61 à 66, la reliure : garde, plat, dos titré « MÉMOIRES DE FERMAT », tranches. C'est pourquoi le quatrième lot de vingt vues n'a pas de fichier : il ne contient rien à transcrire, et le volume est transcrit en entier.¹

• Vues 9 à 26 (ff. 1r–9v) — « Ad locos planos & solidos Isagoge », « introduction aux lieux plans et solides », en latin, d'une cursive posée, avec des réclames au pied des pages et sa propre pagination à l'encre, 1 à 18. Aucun nom.
• Vues 27 et 28 (f. 10r–v) — « Methodus ad disquirendam maximam & minimam », sous le titre français « Copie d'un escrit enuoyé par le R. Pere Marçenne a des Cartes ».
• Vues 29 et 30 (f. 11r–v) — « De tangentibus linearum curvarum », de la même main, qui renvoie à la méthode précédente (« Ad superiorem methodum »).
• Vues 31 à 35 (ff. 12r–14r) — « Appendix ad Isagogen topicam continens solutionem problematum solidorum per locos », d'une seconde main, plus calligraphique, avec au pied des rectos les nombres 43 à 45.
• Vues 37 et 38 (f. 15r–v), et la figure de la vue 40 (f. 16v) — le lieu à trois droites, sous l'inscription « Mr. fermat », avec au dos une adresse « Pour Mons.r Carcaui », de lecture douteuse.
• Vues 41 à 48 (ff. 17r–20v) — « Novus secundarum et ulterioris ordinis radicum in analyticis usus », « envoyé par M. de Fermat à M. de Carcavi le 20 avril 1650 » selon son titre, suivi d'un « Appendix ad superiorem methodum » (vues 44 à 48).
• Vues 49 à 51 (ff. 21r–22r) — une lettre française, « Lettre de Mons.r De fermes A Monsieur De Carcaui De Castres Le 20e auril 1650 », sans signature.

Le nom de Fermat, et les mains

Le nom de Fermat est écrit sur les feuillets du manuscrit en trois endroits, et en trois seulement : l'inscription « Mr. fermat » en tête de la vue 37, d'une encre plus pâle et d'un trait plus fin que le texte, peut-être d'une autre main et peut-être plus tardive ; le titre latin de la vue 41, « A Domino de Fermat ad Dominum De Carcaui » ; le titre de la lettre de la vue 49, qui écrit « De fermes ».² Il l'est aussi sur le feuillet de titre de 1888 (vue 7), qui est de la bibliothèque. Les pièces des vues 9 à 35 — l'Isagoge, la méthode des maxima et minima, la méthode des tangentes, l'Appendix — ne portent aucun nom d'auteur ; cette lecture ne leur étend pas celui des titres voisins et parle, pour elles, de « l'écrivain » ou de « l'auteur de l'écrit ». Que l'ensemble soit de Fermat, c'est le titre du catalogue, « Fermat. Mémoires de mathématiques. », et c'est comme tel que cette lecture le présente.

Aucune main n'est attribuée. Les transcriptions décrivent une cursive posée pour l'Isagoge ; la même main pour les deux pièces des vues 27 à 30 ; « une seconde main, plus calligraphique », pour l'Appendix, qui est peut-être aussi celle des vues 37–38, sans que ce soit tranché ; une cursive posée à grandes initiales pour les vues 41 à 51. Plusieurs indices montrent des copies : le titre de la vue 27 le dit (« Copie d'un escrit »), une note marginale française de la vue 29 parle de l'auteur à la troisième personne (« Il a icy nommé B ce qu'il nomme d par apres »), deux notes « forsan … » de l'Isagoge proposent d'autres lettres, et, dans l'Appendix, les Z sont d'une encre plus noire, « comme remplis après coup dans des blancs ».³ La lettre de la vue 49, elle, dit envoyer « mon original » ; si les feuillets d'ici sont cet original ou une copie, rien ne le dit.

Les numéros des feuillets, et les dates

La foliotation de la bibliothèque est une série au crayon rouge, en haut à droite de chaque recto, blancs compris, de 1 (vue 9) à 24 (vue 55) ; elle finit sur les deux feuillets blancs 23 et 24, comme le dit le certificat de 1888. Les titres de section de cette lecture donnent ces feuillets ; le texte cite les vues. Les autres séries n'en sont pas : une série au crayon gris, décalée d'une unité aux vues 9 à 19 et irrégulière ensuite ; la pagination à l'encre de l'Isagoge, 1 à 18 ; les nombres 43, 44, 45 au pied des rectos de l'Appendix, qui paraissent le compte d'un autre assemblage.⁴

Le catalogue ne donne aucune date, et la lecture n'en infère aucune. Les seules dates sont sur les feuillets : « Die 20a. Aprilis Anno 1650 » dans le titre de la vue 41 et « Le 20e auril 1650 » dans celui de la vue 49. Elles sont les dates de ces deux pièces-là, telles qu'elles les portent ; elles ne disent rien des autres.

La notation des feuillets, et sa traduction

Toutes les pièces écrivent dans l'algèbre « spécieuse » de Viète : les voyelles \(A\) et \(E\) désignent les inconnues, les consonnes \(B\), \(D\), \(G\), \(N\), \(R\), \(S\), \(Z\) les grandeurs données, « in » le produit, « Aq », « Eq », « A cubus », « Aqq » le carré, le cube, la quatrième puissance, et deux petits traits après un terme, ou « bis », le double. L'égalité est dite en mots (« æquatur », « æquale », abrégé « Æle » ou « Æ. » aux vues 41 à 48), une fois par deux traits verticaux (vue 11). Chaque grandeur porte sa dimension : « Z planum » est une aire, « B solidum » un volume, « D plano-planum » une grandeur de dimension quatre, et une équation n'ajoute que des termes de même dimension (la loi des homogènes). Cette lecture traduit : \(A \to x\), \(E \to y\) (sauf avis contraire, signalé à chaque fois) ; les consonnes sont gardées ; les marques de dimension sont abandonnées, une grandeur étant désormais un nombre positif, et « Zq », quand le feuillet l'écrit, devient \(Z^2\) ; « Lat. Cub. », « Lat. quad. quad. », « Lat. quad. Cub. » deviennent \(\sqrt[3]{\ }\), \(\sqrt[4]{\ }\) et \(\sqrt[5]{\ }\)⁵ ; une proportion « \(a\) ad \(b\) ita \(c\) ad \(d\) » devient \(a/b=c/d\) ; « rectangulum \(AEC\) » devient le produit \(AE\cdot EC\).

Dans l'Isagoge, un point fixe \(N\) est pris sur une droite fixe \(NZM\) ; on porte \(NZ = x\) sur cette droite et, sous un angle donné \(\widehat{NZI}\), \(ZI = y\). Le point \(I\) a donc pour coordonnées \((x,y)\), cartésiennes si l'angle est droit, obliques sinon. Le vocabulaire des coniques est celui d'Apollonius : un « diamètre » et ses « appliquées » ou « ordonnées » (les cordes qu'il coupe en leur milieu, et leurs moitiés) ; le « côté droit » (« rectum latus »), le paramètre ; « donné de position », fixe ; un triangle « donné d'espèce », de forme donnée, c'est-à-dire semblable à un triangle fixe. Enfin les feuillets ne connaissent que des grandeurs positives ; cette lecture dit, à chaque fois, quand elle passe aux coordonnées signées.

« Ad locos planos & solidos Isagoge » : le programme, la droite, l'hyperbole (ff. 1r–4r, vues 9 à 15)

9–15L'Isagoge commence par l'histoire du sujet. Pappus, au début de son livre VII, atteste qu'Apollonius a écrit sur les lieux plans et Aristée sur les lieux solides ; « mais, ou nous nous trompons, ou la recherche des lieux ne leur était pas assez aisée : nous le conjecturons de ce qu'ils n'ont pas exprimé assez généralement un très grand nombre de lieux ». D'où le programme : « Scientiam igitur hanc propriæ et peculiari analysi subiicimus, vt deinceps ad locos generalis via pateat. »⁶

La définition suit, et c'est tout le principe : « chaque fois que, dans l'équation finale, se trouvent deux quantités inconnues, il y a un lieu, et l'extrémité de l'une d'elles décrit une ligne, droite ou courbe ». Le lieu est « plan » si cette ligne est une droite ou un cercle, « solide » si c'est une parabole, une hyperbole ou une ellipse, « linéaire » pour toute autre courbe. Aujourd'hui : une équation \(F(x,y)=0\) entre les coordonnées d'un point définit une courbe. L'écrivain annonce que le lieu est plan ou solide « pourvu qu'aucune des inconnues ne dépasse le carré ».⁷ L'énoncé moderne est celui-ci : une équation du premier degré en \((x,y)\) définit une droite ; une équation du second degré définit une conique — ellipse (ou cercle), parabole, hyperbole — ou bien une conique dite dégénérée : deux droites, une droite, un point, ou rien. L'Isagoge traite toutes les coniques non dégénérées, et les droites ; les cas dégénérés, elle ne les nomme pas, et cette lecture les ajoute là où ils se présentent.

