Français 9115 · lot 15 · vues 281–300 · Transcription · Papiers de Sophie GERMAIN. — Recueil de dissertations et problèmes mathématiques et physiques.
Datation du catalogue : 1801-1900
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Numérotation des feuillets. Chaque feuillet écrit porte deux nombres, tous deux semble-t-il à l'encre, et les versos blancs n'en portent aucun : au milieu de la tête, souligné, de sa main, 30 (vue 283) puis 31 à 38 aux vues 285 à 299 ; en haut à droite, d'une plume plus large et d'une écriture plus ronde, 138 (vue 283) puis 139 à 146 aux vues 285 à 299, un par feuillet et sans lacune. Cette seconde série occupe la place de la foliotation de la Bibliothèque, mais elle est tracée à la plume et non au crayon gris, et elle prolonge la série à l'encre relevée dans les lots précédents de ce volume ; aucune foliotation au crayon n'a été lue ici, et aucun « f. » n'est donc porté. Tous ces nombres ont été lus sur la vue ; aucun n'est déduit. La vue 281 reprend le feuillet de la vue 280, béquet relevé ; les vues 284, 286, 288, 290, 292, 294, 296, 298 et 300 sont les versos blancs des feuillets qui les précèdent et ne sont pas transcrites.

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autre valeur de \(x\) que \(x\), considérer la lame primitive comme séparée en deux autres lames divisée au point d'application du stilet et que parconséquent De sorte qu'il semble que ces formules indiquent des conclusions qui ne sont pourtant [pas] admissibles que pour le cas ou Cette vue photographie une seconde fois le feuillet de la vue 280, le grand béquet rabattu vers le haut : on y lit les six lignes du bas de la page, que le béquet cachait, et rien d'autre. Le haut du feuillet est couvert par le béquet, dont le texte se lit à l'envers par transparence et se rétablit en retournant la vue ; c'est le texte qui se lit à l'endroit à la vue 280, et il n'est pas repris ici. Dans la marge de gauche apparaissent les trois dernières lignes d'une longue note marginale du même feuillet, elle aussi entière à la vue 280 ; elle n'est pas reprise non plus. Tout le passage transcrit est barré d'une grande croix à la plume ; un long trait horizontal passe en outre sur « admissibles » et sur « le cas ou ». Le caractère biffé après « que », à la première ligne, est pris dans la croix et pourrait être un chiffre. Aucun nombre n'est lisible en tête de cette vue.

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de sorte que pour une valeur quelconque de \(x\) on peut la toujours, dans ce cas des extrémités appuiés, considérer la lame primitive comme séparé en deux autres lames qui auroient egalement leurs deux extrémités appuiés.

mais ensuite Et Pour les cas ou les extremités sont l'une et l'autre libres ou fixés, on l'a vu que […] [parceque, comme] la lame primitive ne peut être cassé partagée en deux autres que pour la seule valeur \(x=\frac{1}{2}\). mais [la seule chose que montrent les équations du §.16 et que] pour une valeur quelconque de \(x\) ces équations montrent, que si il y a un point d'appui a la distance \(ax\) d'une des extremités, il se formera un autre nœud a la même distance \(ax\) de l'autre extremité, car ces équations sont fonctions homogènes des quantités \(ax\) et \(a-ax\).

19 Je crois que l'on peut établir [parvenir a] toutes ces résultats [conséquences] sans avoir recours a cette [la] méthode [dont il s'agit ici] et parconséquent sans employer la considération des équations citées

En effet en se bornant a la seule considération de l'état des extrémités […] [appuiés] [cas où] […] de [que je suppose d'abord l'une et l'autre appuiés] l'ordonnée pour on déduit des valeurs donnés par les cas et que l'ordonnée pour une valeur quelconque de \(x\) est exprimée par l'équation \(y = \dots \; \text{sin}\,x\omega\) de sorte que si par une cause quelconque la courbe coupe l'axe dans le point dont \(y\) est l'ordonnée, ce qui arrive pour les nœuds, on aura \(\text{sin}\,x\omega = 0\). D'où on déduira egalement \(\text{sin}\,2x\omega = \&c.\)

Ensuite pour les extremités libres on a (Voyez ces premier) lorsque la courbe coupe l'axe pour une valeur quelconque de \(x\) \[e^{x\omega} \pm e^{(1-x)\omega} + (1 \mp e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1 \pm e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega = 0\] et en adoptant d'abord les signes inférieurs qui ont lieu lorsque \(\text{sin}\,\omega\) est positif, qui est le cas ou il y a un nombre impair on a d'abord en faisant \(x=\frac{1}{2}\) En tête, au milieu, « 30 » souligné, et en haut à droite « 138 », tous deux à l'encre ; le second d'une plume plus large. Le paragraphe « Je crois… » est précédé d'un « 19 » empâté, écrit dans la ligne : les paragraphes de ces feuillets sont numérotés. Deux groupes biffés n'ont pas été lus : après « on l'a vu », trois mots dont le dernier se termine par « -ait » ; et, à la ligne « l'état des extrémités », deux groupes, le second suivi de « de ». Le « \(y = \dots\) » laisse en blanc le facteur de tête, comme ailleurs dans ces papiers. Les longs traits horizontaux qui passent sur « extremités » et « sont » sont ses traits de liaison et ne sont pas donnés pour des ratures. Le verso de ce feuillet (vue 284) est blanc.

