Français 9115 · lot 12 · vues 221–240 · Transcription · Papiers de Sophie GERMAIN. — Recueil de dissertations et problèmes mathématiques et physiques.
Datation du catalogue : 1801-1900
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Numérotation des feuillets. Chaque feuillet écrit porte deux nombres à l'encre : au milieu du haut de la page, souligné, la pagination de la main elle-même pour cette pièce — 4 (vue 224), 5 (226), 6 (228), 7 (230), 8 (234), 9 (236), 10 (238), 11 (240), le chiffre de la vue 222 étant coupé par le bord replié du feuillet et lu 3 avec doute, et la vue 232 n'en portant aucun ; en haut à droite, la série à l'encre des lots précédents, 108 (vue 222), 109 (224), 110 (226), 111 (228), 112 (230), 113 (232), 114 (234), 115 (236), 116 (238), 117 (240), un nombre par feuillet et sans lacune. Tous ces nombres ont été lus sur la vue ; aucun n'est déduit. Aucune foliotation au crayon de la Bibliothèque n'a été lue sur ces vues, et aucun « f. » n'est donc porté ici. Les vues 221, 223, 225, 227, 229, 231, 233, 235, 237 et 239 sont les dos blancs des feuillets photographiés aux vues précédentes : ce qu'on y croit lire est le recto vu en transparence, à rebours, et elles ne sont pas transcrites. La citation, dont les lignes sont toutes ouvertes d'un guillemet à la manière du temps, commence avant ce lot et se ferme à la vue 228 ; les guillemets sont conservés en tête des lignes de prose, et non répétés devant les équations mises hors du texte.

222

au milieu du haut de la page, le nombre 3, souligné : le haut du chiffre passe sous le bord replié du feuillet et n'est pas entier ; le nombre 108 est à l'encre en haut à droite. Les guillemets ouvrants sont répétés en tête de chaque ligne de la page, lignes d'équations comprises, à la manière du temps ; ils sont conservés en tête des lignes de prose, et non répétés devant les équations mises ici hors du texte. Le verso de ce feuillet, vue 223, est blanc.

\[\text{I.}\ \alpha e^{\lambda\omega}+\beta e^{-\lambda\omega}+\gamma\,\text{sin.}\,\lambda\omega+\delta\cos.\lambda\omega=0\] \[\text{II.}\ \alpha' e^{\lambda\omega}+\beta' e^{-\lambda\omega}+\gamma'\,\text{sin.}\,\lambda\omega+\delta'\cos.\lambda\omega=0\] \[\begin{align*} &\text{III.}\ \alpha e^{\lambda\omega}-\beta e^{-\lambda\omega}+\gamma\cos.\lambda\omega-\delta\,\text{sin.}\,\lambda\omega=\alpha' e^{\lambda\omega}-\beta' e^{-\lambda\omega}+\gamma'\cos.\lambda\omega-\delta'\,\text{sin.}\,\lambda\omega \\ &\text{ou III}\ (\alpha-\alpha')e^{\lambda\omega}-(\beta-\beta')e^{-\lambda\omega}+(\gamma-\gamma')\cos.\lambda\omega-(\delta-\delta')\,\text{sin.}\,\lambda\omega=0 \\ &\text{IV}\ (\alpha-\alpha')e^{\lambda\omega}+(\beta-\beta')e^{-\lambda\omega}-(\gamma-\gamma')\,\text{sin.}\,\lambda\omega-(\delta-\delta')\cos.\lambda\omega=0 \end{align*}\]

« Maintenant donc en considérant les extrémités, il en résultera « quatre équations selon que l'on fera ou \(\lambda=0\) ou \(\lambda=1\) ; car l'extrémité « \(E\), pour laquelle \(u=0\) donne. V. \(\alpha+\beta+\delta=0\) et VI. \(\alpha+\beta-\delta=0\) et « l'autre extrémité \(E\), pour laquelle \(u=1\) donne VII. \(\alpha' e^{\omega}+\beta' e^{-\omega}+\gamma'\,\text{sin.}\,\omega+\delta'\cos.\omega=0\) « et VIII. \(\alpha' e^{\omega}+\beta' e^{-\omega}-\gamma'\,\text{sin.}\,\omega-\delta'\cos.\omega=0\). devant « Maintenant », après le guillemet, un « e » isolé, tracé puis laissé, sans rature. La seconde extrémité est écrite « \(E\) » comme la première, du même tracé à trois traits ; c'est le \(F\) du mémoire. Le mot « extrémité » est traversé d'un long trait horizontal, qui est la barre du \(t\) rejetée sur le mot et non une rature.

« Ainsi nous avons rencontré huit équations pour déterminer « les huit coefficiens \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\), et \(\alpha'\), \(\beta'\), \(\gamma'\), \(\delta'\) et il faudra « trouver de plus, une équation d'où on puisse tirer la valeur d'\(\omega\).

« Nous commençons par les équations V et VI dont la comparaison « donne \(\beta=-\alpha\) et \(\delta=0\) ; ensuite les équations VII et VIII ajoutées « l'une a l'autre donnent encore \(\alpha' e^{\omega}+\beta' e^{-\omega}=0\), et soustraites « l'une de l'autre elles donnent encore \(\gamma'\,\text{sin.}\,\omega+\delta'\cos.\omega=0\), d'où il « résulte \(\beta'=-\alpha' e^{2\omega}\) et \(\delta'=-\gamma'\,\text{tang.}\,\omega\). Ces valeurs substituées dans « la première et seconde équation donnent

\[\text{I.}\ \alpha(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})+\gamma\,\text{sin.}\,\lambda\omega=0 \text{ et II. } \alpha'(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})+\gamma'\,\text{sin.}\,\lambda\omega-\gamma'\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega=0.\]

« De ces équations on tire les valeurs : \(\gamma=-\alpha(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\) et \(\gamma'=-\dfrac{\alpha'(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})}{\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega}\) « et par conséquent \(\delta'=\dfrac{\alpha'(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})\,\text{tang.}\,\omega}{\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega}\). la valeur de \(\gamma\) est écrite sans dénominateur ; la ligne qui donne plus bas \(\gamma-\gamma'\) porte bien \(\text{sin.}\,\lambda\omega\) sous le même numérateur.