Les équations du premier degré : des droites

Premier cas, \(Dx = By\). Le point \(I\) est sur une droite passant par \(N\) : \(y/x = D/B\) est un rapport donné, donc le triangle \(NZI\), dont l'angle en \(Z\) est donné, est de forme donnée, et la droite \(NI\) est fixe.

Deuxième cas, \(Z - Dx = By\), où \(Z\) est une aire.⁸ Posons \(R = Z/D\), de sorte que \(DR = Z\) ; alors \(y/(R-x) = D/B\). Sur \(NZM\), soit \(NM = R\) : le point \(M\) est fixe, \(MZ = R - x\), et le rapport \(ZI/MZ\) est donné ; le triangle \(IZM\) est de forme donnée et \(I\) est sur une droite fixe passant par \(M\).⁹ Et de même, conclut le texte, « dans toute équation dont certains termes sont affectés de \(A\) ou de \(E\) » : toute équation \(ax + by = c\), avec \(a\), \(b\) non tous deux nuls, définit une droite. C'est vrai dans des coordonnées obliques comme dans des coordonnées rectangulaires. L'écrivain en tire que tous les lieux à la droite, par exemple la septième proposition du premier livre des Lieux plans d'Apollonius, s'énoncent et se construisent désormais plus généralement.

Il ajoute une proposition « très belle, que nous avons découverte par ce moyen » : si, d'un point, on mène à des droites données de position, en nombre quelconque, des droites sous des angles donnés, et que la somme des rectangles formés des droites menées et de droites données soit égale à une aire donnée, le point est sur une droite donnée de position.¹⁰ La démonstration moderne tient en une ligne. Une droite menée du point \((x,y)\) à une droite donnée, sous un angle donné, est proportionnelle à la distance du point à cette droite, donc, d'un même côté de celle-ci, de la forme \(d_i = \alpha_i x + \beta_i y + \gamma_i\). La condition \(\sum_i c_i d_i = K\) est du premier degré : c'est une droite. L'énoncé exact demande deux précisions que le feuillet ne donne pas : les longueurs \(d_i\) étant positives, le lieu est la partie de cette droite qui tombe dans la région où chaque \(d_i\) garde le signe choisi ; et si \(\sum c_i\alpha_i = \sum c_i\beta_i = 0\), la condition ne dépend plus du point, et le lieu est toute la région ou rien.

Le rectangle des inconnues : l'hyperbole rapportée à ses asymptotes

Le « second degré » des équations locales est \(xy = Z\), avec \(Z\) une aire. Le point \(I\) est sur une hyperbole : on mène par \(N\) la parallèle \(NR\) à \(ZI\), on choisit \(M\) sur \(NZM\) et \(MO\) parallèle à \(ZI\) de sorte que \(NM\cdot MO = Z\), et l'hyperbole qui passe par \(O\) et a pour asymptotes \(NR\) et \(NM\) passe par \(I\). C'est la propriété de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes : dans ce repère, droit ou oblique, son équation est \(xy = \) constante.

Toute équation où se mêlent le rectangle \(xy\), des termes du premier degré et une constante, sans carré, s'y ramène. L'exemple est \(D + xy = Rx + Sy\), où \(D\) est une aire. Comme \[ (x - S)(R - y) = Rx + Sy - xy - RS, \] l'équation s'écrit \[ (x - S)(R - y) = D - RS , \] ce que le feuillet dit en ôtant \(RS\) de l'aire \(D\). Le point \(I\) est sur l'hyperbole d'asymptotes les droites \(x = S\) et \(y = R\).¹¹ La construction : \(NO = S\) sur \(NZM\), \(Nd\) parallèle à \(ZI\) et égale à \(R\), \(dp\) parallèle à \(NM\) et rencontrée en \(p\) par \(ZI\) prolongée ; \(u\) est sur \(dp\) au-dessus de \(O\). Alors \(up = OZ = x - S\) et \(pI = Zp - ZI = R - y\), donc \(up \cdot pI = D - RS\), et l'hyperbole d'asymptotes \(pu\) et \(uO\) menée par un point \(y\) tel que \(ux\cdot xy = D - RS\) passe par \(I\).¹²

Les équations homogènes du second degré : des droites

Le « degré suivant » est celui où \(x^2\) est égal à \(y^2\), ou dans un rapport donné avec lui, ou encore \(x^2 + xy\) dans un rapport donné avec \(y^2\) : toutes les équations dont chaque terme est de degré deux exactement. Le texte conclut que \(I\) est sur une droite : si \((x^2 + xy)/y^2\) est donné, et qu'on mène dans le triangle \(NZI\) une parallèle \(OR\) à \(ZI\), les triangles \(NOR\) et \(NZI\) sont semblables, et \((NO^2 + NO\cdot OR)/OR^2\) a la même valeur ; la droite \(NI\) convient.¹³ C'est juste, pour des grandeurs positives. L'énoncé moderne est un peu plus riche : \(ax^2 + bxy + cy^2 = 0\) se factorise en deux droites passant par \(N\) si \(b^2 - 4ac > 0\), en une droite double si \(b^2 - 4ac = 0\), et se réduit au seul point \(N\) si \(b^2 - 4ac < 0\). Dans l'exemple, en posant \(t = x/y\), on a \(t^2 + t - k = 0\), qui a une racine positive et une négative : la première donne la demi-droite du feuillet, la seconde une autre droite par \(N\), qui passe hors de l'angle où l'écrivain place ses grandeurs. Ces paires de droites sont les coniques dégénérées de la classification.

L'Isagoge, suite : parabole, cercle, ellipse, hyperbole (ff. 4v–7v, vues 16 à 22)

16–22« Si aux puissances des inconnues ou à leurs rectangles se mêlent des termes en partie entièrement donnés, en partie faits d'une droite donnée et de l'une des inconnues, la construction sera plus difficile. Nous construisons brièvement chaque cas, et nous le démontrons. » Ce sont les coniques propres.

La parabole

Si \(x^2 = Dy\), le point \(I\) est sur une parabole de sommet \(N\), de diamètre la parallèle \(NP\) à \(ZI\) et de paramètre \(D\) : par construction, \(D\cdot NP = PI^2\), c'est-à-dire \(Dy = x^2\).¹⁴ Si l'angle \(\widehat{NZI}\) est droit, \(NP\) est l'axe ; sinon c'est un diamètre, et c'est bien le mot du texte.

« À cette équation se ramèneront très facilement toutes celles où \(x^2\) se mêle à des termes faits de grandeurs données et de \(y\), ou \(y^2\) à des termes faits de grandeurs données et de \(x\), et de même s'il s'y mêle des termes entièrement donnés. » C'est la complétion du carré : \(x^2 + ax + by + c = 0\) s'écrit \(\bigl(x + \tfrac a2\bigr)^2 = -b\,\bigl(y + \tfrac{c}{b} - \tfrac{a^2}{4b}\bigr)\), une parabole, pourvu que \(b \neq 0\) ; si \(b = 0\), il reste deux droites parallèles, une droite ou rien. La condition \(b\neq 0\) est celle que l'énoncé du feuillet contient en exigeant des termes « sub datis in E ».

Le feuillet traite ensuite trois cas particuliers :

• \(y^2 = Dx\) : parabole de sommet \(N\), de diamètre \(NZ\), de paramètre \(D\), les ordonnées parallèles à \(NP\) ;
• \(B^2 - x^2 = Dy\) : si \(DR = B^2\), l'équation devient \(D(R - y) = x^2\) ; on porte \(NM = R\) parallèlement à \(ZI\), on mène \(MO\) parallèle à \(NZ\), et \(OI = R - y\), \(MO = x\) : parabole de sommet \(M\), de diamètre \(MN\), de paramètre \(D\), tournée vers \(N\) ;
• \(B^2 + x^2 = Dy\) : \(D(y - R) = x^2\), « et le reste comme plus haut ».

Tous trois sont justes.

Le cercle

Si \(B^2 - x^2 = y^2\) et que l'angle en \(Z\) est droit, \(I\) est sur le cercle de centre \(N\) et de rayon \(B\). L'écrivain précise que s'y ramènent toutes les équations en \(x^2\), \(y^2\) et termes du premier degré, « pourvu que l'angle \(\widehat{NZI}\) soit droit et que les coefficients de \(x^2\) égalent ceux de \(y^2\) ». Son exemple : \[ B^2 - 2Dx - x^2 = y^2 + 2Ry . \] On ajoute \(R^2\), puis \(D^2\), aux deux membres, et l'on pose \(P^2 = B^2 + R^2 + D^2\) : \[ P^2 - (x + D)^2 = (y + R)^2 , \] de sorte que, en prenant \(x + D\) et \(y + R\) pour nouvelles inconnues, on retombe sur le cas précédent : un cercle de centre le point \((-D, -R)\) et de rayon \(P\).¹⁵

L'écrivain ajoute : « c'est par cette voie que nous avons construit toutes les propositions du second livre des Lieux plans d'Apollonius, et démontré que les six premières ont lieu pour des points quelconques, ce qui est assurément admirable, et peut-être ignoré d'Apollonius ». Cette lecture n'en peut rien contrôler : les énoncés d'Apollonius ne sont pas sur les feuillets.¹⁶

L'ellipse

Si \((B^2 - x^2)/y^2\) est un rapport donné, \(I\) est sur une ellipse de centre \(N\), qui passe par le point \(M\) tel que \(NM = B\), de diamètre \(NM\), les ordonnées parallèles à \(ZI\). Car \(B^2 - x^2 = (B - x)(B + x)\) est le produit des deux segments du diamètre, et une ellipse est la courbe où le carré de l'ordonnée est dans un rapport constant avec ce produit. Aujourd'hui : \(y^2 = k(B^2 - x^2)\), soit \(\dfrac{x^2}{B^2} + \dfrac{y^2}{kB^2} = 1\).

