Français 9115 · lot 13 · vues 241–260 · Transcription · Papiers de Sophie GERMAIN. — Recueil de dissertations et problèmes mathématiques et physiques.
Datation du catalogue : 1801-1900
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Numérotation des feuillets. Les feuillets de ce lot sont écrits d'un seul côté : les vues 241, 243, 245, 247, 249, 251, 253, 255, 257 et 259 sont les versos blancs des feuillets dont le recto est la vue paire qui précède (la vue 241 est le verso de la vue 240, qui appartient au lot 12) ; on n'y voit que l'encre du recto par transparence, renversée, et elles ne sont pas transcrites. Chaque feuillet écrit porte en haut à droite, à l'encre, un nombre de la série courante du volume : 118 (vue 242), 119 (244), 120 (246), 121 (248), 122 (250), 123 (252), 124 (254), 125 (256), 126 (258), 127 (260), sans lacune ; c'est la suite de la série qui était à 97 à la vue 199. Elle est à l'encre et non au crayon de la Bibliothèque, et aucune foliotation n'a été lue sur ces vues : aucun « f. » n'est donc porté ici. Un second nombre, souligné, est écrit en tête et au milieu de chaque feuillet — « seconde P… » (vue 242), puis 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 (vues 244 à 260) : ce sont les articles du mémoire. Un troisième, de petits chiffres seuls dans la marge de gauche, numérote les alinéas : 7 (244), 8 (246), 10 (256), 11 (258), 12 (260). Tous ces nombres ont été lus sur la vue ; aucun n'est déduit.

242seconde P[…]

D'ailleurs

[…] quelque repugnance que l'on puisse avoir a devier de l'opinion d'Euler on est pourtant forcé de convenir que sans sortir du sujet de ce memoire il a lui même varié de sentiment, en effet quoique dans sa methodus inveniendi curvas maximi minimive proprietate gaudentes, il ait suivi, pour l'analyse du cas ou les deux extremités dela lame elastique vibrante sont libres, la même methode qu'il a egalement adopté dans son memoire que j'ai déja cité une methode qui ne differe pas essentiellement de celle qu'il a depuis adopté dans le memoire que j'ai déja fait son memoire de 1779, il s'est pourtant decidé a rejetter dans son premier travail a rejetter toutes les solutions qui donnent lieu a un nombre impair de nœuds la raison qu'il en aporte est qu'il doit exister alors un mouvement giratoire de la lame autour du nœud placé au milieu de cette [même] lame. Giordano Ricati P. 898 §. 83 de […]

M^r Giordanono Ricati dans son memoire Delle Vibrazioni Sonore de cilindri ouvrage dans lequel il suit d'ailleurs les principes qu'Euler a etabli dans son [premier] traité son livre de methodus &c. et dans lequel il se trouve nommément le cas des extremités libres […] dela courbe elastique. l'ouvrage que je viens de citer s'étonne de cette opinion les travaux d'Euler et il calcule avec plus de precision les valeurs qui […] et remarque que le calcul fournit des ressources pour échaper a une conclusion qui est aussi contraire a l'experience. V. le premier volume des memoires de la société italienne P. 457 §. XXI P. 457. M^r Ricati ne paroit pas avoir eu connoissance du memoire 1779 quoique le volume qui renferme le sien soit de 1782 il [y] auroit vû qu'Euler n'admet l'existence des solutions qui donnent lieu a un nombre impair de nœud et que dans le scholie le seul usage qu'il fasse a ce sujet de l'exclusion du mouvement giratoire le réduit qu'a prouver que dans le mouvement le plus simple dela lame elastique dont les deux extremités sont libres la courbe doit couper l'axe en deux points. V. le Scholie §. 81

J'ai rapporté ces exemples afin d'écarter en quelque sorte les doutes que m'a […] inspiré les parties des memoires qui font l'objet de ces remarques Le feuillet, plus petit que la garde, est monté sur un onglet ; il n'est écrit que sur la moitié supérieure. En tête, au milieu et souligné : « seconde » suivi d'un P majuscule et de deux traits épais repassés, qui n'ont pas été lus ; le sens appellerait « Partie », mais rien n'est déduit ici. En haut à droite, à l'encre, le nombre 118. Le mot biffé qui ouvre le texte commence par « Qu » ; la suite n'est pas lue. Dans « au milieu de cette même lame », « même » est ajouté au-dessus de la ligne avec un signe d'insertion. Un long trait horizontal traverse « Giordano Ricati » : il part de la barre du t de « Ricati » et pourrait n'être que cette barre rejetée en arrière, comme ailleurs dans cette main ; il n'est donc pas donné pour une biffure. Le dernier mot de cette ligne, après « de », n'est pas lu, et la phrase est reprise à la ligne suivante. Entre « qu'Euler » et « n'admet », un petit signe en croix, sans addition au-dessus. Les deux dernières lignes du feuillet sont biffées d'un bout à l'autre ; une tache d'encre y couvre un ou deux mots après « que m'a ». Les titres latins et italiens sont soulignés dans le manuscrit.