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\[(1+e^{\omega})\,\text{sin}\,\tfrac{1}{2}\omega + (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,\tfrac{1}{2}\omega = 0 \quad\text{ou}\quad \text{tang}\,\tfrac{1}{2}\omega = \frac{e^{\omega}-1}{e^{\omega}+1}\] équation qui résulte des conditions \(\text{cos}\,\omega = \frac{2e^{\omega}}{e^{2\omega}+1}\) et \(\text{sin}\,\omega = \frac{e^{2\omega}-1}{e^{2\omega}+1}\) comme on l'a déjà vu

reprenant ensuite l'équation générale \[e^{x\omega} - e^{(1-x)\omega} + (1+e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega = 0\] on voit que l'on peut y ajouter, sans qu'elle cesse d'être et la retranchant de \((1+e^{\omega})\,\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega + (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,\frac{1}{2}\omega = 0\) multipliée par \(2\,\text{cos}\,\frac{(1-2x)\omega}{2}\) c'est a dire de \(2\{(1+e^{\omega})\,\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega + (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,\frac{1}{2}\omega\}\,\text{cos}\,\frac{(1-2x)\omega}{2}\) \[= (1+e^{\omega})\{\text{sin}\,x\omega + \text{sin}(1-x)\omega\} + (1-e^{\omega})\{\text{cos}\,x\omega + \text{cos}(1-x)\omega\} = 0\] on trouve \[e^{(1-x)\omega} - e^{x\omega} + (1+e^{\omega})\{\text{sin}(1-x)\omega + \text{sin}\,x\omega - \text{sin}\,x\omega\}\] \[+ (1-e^{\omega})\{\text{cos}(1-x)\omega + \text{cos}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\}\] \[= e^{(1-x)\omega} - e^{x\omega} + (1+e^{\omega})\,\text{sin}(1-x)\omega + (1-e^{\omega})\,\text{cos}(1-x)\omega = 0\] Ainsi l'ordonnée est encore zéro lorsque l'on change \(x\) en \(x-1\).

Demême aussi pour le cas ou il y a un nombre pair de nœuds, si on ajoutée retranche [de] l'équation \[e^{x\omega} + e^{(1-x)\omega} + (1-e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1+e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega = 0\] cette autre équation \((e^{\omega}+1)\,\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega - (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,\frac{1}{2}\omega = 0\) tirée des conditions \(\text{cos}\,\omega = \frac{2e^{\omega}}{e^{2\omega}+1}\), \(\text{sin}\,\omega = -\frac{e^{2\omega}-1}{e^{2\omega}+1}\), après l'avoir multipliée par \(2\,\text{sin}\,\frac{(1-2x)\omega}{2}\); ce qui donne \[\{(e^{\omega}+1).2\,\text{sin}\,\tfrac{1}{2}\omega - (1-e^{\omega}).2\,\text{cos}\,\tfrac{1}{2}\omega\}\,\text{sin}\,\frac{(1-2x)\omega}{2}\] \[= (e^{\omega}+1)(\text{cos}\,x\omega - \text{cos}(1-x)\omega) \ill{} (1-e^{\omega})(\text{sin}(1-x)\omega - \text{sin}\,x\omega)\] on trouve \[e^{x\omega} + e^{(1-x)\omega} + (1-e^{\omega})\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{sin}\,x\omega + \text{sin}\,x\omega\}\] \[- (1+e^{\omega})\{\text{cos}\,x\omega - \text{cos}(1-x)\omega - \text{cos}\,x\omega\}\] \[= e^{(1-x)\omega} + e^{x\omega} + (1-e^{\omega})\,\text{sin}(1-x)\omega + (1+e^{\omega})\,\text{cos}(1-x)\omega = 0\] c'est a dire que l'ordonnée est egalement zéro lorsque l'on change \(x\) en \(1-x\).

Les résultats sont parfaitement semblables pour les cas ou les deux extrémités sont fixés, car la seule différence En tête, au milieu, « 31 » souligné ; en haut à droite « 139 », à l'encre. « lorsque l'on change \(x\) en \(x-1\) » est écrit ainsi sur le feuillet ; la même conclusion est écrite « en \(1-x\) » quinze lignes plus bas, et le calcul donne \(1-x\) : la leçon est laissée telle quelle. Le signe qui joint les deux produits de l'avant-dernier groupe est sous un gros pâté et n'est pas lu. Un pâté couvre aussi le « 1 » de « \(\text{cos}(1-x)\omega\) » à la troisième équation avant la fin, et le « 1 » de « \((1-e^{\omega})\) » dans « cette autre équation ». « si on retranche de l'équation » porte trois états superposés : « ajoutée » biffé au-dessus de la ligne, « retranche » biffé sur la ligne et repris « tranche de » au-dessous, un « a » au-dessus de « de ». Le verso (vue 286) est blanc.