« en rassemblant ces valeurs pour les autres équations nous avons.

\[\begin{align*} &\beta-\beta'=-\alpha+\alpha' e^{2\omega},\quad \gamma-\gamma'=-\frac{\alpha(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}{\text{sin.}\,\lambda\omega}+\frac{\alpha'(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})}{\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega} \\ &\delta-\delta'=-\frac{\alpha'(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})\,\text{tang.}\,\omega}{\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega}. \end{align*}\]

« on a maintenant

\[\begin{align*} &\text{III.}\ \alpha\big\{(e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega})-(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\cot.\lambda\omega\big\} \\ &\qquad=\alpha'\Big\{(e^{\lambda\omega}+e^{\omega(2-\lambda)})-(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})\frac{\cos.\lambda\omega+\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega}{\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega}\Big\} \end{align*}\]

« équation qui peut être mise sous cette forme :

\[\begin{align*} &\alpha\big\{(e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega})-(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\cot.\lambda\omega\big\} \\ &\qquad=\alpha'\big\{(e^{\lambda\omega}+e^{\omega(2-\lambda)})-(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})\big\}\cot(1-\lambda)\omega \end{align*}\]

« l'équation quatrième donne celle-ci \(2\alpha(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})=2\alpha'(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})\) ; dans la forme réduite, le second membre porte un « \(-\) » devant \((e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})\), et l'accolade se ferme avant \(\cot(1-\lambda)\omega\), qui reste hors de l'accolade : c'est ainsi que la ligne est écrite. Le feuillet s'arrête sur cette équation, au tiers supérieur de la page ; le reste est blanc.

224

au milieu du haut de la page, le nombre 4, souligné ; le nombre 109 est à l'encre en haut à droite. Comme à la vue précédente, le guillemet ouvrant est répété en tête de chaque ligne, titre compris. Le verso, vue 225, est blanc.

« et on déduit de cette dernière \(\dfrac{\alpha}{\alpha'}=\dfrac{e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)}}{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}\) « d'où on conclut qu'il est permis de prendre \(\alpha=e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)}\), et \(\alpha'=e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}\) « valeurs qu'il faut substituer maintenant dans la troisième équation ; « cette substitution donne après les réductions convenables

\[\begin{align*} &0=2-2e^{2\omega}-(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})(\cot.\lambda\omega+\cot.(1-\lambda)\omega) \quad\text{ou} \\ &0=2-2e^{2\omega}-(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\frac{\text{sin.}\,\omega}{\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega} \end{align*}\]

« ainsi la question est réduite de cette équation les valeurs de l'angle « \(\omega\), je n'ose entreprendre ce travail a cause de la complication des « formules, il suffit d'avoir montré dans ce lieu par quelle méthode « on peut traiter ces difficiles questions … mais le « cas ou \(\lambda=\frac{1}{2}\) mérite d'être développé. « la question est réduite de cette équation les valeurs de l'angle \(\omega\) » : la ligne est écrite ainsi, sans le verbe qui vaudrait « à tirer de ». Après « questions », neuf points de suite tiennent la place de ce qui n'est pas traduit.

« Développement du cas « dans lequel la lame \(E\) \(F\) est appuiée non seulement a ses extrémités \(E\) et \(F\), mais « encor dans le milieu de dela longueur

le titre tient trois lignes, chacune ouverte d'un guillemet ; un trait horizontal le sépare de la suite. « de dela longueur » est écrit ainsi, avec « de » puis son « dela » en un mot.

« §. 48. Parceque dans ce cas \(\lambda=\frac{1}{2}\), l'équation finale prend cette forme : \[0=2-2e^{2\omega}-(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{\frac{3}{2}\omega})(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega})\frac{\text{sin.}\,\omega}{\text{sin.}^2\frac{1}{2}\omega}\] « qui peut être réduite a celle ci : […] \[0=2(1+e^{\omega})\,\text{sin.}^2\tfrac{1}{2}\omega-(e^{\omega}-1)\,\text{sin.}\,\omega,\] « en écrivant \(2\,\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega\cos.\frac{1}{2}\omega\) au lieu de \(\text{sin.}\,\omega\) « cette équation se change en celle-ci \[0=(1+e^{\omega})\,\text{sin.}^2\tfrac{1}{2}\omega-(e^{\omega}-1)\,\text{sin.}\,\tfrac{1}{2}\omega\cos.\tfrac{1}{2}\omega\] entre « réduite a celle ci : » et l'équation qui suit, une formule est entièrement biffée d'un zigzag épais ; on n'y distingue plus que des exposants \(2\omega\), \(\frac{1}{2}\omega\) et \(\frac{3}{2}\omega\), et elle n'est pas lue. Le facteur écrit ici est \(2(1+e^{\omega})\), l'exposant est bien \(\omega\).

« laquelle a manifestement deux facteurs l'un \(\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega\) et l'autre « \((1+e^{\omega})\,\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega-(e^{\omega}-1)\cos.\frac{1}{2}\omega\), qui égalés a zéro donnent chacun une « solution : nous les examinerons donc chacun en particulier.

« §. 49. Nous prenons pour le premier cas \(\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega=0\), et on aura par conséquent « \(\frac{1}{2}\omega=i\pi\), \(i\) représentant un nombre entier quelconque, ce qui comprend déjà « une quantité innombrable de mouvemens réguliers ; il est clair que « ce cas est parfaitement semblable au cas quatrième que nous « avons developpé plus haut [ce cas est celui ou les deux extrémités « sont appuiées], si ce n'est qu'on a ici \(\frac{1}{2}\omega\) a la place d'\(\omega\) « dans l'endroit cité, et cela parceque l'une et l'autre parties « dela longueur sont seulement la moitié de \(a\). le chiffre du paragraphe est brouillé par une reprise à la plume ; il est lu 49 avec doute. Les crochets droits sont de la main du feuillet. Le feuillet s'arrête ici, un peu au-dessous du milieu de la page.

226

au milieu du haut de la page, le nombre 5, souligné ; le nombre 110 est à l'encre en haut à droite. Guillemet ouvrant en tête de chaque ligne. Le verso, vue 227, est blanc.