2447 Je reviens a present a 12

A l'egard de la premiere solution [d'Euler] on voit qu'elle est générale elle montre comment il s'etablit un nombre de nœuds dependans dela valeur de \(\lambda\) car puisque [on a] \(y=0\) par la supposition \(\text{sin.}\,\lambda\omega=0\) on aura encore \(y=0\) pour les points qui correspondent au sinus sinus multiples, tels que \(\text{sin.}\,2\lambda\omega\), \(\text{sin.}\,3\lambda\omega\) &c.

D'ou il resulte que le mouvement dela lame est le même soit que le stilet soit placé a l'un ou l'autre de ces points pourvu toutefois qu'en designant par \(\text{sin.}\,n\lambda\omega\) un des sinus de cette suite \(n\) ne soit pas diviseur du denominateur dela fraction \(\lambda\), car il resulte encore de cette solution que tout mouvement regulier et par consequent tout son mesurable est impossible a obtenir dela lame dont les deux extremités sont appuiées lorsque le stilet est placé a tout autre point qu'a une division aliquote dela même lame, on voit en effet qu'excepté ce cas les conditions \(\text{sin.}\,\omega=0\) et \(\text{sin.}\,\lambda\omega=0\) n'ont plus lieu en mêmes tems et que l'equation du problème n'est plus \(\text{sin.}\,\lambda\omega\) pour facteur. alors la supposition \(\text{sin.}\,n\lambda\omega=0\) n'entraineroit pas necessairement \(\text{sin.}\,\lambda\omega=0\)

Ces remarques etablissent le plus grand rapport entre les circonstances du mouvement d'une telle lame et celles qui ont lieu pour la corde vibrante, malheureusement ce cas des deux extremités appuiées dont l'analyse est le plus facile n'est pas celui qui se presente le plus commodement dans l'experience & la pratique.

Je me propose d'appliquer [en suite] la méthode d'Euler aux cas ou le stilet est placé dans un point quelconque de l'etendue d'une lame elastique vibrante dont les deux extremités sont libres, l'importance de ce cas m'engage a developper [ici] les calculs du problème qui y est relatif. En tête : le chiffre 7 seul dans la marge de gauche ; puis, d'une écriture plus fine, « Je reviens a present a », et au milieu de la page le nombre 12 souligné, qui paraît être le terme de cette phrase. En haut à droite, à l'encre, le nombre 119. Le mot grec noté \(\lambda\) est une petite lettre crochue barrée d'un trait, comme dans la copie latine des lots précédents. « d'Euler » et « on a » sont ajoutés au-dessus de la ligne. Entre « car » et « resulte » se dresse un grand signe à deux jambages qui relie la ligne à la note marginale ; il porte peut-être le « il » qui manque à la phrase. Dans « n'est plus », « est » est repassé sur un mot plus court. Entre « l'experience » et « la pratique » un signe court empâté, lu avec doute « & ». Au-dessus de « d'appliquer », avant « en suite », un mot biffé que l'on ne lit pas avec certitude, peut-être « egalement ». Le feuillet, plus petit que la garde, est monté sur un onglet et s'arrête sur « relatif ».

24613

Problème

8 Si une lame elastique est libre a l'une et l'autre de ses extremités est soumise a l'action d'un stilet dans un point quelconque de son etendue; trouver tous les mouvemens de vibration dont elle est susceptible?

Solution

Je reprends les équations

\[\text{I.}\quad \alpha e^{\lambda\omega}+\beta e^{-\lambda\omega}+\gamma\,\text{sin.}\,\lambda\omega+\delta\cos.\lambda\omega=0\] \[\text{II.}\quad \alpha' e^{\lambda\omega}+\beta' e^{-\lambda\omega}+\gamma'\,\text{sin.}\,\lambda\omega+\delta'\cos.\lambda\omega=0\] \[\text{III.}\quad \alpha e^{\lambda\omega}-\beta e^{-\lambda\omega}+\gamma\cos.\lambda\omega-\delta\,\text{sin.}\,\lambda\omega=\alpha' e^{\lambda\omega}-\beta' e^{-\lambda\omega}+\gamma'\cos.\lambda\omega-\delta'\,\text{sin.}\,\lambda\omega\] \[\text{IV.}\quad (\alpha-\alpha')e^{\lambda\omega}+(\beta-\beta')e^{-\lambda\omega}-(\gamma-\gamma')\,\text{sin.}\,\lambda\omega-(\delta-\delta')\cos.\lambda\omega=0\]

Donnés par Euler dans l'analyse du même problème relatif au cas ou les extremités de la lame sont tout l'une et l'autre appuiées par ce qu'il est clair que ces équations sont egalement applicables au cas present puisqu'elles sont independantes de l'état des extremités.