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entre ce cas et le précédant est qu'on a ici \[e^{x\omega} \pm e^{(1-x)\omega} - \{(1 \mp e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1 \pm e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega\} = 0\] au lieu de \[e^{x\omega} \pm e^{(1-x)\omega} + (1 \mp e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1 \pm e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega = 0\]

que les équations finales semblent présenter [indiquer] des conclusions qui ne sont pourtant pas admissibles, puisqu'elles sont inconcilliables avec les hypothèses subsistantes sur l'état des extrèmités et [après] avoir prouvé que le petit nombre de conséquences applicables que l'on peut tirer de ces équations peuvent etres atteintes d'une manière independantes des mêmes équations par des considérations fort simples et independantes des mêmes equations

20 Après avoir remarqué \(*\) que le petit nombre de conclusions qui peuvent, ayant egard a l'état des extremités, être tirée des équations trouvées par la methode d'Euler peuvent etre déduits avec beaucoup plus de simplicité de l'expression de l'ordonnée convenable a chaque cas et supposée égale a zéro dans le point ou il y a un nœud; soit que ce nœud soit l'effet immédiat de l'application d'un stilet soit qu'il se forme par une autre cause, il étoit naturel d'examiner les hypothèses [la methode qui a servi a les trouver] sur lesquelles cette méthode est appuiée [au moyen de laquelle elles ont été trouvées]

On peut voir N^o 47 [dans le quinzième du memoire] [que l'auteur] que d'Euler, après avoir admis que le stilet soit simplement appuié de manière a ce que le le mouvement puisse se communiquer de l'une a l'autre des deux parties qu'il sépare suppose cependant que l'action de ce stilet interrompe la continuité de la courbe de sorte que les deux portions [suivant cette supposition] de cette [cette] courbe seroient exprimés par des équations qui différent [seroient] seulement par les valeurs des coefficiens [\(\beta\), \(\gamma\) etc,] et que c'est d'après cette hypothese qu'il a établi les équations I II III IV

Indépendamment [sans avoir recours au] de tout calcul, il peut d'abord paroitre étonnant qu'Euler admette qu'elle [qu'Euler suppose que les deux portions séparés par l'application du stilet n'appartiennent plus a une seule et même courbe \(+\)] l'application du stilet produisant un simple point d'appui, puisse que le mouvement dont il s'agit etant du nombre des mouvement reguliers de la lame puisque le seul effet de l'application du stilet est de déterminer la formation d'un certain nombre de nœuds c'est a dire de donner lieu a un des mouvement réguliers déterminés [réguliers dont il s'agit ici en question] dans En tête, au milieu, « 32 » souligné ; en haut à droite « 140 », à l'encre. Le paragraphe est numéroté « 20 » dans la ligne. Le feuillet porte deux notes de sa main dans la marge de gauche, données ici avant et après la ligne qu'elles accompagnent : la première répond à l'astérisque de « Après avoir remarqué * », la seconde à la croix « + » de l'addition sur Euler ; la seconde est barrée d'un long trait oblique. Les chiffres romains « I II III IV » qui closent le paragraphe sont les numéros des équations d'Euler, écrits d'une plume plus large. « N^o 47 » renvoie au paragraphe 47 du mémoire d'Euler, celui qui est copié aux vues 192 et suivantes. Ce feuillet est repris de part en part : les mots donnés en addition sont écrits au-dessus ou au-dessous de la ligne, sans signe d'insertion. Plusieurs longs traits horizontaux passent sur des mots qui font sens et ne sont pas donnés pour des ratures. Le verso (vue 288) est blanc.

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l'examen des six cas relatifs a [a l'exclusion des autres] l'état des extremités, et les mouvement dont il s'agit se fesant sans interruption dans les courbes auxquelles ils donnent lieu, Euler suppose pourtant que les deux portions séparés par le stilet n'appartienne plus a une seule et même courbe.

donner lieu a la discontinuité dela courbe. en effet on a vu dans l'examen des six cas relatifs a l'état des extremités, que l'on parvient a des équations qui déterminent les valeurs convenables de l'angle \(\omega\) et que ces differentes valeurs sont relatifs aux differens mouvemens reguliers dont les lames auxquelles elles s'appliquent sont susceptibles mais le mouvement modifié par l'application du stilet simplement appuié est [encore] d'après l'hypothèse, N^o 47, un mouvement regulier des mêmes lames, il doit donc etre compris au nombre de ceux qui sont déterminés par les conditions données dans l'examen des six cas cités et qui n'admettent pas de discontinuité dans la courbe a laquelle ils donnent lieu. On est ainsi menée a conclure que les coefficiens \(\alpha'\), \(\beta'\), \(\gamma'\) et \(\delta'\) sont égaux chacun a son corrispondant parmi les coefficiens \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), et \(\delta\). \(+\)