« L'une et l'autre moitiés font leurs vibrations, de la même manière « que si elles avoient leurs extrémités appuiées au point ou est le stilet « c'est pourquoi les sons simples que l'une et l'autre portions « peuvent donner sont exprimés par les nombres suivans:

\[\frac{4\pi c\surd 2gb}{aa};\ \frac{16\pi c\surd 2gb}{aa};\ \frac{36\pi c\surd 2gb}{aa};\ \frac{64\pi c\surd 2gb}{aa};\]

« et sont par conséquent les doubles octaves audessus de ceux qui ont « lieu dans le cas quatrième, la raison en est que dans ce cas « les longueurs sont seulement lamoitié de celles de l'autre cas

« §. 50. Ainsi dans ce cas les coëfficiens \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\) et \(\alpha'\), \(\beta'\), \(\gamma'\), \(\delta'\) seront « déterminés dela manière suivante :

\[\begin{align*} &\alpha=e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{\frac{3}{2}\omega};\quad \beta=e^{\frac{3}{2}\omega}-e^{\frac{1}{2}\omega};\quad \gamma=-\frac{(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{\frac{3}{2}\omega})(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega})}{\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega};\quad \delta=0 \\ &\alpha'=e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega};\quad \beta'=-e^{2\omega}(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega});\quad \gamma'=-\frac{(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega})(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{\frac{3}{2}\omega})}{\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega-\cos.\frac{1}{2}\omega\,\text{tang.}\,\omega}; \\ &\delta'=\frac{(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega})(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{\frac{3}{2}\omega})\,\text{tang.}\,\omega}{\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega-\cos.\frac{1}{2}\omega\,\text{tang.}\,\omega} \end{align*}\]

« or, \(\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega-\cos.\frac{1}{2}\omega\,\text{tang.}\,\omega=\dfrac{\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega\cos.\omega-\cos.\frac{1}{2}\omega\,\text{sin.}\,\omega}{\cos.\omega}=-\dfrac{\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega}{\cos.\omega}\), a cause de « \(\omega=2i\pi\), on a \(\cos.\omega=1\) et \(\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega=0\). Si nous multiplions donc tous ces « coëfficiens par \(\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega\) nous aurons \(\alpha=0\), \(\beta=0\), \(\gamma=-(1-e^{\omega})(e^{\omega}-1)\), \(\delta=0\) ; « enfin \(\alpha'=0\), \(\beta'=0\), \(\gamma'=(e^{\omega}-1)(1-e^{\omega})\) et \(\delta'=0\).

« Ainsi parceque tous ces coëfficiens s'évanouissent, excepté \(\gamma\) et \(\gamma'\) « et que de plus \(\gamma=-\gamma'\) si nous faisons \(\gamma=1\) nous aurons \(\gamma'=-1\) ; « ainsi pour la portion \(E L\) l'équation qui exprime le mouvement « sera \[y=C\,\text{sin.}\Big(\zeta+t.\frac{\omega\omega c\surd 2gb}{aa}\Big)\text{sin.}\,u\omega\] et pour la portion \(L F\) \[y=-C\,\text{sin.}\Big(\zeta+t.\frac{\omega\omega c\surd 2gb}{aa}\Big)\text{sin.}\,u\omega\] dans lesquelles \(s=\frac{u}{a}\), devant la seconde équation, trois petits traits en ligne comme des points de conduite, à la place du facteur laissé de côté. La lettre posée devant le signe d'égalité, à « dans lesquelles », a la forme d'un long « s » ; le rapport lui-même est écrit \(\frac{u}{a}\). Laissé tel que lu.

« §. 51. Mais outre cette solution on en tire une autre de l'autre facteur « duquel il résulte \[\text{tang.}\,\tfrac{1}{2}\omega=\frac{e^{\omega}-1}{1+e^{\omega}}=\frac{e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega}}{e^{\frac{1}{2}\omega}+e^{-\frac{1}{2}\omega}}\] « valeur qui est lamême que celle que nous avons trouvé cidessus cas V. « [ce cas est celui ou une extrémité est fixée et l'autre appuiée] « la seule différence consiste en ce qu'on a ici \(\frac{1}{2}\omega\) au lieu de \(\omega\), ce qui est naturel « puisque l'une et l'autre portions dela longueur sont seulement lamoitié « de \(a\).

« Nous concevons presentement que l'une et l'autre portions \(E L\) « et \(L F\) puisse se mouvoir en même tems et que les deux extrémités « \(E\) et \(F\) étant simplement appuiées, le point \(L\) soit fixe. Les « valeurs d'\(\omega\) seront alors \(\frac{5\pi}{2}\), \(\frac{9\pi}{2}\), \(\frac{13\pi}{2}\), &c. et par conséquent le son sera « de deux octaves plus élevé que dans le cas V. Il est digne de remarque « que les deux portions \(E L\) et \(L F\) peuvent vibrer de deux manières, les mots « outre » et « cette », au §. 51, sont traversés d'un long trait horizontal qui est la barre du \(t\) rejetée, non une rature. Les crochets droits sont de la main du feuillet. « élevé » est tracé comme « ébré », sans hampe à la deuxième lettre. Le feuillet s'arrête sur « manières, », un peu au-dessous du milieu de la page.

228

au milieu du haut de la page, le nombre 6, souligné ; le nombre 111 est à l'encre en haut à droite. La citation s'achève à la troisième ligne, sur un guillemet fermant ; à partir de là le feuillet porte le texte de la main elle-même, sans guillemets. Le verso, vue 229, est blanc.

« L'une qui se rapporte au cas IV et l'autre au cas V. Au reste les « valeurs des coëfficiens sont les mêmes que celles que nous avons trouvées « plus haut, si ce n'est que pour ce cas on n'a pas \(\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega=0\) ».

I. La première réflexion qui se présente ici est que cette seconde solution sort de l'état de la question car l'énoncé du problème indique assez que les mouvemens dela lame soumise a l'action du stilet en \(L\) doivent être compris au nombre de tous les mouvemens possibles dont la même lame est susceptible lorsqu'elle a des extrémités appuiées et les formules employées a trouver l'équation deffinitive alaquelle il s'agit de satisfaire confirment cette remarque ; puisque l'auteur y employe a recours a y quatre équations dépendantes de l'état des extrémités. la page s'ouvre sur un « I. » isolé devant la première ligne, de la même encre, comme les lettres de série des autres brouillons. « a recours a » est écrit au-dessus de la ligne, par-dessus les mots biffés.