Maintenant donc, en considerant l'état des extremités (Voyez cas 1^er N^o 5 du memoire cité) il en resultera quatre équations) et faisant successivement \(\lambda=0\) et \(\lambda=1\), savoir

\[\text{V.}\quad \alpha-\beta=\gamma, \qquad \text{VI.}\quad \alpha+\beta=\delta\] \[\text{VII.}\quad \alpha' e^{\omega}+\beta' e^{-\omega}-\gamma'\,\text{sin.}\,\omega-\delta'\cos.\omega=0 \quad\text{et}\quad \text{VIII.}\quad \alpha' e^{\omega}-\beta' e^{-\omega}-\gamma'\cos.\omega+\delta'\,\text{sin.}\,\omega=0\]

ainsi on […] comme dans le cas des extremités appuiées, huit equations pour déterminer les huit coëfficiens \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\) et \(\alpha'\), \(\beta'\), \(\gamma'\), \(\delta'\). et l'on parvient de même a une équation finale delaquelle on peut tirer la valeur d'\(\omega\).

Pour cela je commence par multiplier l'equation VII par \(\text{sin.}\,\omega\) et l'equation VIII par \(\cos.\omega\) puis je les ajoute l'une a l'autre ce qui donne \[\alpha' e^{\omega}(\text{sin.}\,\omega+\cos.\omega)+\beta' e^{-\omega}(\text{sin.}\,\omega-\cos.\omega)=\gamma'\] je multiplie en suite l'equation VII par \(\cos.\omega\) et l'equation VIII par \(\text{sin.}\,\omega\) ce qui donne en les retranchant l'une de l'autre \[\alpha' e^{\omega}(\cos.\omega-\text{sin.}\,\omega)+\beta' e^{-\omega}(\text{sin.}\,\omega+\cos.\omega)=\delta'\]

En substituant les presentes valeurs de \(\gamma'\) et \(\delta'\) dans l'equation En tête, au milieu et souligné, le nombre 13 ; en haut à droite, à l'encre, le nombre 120. Le chiffre 8 est seul dans la marge de gauche, devant « Si » ; un signe court, peut-être un chiffre, le suit. « Problème » et « Solution » sont soulignés. Dans « ainsi on … comme dans le cas », un ou deux mots sont biffés et repassés et ne sont pas lus ; le sens demanderait « on a ». « huit » et, plus haut, « tous » sont repassés à la plume. Dans « parvient de même », un pâté couvre le début de « de même ». Le \(\gamma\) isolé des équations V et VII est tracé en boucle renversée, différente du \(\gamma\) qui précède « sin. » dans les équations I à IV. Le feuillet, plus petit que la garde, est monté sur un onglet ; une tache d'encre est au bas de la marge. Le texte s'arrête sur « dans l'equation » ; la suite est à la vue 248.

24814

Dans l'équation II elle devient

\[\text{II}\quad \alpha' e^{\lambda\omega}+\beta' e^{-\lambda\omega}+\{\alpha' e^{\omega}(\text{sin.}\,\omega+\cos.\omega)+\beta' e^{-\omega}(\text{sin.}\,\omega-\cos.\omega)\}\,\text{sin.}\,\lambda\omega\] \[+\{\alpha' e^{\omega}(\cos.\omega-\text{sin.}\,\omega)+\beta' e^{-\omega}(\text{sin.}\,\omega+\cos.\omega)\}\cos.\lambda\omega=0\]

ou \[\alpha'\{e^{\lambda\omega}+e^{\omega}(\text{sin.}\,\omega\,\text{sin.}\,\lambda\omega+\text{sin.}\,\lambda\omega\cos.\omega+\cos.\lambda\omega\cos.\omega-\text{sin.}\,\omega\cos.\lambda\omega)\}\] \[+\beta'\{e^{-\lambda\omega}+e^{-\omega}(\text{sin.}\,\omega\,\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\omega\,\text{sin.}\,\lambda\omega+\text{sin.}\,\omega\cos.\lambda\omega+\cos.\lambda\omega\cos.\omega)\}=0\]

ou enfin \[\alpha'\{e^{\lambda\omega}+e^{\omega}(\cos.(1-\lambda)\omega-\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega)\}+\beta'\{e^{-\lambda\omega}+e^{-\omega}(\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega)\}=0\]

D'ou on tire \[\beta'=-\frac{\alpha' e^{\omega}\{e^{(\lambda-1)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega-\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}\]

par consequent

\[\gamma'=\alpha' e^{\omega}(\text{sin.}\,\omega+\cos.\omega)+\beta' e^{-\omega}(\text{sin.}\,\omega-\cos.\omega)\] \[=\frac{\alpha'(\text{sin.}\,\omega+\cos.\omega)\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}\] \[-\frac{\alpha'(\text{sin.}\,\omega-\cos.\omega)\{e^{(\lambda-1)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega-\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}\] \[=\frac{\alpha'\{(e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{sin.}\,\omega+(e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega})\cos.\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}\] \[+\frac{\left\{\begin{array}{l} \text{sin.}\,\omega\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,\omega\,\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega+\cos.\omega\cos.(1-\lambda)\omega+\cos.\omega\,\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega \\ -\text{sin.}\,\omega\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,\omega\,\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega+\cos.\omega\cos.(1-\lambda)\omega-\cos.\omega\,\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega \end{array}\right\}\alpha'}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}\]

ou enfin \[\gamma'=\frac{\alpha'\{(e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{sin.}\,\omega+(e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega})\cos.\omega+2\cos.\lambda\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}\]