\(+\) car le seul effet de cette application est de déterminer la formation d'un certain nombre de nœuds et parconséquent de donner lieu a de certains mouvemens reguliers compris au nombre de ceux qui ont été traités dans l'examen des six cas relatifs a l'état des extremités a l'exclus et les mouvemens dont il s'agit s'éxécutent suivant une courbe continue. et ces réflexions mènent donc cependant je

[Cependant] Ce résultat Je n'ose admettre ce resultat contraire a l'opinion d'Euler. sur une hypothèse qui [par laquelle il] semble avoir ou devoir ouvrir la carrière a l'examen d'une foule de cas dont il donne l'examen d'un seul comme un exemple qui doit guider un exemple comme pour guider dans des recherches semblables, sans le soumettre a un examen plus approfondi. c'est pourquoi je me propose de démontrer la proposition suivante :

Cependant je n'ose admettre une opinion si contraire a celle d'Euler sans la soumettre a un examen plus approfondi c'est pourquoi je me propose de demontrer la proposition suivante En tête, au milieu, « 33 » souligné ; en haut à droite « 141 », à l'encre. Le corps de la page est barré d'une grande croix à la plume, et la première note marginale d'un long trait oblique ; les mots biffés au trait bref sont seuls donnés ici comme ratures. La troisième note marginale reprend, presque mot pour mot, les trois dernières lignes du corps : elle en est la mise au net. Les lettres grecques sont celles d'Euler : le \(\gamma\) est tracé comme un « v », ainsi que l'a déjà noté une passe antérieure sur la copie latine de ce volume. « N^o 47 » renvoie encore au paragraphe 47 du mémoire d'Euler. Le bas du feuillet est blanc ; le verso (vue 290) l'est aussi.

291

21 Toutes les fois que la condition de l'application d'un stilet simplement appuié dans un point quelconque de l'étendue d'une lame elastique vibrante: laisse subsister une hypothese quelconque [déterminée] sur l'état des extrimités de la meme lame. les coëfficiens \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\) et \(\alpha'\), \(\beta'\), \(\gamma'\), \(\delta'\) qui entrent dans l'éxpression des ordonnées des deux parties de la courbe séparées par ce point d'appui sont égaux chacun a son corrspondant

Je vais commencer par prouver qu'[en général] il suffit que l'un de ces coëfficiens soit égal a son correspondant pour que la même égalité ait lieu entre tous les autres. De sorte que si on a \(\alpha = \alpha'\) il en resultera nécessairement \(\beta = \beta'\), \(\gamma' = \gamma\), &c.

Je suppose donc \(\alpha = \alpha'\), il resulte alors de l'équation […] \(\alpha e^{x\omega} + \beta e^{-x\omega} = \alpha' e^{x\omega} + \beta' e^{-x\omega}\) […] que \(\beta = \beta'\) dans cette hypothese les équations III et IV se réduisent a \[\text{III.}\ (\gamma-\gamma')\,\text{cos}\,x\omega - (\delta-\delta')\,\text{sin}\,x\omega = 0, \quad \text{IV}\ (\gamma-\gamma')\,\text{sin}\,x\omega + (\delta-\delta')\,\text{cos}\,x\omega = 0\] la première multipliée par \(\text{cos}\,x\omega\) et ajoutée a la seconde multipliée par \(\text{sin}\,x\omega\) donne \((\gamma-\gamma')(\text{sin}^2 x\omega + \text{cos}^2 x\omega) = 0\) c'est adire \(\gamma = \gamma'\) Ainsi et on a III \((\delta-\delta')\,\text{sin}\,x\omega = 0\) et IV \((\delta-\delta')\,\text{cos}\,x\omega = 0\) et parséquent \(\delta = \delta'\)

Il ne s'agit donc plus que de prouver qu'en effet la condition \(\alpha = \alpha'\) est necessaire, je choisis d'abord le cas ou les deux extremités sont supposées libres.