Cela posé, il en résulte, ce me semble, que la condition \(\text{sin.}\,\omega=0\), qu'il a établi […] devoir toujours avoir lieu être remplie pour tous les mouvemens possibles dela lame dont il s'agit, doit s'accorder avec la solution du present problème ; et c'est effectivement ce que l'on trouve pour la première solution savoir \(\text{sin.}\,\frac{1}{2}\omega=0\), mais la même chose n'a pas lieu pour la seconde solution qu'il admet, car l'équation \(\text{tang.}\,\frac{1}{2}\omega=\frac{e^{\omega}-1}{e^{\omega}+1}\) ne peut s'accorder avec la condition \(\text{sin.}\,\omega=0\) que dans la supposition \(\omega=0\) ([…] cas IV §. 35 &c.) « être remplie » est écrit au-dessus de « avoir lieu » biffé ; le mot biffé après « établi » est noyé sous la rature et n'est pas lu. Sous la même ligne, à droite, un court renvoi entre parenthèses : on y lit « cas IV §. 35 », précédé d'une lettre qui n'est pas décidée et suivi d'un signe lu « &c. » avec doute.

Cependant le respect dû au […] l'opinion d'Euler m'a engagé a examiner le cas general \(\times\) afin de savoir si il étoit susceptible d'une solution dans laquelle celle qui m'avoit inspiré des doutes peut être comprise En cherchant donc a résoudre son équation \[0=2(1-e^{2\omega})-(e^{\lambda\omega}-e^{\omega(2-\lambda)})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\frac{\text{sin.}\,\omega}{\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega}\] pour une valeur quelconque de \(\lambda\), j'ai voulu m'assurer de l'existence du facteur \(\text{tang.}\,\lambda\omega=\frac{e^{2\lambda\omega}-1}{e^{2\lambda\omega}+1}\), pour les valeurs de \(\lambda\) differentes \(\frac{1}{2}\). « l'opinion » est écrit au-dessus des mots biffés qui suivent « dû » ; sous la rature on distingue « au » et un mot qui n'est pas lu. « donc » est ajouté au-dessus de la ligne, après « cherchant ». La croix qui suit « le cas general » appelle la note portée dans la marge de gauche, en trois lignes, qui commence elle-même par la même croix ; elle est mise ici à sa place. Le feuillet s'arrête sur « \(\frac{1}{2}\). » ; le reste de la page est blanc.

230

au milieu du haut de la page, le nombre 7, souligné ; le nombre 112 est à l'encre en haut à droite. « Pour cela » est écrit seul au-dessus de la première ligne, un peu à gauche. Le verso, vue 231, est blanc.

Pour cela

2. Je reprend donc l'équation \[0=2(1-e^{2\omega})-(e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\frac{\text{sin.}\,\omega}{\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega}\] ou \[0=2(1-e^{2\omega})\,\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega-(1-e^{2(1-\lambda)\omega})(e^{2\lambda\omega}-1)\,\text{sin.}\,\omega\] à la fin de la première de ces deux équations, un « \(=0\) » pâle, à demi effacé, après la fraction ; la ligne commence déjà par « \(0=\) ». Le mot « donc », après « reprend », est traversé d'un trait épais et court.

Si on veut conserver la plus parfaite analogie entre le cas général et celui ou \(\lambda=\frac{1}{2}\), on peut diviser cette équation par le facteur \(e^{2\lambda\omega}-1\), duquel on tireroit, comme dans le cas cité \(\omega=0\). L'équation elle se réduit par cette division a \[\begin{align*} &2\big\{1+e^{2\lambda\omega}+e^{4\lambda\omega}+e^{6\lambda\omega}\ldots+e^{2(1-\lambda)\omega}\big\}\,\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega \\ &\qquad -(1-e^{2(1-\lambda)\omega})\,\text{sin.}\,\omega=0 \end{align*}\]

J'observe que par la nature de laquestion, \(\lambda\) est toujours egal aune fraction et que dans le cas des deux extrémités appuiées, cas dont il s'agit ici, cette fraction est partie aliquote de l'unité ou multiple d'une telle fraction partie. « multiple d'une telle fraction partie. » est ajouté au-dessous de la ligne, en petits caractères, et « fraction » y est biffé.

On trouve par les formules connues, pour le cas ou le dénominateur de la fraction \(\lambda\) est un nombre impair et supposant le numerateur egal a l'unité, \[\text{sin.}\,\omega=\frac{1}{\lambda}\,\text{sin.}\,\lambda\omega-\frac{1-\lambda^2}{\lambda^3.2.3}\,\text{sin.}^3\lambda\omega+\frac{(1-\lambda^2)(1-9\lambda^2)}{\lambda^5.\,2.3.4.5}\,\text{sin.}^5\lambda\omega-\text{\&c.}\] et pour celui ou le dénominateur dela même fraction \(\lambda\) est un nombre pair \[\text{sin.}\,\omega=\cos.\lambda\omega\Big\{\frac{1}{\lambda}\,\text{sin.}\,\lambda\omega-\frac{1-4\lambda^2}{\lambda^3.2.3}\,\text{sin.}^3\lambda\omega+\frac{(1-4\lambda^2)(1-16\lambda^2)}{\lambda^5.\,2.3.4.5}\,\text{sin.}^5\lambda\omega\ \text{\&c}\Big\}\] « ou » est écrit au-dessus de « et supposant » ; un long trait horizontal court sur « et supposant le numerateur », qui peut être la barre du \(t\) rejetée et n'est pas donné pour une rature.