on trouve de même

\[\delta'=\alpha' e^{\omega}(\cos.\omega-\text{sin.}\,\omega)+\beta' e^{-\omega}(\text{sin.}\,\omega+\cos.\omega)\] \[=\frac{\alpha'(\cos.\omega-\text{sin.}\,\omega)\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}\] \[-\frac{\alpha'(\text{sin.}\,\omega+\cos.\omega)\{e^{(\lambda-1)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega-\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}\] \[=\frac{\alpha'\{(e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega})\cos.\omega-(e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{sin.}\,\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}\] \[+\frac{\alpha'\{(\cos.\omega-\text{sin.}\,\omega)(\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega)-(\text{sin.}\,\omega+\cos.\omega)(\cos.(1-\lambda)\omega-\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega)\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}\] En tête, au milieu et souligné, le nombre 14 ; en haut à droite, à l'encre, le nombre 121. Le feuillet ne porte que des calculs, sans autre prose que les liaisons « ou », « ou enfin », « par consequent », « on trouve de même ». Dans « ou enfin » qui précède la valeur définitive de \(\gamma'\), le mot « ou » est traversé d'un trait. Les deux longues lignes réunies par une accolade sont écrites l'une sous l'autre, l'accolade ouvrante et l'accolade fermante embrassant les deux, et le facteur \(\alpha'\) est porté après l'accolade fermante ; elles sont ici rendues par un tableau à deux lignes. Le feuillet, plus petit que la garde, est monté sur un onglet ; il s'arrête sur cette dernière fraction, et le calcul se poursuit à la vue 250.

25015

enfin \[\delta'=\frac{\alpha'\{(e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega})\cos.\omega-(e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{sin.}\,\omega-2\,\text{sin.}\,\lambda\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}\]

Je prends ensuite les valeurs de \(\gamma\) et \(\delta\) données par les équations V et VI pour les substituer dans l'equation

\[\text{I.}\quad \alpha e^{\lambda\omega}+\beta e^{-\lambda\omega}+\gamma\,\text{sin.}\,\lambda\omega+\delta\cos.\lambda\omega=0\]

elle devient par là

\[\alpha e^{\lambda\omega}+\beta e^{-\lambda\omega}+(\alpha-\beta)\,\text{sin.}\,\lambda\omega+(\alpha+\beta)\cos.\lambda\omega=0\]

ou \[\alpha\{e^{\lambda\omega}+\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega\}+\beta\{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega\}=0\]

D'ou on tire \[\beta=-\frac{\alpha\{e^{\lambda\omega}+\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega\}}{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega}\]

et par consequent

\[\gamma=\alpha-\beta\] \[=\frac{\alpha\{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega+e^{\lambda\omega}+\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega\}}{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega}\] \[=\frac{\alpha\{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}+2\cos.\lambda\omega\}}{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega}\]

\[\delta=\alpha+\beta\] \[=\frac{\alpha\{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega-e^{\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\}}{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega}\] \[=-\frac{\alpha\{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}+2\,\text{sin.}\,\lambda\omega\}}{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega}\]

Il faut a present substituer les valeurs que l'on vient de trouver pour \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\) et \(\alpha'\), \(\beta'\), \(\gamma'\), \(\delta'\) dans l'équation

\[\text{III}\quad \alpha e^{\lambda\omega}-\beta e^{-\lambda\omega}+\gamma\cos.\lambda\omega-\delta\,\text{sin.}\,\lambda\omega=\alpha' e^{\lambda\omega}-\beta' e^{-\lambda\omega}+\gamma'\cos.\lambda\omega-\delta'\,\text{sin.}\,\lambda\omega\]

par cette substitution le premier membre devient:

\[\frac{\alpha\{1-e^{\lambda\omega}(\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega)\}+\alpha\{1+e^{-\lambda\omega}(\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega)\}}{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega}\] \[+\frac{\alpha\{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}+2\cos.\lambda\omega\}\cos.\lambda\omega+\alpha\{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}+2\,\text{sin.}\,\lambda\omega\}\,\text{sin.}\,\lambda\omega}{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega}\] \[=\frac{\alpha\{\uncertain{4}-(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\,\text{sin.}\,\lambda\omega+(e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega})\cos.\lambda\omega+(e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega})\cos.\lambda\omega+(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\,\text{sin.}\,\lambda\omega\}}{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega}\] \[=\frac{2\alpha\{2+(e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega})\cos.\lambda\omega\}}{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega}\]

En faisant les substitutions dont il s'agit dans le second membre dela même equation, il prend la forme. En tête, au milieu et souligné, le nombre 15 ; en haut à droite, à l'encre, le nombre 122. Le premier terme entre accolades de l'avant-dernière fraction est un chiffre repassé : la ligne suivante, \(2\alpha\{2+(e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega})\cos.\lambda\omega\}\), demande 4, et c'est ce que les traits donnent le plus vraisemblablement ; la lecture est signalée comme douteuse. Le feuillet, plus petit que la garde, est monté sur un onglet ; il s'arrête sur « il prend la forme. », la suite étant à la vue 252.

