Français 9115 · lot 22 · vues 421–440 · Transcription · Papiers de Sophie GERMAIN. — Recueil de dissertations et problèmes mathématiques et physiques.
Datation du catalogue : 1801-1900
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Numérotation des feuillets. Chaque page de cette mise au net porte en tête, au milieu, entre parenthèses, sa pagination : (18) à (24) aux vues 421 à 427, (25) à la vue 429, (26) à (34) aux vues 432 à 440, sans lacune ; (25), (27), (29), (31) et (33) sont barrés d'un trait oblique. Les feuillets sont écrits des deux côtés, et seul le côté de pagination impaire porte en haut à droite, à l'encre, d'une écriture plus ronde, un nombre de la série qui court dans tout le volume : 207 (vue 422), 208 (424), 209 (426), 211 (429, repris à la vue 431), 212 (433), 213 (435), 214 (437), 215 (439) ; le petit feuillet de calculs de la vue 428 porte 210. Cette série numérote des feuillets et non des pages, et elle compte le petit feuillet ; elle occupe la place de la foliotation de la Bibliothèque, mais elle est tracée à la plume et non au crayon, et aucun « f. » n'est donc porté. Tous ces nombres ont été lus sur la vue ; aucun n'est déduit. La vue 430 est le dos gris et blanc de la feuille qui porte le feuillet de la vue 428 ; la vue 431 photographie une seconde fois le feuillet de la vue 429 ; ni l'une ni l'autre n'est transcrite.

421

On verra plus bas que j'ai été plus heureux par rapport a un fait du même genre qui pourroit servir de preuve à celui dont je n'ai pû m'assurer directement; et l'on ne s'étonnera pas de la difficulté que j'ai trouvée à faire l'experience dont il s'agit, si on fait attention qu'a a l'influence qu'ont les moindres circonstances physiques pour exclure une partie des mouvemens que l'analyse montre possibles et pour les remplacer par d'autres [mouvemens] pris également aunombre de ceux que l'analyse indique possibles, mais qui n'ont lieu pourtant qu'à l'aide de la condition physique qui n'entre pas dans le calcul. C'est ainsi que les fourches métalliques qui doivent etre assujetties aux mêmes conditions analytiques que les lames droites [, quoique la courbure ait pourtant un effet que j'expliquerai dans la suite,] donnent des sons qui suivent la même loi que ceux qui appartiennent à la lame appuyée a ses deux extremités, quoi [malgré] que celles de la fourche soient l'une et l'autre physiquement libres (V. traité de Chladni N.o 88 P. 115); desorte qu'il paroît que [les extremités] dela fourche satisfont veritablement au[x] couple[x] d'équations \(\frac{dz}{dx}=0\), et \(\frac{d^3z}{dx^3}=0\); et que l'experience refuse de presenter pour elles le cas \(\frac{d^3z}{dx^3}=0\) et \(\frac{d^2z}{dx^2}=0\); qui sur la lame droite exclut presque toujours le premier, par la facilité que cette lame paroît avoir à se ployer aux courbures qui appartiennent au second. En tête, au milieu, « (18) », entre parenthèses, non barré ; aucun nombre en haut à droite de cette vue. Écriture régulière et posée, la main de ses mises au net, avec quelques corrections. « métalliques » est écrit seul dans la marge de gauche, en face de « qui doivent etre assujetties », sans signe de renvoi : il se rapporte apparemment à « fourches ». L'addition « quoique la courbure ait pourtant un effet que j'expliquerai dans la suite » est écrite en plus petit au-dessus de la ligne, après « droites ». Le mot biffé devant « a l'influence » est empâté ; lu « qu'a » avec doute. Le verbe après « fourche » est surchargé à sa fin : on croit lire « satisfont » écrit sur « satisfait », ce qu'appellent « les extremités » ajouté au-dessus et les « x » ajoutés à « au » et à « couple » ; « au couple » devient ainsi « aux couples ». Dans \(\frac{d^3z}{dx^3}\) de la première équation, le \(x\) du dénominateur est tracé comme un « 1 ». « le premier » est écrit sur un autre mot, peut-être « l'autre », et n'est pas sûr. Les deux dernières lignes et demie, de « par la facilité » à « au second », sont barrées d'un trait horizontal ; le point final est resté après « second ».