L'équation qu'il s'agit de resoudre se réduit donc a l'une ou l'autre des formes suivantes \[\begin{align*} &2\big\{1+e^{2\lambda\omega}+e^{4\lambda\omega}+e^{6\lambda\omega}\ldots+e^{2(1-\lambda)\omega}\big\}\,\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega \\ &\quad -(1-e^{2(1-\lambda)\omega})\Big\{\frac{1}{\lambda}-\frac{1-\lambda^2}{\lambda^3.2.3}\,\text{sin.}^2\lambda\omega+\frac{(1-\lambda^2)(1-9\lambda^2)}{\lambda^5.\,2.3.4.5}\,\text{sin.}^4\lambda\omega-\text{\&c.}\Big\}\,\text{sin.}\,\lambda\omega=0 \end{align*}\] \[\begin{align*} &2\big\{1+e^{2\lambda\omega}+e^{4\lambda\omega}+e^{6\lambda\omega}+e^{2(1-\lambda)\omega}\big\}\,\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega \\ &\quad -(1-e^{2(1-\lambda)\omega})\cos.\lambda\omega\Big\{\frac{1}{\lambda}-\frac{1-4\lambda^2}{\lambda^3.2.3}\,\text{sin.}^2\lambda\omega+\frac{(1-4\lambda^2)(1-16\lambda^2)}{\lambda^5.\,2.3.4.5}\,\text{sin.}^4\lambda\omega\Big\}\,\text{sin.}\,\lambda\omega=0 \end{align*}\]

ainsi dans l'un et l'autre cas \(\text{sin.}\,\lambda\omega\) est un des facteurs de cette équation et en egalant ce facteur a zéro on a une solution […] qui se rapporte au cas IV et delaquelle il résulte \(\omega=\frac{i\pi}{\lambda}\), \(i\) étant, comme dans le cas \(\lambda=\frac{1}{2}\), examiné […], un nombre entier quelconque. on en conclut de même comme dans ce dernier cas, en observant que la lame se partage alors en \(\frac{1}{\lambda}\) parties de lalongueur \(\lambda a\), que ces differentes parties font leurs vibrations dela même manières que si elles étoient autant delames differentes et de pareille longueur ayant leurs extremités appuiées tant dans le point ou est placé le stilet que dans les autres points de repos, que l'on pourroit nommer sympatiques, « ou » est ajouté au-dessus de « le cas \(\lambda=\frac{1}{2}\) » ; les deux ou trois mots biffés qui suivent ne se laissent pas lire sous la rature, le premier ressemble à « examiné ». « comme dans ce dernier cas » est écrit au-dessus de « de même » biffé. Le feuillet s'arrête sur « sympatiques, » ; le bas de la page est blanc.

232

feuillet plus grand que les précédents, monté sur onglet ; le nombre 113 est à l'encre en haut à droite, et cette page ne porte pas de nombre au milieu du haut, à la différence des vues 222 à 230 et 234 à 240. Le texte n'occupe que le cinquième supérieur de la page ; tout le reste est blanc. Sa première ligne ne fait pas suite à la dernière de la vue 230. Le verso, vue 233, est blanc.

est satisfaite ici puisqu'elle résulte dela supposition \(\text{sin.}\,\lambda\omega=0\).

2 Cela posé, on peut encore suivre, dans la détermination des coëfficiens \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\) et \(\alpha'\), \(\beta'\), \(\gamma'\), \(\delta'\), l'analogie entre le cas général et celui qu'Euler a calculé car on trouve dela même manière \[\begin{align*} &\alpha=e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega};\quad \beta=e^{(2-\lambda)\omega}-e^{\lambda\omega};\quad \gamma=\frac{(e^{(2-\lambda)\omega}-e^{\lambda\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}{\text{sin.}\,\lambda\omega};\quad \delta=0 \\ &\alpha'=e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega};\quad \beta'=-e^{2\omega}(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega});\quad \gamma'=\frac{(e^{(2-\lambda)\omega}-e^{\lambda\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}{\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega}; \\ &\delta'=\frac{(e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\,\text{tang.}\,\omega}{\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega} \end{align*}\]

et a cause de \(\text{tang.}\,\omega=0\) on peut écrire \[\gamma'=\frac{(e^{(2-\lambda)\omega}-e^{\lambda\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}{\text{sin.}\,\lambda\omega};\qquad \delta'=\frac{0}{\text{sin.}\,\lambda\omega}\] si on multiplie donc tous ces coëfficiens par \(\text{sin.}\,\lambda\omega\) on aura comme dans le cas ou \(\lambda=\frac{1}{2}\)

\(\alpha=0\), \(\beta=0\), \(\gamma=\)

a cause de \(\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega=-\dfrac{\text{sin.}(1-\lambda)\omega}{\cos.\omega}\) on peut écrire en observant que d'où il résulte la ligne courte « \(\alpha=0\), \(\beta=0\), \(\gamma=\) » est biffée d'un trait épais. Dans la ligne qui commence par « a cause de », un trait horizontal fin court sur toute la longueur ; il n'est pas donné pour une rature, la ligne suivante reprenant la même phrase. « d'où il résulte » est écrit au-dessous de cette ligne, en petits caractères, entre « de » et « \(\text{sin.}\,\lambda\omega\) ».

\(+\) a cause de \(\cos.\omega=\uncertain{1}\) et de \(\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega=-\text{sin.}(1-\lambda)\omega\) on peut écrire \[\gamma'=-\frac{(e^{(2-\lambda)\omega}-e^{\lambda\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}{\text{sin.}(1-\lambda)\omega};\qquad \delta'=\frac{(e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}{\text{sin.}(1-\lambda)\omega}\] si on multiplie donc les coëfficiens \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\) par \(\text{sin.}\,\lambda\omega\) et les coëfficiens \(\alpha'\), \(\beta'\), \(\gamma'\), \(\delta'\) par \(\text{sin.}(1-\lambda)\omega\) ce qui revient au même puisque ces deux sinus sont l'un et l'autre egaux a zero on aura comme dans le cas ou \(\lambda=\frac{1}{2}\) la ligne s'ouvre sur une croix ou un « + ». Le chiffre qui suit « \(\cos.\omega=\) » est une tache d'encre pleine, d'un seul trait épaissi ; le calcul qui suit demande 1, et c'est la lecture offerte, avec doute. « donc » est ajouté au-dessus de « si on multiplie ». Le feuillet s'arrête sur « \(\lambda=\frac{1}{2}\) » ; les quatre cinquièmes inférieurs de la page sont blancs.