On a alors l'équation \[\frac{\alpha[(e^{x\omega}+e^{-x\omega})\,\text{sin}\,x\omega - (e^{x\omega}-e^{-x\omega})\,\text{cos}\,x\omega]}{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega - e^{x\omega}}\] \[= \frac{\alpha'[(e^{(1-x)\omega}+e^{(x-1)\omega})\,\text{sin}(1-x)\omega - (e^{(1-x)\omega}-e^{(x-1)\omega})\,\text{cos}(1-x)\omega]}{e^{-x\omega}+e^{-\omega}(\text{cos}(1-x)\omega + \text{sin}(1-x)\omega)}\] ainsi il suffit de pro montrer que l'équation \[\{e^{-x\omega}+e^{-\omega}(\text{cos}(1-x)\omega+\text{sin}(1-x)\omega)\}\{(e^{x\omega}+e^{-x\omega})\,\text{sin}\,x\omega - (e^{x\omega}-e^{-x\omega})\,\text{cos}\,x\omega\}\] \[= \{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega - e^{-x\omega}\}\{(e^{(1-x)\omega}+e^{(x-1)})\,\text{sin}(1-x)\omega - (e^{(1-x)\omega}-e^{(x-1)\omega})\,\text{cos}(1-x)\omega\}\] que l'équa a lieu d'ellemême sous les conditions indiqués. En tête, au milieu, « 34 » souligné ; en haut à droite « 142 », à l'encre. Le paragraphe porte le numéro 21, écrit dans la ligne et empâté. « parséquent » est écrit ainsi, contraction de « par conséquent », qu'elle écrit ailleurs « parconséquent ». Le \(\gamma\) est tracé comme un « v ». Le dénominateur de la première fraction porte « \(e^{x\omega}\) » sans signe à l'exposant, alors que le même facteur est écrit « \(e^{-x\omega}\) » quatre lignes plus bas ; les deux leçons sont laissées telles. Dans le second membre de la dernière équation, un « \(e^{(x-1)}\) » est écrit sans \(\omega\) à l'exposant, à la différence des trois autres. Deux groupes courts biffés, l'un après « de l'équation », l'autre après le second membre de l'équation en \(\alpha\) et \(\beta\), ne sont pas lus. Le verso (vue 292) est blanc.

293

On a par le developpement: \[(e^{(x-1)\omega} + e^{-(x+1)\omega})\{\text{cos}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega + \text{sin}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega\} - (e^{(x-1)\omega} - e^{-(x+1)\omega})\{\text{cos}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega + \text{sin}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega\}\] \[+ e^{-x\omega}\{(e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega})\,\text{sin}(1-x)\omega - (e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega})\,\text{cos}(1-x)\omega\}\] \[= (e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega})\{\text{sin}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega - \text{sin}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega\} - (e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega})\{\text{cos}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega - \text{cos}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega\}\] \[- e^{-x\omega}\{(e^{x\omega} + e^{-x\omega})\,\text{sin}\,x\omega - (e^{x\omega} - e^{-x\omega})\,\text{cos}\,x\omega\}\] ou \[e^{(x-1)\omega}\{\text{cos}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega + \text{sin}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega - \text{cos}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega - \text{sin}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega\}\] \[+ e^{-(1+x)\omega}\{\text{cos}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega + \text{sin}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega + \text{cos}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega + \text{sin}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega\}\] \[+ e^{-x\omega}\{(e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega})\,\text{sin}(1-x)\omega - (e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega})\,\text{cos}(1-x)\omega + (e^{x\omega} + e^{-x\omega})\,\text{sin}\,x\omega - (e^{x\omega} - e^{-x\omega})\,\text{cos}\,x\omega\}\] \[= e^{(x-1)\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega - \text{sin}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega + \text{cos}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega - \text{cos}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega\}\] \[+ e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega - \text{sin}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega - \text{cos}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega + \text{cos}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega\}\] en effaceant ce qui se détruit et multipliant par \(e^{-x\omega}\) cette équation devient : \[e^{-\omega}\{\text{cos}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega + \text{sin}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega + \text{cos}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega + \text{sin}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega\}\] \[+ (e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega})\,\text{sin}(1-x)\omega - (e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega})\,\text{cos}(1-x)\omega + (e^{x\omega} + e^{-x\omega})\,\text{sin}\,x\omega - (e^{x\omega} - e^{-x\omega})\,\text{cos}\,x\omega\] \[= e^{\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega - \text{sin}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega - \text{cos}(1-x)\omega\,\text{sin}\,x\omega + \text{cos}(1-x)\omega\,\text{cos}\,x\omega\}\] et elle peut etre mise sous la forme \[e^{-\omega}\{\text{cos}(1-x)\omega \ill{} \text{sin}(1-x)\omega\}\{\text{cos}\,x\omega + \text{sin}\,x\omega\}\] \[+ e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\} + e^{(x-1)\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega + \text{cos}(1-x)\omega\} + e^{x\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} + e^{-x\omega}\{\text{sin}\,x\omega + \text{cos}\,x\omega\}\] \[= e^{\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\}\] je suppose d'abord \(\text{sin}\,\omega\) positif, on a pour ce cas \[e^{x\omega} - e^{(1-x)\omega} + (1+e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega = 0 \quad \text{d'ou il resulte}\] \[e^{(1-x)\omega} - e^{x\omega} + (1+e^{\omega})\,\text{sin}(1-x)\omega + (1-e^{\omega})\,\text{cos}(1-x)\omega = 0\] et parconséquent \[\{\text{sin}\,x\omega + \text{cos}\,x\omega\}\{\text{sin}(1-x)\omega + \text{cos}(1-x)\omega\} = \{e^{x\omega} - e^{(1-x)\omega} + e^{\omega}(\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega)\}\{e^{(1-x)\omega} - e^{x\omega} + e^{\omega}(\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega)\}\] \[= e^{\omega} - e^{2(1-x)\omega} - e^{2x\omega} + e^{\omega} + e^{\omega}\{e^{x\omega}(\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega) - e^{(1-x)\omega}(\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega)\}\] \[+ e^{\omega}\{e^{(1-x)\omega}(\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega) - e^{x\omega}(\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega)\}\] \[+ e^{2\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\}\] en mettant cette valeur dans l'equation cidessus elle devient: En tête, au milieu, « 35 » souligné ; en haut à droite « 143 », à l'encre. La page est tout entière de calcul : aucun paragraphe numéroté. Dans « elle peut etre mise sous la forme », le signe qui joint « \(\text{cos}(1-x)\omega\) » et « \(\text{sin}(1-x)\omega\) » est sous un gros pâté et n'est pas lu. La ligne qui suit ce premier facteur est d'abord écrite comme la ligne correspondante plus haut, puis biffée de traits en croix et récrite au-dessous sous la forme des quatre exponentielles : c'est cette seconde rédaction qui est donnée ici. Le feuillet s'arrête sur « elle devient: » ; la suite est à la vue 295. Le verso (vue 294) est blanc.