25216

\[\frac{\alpha' e^{(\lambda-1)\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}+\alpha' e^{(1-\lambda)\omega}\{e^{(\lambda-1)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega-\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}\] \[+\frac{\alpha'\{(e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{sin.}\,\omega+(e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega})\cos.\omega+2\cos.\lambda\omega\}\cos.\lambda\omega}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}\] \[-\frac{\alpha'\{(e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega})\cos.\omega-(e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{sin.}\,\omega-2\,\text{sin.}\,\lambda\omega\}\,\text{sin.}\,\lambda\omega}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}\] \[=\frac{\alpha'\{\uncertain{4}+(e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega})\cos.(1-\lambda)\omega-(e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}\] \[+\frac{\alpha'\{(e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega})[\cos.\lambda\omega\cos.\omega+\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}\,\omega]+(e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega})[\text{sin.}\,\omega\cos.\lambda\omega-\cos.\omega\,\text{sin.}\,\lambda\omega]\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}\] \[=\frac{2\alpha'[2+(e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega})\cos.(1-\lambda)\omega]}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}\]

Ainsi l'équation III se reduit en derniere analyse à

\[\frac{\alpha\{2+(e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega})\cos.\lambda\omega\}}{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega}=\frac{\alpha'\{2+(e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega})\cos.(1-\lambda)\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}\]

et par consequent \[\frac{\alpha e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}{\alpha'\{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega\}}=\frac{2+(e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega})\cos.(1-\lambda)\omega}{2+(e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega})\cos.\lambda\omega}\]

Il faut encore avoir recours a l'équation IV. que l'on peut mettre dans laquelle on peut faire passer tous les termes négatifs [de cette equation] dans le second membre ce qui donne

\[\alpha e^{\lambda\omega}+\beta e^{-\lambda\omega}-\gamma\,\text{sin.}\,\lambda\omega-\delta\cos.\lambda\omega=\alpha' e^{\lambda\omega}+\beta' e^{-\lambda\omega}-\gamma'\,\text{sin.}\,\lambda\omega-\delta'\cos.\lambda\omega\]

D'ou il resulte en ajoutant

\[\text{I.}\quad \alpha e^{\lambda\omega}+\beta e^{-\lambda\omega}+\gamma\,\text{sin.}\,\lambda\omega+\delta\cos.\lambda\omega=0\] au premier membre et \[\text{II.}\quad \alpha' e^{\lambda\omega}+\beta' e^{-\lambda\omega}+\gamma'\,\text{sin.}\,\lambda\omega+\delta'\cos.\lambda\omega=0\] au second et divisant par 2. \[\alpha e^{\lambda\omega}+\beta e^{-\lambda\omega}=\alpha' e^{\lambda\omega}+\beta' e^{-\lambda\omega}\]

cette dernière équation devient en y mettant pour \(\beta\) et \(\beta'\) les valeurs cidessus

\[\frac{\alpha e^{\lambda\omega}\{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega\}-\alpha e^{-\lambda\omega}\{e^{\lambda\omega}+\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega\}}{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega}\] \[=\frac{\alpha' e^{(\lambda-1)\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}-\alpha' e^{(1-\lambda)\omega}\{e^{(\lambda-1)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega-\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}\]

ou \[\frac{\alpha\{(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\cos.\lambda\omega-(e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega})\,\text{sin.}\,\lambda\omega\}}{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega}\] \[=\frac{\alpha'\{(e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega-(e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega})\cos.(1-\lambda)\omega\}}{e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}\] En tête, au milieu et souligné, le nombre 16 ; en haut à droite, à l'encre, le nombre 123. Le premier terme entre accolades de la quatrième fraction est le même chiffre repassé qu'à la vue 250 ; la réduction qui suit demande 4, et la lecture est signalée comme douteuse. Le signe qui ouvre la troisième fraction est un pâté épais, lu « \(-\) ». Le feuillet, plus petit que la garde, est monté sur un onglet ; il s'arrête sur cette dernière égalité, qui se poursuit à la vue 254.

25417

D'ou on tire \[\frac{\alpha e^{-\omega}\{e^{(1-\lambda)\omega}+\cos.(1-\lambda)\omega+\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega\}}{\alpha'\{e^{-\lambda\omega}-\text{sin.}\,\lambda\omega+\cos.\lambda\omega\}}\] \[=\frac{(e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega-(e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega})\cos.(1-\lambda)\omega}{(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\cos.\lambda\omega-(e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega})\,\text{sin.}\,\lambda\omega}\]

Il ne s'agit plus a present que de comparer ce resultat avec celui de l'équation III pour conclure

\[\{2+(e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega})\cos.(1-\lambda)\omega\}\{(e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega})\,\text{sin.}\,\lambda\omega-(e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})\cos.\lambda\omega\}\] \[+\{2+(e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega})\cos.\lambda\omega\}\{(e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega})\,\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega-(e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega})\cos.(1-\lambda)\omega\}=0\]

cette équation est celle dont il faut tirer la valeur de l'angle \(\lambda\omega\).