234

au milieu du haut de la page, le nombre 8, souligné ; le nombre 114 est à l'encre en haut à droite. La page reprend, en les développant, les deux premiers alinéas du feuillet de la vue 232, qui en est une première mise au net restée sans numéro de page. Le verso, vue 235, est blanc.

et par conséquent que les sons simples que les parties fractionnaires dela lame peuvent donner sont exprimés par les nombres suivans: \[\frac{\pi c\surd 2gb}{\lambda\lambda aa};\ \frac{4\pi c\surd 2gb}{\lambda\lambda aa};\ \frac{9\pi c\surd 2gb}{\lambda\lambda aa};\ \frac{16\pi c\surd 2gb}{\lambda\lambda aa};\ \text{\&c.}\]

Il est clair que la condition \(\text{sin.}\,\omega=0\), qui par la nature dela question doit avoir lieu en même tems que celle qui résulte dela solution de l'équation du problème, est satisfaite ici puisqu'elle résulte de la supposition \(\text{sin.}\,\lambda\omega\). la phrase s'arrête sur « \(\text{sin.}\,\lambda\omega\) » sans le « \(=0\) » que porte la même phrase à la vue 232.

2 Cela posé, on peut suivre encore l'analogie entre le cas général et celui qu'Euler a calculé dans la détermination des coëfficiens \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) \(\delta\) et \(\alpha'\), \(\beta'\), \(\gamma'\), \(\delta'\) car on trouve dela même manière \[\begin{align*} &\alpha=e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega};\quad \beta=e^{(2-\lambda)\omega}-e^{\lambda\omega};\quad \gamma=\frac{(e^{(2-\lambda)\omega}-e^{\lambda\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}{\text{sin.}\,\lambda\omega};\quad \delta=0 \\ &\alpha'=e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega};\quad \beta'=-e^{2\omega}(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega});\quad \gamma'=\frac{(e^{(2-\lambda)\omega}-e^{\lambda\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}{\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega}; \\ &\delta'=\frac{(e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\,\text{tang.}\,\omega}{\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\,\text{tang.}\,\omega}. \end{align*}\] et on peut écrire, a cause de \(\text{tang.}\,\omega=0\), \[\gamma'=\frac{(e^{(2-\lambda)\omega}-e^{\lambda\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}{\text{sin.}\,\lambda\omega},\qquad \text{et}\ \delta'=\frac{(e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}{\text{sin.}\,\lambda\omega}\] si on multiplie donc tous ces coëfficiens par \(\text{sin.}\,\lambda\omega\), on aura comme dans le cas ou \(\lambda=\frac{1}{2}\) \[\begin{align*} &\alpha=0,\ \beta=0,\ \gamma=-(e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}),\ \delta=0 \\ &\alpha'=0,\ \beta'=0,\ \gamma'=(e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}),\ \delta'=0 \end{align*}\] et par conséquent \(\gamma=-\gamma'\), on peut faire également ici \[\gamma=1\qquad \gamma'=-1\]

Ainsi \(+\) en prenant pour exemple le cas representé par la fig. 7 et supposant le stilet placé en \(L\) l'équation qui détermine le mouvement dela partie \(E L\) sera \[y=C\,\text{sin.}\Big(\zeta+t.\frac{\omega\omega c\surd 2gb}{aa}\Big)\text{sin.}\,\lambda\omega,\] et pour la partie \(L E'\) en tout semblable a la partie \(L L'\) on aura \[y=-C\,\text{sin.}\Big(\zeta+t.\frac{\omega\omega c\surd 2gb}{aa}\Big)\text{sin.}\,\lambda\omega\] il est clair que le mouvement dela partie \(L' L''\) est déterminé de même par l'équation \[y=C\,\text{sin.}\Big(\zeta+t.\frac{\omega\omega c\surd 2gb}{aa}\Big)\text{sin.}\,\lambda\omega,\] celui de la partie \(L'' L'''\) par l'équation \[y=-C\,\text{sin.}\Big(\zeta+t.\frac{\omega\omega c\surd 2gb}{aa}\Big)\text{sin.}\,\lambda\omega\] et ainsi de suite en adoptant le signe \(+\) pour les parties dela courbe qui sont situées audessus de l'axe et le signe \(-\) pour celles qui sont placées audessous du même axe ou ligne de repos. la croix qui suit « Ainsi » appelle la note portée dans la marge de gauche, en deux lignes, qui s'ouvre elle-même sur la même croix ; elle est mise ici à sa place. Dans « la partie \(L E'\) », la seconde lettre est tracée comme le \(E\) de « \(E L\) » de la ligne précédente, avec un accent, et deux petits traits sont ajoutés au-dessus des deux lettres ; le reste de la page nomme les parties \(L L'\), \(L' L''\), \(L'' L'''\), mais la vue 240 écrit bien « \(L E'\) » pour la portion qui va du stilet à l'autre bout. Laissé tel que lu. Le feuillet s'arrête sur « ligne de repos. » ; le bas de la page est blanc.

236

au milieu du haut de la page, le nombre 9, souligné ; le nombre 115 est à l'encre en haut à droite. Le verso, vue 237, est blanc.

4. Je reprend apresent l'équation du problème, elle a pour second facteur \[\begin{align*} &2\big\{1+e^{2\lambda\omega}+e^{4\lambda\omega}+e^{6\lambda\omega}\ldots+e^{2(1-\lambda)\omega}\big\}\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega \\ &\quad -(1-e^{2(1-\lambda)\omega})\Big\{\frac{\uncertain{2}}{\lambda}-\frac{1-\lambda^2}{2.3.\lambda^3}\,\text{sin.}^2\lambda\omega+\frac{(1-\lambda^2)(1-9\lambda^2)}{2.3.4.5.\,\lambda^5}\,\text{sin.}^4\lambda\omega-\text{\&c.}\Big\} \end{align*}\] ou \[\begin{align*} &2\big\{1+e^{2\lambda\omega}+e^{4\lambda\omega}+e^{6\lambda\omega}\ldots+e^{2(1-\lambda)\omega}\big\}\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega \\ &\quad -(1-e^{2(1-\lambda)\omega})\Big\{\frac{1}{\lambda}-\frac{1-4\lambda^2}{2.3.\lambda^3}\,\text{sin.}^2\lambda\omega+\frac{(1-4\lambda^2)(1-16\lambda^2)}{2.3.4.5.\,\lambda^5}\,\text{sin.}^4\lambda\omega\Big\}\cos.\lambda\omega \end{align*}\] suivant que le dénominateur de la fraction \(\lambda\) est impair ou pair. le numérateur de la première fraction de la première accolade est un petit chiffre à boucle, lu 2 avec doute ; le même terme, à la vue 230 et dans la seconde accolade ci-dessus, est écrit \(\frac{1}{\lambda}\). Une tache d'encre est posée au milieu de la ligne à points de la seconde série.