295

\[2 - e^{(1-2x)\omega} - e^{(2x-1)\omega} + e^{x\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\} - e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\}\] \[+ e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} - e^{x\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\}\] \[+ e^{\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\}\] \[+ e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\} + e^{(x-1)\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega + \text{cos}(1-x)\omega\} + e^{x\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} + e^{-x\omega}\{\text{sin}\,x\omega + \text{cos}\,x\omega\}\] \[= e^{\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\}\] et en effaceant ce qui se détruit \[2 - e^{(1-2x)\omega} - e^{(2x-1)\omega} + e^{x\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\} + e^{(x-1)\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega + \text{cos}(1-x)\omega\}\] \[+ e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} + e^{-x\omega}\{\text{sin}\,x\omega + \text{cos}\,x\omega\} = 0\] en reprenant l'équation \[e^{x\omega} - e^{(1-x)\omega} + (1+e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega = 0\] et la divisant par \(e^{x\omega}\) elle donne \[1 - e^{(1-2x)\omega} + e^{-x\omega}\{\text{sin}\,x\omega + \text{cos}\,x\omega\} + e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} = 0\] demême on tiré de l'équation \[e^{(1-x)\omega} - e^{x\omega} + (1+e^{\omega})\,\text{sin}(1-x)\omega + (1-e^{\omega})\,\text{cos}(1-x)\omega = 0\] en la divisant par \(e^{(1-x)\omega}\) \[1 - e^{(2x-1)\omega} + e^{(x-1)\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega + \text{cos}(1-x)\omega\} + e^{x\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\} = 0\] Enfin de l'addition de ces deux équations il resulte \[2 - e^{(2x-1)\omega} - e^{(2x-1)\omega} + e^{-x\omega}\{\text{sin}\,x\omega + \text{cos}\,x\omega\} + e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\}\] \[+ e^{(x-1)\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega + \text{cos}(1-x)\omega\} + e^{x\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\} = 0\] ainsi l'équation est demontrée pour le cas ou \(\text{sin}\,\omega\) est positif