Il est aisé de voir que dans le cas ou \(\lambda=\frac{1}{2}\) elle se reduit a

\[2\{2+(e^{\frac{1}{2}\omega}+e^{-\frac{1}{2}\omega})\cos.\tfrac{1}{2}\omega\}\{(e^{\frac{1}{2}\omega}+e^{-\frac{1}{2}\omega})\,\text{sin.}\,\tfrac{1}{2}\omega-(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega})\cos.\tfrac{1}{2}\omega\}=0\]

et que cette équation est susceptible de deux solutions savoir. \[(e^{\frac{1}{2}\omega}+e^{-\frac{1}{2}\omega})\,\text{sin.}\,\tfrac{1}{2}\omega-(e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega})\cos.\tfrac{1}{2}\omega=0 \quad\text{et}\quad 2+(e^{\frac{1}{2}\omega}+e^{-\frac{1}{2}\omega})\cos.\tfrac{1}{2}\omega=0.\]

La premiere est relative au cas ou le stilet est simplement consideré comme simplement appuié au point du milieu dela lame dont les extremités sont libres et elle montre que les deux moitiés de cette lame doivent vibrer comme deux lames séparées de longueur \(\frac{1}{2}a\) qui auroient chacune une de leurs extremités libre et l'autre appuié, car la condition \(\dfrac{e^{\frac{1}{2}\omega}-e^{-\frac{1}{2}\omega}}{e^{\frac{1}{2}\omega}+e^{-\frac{1}{2}\omega}}=\text{tang.}\,\tfrac{1}{2}\omega\). est celle qui convient au mouvement d'une [telle] lame de longueur \(\frac{1}{2}a\)

cette solution s'accorde au reste avec l'équation dependante de l'état des extremités dela lame primitivee; car on a (V. cas. 1^er) \(\cos.\omega=\dfrac{2e^{\omega}}{e^{2\omega}+1}\) D'ou on tire en prenant \(\text{sin.}\,\omega\) positif comme il convient ici, \(\text{sin.}\,\omega=\dfrac{e^{2\omega}-1}{e^{2\omega}+1}\) ainsi on a \(\cos.\omega=2\cos.^2\tfrac{1}{2}\omega-1=\dfrac{2e^{\omega}}{e^{2\omega}+1}\)

\[2\cos.^2\tfrac{1}{2}\omega=\frac{(e^{\omega}+1)^2}{e^{2\omega}+1}\] et \[2\,\text{sin.}\,\tfrac{1}{2}\omega\cos.\tfrac{1}{2}\omega=\frac{e^{2\omega}-1}{e^{2\omega}+1}\] \[\text{tang.}\,\tfrac{1}{2}\omega=\frac{e^{\omega}-1}{e^{\omega}+1}\]

qui est precisement la condition resultante de la premiere solution. Le haut du feuillet est déchiré et taché : du nombre porté au milieu, en tête, il ne subsiste que le bas des chiffres, lus avec doute « 17 » ; le soulignement est entier. En haut à droite, à l'encre et intact, le nombre 124. Dans la seconde fraction de la première égalité, le signe entre \(e^{\lambda\omega}\) et \(e^{-\lambda\omega}\) et le mot « cos. » qui suit sont empâtés. Après « le stilet est », un mot est biffé, lu « simplement », le même mot revenant à la ligne suivante. « telle » est ajouté au-dessus de la ligne, et « de longueur \(\frac{1}{2}a\) » biffé après « lame ». « primitivee » est écrit ainsi. La référence entre parenthèses est lue « V. cas. 1^er » ; la première lettre est tracée d'un seul jet et reste douteuse. Le feuillet, plus petit que la garde, est monté sur un onglet ; il s'arrête sur « solution. », la suite étant à la vue 256.

25618

[…]. A l'egard dela seconde équation solution elle donne \(\dfrac{2}{e^{\frac{1}{2}\omega}+e^{-\frac{1}{2}\omega}}=-\cos.\tfrac{1}{2}\omega\) ainsi elle meneroit a conclure que la lame peut encore être consideré comme séparé en deux autres lames de longueur \(\frac{1}{2}a\) qui auroient chacune une de leurs extremités fixée au point d'application du stilet et l'autre libre, mais la condition \(\dfrac{2}{e^{\frac{1}{2}\omega}+e^{-\frac{1}{2}\omega}}=-\cos.\tfrac{1}{2}\omega\) ne peut s'accorder avec l'équation \(\cos.\omega=\dfrac{2e^{\omega}}{e^{2\omega}+1}\) dependante de l'état des extremités que dans la seule supposition \(\omega=0\). Il faut donc rejetter cette seconde solution, comme il me semble necessaire dele faire dans le cas examiné par Euler

10 Jusqu'ici, il existe la plus grande analogie entre le cas ou les deux extremités sont appuiées et celui que je viens de développer où les deux extremités sont libres car de part et d'autre la supposition \(\lambda=\frac{1}{2}\) donne des solutions semblables quant a la consideration de point d'appui [l'effet de l'application du stilet] mais malheureusement un examen plus aprofondi du cas present fait apercevoir de grandes differences.