D'après les valeurs de \(\text{sin.}\,\omega\) rapportées §. 2 – En admettant que la condition \(\text{sin.}\,\omega=0\) doivent s'accorder avec toutes les solutions du problème on voit qu'il faut necessairement que \(\text{sin.}\,\lambda\omega=0\) ou que les facteurs \[\frac{1}{\lambda}-\frac{1-\lambda^2}{2.3.\lambda^3}\,\text{sin.}^2\lambda\omega+\text{\&c.},\qquad \Big\{\frac{1}{\lambda}-\frac{1-4\lambda^2}{2.3.\lambda^3}\,\text{sin.}^2\lambda\omega+\text{\&c}\Big\}\cos.\lambda\omega\] suivant les cas, soient egaux a zéro. je suppose d'abord \(\text{sin.}\,\lambda\omega=0\), le facteur dont il s'agit se réduit a \(\frac{1}{\lambda}(1-e^{2(1-\lambda)\omega})\) car \(\text{sin.}(1-\lambda)\omega=\text{sin.}\,\omega\cos.\lambda\omega-\cos.\omega\,\text{sin.}\,\lambda\omega=-\text{sin.}\,\lambda\omega=0\), et il est clair que \(\frac{1}{\lambda}(1-e^{2(1-\lambda)\omega})\) ne peut être supposé égal a zéro que dans la seule supposition \(\omega=0\), mais si on adopte cette dernière hypothèse le second facteur de l'équation du problème se réduit a \[2\big\{1+e^{2\lambda\omega}+e^{4\lambda\omega}+e^{6\lambda\omega}\ \text{\&c}+e^{2(1-\lambda)\omega}\big\}\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega\] qui et il ne peut être par conséquent egale a zéro que dans la supposition \(\text{sin.}(1-\lambda)\omega=0\) supposition qui a cause de \(\text{sin.}\,\omega=0\) donne \(\text{sin.}\,\lambda\omega=0\), ainsi il necessairement admettre cette dernière. « et il » est écrit au-dessus de « qui » biffé, et « par conséquent » au-dessus de la ligne entre « être » et « egale ». Dans la série qui suit « se réduit a », une tache couvre un signe entre \(e^{6\lambda\omega}\) et \(e^{2(1-\lambda)\omega}\) ; ce qui en dépasse se lit « &c ». Un long trait horizontal court sur « ainsi il necessairement admettre cette dernière » ; il a la forme de la barre du \(t\) rejetée et non d'une rature, et la phrase, incomplète comme elle est écrite, est laissée.

Je suppose donc \(\text{sin.}\,\lambda\omega=0\) ; et le facteur dont il s'agit se réduit alors a \(\frac{1}{\lambda}(1-e^{2(1-\lambda)\omega})\) quantité qui ne peut être egalée a zéro que dans la seule supposition \(\omega=0\). J'ai déjà fait cette remarque pur le cas ou \(\lambda=\frac{1}{2}\) mais je vais prouver deplus \(\times\) lorsqu'on a egard a la condition \(\text{sin.}\,\omega=0\) que dans le cas général, nonseulement \(\times\) le second facteur de l'équation du probleme ne peut être egalé a zéro que dans l'hypothèse \(\omega=0\), qui se rapporte au cas du repos de la lame, mais lorsqu'on a egard a la condition \(\text{sin.}\,\omega=0\) « pur » est écrit ainsi pour « pour ». La croix qui suit « nonseulement » appelle la note portée dans la marge de gauche, sur une ligne, qui s'ouvre elle-même sur la même croix ; elle est mise ici à sa place, et la dernière ligne du feuillet la répète mot pour mot. « cas du » est ajouté au-dessus de la ligne, entre « au » et « repos ». Le feuillet s'arrête sur « \(\text{sin.}\,\omega=0\) » ; le bas de la page est blanc.

238

au milieu du haut de la page, le nombre 10, souligné ; le nombre 116 est à l'encre en haut à droite. Le verso, vue 239, est blanc.

mais encore que sans avoir egard qu'il y a des cas ou qu'independamment de cette condition \(\text{sin.}\,\omega=0\) l'équation qu'il s'agit de resoudre n'est susceptible d'aucune solution qui puisse se rapporter a cas \(V\) c'est adire qui puisse mener a considerer les deux portions dela lame separées par le stilet comme fixées a ce point et appuiées a leur autre extremité \(\times\) \(\times\) comme Euler le suppose dans sa seconde solution. « qu'il y a des cas ou » est écrit au-dessus des mots biffés. Après « a cas », le \(V\) est suivi d'un petit signe empâté qui n'est pas lu. La croix qui ferme la phrase appelle la note portée dans la marge de gauche, en deux lignes, qui s'ouvre elle-même sur la même croix ; elle est mise ici à sa place.

5 Pour cela je reprend l'équation finale \[0=2(1-e^{2\omega})-(e^{\lambda\omega}-e^{(2-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\frac{\text{sin.}\,\omega}{\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega}\] et je la transforme comme il suit : \[\begin{align*} 0&=\frac{2(e^{\omega}-e^{-\omega})}{(e^{(\lambda-1)\omega}-e^{(1-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}\cdot \text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega-\text{sin.}\,\omega \\ 0&=\frac{(e^{(\lambda-1)\omega}+e^{(1-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})+(e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega})(e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega})}{(e^{(\lambda-1)\omega}-e^{(1-\lambda)\omega})(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})}\,\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega \\ &\qquad -\big\{\text{sin.}\,\lambda\omega\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}(1-\lambda)\omega\cos.\lambda\omega\big\} \\ 0&=\frac{e^{(\lambda-1)\omega}+e^{(1-\lambda)\omega}}{e^{(\lambda-1)\omega}-e^{(1-\lambda)\omega}}\cdot\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega-\cos.(1-\lambda)\omega\,\text{sin.}\,\lambda\omega \\ &\qquad +\frac{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega-\text{sin.}(1-\lambda)\omega\cos.\lambda\omega \end{align*}\] et enfin \[\begin{align*} 0&=\text{sin.}\,\lambda\omega\Big\{\frac{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega-\cos.(1-\lambda)\omega\Big\} \\ &\qquad +\text{sin.}(1-\lambda)\omega\Big\{\frac{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\Big\} \end{align*}\] le chiffre qui ouvre l'alinéa est la cinquième des marques de la main ; il est tracé comme un \(S\) et lu 5. Les deux signes « \(-\) » posés après \(\text{sin.}(1-\lambda)\omega\) à la première transformation et devant l'accolade à la seconde sont d'un trait très épais, presque une tache ; ils sont rendus par un moins ordinaire.