S'y ramènent, dit le texte, les équations où \(x^2\) et \(y^2\) sont de part et d'autre de l'égalité avec des signes contraires et des coefficients différents — autrement dit, écrites d'un même côté, avec le même signe. Si les coefficients sont égaux et l'angle droit, c'est un cercle ; « si les coefficients sont les mêmes, mais que l'angle ne soit pas droit, le lieu sera à une ellipse ». Tout cela est exact : \(x^2 + y^2 = B^2\) en coordonnées obliques est une ellipse, image d'un cercle par une application affine, et non un cercle ; et le cercle est la seule des coniques qui dépende de l'angle. L'équation \(ax^2 + cy^2 + dx + ey + f = 0\) avec \(ac > 0\) est une ellipse, ou un point, ou rien, selon le signe de ce qui reste après complétion des carrés ; les deux derniers cas, le feuillet ne les envisage pas.¹⁷

L'hyperbole

Si \((x^2 + B^2)/y^2\) est un rapport donné, \(I\) est sur une hyperbole.¹⁸ Écrivons le rapport donné sous la forme \(B^2/NR^2\), ce qui fixe un point \(R\) sur la parallèle \(NO\) à \(ZI\) menée par \(N\) ; soit \(M\) le symétrique de \(R\) par rapport à \(N\). L'hyperbole de centre \(N\), de sommet \(R\), de diamètre \(RO\), les ordonnées parallèles à \(NZ\), est celle où \[ \frac{MO\cdot OR}{OI^2} = \frac{NR^2}{B^2} . \] Le texte ajoute \(NR^2\) et \(B^2\) aux deux termes du premier rapport (« componendo ») : comme \(MO\cdot OR + NR^2 = NO^2\) et que \(NO = ZI = y\), \(OI = NZ = x\), il vient \[ \frac{y^2}{x^2 + B^2} = \frac{NR^2}{B^2} , \qquad\text{soit}\qquad \frac{y^2}{NR^2} - \frac{x^2}{B^2} = 1 , \] qui est l'équation cherchée.¹⁹ Et le texte : s'y ramènent toutes les équations en \(x^2\) et \(y^2\) « pourvu que \(x^2\) ait, de l'autre côté, le même signe que \(y^2\) ; car si les signes sont différents, la proposition se conclut par des cercles ou des ellipses ». C'est la règle exacte : écrites d'un même côté, \(ax^2 + cy^2 + \dots\) avec \(ac < 0\) donne une hyperbole — ou, si la constante qui reste après complétion des carrés est nulle, la paire de ses asymptotes, cas que le feuillet n'examine pas.

L'Isagoge, fin : le terme rectangle, le bilan, la proposition finale (ff. 7v–9v, vues 22 à 26)

22–26

« La plus difficile de toutes les équations »

Reste le cas où le rectangle \(xy\) se mêle aux carrés. L'exemple : \[ B^2 - 2x^2 = 2xy + y^2 . \] En ajoutant \(x^2\) aux deux membres, \[ B^2 - x^2 = x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2 . \] Si l'on prenait \(x + y\) pour seconde coordonnée, ce serait le cercle de centre \(N\) et de rayon \(B\) ; mais c'est l'extrémité \(V\) de \(y\) qu'on cherche. Le texte porte donc \(ZI = x + y\) (le point \(I\) décrit ce cercle) et, sur \(ZI\), le point \(V\) tel que \(VI = NZ = x\), de sorte que \(ZV = y\). Il mène \(MR\) parallèle à \(ZI\) et égale à \(MN\), joint \(NR\), que \(IZ\) prolongée coupe en \(O\). Le triangle \(NMR\) étant isocèle, \(ZO = NZ = x\), donc \(VO = VZ + ZO = x + y = ZI\), et \[ OV^2 = MN^2 - NZ^2 . \] Le triangle \(NMR\) étant de forme donnée, \(NZ^2/NO^2 = NM^2/NR^2\) est donné, donc aussi \((MN^2 - NZ^2)/(NR^2 - NO^2)\), et par suite \((NR^2 - NO^2)/OV^2\). Les points \(N\) et \(R\) sont donnés, l'angle \(\widehat{NOZ}\) aussi : par le cas de l'ellipse, \(V\) est sur une ellipse de centre \(N\), de diamètre porté par \(NR\), les ordonnées parallèles à \(ZI\).²⁰ La vérification moderne : avec l'angle droit, \(NO = x\sqrt2\), \(NR = B\sqrt2\) et \(OV = x + y\) ; l'équation \(2x^2 + 2xy + y^2 = B^2\) s'écrit \(NR^2 - NO^2 = 2\,OV^2\), et, dans le repère oblique d'axes \(NR\) et \(ZI\), le point \(V\) est sur l'ellipse \(\dfrac{X^2}{2B^2} + \dfrac{Y^2}{B^2} = 1\). Le discriminant de \(2x^2 + 2xy + y^2\) est \(2^2 - 4\cdot2\cdot1 = -4 < 0\) : c'est bien une ellipse.

« Par une méthode semblable se ramènent aux cas précédents tous les autres […] ; car c'est toujours au moyen d'un triangle de forme connue que la question se construit. » Le triangle de forme donnée est un changement de coordonnées obliques qui fait disparaître le rectangle. En termes modernes, si \(c \neq 0\), \[ ax^2 + bxy + cy^2 = c\Bigl(y + \frac{b}{2c}\,x\Bigr)^2 + \frac{4ac - b^2}{4c}\,x^2 ; \] prendre \(y + \tfrac{b}{2c}x\) pour nouvelle coordonnée revient à mesurer l'ordonnée le long d'une autre direction, et la conique se trouve ramenée à un cas sans rectangle. Les deux nouveaux coefficients des carrés, \(c\) et \((4ac - b^2)/(4c)\), ont pour produit \((4ac - b^2)/4\) : de même signe, c'est une ellipse ; de signes contraires, une hyperbole ; si l'un est nul, une parabole ou une conique dégénérée. Le type se lit sur le signe de \(b^2 - 4ac\) : c'est le discriminant.²¹ L'écrivain conclut : « Breuiter igitur & dilucidè complexi sumus quidquid de Locis planis & Solidis inexplicatum veteres reliquere. »²² La prétention est juste pour les coniques propres : toute équation du second degré définit une conique ou une conique dégénérée, et la réduction ci-dessus le démontre. Le feuillet, lui, ne démontre pas que ses réductions épuisent tous les cas, et ne nomme pas les cas dégénérés.

Le bilan, dans la classification d'aujourd'hui

Pour l'équation \(ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0\), voici les cas de l'Isagoge et la classification par le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\), là où les deux coïncident :

• \(a = b = c = 0\) : une droite (vues 10 à 12) ;
• \(a = c = 0\), \(b \neq 0\), donc \(\Delta > 0\) : une hyperbole d'asymptotes parallèles aux axes, ou deux droites (vues 12 à 14) ;
• \(d = e = f = 0\) : une ou deux droites par l'origine, ou l'origine seule (vues 14 et 15) ;
• un seul carré, \(b = 0\), donc \(\Delta = 0\) : une parabole si le terme du premier degré dans l'autre inconnue est présent (vues 16 à 18) ;
• \(b = 0\), \(ac > 0\), donc \(\Delta < 0\) : une ellipse, un cercle si \(a = c\) et l'angle droit, ou un point, ou rien (vues 18 à 21) ;
• \(b = 0\), \(ac < 0\), donc \(\Delta > 0\) : une hyperbole, ou deux droites sécantes (vues 21 et 22) ;
• \(b \neq 0\) et un carré au moins : réduit par un triangle de forme donnée à l'un des cas précédents ; l'exemple a \(\Delta < 0\) et donne une ellipse (vues 22 à 24).

La proposition finale

« En guise de couronnement », l'écrivain ajoute une proposition « très belle, dont la facilité apparaîtra aussitôt » : si, d'un même point, on mène à des droites données de position, en nombre quelconque, des droites sous des angles donnés, et que les carrés de toutes les droites menées soient ensemble égaux à une aire donnée, le point est sur un lieu solide donné de position.²³ C'est vrai, et l'on peut dire mieux. Chaque droite menée est une fonction affine \(d_i = \alpha_i x + \beta_i y + \gamma_i\) du point, et la condition \(\sum_i d_i^2 = K\) est du second degré ; sa partie quadratique \(\sum_i(\alpha_i x + \beta_i y)^2\) est positive, et même définie positive dès que deux des droites données ne sont pas parallèles. Le lieu est alors une ellipse (un cercle dans certains cas), réduite à un point ou vide si \(K\) est trop petit ; si toutes les droites sont parallèles, ce sont deux droites parallèles, une droite ou rien.