En effet dans le cas des extremités appuiées la solu premiere solution relative a la supposition \(\lambda=\frac{1}{2}\) n'est qu'un cas particulier dela solution generale dans laquelle \(\lambda\) peut avoir toutes toutes les valeurs [être une fraction quelconque aliquote de l'unité] desorte que quelque soit celle adoptée la lame primitivee peut toujours être consideré comme separé en deux lames des longueurs \(\lambda a\) et \((1-\lambda)a\) dont qui auroient l'une et l'autre leurs deux extremités appuiées, et cette conclusion resulte de ce que […] les equations \(\text{sin.}\,\lambda\omega=0\) et \(\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega=0\) ont lieu en même tems. […] [pour de telles valeurs de \(\lambda\) et de ce que] les valeurs […] qui satisfont a ces equations sont les seules pour lesquelles le mouvement dela lame soit possible. En tête, au milieu et souligné, le nombre 18 ; en haut à droite, à l'encre, le nombre 125. La première ligne s'ouvre sur un mot ou un chiffre biffé et empâté, suivi d'un point, qui n'est pas lu. Le chiffre 10 est seul dans la marge de gauche, devant « Jusqu'ici » ; au-dessus, un petit signe circulaire barré d'une croix. « l'effet de l'application » est ajouté au-dessus de la ligne et « du stilet », qui l'achève, se lit dans la marge de gauche de la ligne suivante. Les mots biffés avant « être une fraction quelconque aliquote de l'unité » sont repassés les uns sur les autres ; la lecture « avoir toutes toutes les valeurs » est donnée pour ce qu'elle vaut. Les trois autres passages biffés des dernières lignes sont des pâtés et ne sont pas lus. « primitivee » est écrit ainsi. Le feuillet, plus petit que la garde, est monté sur un onglet ; il s'arrête sur « possible. », la suite étant à la vue 258.

25819

Au contraire dans le cas present des deux extremités libres les équations \[\frac{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}\,\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega-\cos.(1-\lambda)\omega=0 \quad\text{et}\] \[\frac{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega=0.\] ne peuvent avoir lieu en même tems; lorsqu'on a égard a la condition qui resulte de l'état des extremités de la lame primitivee, que dans le seul cas ou \(\lambda=\frac{1}{2}\) ces équations peuvent être mises sous la forme \[\text{tang.}\,(1-\lambda)\omega=\frac{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}, \qquad \text{tang.}\,\lambda\omega=\frac{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}\] qui montre quelles ne sont autrechose que les conditions du mouvement de deux lames des longueurs \(\lambda a\) et \((1-\lambda)a\) dont une des extremités seroit appuié et l'autre libre.

Ainsi ont on est forcé de conclure que le cas ou le stilet est appuié au milieu de la lame dont les deux extremités sont libres est le seul ou cette lame puisse être consideré comme separé en deux autres lames qui auroient chacune une de leurs extremités appuiees au point d'application du stilet et l'autre libre.

11 Je vais maintenant démontrer qu'en effet les deux quantités \[\frac{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}\,\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega-\cos.(1-\lambda)\omega \quad\text{et}\quad \frac{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin.}\,\lambda\omega-\cos.\lambda\omega\] ne peuvent être supposées en même tems égales a zéro.

c'est ceque montrent les transformations suivantes dans lesquelles on introduit les valeurs tirées de la seconde dans la premiere des avant equations

\[\frac{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}\,\text{sin.}\,(1-\lambda)\omega-\cos.(1-\lambda)\omega\] \[=\frac{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}\{\text{sin.}\,\omega\cos.\lambda\omega-\text{sin.}\,\lambda\omega\cos.\omega\}-\{\cos.\omega\cos.\lambda\omega+\text{sin.}\,\omega\,\text{sin.}\,\lambda\omega\}\] \[=\frac{e^{(1-\lambda)\omega}+e^{(\lambda-1)\omega}}{e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega}}\left\{\frac{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin.}\,\lambda\omega\,\text{sin.}\,\omega-\text{sin.}\,\lambda\omega\cos.\omega\right\}\] \[-\left\{\frac{e^{\lambda\omega}+e^{-\lambda\omega}}{e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega}}\,\text{sin.}\,\lambda\omega\cos.\omega+\text{sin.}\,\omega\,\text{sin.}\,\lambda\omega\right\}=0\]

et en multipliant par \((e^{\lambda\omega}-e^{-\lambda\omega})(e^{(1-\lambda)\omega}-e^{(\lambda-1)\omega})\)

\[0=\text{sin.}\,\lambda\omega\{(e^{\omega}+e^{(2\lambda-1)\omega}+e^{(1-2\lambda)\omega}+e^{-\omega})\,\text{sin.}\,\omega-(e^{\omega}+e^{(2\lambda-1)\omega}-e^{(1-2\lambda)\omega}-e^{-\omega})\cos.\omega\] \[-(e^{\omega}-e^{(2\lambda-1)\omega}+e^{(1-2\lambda)\omega}-e^{-\omega})\uncertain{\cos.\omega}-(e^{\omega}-e^{(2\lambda-1)\omega}-e^{(1-2\lambda)\omega}+e^{-\omega})\,\text{sin.}\,\omega\}\]