je suppose apresent \(\text{sin}\,\omega\) negatif on aura \[e^{x\omega} + e^{(1-x)\omega} + (1-e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1+e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega = 0\] \[e^{x\omega} + e^{(1-x)\omega} + (1-e^{\omega})\,\text{sin}(1-x)\omega + (1+e^{\omega})\,\text{cos}(1-x)\omega = 0\] \[(\text{sin}\,x\omega + \text{cos}\,x\omega)(\text{sin}(1-x)\omega + \text{cos}(1-x)\omega)\] \[= e^{2\omega}(\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega)(\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega) - \{e^{x\omega} + e^{(1-x)\omega}\}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega + \text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\}e^{\omega}\] \[+ 2e^{\omega} + \struck{\ill{}} + e^{2x\omega} + e^{2(1-x)\omega}\] mettant donc cette valeur dans l'équation \[e^{-\omega}\{\text{cos}(1-x)\omega + \text{sin}(1-x)\omega\}\{\text{cos}\,x\omega + \text{sin}\,x\omega\}\] \[\ill{} e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\} + e^{(x-1)\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega + \text{cos}(1-x)\omega\} + e^{x\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} + e^{-x\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\}\] \[= e^{\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\}\] elle devient : En tête, au milieu, « 36 » souligné ; en haut à droite « 144 », à l'encre, dans un angle noirci par l'ombre du feuillet. Le premier terme de l'équation qui suit « Enfin de l'addition de ces deux équations » est écrit « \(-e^{(2x-1)\omega} - e^{(2x-1)\omega}\) », le même exposant deux fois, là où les deux équations additionnées donnent « \(-e^{(1-2x)\omega} - e^{(2x-1)\omega}\) » ; la leçon du feuillet est gardée. De même, à l'avant-dernier groupe de la page, le dernier terme est écrit « \(e^{-x\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\}\) » alors que le même terme porte « \(+\,\text{cos}\,x\omega\) » plus haut. Un groupe biffé et repassé après « \(+2e^{\omega}\) » n'est pas lu ; un gros pâté couvre le signe qui ouvre la deuxième ligne du dernier groupe. « demême » est lu avec doute : le mot est traversé d'un trait et son milieu est empâté. Le verso (vue 296) est blanc.

297

\[e^{\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\} + 2 + e^{(2x-1)\omega} + e^{(1-2x)\omega}\] \[- e^{x\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} - e^{x\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\} - e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} - e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\}\] \[+ e^{x\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\} + e^{-x\omega}\{\text{sin}\,x\omega + \text{cos}\,x\omega\} + e^{(1-x)\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\} + e^{(x-1)\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega + \text{cos}(1-x)\omega\}\] \[= e^{\omega}\{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega\}\{\text{sin}(1-x)\omega - \text{cos}(1-x)\omega\}\] et en effaceant ce qui se détruit \[2 + e^{(2x-1)\omega} + e^{(1-2x)\omega} + e^{-x\omega}\{(1-e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1+e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega\}\] \[+ e^{(x-1)\omega}\{(1-e^{\omega})\,\text{sin}(1-x)\omega + (1+e^{\omega})\,\text{cos}(1-x)\omega\} = 0\] On voit que comme dans le cas précédant cette équation est la somme des deux équations \[e^{x\omega} + e^{(1-x)\omega} + (1-e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1+e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega = 0\] \[e^{x\omega} + e^{(1-x)\omega} + (1-e^{\omega})\,\text{sin}(1-x)\omega + (1+e^{\omega})\,\text{cos}(1-x)\omega = 0\] dont la première est multipliée par \(e^{-x\omega}\) et la seconde par \(e^{(1-x)\omega}\).

22 Lorsque les équations sont l'une et l'autre appuiées fixées il est également vrai que les deux séries de coëfficiens \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\) et \(\alpha'\), \(\beta'\), \(\gamma'\), \(\delta'\) sont égales entr'elles

En effet on a pour ce dernier cas \[\frac{\alpha}{\alpha'} = \frac{(e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega})\,\text{sin}(1-x)\omega - (e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega})\,\text{cos}(1-x)\omega}{(e^{x\omega} + e^{-x\omega})\,\text{sin}\,x\omega - (e^{x\omega} - e^{-x\omega})\,\text{cos}\,x\omega} \cdot \frac{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega + e^{-x\omega}}{e^{-\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega + \text{cos}(1-x)\omega\} - e^{-x\omega}}\] au lieu de […] \[\frac{\alpha}{\alpha'} = \frac{(e^{(1-x)\omega} + e^{(x-1)\omega})\,\text{sin}(1-x)\omega - (e^{(1-x)\omega} - e^{(x-1)\omega})\,\text{cos}(1-x)\omega}{(e^{x\omega} + e^{-x\omega})\,\text{sin}\,x\omega - (e^{x\omega} - e^{-x\omega})\,\text{cos}\,x\omega} \cdot \frac{\text{sin}\,x\omega - \text{cos}\,x\omega - e^{-x\omega}}{e^{-\omega}\{\text{sin}(1-x)\omega + \text{cos}(1-x)\omega\} + e^{-x\omega}}\] que l'on a trouvé pour le cas précédant, il est aisé [devoir] que la seule Différence qui existe entre ces deux équations consiste dans le changement de signe de la quantité \(e^{-x\omega}\) et comme on a pour les extremités appuiées fixées \[e^{x\omega} \mp e^{(1-x)\omega} - \{(1 \pm e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1 \mp e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega\} = 0\] au lieu de \[e^{x\omega} \mp e^{(1-x)\omega} + (1 \pm e^{\omega})\,\text{sin}\,x\omega + (1 \mp e^{\omega})\,\text{cos}\,x\omega = 0\] pour les extremités libres, il y a compensation entre les changemens de signes et on parvient ici comme dans le cas précedant a conclure \(\alpha = \alpha'\). En tête, au milieu, « 37 » souligné ; en haut à droite « 145 », à l'encre, dans un angle noirci. Le paragraphe porte le numéro 22, écrit dans la ligne. À son premier mot elle écrit « Lorsque les équations sont l'une et l'autre fixées » là où le sens demande « les extremités » ; la leçon du feuillet est gardée. De même, « la seconde par \(e^{(1-x)\omega}\) » est écrit ainsi, alors que la réduction qui précède multiplie par \(e^{(x-1)\omega}\). Un mot court biffé après le premier « au lieu de » n'est pas lu. Les deux grandes expressions de \(\frac{\alpha}{\alpha'}\) sont écrites sur le feuillet comme un produit de deux fractions écrites côte à côte, séparées d'un point ; elles sont données ici avec un point de multiplication. Le verso (vue 298) est blanc.