L'exemple qui suit n'est pas un cas de cet énoncé : il porte sur des distances à deux points, et sur un rapport à un triangle, non sur des droites. Il illustre la méthode. Étant donnés deux points \(N\) et \(M\), trouver le lieu des points \(I\) tels que \((IN^2 + IM^2)\) soit dans un rapport donné avec le triangle \(INM\). Avec \(NM = B\), \(Z\) le pied de la perpendiculaire abaissée de \(I\), \(NZ = x\) et \(ZI = y\) : \[ IN^2 + IM^2 = x^2 + y^2 + (B - x)^2 + y^2 = 2x^2 + B^2 - 2Bx + 2y^2 , \] que le texte met en rapport avec le rectangle \(By\), double du triangle ; le rapport reste donné. La construction du feuillet (vue 26) : couper \(NM\) en deux en \(Z\), élever la perpendiculaire \(ZV\) telle que le rapport donné soit celui de \(4\,ZV\) à \(ZM\) ; sur \(VZ\) comme diamètre, décrire un demi-cercle et y inscrire la corde \(ZO = ZM\) ; le cercle de centre \(V\) et de rayon \(VO\) est le lieu : pour tout point \(R\) de ce cercle, \((RN^2 + RM^2)/\text{triangle }RNM\) est le rapport donné.²⁴

La vérification. Notons \(\rho = 4\,ZV/ZM\) le rapport donné et \(h = ZV\). Dans le demi-cercle, l'angle \(\widehat{VOZ}\) est droit, donc \(VO^2 = h^2 - ZM^2\). Si \(R = (x,y)\) est sur le cercle de centre \(V = (B/2, h)\) et de rayon \(VO\), \[ \Bigl(x - \frac B2\Bigr)^2 + y^2 = 2hy - ZM^2 , \] d'où, puisque \(ZM = B/2\), \[ RN^2 + RM^2 = 2\Bigl(x - \frac B2\Bigr)^2 + 2y^2 + \frac{B^2}{2} = 4hy , \] tandis que le triangle vaut \(ZM\cdot y\) : le rapport est \(4h/ZM = \rho\). La construction est juste, sous une condition qu'elle cache : la corde \(ZO = ZM\) ne s'inscrit dans le demi-cercle que si \(ZM < ZV\), c'est-à-dire \(\rho > 4\). Et en effet \(IN^2 + IM^2 \geq 2\,IN\cdot IM \geq 4\cdot\text{triangle }INM\), avec égalité seulement quand le triangle est rectangle isocèle en \(I\) : pour \(\rho = 4\) le lieu est le seul point \(V\), pour \(\rho < 4\) il est vide. Enfin, l'aire du triangle ne dépendant pas du côté de \(NM\) où se trouve \(I\), le lieu complet est formé de ce cercle et de son symétrique par rapport à \(NM\). L'Isagoge s'arrête là, au milieu de la vue 26.

« Methodus ad disquirendam maximam & minimam » (f. 10r–v, vues 27 et 28)

27–28Un nouveau feuillet commence par un titre français : « Copie d'un escrit enuoyé par le R. Pere Marçenne a des Cartes ».²⁵ Suit le texte latin, qui tient en une règle et un exemple.

La règle

« Toute la doctrine de l'invention du maximum et du minimum repose sur deux positions inconnues et sur cette seule règle. » Qu'on prenne pour inconnue \(A\) ce qu'il convient dans la question, et qu'on écrive la grandeur à rendre maximale ou minimale en fonction de \(A\) ; puis qu'on remplace \(A\) par \(A + E\) et qu'on écrive de nouveau la grandeur. « Adæquentur, vt Loquitur Diophantus » : qu'on « adégale », comme dit Diophante, les deux expressions ; qu'on ôte les termes communs ; qu'on divise tout par \(E\), ou par une puissance de \(E\), jusqu'à ce que l'un des termes soit libre de \(E\) ; qu'on efface alors les termes qui contiennent encore \(E\), et qu'on égale le reste.²⁶ Ainsi, en écrivant \(x\) pour \(A\), \(e\) pour \(E\) et \(f\) pour la grandeur : \[ f(x + e) \approx f(x), \qquad \frac{f(x+e) - f(x)}{e} \approx 0, \qquad \text{puis } e \text{ effacé}. \]

L'exemple : partager une droite \(AC = B\) en un point \(E\) de sorte que le rectangle \(AE\cdot EC\) soit maximal. Avec \(AE = x\), le rectangle vaut \(f(x) = Bx - x^2\), et \[ f(x + e) = Bx - x^2 + Be - 2xe - e^2 . \] Adégalant et ôtant les termes communs, \(Be \approx 2xe + e^2\) ; divisant par \(e\), \(B \approx 2x + e\) ; effaçant \(e\), \(B = 2x\). Il faut couper la droite en son milieu. Le feuillet conclut : « Nec potest generalior dari methodus. »²⁷

Ce que calcule la règle, et ce qu'il faut pour qu'elle démontre

Pour une grandeur \(f\) polynomiale en \(x\), la différence \(f(x+e) - f(x)\) est un polynôme en \(e\) sans terme constant ; elle s'écrit exactement \[ f(x+e) - f(x) = e\,\bigl(f'(x) + e\,g(x,e)\bigr), \] où \(f'\) est la dérivée et \(g\) un polynôme. Diviser par \(e\) est donc légitime (\(e \neq 0\)), et « effacer \(e\) » dans le quotient, c'est prendre sa valeur en \(e = 0\), qui est sa limite quand \(e \to 0\) : la règle calcule \(f'(x)\) et écrit \(f'(x) = 0\). Elle donne les points stationnaires de \(f\).

Ce n'est pas, telle qu'elle est écrite, une démonstration. L'« adéquation » n'est pas une égalité — en un maximum, \(f(x+e)\) diffère en général de \(f(x)\) pour \(e \neq 0\) —, et l'on ne peut à la fois diviser par \(e\), qui suppose \(e \neq 0\), et poser ensuite \(e = 0\) sans dire ce qui l'autorise. Ce qui en fait une démonstration aujourd'hui, c'est le théorème suivant : si \(f\) est dérivable en un point \(x\) intérieur à son domaine et y atteint un maximum ou un minimum local, alors \(f'(x) = 0\). Pour un polynôme la preuve est dans la formule ci-dessus : si \(f'(x) \neq 0\), le facteur \(f'(x) + e\,g(x,e)\) garde le signe de \(f'(x)\) pour \(e\) assez petit, et \(f(x+e) - f(x)\) change de signe avec \(e\) ; \(x\) n'est donc pas un extremum.²⁸ La règle donne donc une condition nécessaire, et seulement pour un extremum intérieur : elle ne distingue pas le maximum du minimum, elle retient aussi des points qui ne sont ni l'un ni l'autre (\(x^3\) en \(0\)), et elle ne voit pas les extrémités d'un intervalle.

Dans l'exemple, la conclusion est juste et se démontre en une ligne : \(f\bigl(\tfrac B2 + h\bigr) = \tfrac{B^2}{4} - h^2 \leq f\bigl(\tfrac B2\bigr)\), avec égalité seulement pour \(h = 0\) ; le milieu donne le maximum strict.

« De tangentibus linearum curvarum » (f. 11r–v, vues 29 et 30)

29–30« Nous ramenons à la méthode précédente l'invention des tangentes en des points donnés de lignes courbes quelconques. » La pièce est sur le feuillet qui suit, de la même main ; qu'elle appartienne à l'« escrit » que désigne le titre de la vue 27, le feuillet ne le dit pas, mais elle en continue la méthode.

La tangente à la parabole

Soit une parabole \(Bdn\) de sommet \(d\) et de diamètre \(dc\), un point \(B\) de la courbe, et la tangente \(BE\) cherchée, qui coupe le diamètre en \(E\). On prend sur \(BE\) un point \(O\), et l'on mène les ordonnées \(OI\) et \(BC\). Comme \(O\) est hors de la parabole, \[ \frac{cd}{di} > \frac{BC^2}{OI^2} , \] et, par les triangles semblables, \(BC^2/OI^2 = CE^2/IE^2\) ; donc \(cd/di > CE^2/IE^2\). Posons \(cd = d\), donnée,²⁹ \(CE = a\) l'inconnue (le feuillet l'appelle \(A\)) et \(CI = e\) (le feuillet : \(E\)). Alors \(di = d - e\) et \(IE = a - e\), et \[ \frac{d}{d - e} > \frac{a^2}{a^2 + e^2 - 2ae} , \qquad\text{soit}\qquad d a^2 + d e^2 - 2dae > d a^2 - a^2 e . \] On « adégale » : ôtant \(da^2\), \(de^2 + a^2 e \approx 2dae\) ; divisant par \(e\), \(de + a^2 \approx 2da\) ; effaçant \(de\), \(a^2 = 2da\), d'où \(a = 2d\). « Nous avons prouvé que \(CE\) est double de \(cd\), ce qui est bien le cas. » C'est exact : pour la parabole \(y^2 = px\) rapportée à son sommet et à son axe, la tangente au point d'abscisse \(x_0\) coupe l'axe à la distance \(2x_0\) de ce point ; la sous-tangente est double de l'abscisse.³⁰

Ici, la règle est une démonstration

L'inégalité du feuillet est exacte, et c'est elle qui fait de ce calcul une preuve. Posons \[ F(e) = d\,(a - e)^2 - (d - e)\,a^2 = e\,\bigl(a^2 - 2da + de\bigr) . \] Dire que la droite \(BE\) touche la parabole en \(B\) sans la couper, c'est dire que ses points autres que \(B\) sont hors de la courbe, c'est-à-dire \(F(e) > 0\) pour tout \(e \neq 0\) voisin de \(0\), des deux côtés de \(B\) ; et \(F(0) = 0\). Le point \(e = 0\) est donc un minimum de \(F\), et le théorème de la section précédente donne \(F'(0) = a^2 - 2da = 0\) : c'est exactement l'« adéquation ». Réciproquement, pour \(a = 2d\), \(F(e) = d\,e^2 > 0\) pour \(e \neq 0\) : la droite reste hors de la parabole, c'est la tangente. Le feuillet ne considère que des points \(O\) entre \(B\) et \(E\), c'est-à-dire \(e > 0\) ; c'est l'inégalité des deux côtés qu'il faut, et elle est vraie.