si on pouvoit considerer le stilet placé en \(L\) comme fixé il faudroit donc que les deux conditions \[\frac{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}\,\text{sin.}(1-\lambda)\omega=\cos.(1-\lambda)\omega, \quad\text{et}\quad \frac{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin.}\,\lambda\omega=\struck{\uncertain{\text{cos.}}}\lambda\omega\] ou \[\text{tang.}(1-\lambda)\omega=\frac{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}} \quad\text{et}\quad \text{tang.}\,\lambda\omega=\frac{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}\] eussent lieu en même tems, […] on auroit alors […] une solution de l'équation qui seroit […] au même tems pourroit être rapportée au cas V. mais on voit aisément que ces deux conditions nepeuvent avoir exister a la fois dans certains cas — pour aucune autre supposition que celle \(\omega=0\). dans la seconde des deux conditions, le mot biffé devant \(\lambda\omega\) est noyé sous la rature ; le calcul demande « cos. », et c'est la lecture offerte, avec doute. Les autres ratures de cet alinéa ne se laissent pas lire.

En effet il faut aumoins que les deux portions de la lame rendent le même son, car cette supposition est fondamentale

Or, si l'équation \(\text{tang.}\,\lambda\omega=\frac{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}\) a lieu pour la portion \(E L\) de longueur \(\lambda a\) les sons simples que cette portion […] le feuillet s'arrête sur ce mot biffé, qui n'est pas lu ; le bas de la page est blanc.

240

au milieu du haut de la page, le nombre 11, souligné ; le nombre 117 est à l'encre en haut à droite. Une déchirure ancienne traverse le feuillet en oblique, du haut du second alinéa au bas du troisième, sans emporter de texte. Le verso, vue 241, n'appartient pas à ce lot.

pourra rendre seront exprimés par les nombres suivans: \[\frac{25\pi c\surd 2gb}{16\lambda\lambda aa};\ \frac{81\pi c\surd 2gb}{16\lambda\lambda aa};\ \frac{169\pi c\surd 2gb}{16\lambda\lambda aa};\ \frac{289\pi c\surd 2gb}{16\lambda\lambda aa};\ \text{\&c.}\] (voyez memoire d'Euler cas V)

et en supposant en même tems que l'autre équation \(\text{tang.}(1-\lambda)\omega=\frac{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}\) ait pareillement lieu pour la portion \(L E'\) de longueur \((1-\lambda)a\), les sons simples que cette portion pourra rendre seront exprimés par les nombres: \[\frac{25\pi c\surd 2gb}{16(1-\lambda)^2aa};\ \frac{81\pi c\surd 2gb}{16(1-\lambda)^2aa};\ \frac{169\pi c\surd 2gb}{16(1-\lambda)^2aa};\ \text{\&c.}\]

Je vais montrer a present que dans aucun autre cas que \(\lambda=\frac{1}{2}\) qu'il n'est pas généralement vrai que certains nombres un nombre de la première suite ne peut être egal a celui qui puissent egaux a des nombres appartenans lui correspond dans la seconde en ayant egard au nombre des nœuds que doit contenir la plus longue portion \(L E\) l'alinéa est repris trois fois. « pas » est écrit dans la marge de gauche ; « généralement vrai que certains nombres » est ajouté au-dessus de la ligne, « puissent egaux a des nombres appartenans » au-dessous ; les mots biffés sont donnés à leur place. La phrase ainsi recomposée reste inachevée.

soit pour plus de clarté \(\lambda=\frac{1}{\lambda'}\) \((1-\lambda)^2=\frac{(\ill{}\lambda')^2}{\lambda'\lambda'}\) on voit d'abord alors facilement qu'aucun nombre de la première suite ne peut être egal a un nombre quelconque dela seconde lorsque \(\lambda'-\uncertain{1}\) est un nombre pairement pair ou un nombre impair dela forme \(4n+3\) ainsi il ne reste donc a examiner que les cas ou \(\lambda'-1\) est dela forme \(4n+\uncertain{1}\), la plus petite valeur de \(\lambda'\) après 2 est 6 soit donc \(\lambda'-1=5\), le plus petit nombre que l'on puisse prendre dans la seconde suite est \(\frac{(25)^2(6)^2\pi c\surd 2gb}{16.5^2.aa}\) ce nombre est en effet egal au premier de la première suite savoir a \(\frac{25(6)^2\pi c\surd 2gb}{16.aa}\) mais le nombre \(25=4.6+1\) supposé […] dans les portions \(L F\) « alors » et « facilement » sont écrits au-dessus de « d'abord » biffé, les premières lettres de « facilement » repassées. Dans \((1-\lambda)^2\), le début du numérateur est noyé sous une tache : le calcul demanderait \(\lambda'-1\), et rien n'est lu. Le chiffre après « \(\lambda'-\) » et celui qui ferme « \(4n+\) » sont des taches pleines d'un seul trait ; ils sont lus 1 avec doute, la suite du raisonnement les appelant. La ligne biffée qui suit n'est lue qu'en partie.

6 J'ai voulu entrer dans tous ces details afin d'être autorisée a conclure qu'Euler a été induit en erreur lorsqu'il a cru pouvoir admettre sa seconde solution dans laquelle il réduit a supposer seulement que les deux portions \(E L\), \(L F\) puissent se mouvoir en même tems sans exiger qu'il soit […] souvenir que la première hypothese est que le mouvement imprimé a car cette dernière j'ai […] voire on voit que cette dernière condition même ne peut pas avoir lieu être remplie pour toutes les valeurs de \(\lambda\). « seulement » est ajouté au-dessus de « supposer » ; « sans exiger » au-dessus de la ligne biffée qui suit ; « j'ai […] voire » au-dessus de « on voit » biffé ; « être remplie » au-dessus de « avoir lieu » biffé. Les deux lignes biffées de cet alinéa ne se laissent pas lire d'un bout à l'autre. Le feuillet s'arrête sur « de \(\lambda\). » ; le bas de la page est blanc, et le lot s'arrête ici.