299

23 A l'egard du cas ou l'une et l'autre extrémités sont appuiées Euler trouve \(\frac{\alpha}{\alpha'} = \frac{e^{x\omega} - e^{(2-x)\omega}}{e^{x\omega} - e^{-x\omega}}\) et il est clair que l'équation ne mène pas a conclure \(\alpha = \alpha'\), car rien n'engage a conclure faire \(e^{x\omega} - e^{(2-x)\omega} = e^{x\omega} - e^{-x\omega}\), mais il faut remarquer qu'ici tout les coëfficiens a l'exception de \(\delta\), tout en vertu nuls, en vertu de l'état des extremités, de sorte que \(\frac{\alpha}{\alpha'}\) est essentielle- ment une quantité indéterminée et que parconséquent on ne peut rien conclure de l'équation \(\frac{\alpha}{\alpha'} = \frac{e^{x\omega} - e^{(2-x)\omega}}{e^{x\omega} - e^{-x\omega}}\),

On voit en effet qu'après avoir trouvé pour la première solution qui comme je l'ai déjà remarqué est la seule qui s'accorde avec l'état des extremités, et dans la supposition \(x = \frac{1}{2}\) \[\alpha = e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{\frac{3}{2}\omega};\quad \beta = e^{\frac{3}{2}\omega} - e^{\frac{1}{2}\omega};\quad \gamma = -\frac{(e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{\frac{3}{2}\omega})(e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{-\frac{1}{2}\omega})}{\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega};\quad \delta = 0.\] \[\alpha' = e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{-\frac{1}{2}\omega},\quad \beta' = -e^{2\omega}(e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{-\frac{1}{2}\omega});\quad \gamma' = -\frac{(e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{-\frac{1}{2}\omega})(e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{\frac{3}{2}\omega})}{\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega - \text{cos}\,\frac{1}{2}\omega\,\text{tang.}\,\omega};\quad \delta' = \frac{(e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{-\frac{1}{2}\omega})(e^{\frac{1}{2}\omega} - e^{\frac{3}{2}\omega})\,\text{tang.}\,\omega}{\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega - \text{cos}\,\frac{1}{2}\omega\,\text{tang.}\,\omega}\] il multiplie ensuite tous ces coëfficiens par \(\text{sin}\,\frac{1}{2}\omega\) afin de les réduire a leur véritable valeur, c'est a dire, a celle qui convient a l'état dela question; ce qui lui donne: \[\alpha = \alpha' = 0,\quad \beta = \beta' = 0,\quad \gamma' = -\gamma \quad\text{et}\quad \delta = \delta' = 0,\] conformement a ce que j'ai trouvé devoir avoir lieu toutes les fois que l'on aiégard a l'état des extremités, on a seulement \(\delta = -\delta'\) au lieu de \(\delta = \delta'\) parcequ'on atribue le changement de signe au coëfficient \(\delta\) au lieu de le considerer comme appartenant a l'ordonnée \(y\) qui est prise de l'autre côté de l'axe.

On voit donc que tout ce qu'on peut savoir sur l'effet d'un point d'appui placé dans un lieu point quelconque de l'étendue dela lame est resulte dela supposition \(y = 0\) dans ce point combiné avec les conditions dependantes de l'état des extrèmités et que l'appareille des quatre équations trouvées par Euler est au moins inutile puisqu'après delong de calculs ont atteint aucun resultat nouveau et que deplus ce qui doit necessairement avoir lieu par cause que les deux En tête, au milieu, « 38 » souligné, le chiffre repassé et empâté ; en haut à droite « 146 », à l'encre. Le paragraphe porte le numéro 23. Les huit coefficients cités sont, au signe et à la disposition près, ceux du § 50 du mémoire d'Euler, qu'elle a copiés en latin à la vue 200 de ce même volume. « aiégard » est écrit en un mot, pour « a égard » ; « l'appareille » pour « l'appareil » ; « tout » pour « tous ». Le \(\gamma\) est tracé comme un « v ». Le feuillet s'arrête sur « les deux » ; la suite n'est pas dans ce lot. Le verso (vue 300) est blanc.