Les annonces

« Et la méthode ne trompe jamais. Bien plus, elle peut s'étendre à la plupart des plus belles questions » : les centres de gravité des figures limitées par des courbes et des droites, et des solides ; les quadratures, et le rapport des solides qu'elles engendrent aux cônes de même base et de même hauteur, « dont nous avons déjà traité abondamment avec M. de Roberval ». Ces annonces sont rapportées ; le feuillet n'en donne aucun calcul.³¹

« Appendix ad Isagogen topicam » : les problèmes solides résolus par les lieux (ff. 12r–14r, vues 31 à 35)

31–35Le titre complet est « Appendix ad Isagogen topicam continens solutionem problematum solidorum per locos » : « appendice à l'introduction aux lieux, contenant la solution des problèmes solides par les lieux ». Le texte commence par « Patuit methodus quâ lineæ locales deteguntur » et renvoie plusieurs fois à « notre méthode » : il se donne pour la suite d'une introduction aux lieux. Que cette introduction soit l'Isagoge des vues 9 à 26 est le rapprochement naturel, et c'est celui de cette lecture ; le feuillet ne le dit pas en toutes lettres, la main est autre, et les nombres 43 à 45 du pied des pages appartiennent à un autre assemblage.

Le principe

Un problème « solide » conduit à une équation du troisième ou du quatrième degré en une inconnue. « Il faut restreindre la liberté qu'ont les inconnues d'errer hors de leurs limites » : une équation à deux inconnues a une infinité de solutions, qui forment une ligne ; deux telles équations, deux lignes, se coupent, et le point d'intersection ramène la question « de l'infini à des termes prescrits ».³² Aujourd'hui : on introduit une seconde inconnue \(y\) de sorte que l'équation se coupe en deux équations en \((x,y)\), chacune une conique ; les abscisses des points communs sont les racines.

La cubique par une parabole et une hyperbole

Soit \(x^3 + Bx^2 = ZB\), où \(Z\) est une aire. On égale chacun des deux membres au solide \(Bxy\). D'un côté, \(x^3 + Bx^2 = Bxy\), soit, en divisant par \(x\), \(x^2 + Bx = By\) : une parabole. De l'autre, \(ZB = Bxy\), soit \(xy = Z\) : une hyperbole. Le point commun donne \(x\). En effet, sur l'hyperbole \(y = Z/x\), et l'équation de la parabole redonne \(x^3 + Bx^2 = BZ\). Pour \(x > 0\) il y a un seul point commun — la parabole croît à partir de \(0\), l'hyperbole décroît depuis l'infini —, et c'est l'unique racine positive ; les autres points communs, s'il y en a, ont \(x < 0\) et donnent les racines négatives, dont le feuillet, qui ne connaît que des grandeurs positives, ne parle pas.³³ Il en va de même, dit le texte, de toute cubique : pour \(x^3 + ax^2 + bx = c\), on égale les deux membres à \(kxy\), et il vient \(x^2 + ax + b = ky\) (une parabole) et \(c = kxy\) (une hyperbole).

La quartique par une parabole et un cercle

Soit \(x^4 + Bx + Z^2x^2 = D\) (\(B\) est un volume, \(D\) une grandeur de dimension quatre).³⁴ Donc \(x^4 = D - Bx - Z^2x^2\), et l'on égale les deux membres à \(Z^2y^2\).³⁵ D'un côté, \(x^4 = Z^2y^2\) donne, par « subdivision quadratique » — en prenant la racine carrée —, \(x^2 = Zy\) : une parabole. De l'autre, en divisant par \(Z^2\), \[ \frac{D}{Z^2} - \frac{B}{Z^2}\,x - x^2 = y^2 : \] un cercle, de centre \(\bigl(-\tfrac{B}{2Z^2}, 0\bigr)\) et de rayon \(\sqrt{D/Z^2 + B^2/(4Z^4)}\). Le calcul est juste : un point commun vérifie \(x^4 = Z^2y^2 = D - Bx - Z^2x^2\), et toute racine réelle \(x\) donne le point commun \((x, x^2/Z)\).

« Non dissimili methodo soluentur quæstiones omnes quadrato quadraticæ » : on fait d'abord disparaître le terme en \(x^3\) par la méthode de Viète, que le feuillet cite (« cap. i. de emend. ») — aujourd'hui, la translation qui rend la quartique réduite —, puis on met \(x^4\) d'un côté, le reste de l'autre, et l'on résout « par la parabole, le cercle ou l'hyperbole ».

Les deux moyennes proportionnelles

Entre deux droites \(B\) (la plus grande) et \(D\), trouver deux moyennes proportionnelles \(x\) et \(y\), c'est-à-dire \(B/x = x/y = y/D\). La plus grande vérifie \(x^3 = B^2D\).³⁶ On égale les deux membres à \(Bxy\) : d'un côté \(x^2 = By\), une parabole ; de l'autre \(xy = BD\), une hyperbole. La construction : sur une droite \(OVN\), \(OV = x\) et la perpendiculaire \(VM = y\) ; la parabole de sommet \(O\), de paramètre \(B\), de diamètre parallèle à \(VM\) ; l'hyperbole d'asymptotes \(RO\) et \(OV\) passant par le point \(Z\) tel que \(On\cdot nZ = BD\) ; elles se coupent en \(m\), et la perpendiculaire \(mV\) donne \(OV\), la plus grande des deux moyennes.³⁷ La construction est juste, et elle donne davantage que ce qu'elle dit : puisque \(x^2 = By\), on a \(B/x = x/y\), et \(VM = y\) est l'autre moyenne ; puisque \(xy = BD\), \(x/D = B/y\), ce qui complète la proportion.

En multipliant par \(x\), \(x^4 = B^2Dx\) ; on égale les deux membres à \(B^2y^2\) : \(x^2 = By\) et \(Dx = y^2\), deux paraboles, dont l'intersection donne encore \(x\). C'est juste, à ceci près que les deux paraboles se coupent aussi à l'origine, point introduit par la multiplication par \(x\) et qu'il faut écarter ; le feuillet ne le dit pas. « Prior constructio et posterior sunt apud Eutocium in Archimedem » : les deux constructions sont chez Eutoce, dans son commentaire d'Archimède, et se prêtent très facilement à cette méthode.³⁸

Suit une charge contre Viète : « Abeant igitur illæ parapleroses Vietææ », que s'en aillent donc les « paraplérôses » de Viète, par lesquelles il ramène les quartiques aux quadratiques par l'intermédiaire de cubiques « à racine plane » ; quartiques et cubiques se résolvent ici avec la même élégance, « et l'on ne peut, je crois, plus élégamment ». Ce que le texte décrit est la méthode de la cubique résolvante : une quartique ramenée, par une cubique auxiliaire dont l'inconnue est une aire, à deux équations du second degré.

Toutes les cubiques et quartiques par une parabole et un cercle

« Pour que paraisse l'élégance de cette méthode » : la construction de tous les problèmes cubiques et quartiques par la parabole et le cercle. Soit \(x^4 + Zx = D\) (\(Z\) un volume, \(D\) de dimension quatre), donc \(x^4 = D - Zx\).³⁹ On ajoute aux deux membres \(B^4 - 2B^2x^2\), pour un \(B\) quelconque : \[ (x^2 - B^2)^2 = B^4 - 2B^2x^2 - Zx + D . \] Soit \(N^2 = 2B^2\) ; on égale les deux membres à \(N^2y^2\). D'un côté \(x^2 - B^2 = Ny\) : une parabole. De l'autre \[ \frac{B^4}{N^2} - x^2 - \frac{Z}{N^2}\,x + \frac{D}{N^2} = y^2 : \] un cercle. Le calcul est juste ; c'est pour que le coefficient de \(x^2\) soit \(-1\) après la division, et que la seconde courbe soit un cercle, que \(N^2\) est pris égal à \(2B^2\).⁴⁰