[…] En tête, au milieu et souligné, le nombre 19 ; en haut à droite, à l'encre, le nombre 126. Le chiffre 11 est seul dans la marge de gauche, devant « Je vais maintenant ». Le premier mot du feuillet est tracé d'un jet : la capitale se lit aussi bien O que A, et le sens demande « Au ». Le mot qui précède « equations », après « des », n'est lu qu'avec doute : les jambages donnent « avant ». Dans l'avant-dernière ligne, le « cos. \(\omega\) » qui suit la troisième parenthèse est couvert d'un pâté épais et n'est pas assuré. La dernière ligne du feuillet est biffée d'un trait épais d'un bout à l'autre ; on y distingue, sans certitude, « 2 sin. \(\lambda\omega\) \((e^{\omega}-e^{-\omega})\) sin. \(\omega\) ». « primitivee » est écrit ainsi. Le feuillet, plus petit que la garde, est monté sur un onglet ; le calcul se poursuit à la vue 260.

26020

\[0=2\,\text{sin.}\,\lambda\omega\{(e^{(1-2\lambda)\omega}+e^{(2\lambda-1)\omega})\,\text{sin.}\,\omega-(e^{\omega}-e^{-\omega})\cos.\omega\}\]

car amoins de faire \(\lambda\) ou \(\omega=0\), \(\text{sin.}\,\lambda\omega\) ne peut être supposé ici egal a zéro puisque cette hypothèse [supposition] meneroit a conclure que la portion de longueur \(\lambda a\) a ses deux extremités appuiée; contre l'hypothèse

Ainsi il faudroit que l'autre facteur \((e^{(1-2\lambda)\omega}+e^{(2\lambda-1)\omega})\,\text{sin.}\,\omega-(e^{\omega}-e^{-\omega})\cos.\omega\) fut egal a zero D'ou on concluroit \[\text{tang.}\,\omega=\frac{e^{\omega}-e^{-\omega}}{e^{(1-2\lambda)\omega}+e^{(2\lambda-1)\omega}}\]

mais la consideration de l'état des extremités dela lame primitivee donne \(\cos.\omega=\dfrac{2}{e^{\omega}+e^{-\omega}}\), \(\text{sin.}\,\omega=\pm\dfrac{e^{\omega}-e^{-\omega}}{e^{\omega}+e^{-\omega}}\) et par consequent \(\text{tang.}\,\omega=\pm\dfrac{e^{\omega}-e^{-\omega}}{2}\) on seroit donc mené a ce resultat

* trouveroit donc en egalant les deux valeurs de \(\text{tang.}\,\omega\) \[\pm\frac{e^{\omega}-e^{-\omega}}{2}=\frac{e^{\omega}-e^{-\omega}}{e^{(1-2\lambda)\omega}+e^{(2\lambda-1)\omega}} \quad\text{ou}\quad \pm(e^{(1-2\lambda)\omega}+e^{(2\lambda-1)\omega})=2\]

le signe superieur repond a la valeur positive de \(\text{sin.}\,\omega\) c'est adire au cas ou il y a un nombre impair de nœud au contraire le signe négatif repond a celui ou il y en a un nombre impair.

On voit d'abord que \(e^{(1-2\lambda)\omega}+e^{(2\lambda-1)\omega}\) etant une quantité essentiellement positive l'équation \(-(e^{(1-2\lambda)\omega}+e^{(2\lambda-1)\omega})=2\) ne peut subsister dans aucun cas et a l'egard de celle ci \(e^{(1-2\lambda)\omega}+e^{(2\lambda-1)\omega}=2\) on voit qu'amoins de faire \(\omega=0\), ceque exclut tout espece de mouvement, elle ne peut être satisfaite pour aucune valeur de \(\lambda\) differente de \(\frac{1}{2}\)

12 On obtient des resultats semblables pour le cas ou les extremités de la lame aulieu d'être libres sont fixées car si on suppose qu'une telle lame soit soumise a l'action d'un stilet dans un point quelconque de son etendue on parvient, au moyen de calculs que je suprime ici a cause de leur parfaite analogie avec les précédans, a l'équation. Deux nombres soulignés en tête : sur le feuillet lui-même, au milieu, un nombre dont le second chiffre est tracé comme un \(\omega\) et qui est lu, avec doute, 20 ; au-dessus du bord supérieur du feuillet, donc sur le montage et non sur cette page, un autre nombre souligné qui se lit 21. En haut à droite, à l'encre et sur le feuillet, le nombre 127. « supposition » est ajouté au-dessus de « hypothèse », biffé. Le « roit » de « concluroit » est couvert d'un pâté. Devant « trouveroit », dans la marge, un petit signe en étoile qui rattache la phrase à « on », resté au bout de la ligne précédente. La phrase « au contraire le signe négatif repond a celui ou il y en a un nombre impair » répète « impair » : le leçon est celle du feuillet, et le raisonnement demanderait « pair ». Le feuillet, plus petit que la garde, est monté sur un onglet ; il s'arrête sur « a l'équation. », et la suite est au-delà de ce lot.