La méthode s'étend à tous les cas : après la suppression du terme en \(x^3\), toute quartique s'écrit \(x^4 = px^2 + qx + r\) ; toute cubique, débarrassée de son terme en \(x^2\) par la méthode de Viète puis multipliée par \(x\), devient une quartique sans terme en \(x^3\). « Il faut seulement veiller, dans la seconde équation, à ce que \(x^2\) d'un côté et \(y^2\) de l'autre aient des signes contraires. » L'autre exemple du feuillet est \(x^4 = px^2 - qd\), où \(p\) est le plan que le feuillet écrit « Zpl. » et \(q\) le solide qu'il écrit « Z Sol. », et \(d\) une droite.⁴¹ Ajoutant \(B^4 - 2B^2x^2\) : \[ (x^2 - B^2)^2 = B^4 - (2B^2 - p)\,x^2 - qd , \] et l'on pose \(N^2 = 2B^2 - p\), « la différence entre \(2B^2\) et le plan » : la parabole \(x^2 - B^2 = Ny\) et le cercle \(\dfrac{B^4}{N^2} - x^2 - \dfrac{qd}{N^2} = y^2\). Il faut que \(2B^2\) surpasse \(p\) : sinon « \(x^2\) ne serait pas affecté du signe moins, et au lieu d'un cercle nous trouverions une hyperbole ; à quoi le remède est prompt, car nous prenons \(B\) à volonté ». Tout cela est exact.⁴²

Appliquée aux deux moyennes proportionnelles : \(x^3 = B^2d\), donc \(x^4 = B^2dx\) ; ajoutant \(B^4 - 2B^2x^2\), \[ (x^2 - B^2)^2 = B^4 + B^2dx - 2B^2x^2 ; \] avec \(N^2 = 2B^2\), la parabole \(x^2 - B^2 = Ny\) et le cercle \[ \frac{B^2}{2} + \frac{d}{2}\,x - x^2 = y^2 , \] ce que le feuillet écrit « Bq ½ \(+\) d ½ in A \(-\) Aq æquale Eq ». C'est juste. Ici aussi la multiplication par \(x\) a introduit une intersection parasite : en éliminant \(y\), on trouve \(x\,(x^3 - B^2d) = 0\), et les deux courbes se coupent au point \(\bigl(0, -B/\sqrt2\bigr)\), qu'il faut écarter ; l'autre point commun donne la plus grande moyenne.⁴³

La conclusion

« Qui aura remarqué ces choses tentera en vain de tirer des lieux plans, c'est-à-dire d'expédier par des droites et des cercles, la question des deux moyennes, la trisection de l'angle et les semblables. » L'énoncé est vrai, mais le feuillet ne le démontre pas, et ce qui précède ne le démontre pas non plus : avoir résolu une question par des coniques ne prouve pas qu'on ne puisse la résoudre par des cercles. La démonstration demande de savoir qu'un nombre constructible à la règle et au compas est de degré une puissance de 2, et que \(x^3 = 2\), comme l'équation de la trisection d'un angle quelconque, est une cubique irréductible ; elle a été donnée par Wantzel en 1837.⁴⁴

Le lieu à trois droites (ff. 15r–16v, vues 37 à 40)

37–40En tête de la vue 37, d'une encre plus pâle et d'un trait plus fin que le texte, peut-être d'une autre main : « Mr. fermat ». L'inscription rapporte la pièce à Fermat ; elle ne dit pas de qui est l'écriture. Le texte s'adresse à quelqu'un (« Superflua præsertim tibi non addimus », nous ne t'ajoutons pas le superflu), et, au dos, le long du bord, une adresse est écrite en travers : « Pour Mons.r Carcaui. rue michel le Conte au milieu », le nom lu avec doute.⁴⁵ La figure, que la page de texte n'a pas, est seule au verso du feuillet suivant (vue 40).

L'énoncé

Trois droites données de position, \(AM\), \(MB\), \(BA\), forment un triangle. D'un point \(O\) on mène à ces droites \(OE\), \(OI\), \(OD\) (vers \(AM\), \(MB\) et \(AB\) respectivement) sous des angles donnés. Si le rapport du rectangle \(EO\cdot OD\) au carré de \(OI\) est donné, le point \(O\) est sur une section conique. C'est le lieu à trois droites, ou problème de Pappus pour trois droites.

La forme moderne. Soient \(\ell_1\), \(\ell_2\), \(\ell_3\) des fonctions affines qui s'annulent sur \(AM\), \(AB\) et \(MB\). Une droite menée à une droite fixe sous un angle fixe est proportionnelle à la distance du point à cette droite ; la condition s'écrit donc \(\ell_1\ell_2 = c\,\ell_3^2\), \(c\) constant, et c'est une équation du second degré : une conique. Toutes les coniques de cette famille passent par \(M\) et par \(B\), où elles touchent respectivement \(AM\) et \(AB\) ; le lieu cherché est celle d'entre elles qui passe par un point donné.

La construction du feuillet

Couper \(MB\) en deux en \(q\) et joindre \(Aq\). Par \(O\) mener \(foc\) parallèle à \(MB\) (\(f\) sur \(AM\), \(c\) sur \(AB\)) et \(On\) parallèle à \(MA\) (\(n\) sur \(MB\)). Les triangles \(Oef\), \(Odc\), \(Oin\) ont des angles donnés : ils sont de forme donnée, et les rapports \(OE/Of\), \(OD/Oc\), \(OI/On\) sont donnés. Donc \((fO\cdot Oc)/On^2\) est donné, et, comme \(On = fM\) (parallélogramme \(fMnO\)), le rapport \[ \frac{fO\cdot Oc}{fM^2} \] est donné. Soit \(V\) le point de \(Aq\) tel que, \(VR\) étant menée parallèlement à \(MB\) jusqu'à \(AM\), \(VR^2/RM^2\) soit égal à ce rapport ; puis la conique de diamètre \(Aq\), passant par \(V\), que \(MA\) et \(AB\) touchent en \(M\) et en \(B\). Elle passe par \(O\).⁴⁶ Un tel point \(V\) existe et il est unique : quand \(V\) va de \(q\) vers \(A\), \(VR^2/RM^2\) décroît continûment de l'infini à \(0\). Le feuillet ajoute que, selon la position de \(V\), la conique sera une parabole, une hyperbole ou une ellipse ; précisément, c'est une parabole si \(V\) est le milieu de \(Aq\), une ellipse si \(V\) est entre ce milieu et \(q\), une hyperbole s'il est entre ce milieu et \(A\).⁴⁷

L'analyse du feuillet, et Apollonius III.16

Le feuillet raisonne ainsi. Supposons que la conique passe par \(O\) et coupe encore la parallèle \(foc\) en \(p\). La tangente en \(V\) est \(VR\), parallèle aux ordonnées du diamètre \(Aq\). Par la seizième proposition du troisième livre d'Apollonius, \[ \frac{pf\cdot fO}{fM^2} = \frac{VR^2}{RM^2} ,\] et ce rapport vaut, par construction, \((fO\cdot Oc)/fM^2\). Donc \(pf\cdot fO = fO\cdot Oc\), \(pf = Oc\), et, en ôtant \(Op\), \(fO = pc\). « Ce qui est bien le cas » : \(Aq\) coupant \(MB\) en deux, elle coupe aussi \(fc\) en deux en \(x\), et, étant un diamètre, la corde \(Op\) aussi ; \(fx = xc\) et \(Ox = xp\) donnent \(fO = pc\).⁴⁸

La proposition invoquée est, dans l'énoncé qu'on lui donne d'ordinaire, que, si deux tangentes à une conique se rencontrent, et qu'une parallèle à l'une d'elles coupe la conique en deux points et l'autre tangente en un point, le rectangle des segments compris entre ce point et la conique est au carré du segment de tangente qu'elle retranche comme les carrés des deux tangentes.⁴⁹ C'est bien ce dont le feuillet se sert, avec les tangentes \(RV\) et \(RM\) issues de \(R\), la parallèle \(fOp\) à \(RV\), et la tangente \(AM\) coupée en \(f\). La proposition est vraie, et se démontre ainsi. Soit \(Q = 0\) l'équation de la conique et \(q\) sa partie quadratique. Sur la droite menée d'un point \(P\) dans une direction \(u\), \(Q(P + tu)\) est un trinôme en \(t\) de coefficient dominant \(q(u)\) et de terme constant \(Q(P)\) ; le produit des distances (signées) de \(P\) aux deux points d'intersection est donc \(Q(P)/q(u)\), et, pour une tangente, le carré de la distance au point de contact. Si \(u\) est la direction de \(MB\) et \(w\) celle de \(AM\), \[ \frac{fO\cdot fp}{fM^2} = \frac{Q(f)/q(u)}{Q(f)/q(w)} = \frac{q(w)}{q(u)} = \frac{RV^2}{RM^2} : \] le rapport ne dépend que des directions. Le même calcul redonne la proposition en toute généralité.

La synthèse que le feuillet laisse à faire

Le raisonnement du feuillet est une analyse : il suppose ce qu'il faut prouver et en tire une chose vraie, ce qui ne prouve rien. Il le sait, et conclut : « nec est difficilis ab analysi ad Synthesim per demonstrationem ducentem ad impossibile regressus » — le retour de l'analyse à la synthèse, par une démonstration par l'absurde, n'est pas difficile. Il ne la donne pas. Voici une synthèse directe, sans absurde. Sur la droite \(fc\), prenons le milieu \(x\) pour origine ; \(x\) étant sur le diamètre conjugué de la direction \(u\), le trinôme n'y a pas de terme du premier degré, et, pour le point d'abscisse \(t\), \[ \frac{Q(x + tu)}{q(u)} = \frac{Q(x)}{q(u)} + t^2 . \] En \(f\), par la tangente \(AM\) et la proposition précédente, cette quantité vaut \(fM^2\cdot q(w)/q(u) = fM^2\cdot RV^2/RM^2 = fO\cdot Oc\) par construction. Donc \(Q(x)/q(u) = fO\cdot Oc - fx^2\), et en \(O\) : \[ \frac{Q(O)}{q(u)} = fO\cdot Oc - fx^2 + xO^2 = fO\cdot Oc - (fx - xO)(fx + xO) = fO\cdot Oc - fO\cdot Oc = 0 , \] puisque \(fx - xO = fO\) et \(fx + xO = xc + xO = Oc\). Le point \(O\) est sur la conique.⁵⁰

L'usage des racines secondes, envoyé à Carcavi (ff. 17r–18r, vues 41 à 43)

41–43Le titre, en quatre lignes : « Nouus Secundarum et Vlterioris ordinis Radicum In Analyticis Vsus A Domino de Fermat ad Dominum De Carcaui Die 20a. Aprilis Anno 1650 Missus ».⁵¹ Une « racine seconde » est une seconde inconnue. Le programme : ramener les racines secondes et ultérieures aux premières, ce qui est « du plus grand moment en algèbre », par un seul fondement, l'« analogie d'une égalité double », à itérer autant qu'il le faut.⁵²

La méthode sur l'exemple

Deux équations en \(x\) (la racine première, \(A\) du feuillet) et \(y\) (la racine seconde, \(E\)), où \(Z\) est un solide et \(N^2\) un plan⁵³ : \[ x^3 + y^3 = Z, \qquad Bx + y^2 + Dy = N^2 . \] Premier précepte : dans chaque équation, faire passer d'un même côté les termes qui contiennent \(y\). Posons \(P = Z - x^3\) et \(Q = N^2 - Bx\) : \[ P = y^3, \qquad Q = y^2 + Dy . \] Second précepte : écrire la proportion \(P : y^3 = Q : (y^2 + Dy)\) — les deux rapports valent \(1\) — et égaler le produit des extrêmes à celui des moyens : \[ P\,(y^2 + Dy) = Q\,y^3 , \] soit \(Zy^2 - x^3y^2 + ZDy - x^3Dy = N^2y^3 - Bxy^3\).⁵⁴ Le second et le quatrième terme de la proportion contenant \(y\), tout se divise par \(y\) : \[ P\,(y + D) = Q\,y^2 . \] « Cette nouvelle équation sera plus basse d'un degré au moins, quant à la racine seconde, que la plus haute des deux proposées » : degré 2 en \(y\) au lieu de 3. On recommence avec elle, mise sous la forme \(PD = Qy^2 - Py\), et avec \(Q = y^2 + Dy\) : \[ PD\,(y^2 + Dy) = Q\,(Qy^2 - Py) , \qquad\text{puis, divisé par } y, \qquad PD\,(y + D) = Q\,(Qy - P) . \] Le feuillet développe ces deux lignes terme à terme, et tous ses termes sont justes. Cette fois \(y\) n'apparaît plus qu'au premier degré, « sous le côté », et une seule division, l'« application », le donne : \[ y = \frac{ZD^2 - x^3D^2 + N^2Z - N^2x^3 - BZx + Bx^4} {N^4 - N^2Bx - BxN^2 + B^2x^2 - ZD + x^3D} = \frac{P\,(Q + D^2)}{Q^2 - DP} . \] Le feuillet écrit ce quotient tel quel, avec les deux termes \(-N^2BA\) et \(-BAN^2\) séparés au dénominateur ; la factorisation est de cette lecture.

Dernier précepte : remplacer \(y\) par cette valeur dans l'une des deux équations, de préférence la plus basse, pour que le degré ne monte pas ; « il est manifeste que la racine seconde a entièrement disparu, qu'on est arrivé à une équation libre de toute irrationalité, et que la méthode est générale ». S'il y a plus de deux inconnues, on ramène de même les troisièmes aux premières et secondes, puis les secondes aux premières.

Ce que la méthode calcule

Chaque « analogie » remplace les deux équations par une combinaison à coefficients polynomiaux — le produit croisé est \((y^2 + Dy)\cdot(P - y^3) - y^3\cdot(Q - y^2 - Dy)\) — qui est encore vérifiée par toute solution commune et dont le degré en \(y\) a baissé d'une unité. Au bout, l'équation en \(x\) seul est ce qu'on appelle aujourd'hui l'éliminant, et la théorie de l'élimination lui donne une forme canonique, le résultant. Ici, le résultant en \(y\) des deux équations est \[ \operatorname{Res}_y = P^2 + D^3P + 3DPQ - Q^3 , \] de degré 6 en \(x\), comme le veut le produit des degrés, \(3\times 2\). L'équation finale de la méthode, obtenue en portant la valeur de \(y\) dans \(Q = y^2 + Dy\) et en chassant le dénominateur, est de degré 8 : à un signe près, c'est \((N^2 - Bx)^2\cdot\operatorname{Res}_y\). Elle contient donc le facteur parasite \((N^2 - Bx)^2\), dont la racine \(x = N^2/B\) n'est pas, en général, une solution du problème.⁵⁵

Trois précisions rendent la méthode exacte. Les divisions par \(y\) perdent les solutions où \(y = 0\), qui n'existent ici que si \(Z = x^3\) et \(N^2 = Bx\) à la fois. L'« application » suppose le dénominateur non nul : en une solution commune, \(Q^2 - DP = y^2(y^2 + Dy + D^2)\), qui ne s'annule pas pour \(y\) réel non nul. Enfin la substitution finale peut introduire des racines étrangères, comme on vient de le voir. La division euclidienne, en \(y\), du premier polynôme par le second aurait donné l'équation du premier degré en une seule étape, \(y = (P + DQ)/(Q + D^2)\) ; les deux expressions de \(y\) coïncident en toute solution commune. La méthode est générale au sens où elle élimine toujours ; pour qu'elle soit exacte, il faut en contrôler les facteurs perdus et ajoutés, ce que fait le résultant.

L'« Appendix ad superiorem methodum » : radicaux, problèmes abondants, le cône (ff. 18v–20v, vues 44 à 48)

44–48

Les radicaux

« C'est à la méthode précédente qu'on doit l'expurgation parfaite et absolue des irrationalités en algèbre » ; le remède de Viète, le seul connu jusqu'ici, n'y suffit pas.⁵⁶ Proposons par exemple \[ \sqrt[3]{Bx^2 - x^3} + \sqrt{x^2 + Zx} + \sqrt[4]{B^3x - x^4} + \sqrt{Gx - x^2} = N : \] comment l'« analyste viétéen » s'en tirera-t-il ? « Tandis que croîtra le travail, ne croîtra-t-il pas la difficulté ? »⁵⁷

L'exemple traité⁵⁸ : \[ \sqrt[3]{Zx^2 - x^3} + \sqrt[3]{x^3 + B^2x} = D . \] On isole un radical, \(D - \sqrt[3]{x^3 + B^2x} = \sqrt[3]{Zx^2 - x^3}\), puis on nomme racine seconde chacun des autres : \(y = \sqrt[3]{x^3 + B^2x}\). En cubant, \[ D^3 - 3D^2y + 3Dy^2 - y^3 = Zx^2 - x^3, \qquad y^3 = x^3 + B^2x , \] deux équations en \(x\) et \(y\), sans radical, auxquelles s'applique la méthode ; le feuillet s'arrête là. Cette lecture a achevé l'élimination. Si \(u + v = D\) avec \(u^3 = a\) et \(v^3 = b\), alors \(D^3 = a + b + 3uvD\), d'où \((D^3 - a - b)^3 = 27abD^3\) ; ici \(a + b = Zx^2 + B^2x\), et l'équation sans radical est \[ \bigl(D^3 - Zx^2 - B^2x\bigr)^3 = 27D^3\,(x^3 + B^2x)(Zx^2 - x^3) , \] de degré 6 en \(x\) (coefficient dominant \(27D^3 - Z^3\)) ; c'est bien le résultant en \(y\) des deux équations précédentes. Pour des racines cubiques réelles, elle équivaut à l'équation de départ, sauf dans le cas où les deux radicaux valent tous deux \(-D\).⁵⁹

La règle générale : s'il ne suffit pas de racines secondes, on nomme les radicaux racines troisièmes, quatrièmes, et ainsi de suite, et l'on élimine la dernière comme une seconde, en tenant les autres pour connues, puis la précédente, jusqu'aux premières. « Il n'est donc aucune irrationalité que cette méthode ne force à disparaître. »⁶⁰ C'est exact : une équation où figurent des radicaux de polynômes se ramène, en nommant chaque radical une nouvelle inconnue et en éliminant, à une équation polynomiale ; celle-ci contient toutes les solutions de la première, et peut en avoir d'autres, venues des autres déterminations des racines.

Le feuillet ajoute que, les irrationalités disparues, l'artifice de Viète pour les questions numériques donne des solutions aussi approchées qu'on veut, « alors que, tant que durent les irrationalités, on ne saurait en aucune façon obtenir de solutions approchées ». La première affirmation est juste ; la seconde est un jugement de l'écrivain, que les méthodes numériques d'aujourd'hui démentent : elles s'appliquent directement aux équations à radicaux.⁶¹

Problèmes déterminés, locaux, « à la surface », abondants

« Il s'est offert aussi à celui qui cherchait plus loin » une méthode pour la connaissance des lieux à la surface, et pour les problèmes où il est donné plus qu'il n'en faut.⁶² Un problème à une seule inconnue est « déterminé » : on cherche un point. Un problème à deux inconnues, qu'on ne peut réduire à une, est « local » : on cherche une ligne. À trois inconnues, on cherche une surface : ce sont les « lieux à la surface ». Aux premiers les données suffisent ; aux seconds il en manque une, aux troisièmes deux. Et il se peut, à l'inverse, qu'il y ait trop de données : le problème est alors « abondant ». Les problèmes locaux, par opposition, l'écrivain les appelle « déficients ». Aujourd'hui : un système de \(m\) équations indépendantes en \(n\) inconnues définit, en général, un ensemble de dimension \(n - m\) ; un problème abondant est un système surdéterminé, \(m > n\).

L'exemple : sur une droite donnée \(AC\), un point \(B\) tel que le rectangle \(AB\cdot BC\) soit donné et que la différence des carrés \(AB^2 - BC^2\) soit donnée aussi. Il y a une donnée de trop.⁶³ L'avantage est que la solution ne demande plus d'extraction de racine : comme \(AB + BC = AC\) et \(AB^2 - BC^2 = (AB - BC)(AB + BC) = s\), on a \(AB - BC = s/AC\), et \[ AB = \frac{AC^2 + s}{2\,AC} , \] par une simple division ; la donnée du rectangle, \(r\), n'est plus qu'une condition de compatibilité, \(r = \dfrac{AC^4 - s^2}{4\,AC^2}\).⁶⁴ Or ces problèmes sont très fréquents, « surtout en physique et chez les artisans », et la méthode les expédie tous « par une simple application, sans extraction de racines, à quelque puissance que montent les équations ».

L'exemple en lettres : \[ x^3 + B^2x = Z^2D, \qquad Gx - x^4 = B^2N , \] où \(G\) est un solide et \(N\) un plan ; le problème est supposé abondant, les deux équations ayant une racine commune. On traite la racine \(x\) comme on traitait la racine seconde, jusqu'à ce qu'elle soit donnée par une simple division. Cette lecture a fait le calcul par divisions successives : en remplaçant \(x^4\) par \(Z^2Dx - B^2x^2\), la seconde équation devient \(B^2x^2 + (G - Z^2D)\,x - B^2N = 0\), du second degré ; la première, divisée par celle-ci, laisse une équation du premier degré, qui donne \[ x = \frac{B^2\,\bigl(B^2DZ^2 - DNZ^2 + GN\bigr)} {B^6 + B^4N + (G - DZ^2)^2} . \] C'est exact sous l'hypothèse que les deux équations ont une racine commune et une seule : la racine commune est alors racine de leur plus grand commun diviseur, qui est du premier degré, et s'exprime rationnellement par les données. Si elles en avaient deux, le plus grand commun diviseur serait du second degré, et la dernière division donnerait \(0 = 0\).

Le cône coupé suivant un cercle

« En guise de couronnement », le « fameux problème » : une ellipse et un point hors de son plan étant donnés, couper par un plan la surface conique de sommet ce point et de base cette ellipse, de sorte que la section soit un cercle.⁶⁵ Les géomètres, dit le texte, prennent cinq points de l'ellipse, les joignent au sommet, et cherchent un cercle qui rencontre ces cinq droites ; mais, les points de l'ellipse étant en nombre infini, si l'on en prend six, le problème devient abondant, et il en naît une égalité double qui donne l'inconnue par une simple division. Le feuillet s'en tient à cette indication, sans calcul, et cette lecture ne reconstitue pas la solution. Le problème a toujours des solutions : le cône sur une ellipse est un cône du second degré, et ses sections circulaires sont les sections par les plans parallèles à deux plans fixes, ses plans cycliques, qui se confondent quand le cône est de révolution.⁶⁶

Le texte annonce enfin qu'on trouvera de même les diamètres et les axes d'une courbe plane ou d'une surface donnée, de degré quelconque ; qu'on coupera une surface conique dont la base est une parabole ou une ellipse « cubique », « quadrato-quadratique » ou de degré supérieur, de sorte qu'y paraisse telle courbe qu'on voudra ; et « nous n'ajoutons rien sur les tangentes des courbes et plusieurs autres usages de ce genre ». Ce sont des annonces, rapportées comme telles.⁶⁷

La lettre à Carcavi (ff. 21r–22r, vues 49 à 51)

49–51« Lettre de Mons.r De fermes / A Monsieur De Carcaui De Castres / Le 20e auril 1650. », de la main des vues 41 à 48, en français.⁶⁸ Elle commence : « Monsieur Je n'ay point voulu differer a vous Enuoyer ma methode generale pour le desbrouilement des Asymmetries ». L'épistolier envoie « mon original par pure paresse », demande qu'on le lui renvoie « ou bien vne coppie », et ne réclame pour ses intérêts que « la satisfaction … d'auoir deuoilé vne matiere qui n'estoit pas cognüe ». Il parle à la fin de « mon escrit Latin », que ces éclaircissements doivent rendre moins concis.⁶⁹

La tangente à une courbe irrationnelle

« Si vous voulés auoir le plaisir tout entier », proposez de trouver la tangente d'une courbe dont la propriété soit, en prenant cette fois \(A\) pour l'ordonnée et \(E\) pour l'abscisse — ici \(y\) et \(x\)⁷⁰ : \[ \sqrt[3]{Z^2y - y^3} + \sqrt[4]{B^4 - D^2By + y^4} + \sqrt{By - y^2} + \sqrt[5]{y^5 - B^4y} = B + y - x . \] Que fera là, demande-t-il, « La methode de Mons.r Des Cartes que vous sçauës estre Infiniment plus Embarassée que la mienne si les Asymmetries ne sont ostées » ? Sa réponse : en nommant chaque ligne irrationnelle racine seconde, tierce, quarte, on arrive toujours à des égalités doubles, que l'on réitère jusqu'à ce que la division simple ôte la dernière racine, puis l'avant-dernière ; il reste une équation sans irrationalité entre \(x\) et \(y\), qui « representera la proprieté specifique de la Courbe ». Alors « ma methode de Tangentibus » donne la tangente « par La seule application », c'est-à-dire par une division, « ce qui semble merueilleux ». Il n'ajoute pas l'opération entière, à cause de sa longueur.⁷¹

Ce qu'il affirme est exact. Pour une courbe \(F(x,y) = 0\) polynomiale, la tangente en un point régulier a pour pente \(-F_x/F_y\), fraction rationnelle des coordonnées du point : on la trouve sans extraire de racine. On remarquera aujourd'hui qu'ici l'élimination n'est même pas nécessaire : l'abscisse \(x\) figure au premier degré, la courbe est le graphe \(x = B + y - \sum(\text{radicaux})\), et la dérivée de chaque radical, \(\tfrac{d}{dy}\sqrt[k]{p(y)} = p'(y)/\bigl(k\,\sqrt[k]{p(y)}^{\,k-1}\bigr)\), s'exprime rationnellement par \(y\) et par la valeur du radical au point.

Le problème de Descartes

La lettre poursuit : ce que ces méthodes donnent était inconnu « Jusqu'a present, puisque Monsieur Des Cartes que Je nomme auec tout le respect qui est deub a la memoire d'vn si grand et si merueilleux homme, proposoit comme vne difficulté Insurmontable La question suiuante » : étant donnés quatre points, et une courbe telle que, pour chacun de ses points, les droites menées aux quatre points donnés fassent une somme donnée, trouver la tangente en un point quelconque de cette courbe. « Ainsy que Je puis faire voir par vne de ses Lettres » ; ce renvoi n'est pas vérifié ici.⁷² L'épistolier affirme que ses méthodes jointes en donnent la solution simple, et que « l'opération se fait en se jouant ».

La courbe s'appelle aujourd'hui une ellipse à quatre foyers (une \(n\)-ellipse pour \(n = 4\)). Sa tangente se trouve en effet simplement : si \(P_1,\dots,P_4\) sont les points donnés et \(P\) un point de la courbe, le gradient de \(\sum_i |P - P_i|\) est \(\sum_i u_i\), où \(u_i\) est le vecteur unitaire dirigé de \(P_i\) vers \(P\) ; la normale en \(P\) est dirigée par la somme de ces quatre vecteurs unitaires, et la tangente lui est perpendiculaire — là où cette somme n'est pas nulle et où \(P\) n'est aucun des \(P_i\). La construction se fait à la règle et au compas. La lettre, elle, n'en donne pas l'opération.

Elle conclut : le principal effet de la nouvelle méthode « paroist aux tangentes de toutte sorte de lignes a l'Infiny », qui s'y trouvent toujours « par application simple », et ensuite « aux questions que J'appelle abondantes, qui se resoluent aussy par la seule diuision et sans aucunes Extractions de Racines ».