422

Quoiqu'il en soit de la possibilité d'obtenir les figures et les sons resultant des extremités assujetties aux conditions \(\frac{d^3z}{dx^3}=0\) \(\frac{dz}{dx}=0\), il est impossible de ne pas admettre les points qui y satisfont au nombre des limites analytiques des lames vibrantes; et rien ne seroit plus aisé que d'obtenir, presque sans calcul, les valeurs de \(\underline{z}\) et de l'angle \(\omega\) qui conviendroient aux quatre cas que la considération de pareils points ajouteroit aux six autres cas examinés par Euler. C'est à regret, et pour ne pas m'écarter trop du sujet que j'ai a traiter, que j'abandonne cette recherche; mais je ne puis me dispenser de considerer aumoins les six cas dont Euler adonné l'analyse.

Je prends donc d'abord l'équation P. 120 dumémoire d'Euler. En n'écrivant pas le coëfficient relatif au tems, en changeant \(y\) en \(z\), elle devient \(z = \ldots\, e^{u\omega} \mp e^{(1-u)\omega} + (1\pm e^{\omega})\,\text{sin}.u\omega + (1\mp e^{\omega})\,\text{cos}.u\omega\). Cette équation appartient au cas où les extrêmités satisfont aux conditions \(\frac{d^2z}{dx^2}=0\) et \(\frac{d^3z}{dx^3}=0\); Elle présente elle même deux cas, suivant [selon] qu'il y a un nombre pair ou un nombre impair de points de repos. Le premier se rapporte aux signes inferieurs, et les signes superieurs conviennent au second.

Je vais commencer par prouver [prouverai d'abord] que, lorsque l'on a \(z = \ldots\, e^{u\omega} + e^{(1-u)\omega} + (1\,\ill{}\,e^{\omega})\,\text{sin}\,u\omega + (1+e^{\omega})\,\text{cos}\,u\omega\), aucun point de repos ne peut être consideré comme point d'appui En tête, au milieu, « (19) » ; en haut à droite, à l'encre, « 207 ». La lettre soulignée est \(z\) ; l'angle est \(\omega\), tracé comme ailleurs dans ce volume. La variable des exposants et des arcs est écrite « u » ; elle est gardée telle quelle. « sin » est écrit avec un s long, suivi d'un point à la première équation et non à la seconde. Le mot devant « changeant » est empâté, peut-être corrigé : lu « en » avec doute. L'initiale de « Elle présente » est repassée. Le signe du second crochet de la seconde équation est effacé sous une tache d'encre ; les deux autres signes y sont « + », là où la première équation porte « \(\mp\) » et « \(\mp\) ». « suivant » est barré d'un trait épais, « selon » écrit au-dessus. « vais commencer par prouver » est barré d'un trait horizontal, « prouverai d'abord » écrit au-dessus. La phrase se poursuit à la vue suivante.

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au sens d'Euler, ni même comme extrêmité analytique. En effet, pour qu'un tel point satisfît aux conditions des limites, il faudroit que l'un ou l'autre des couples d'équations \(z=0\), et \(\frac{dz}{dx}\); \(z=0\) et \(\frac{ddz}{dx^2}=0\) lui convint. or le premier indique caractorise le point fixe; et, suivant la remarque d'Euler P. 157 [N.o 47] de son memoire, toute communication de mouvement est impossible entre les deux portions separés par un tel point. A l'égard du second couple, il se reduit aux deux equations \[e^{u\omega} + e^{(1-u)\omega} + (1-e^{\omega})\,\text{sin}.u\omega + (1+e^{\omega})\,\text{cos}\,u\omega = 0\] \[e^{u\omega} + e^{(1-u)\omega} - \{(1-e^{\omega})\,\text{sin}.u\omega + (1+e^{\omega})\,\text{cos}\,u\omega\} = 0\] desquelles on tire celles ci: \(e^{u\omega} + e^{(1-u)\omega} = 0\), \((1-e^{\omega})\,\text{sin}\,u\omega + (1+e^{\omega})\,\text{cos}\,u\omega = 0\) dont la première est visiblement impossible et dont la seconde ne peut s'accorder, dans aucun cas, avec l'équation qui, dans l'analyse d'Euler, sert à déterminer l'angle \(\omega\).

Cependant [Néanmoins,] dans la manière de vibrer dont je m'occupe en ce moment, un des points delalame satisfait aux conditions des limites et peut parconséquent etre consideré comme une extrêmité analytique. c'est le point de Ce point est situé au milieu delalame; car des conditions \(\frac{dz}{dx}=0\) et \(\frac{d^3z}{dx^3}=0\) qui se réduisent aux deux équations \[e^{u\omega} - e^{(1-u)\omega} + (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,u\omega + (1+e^{\omega})\,\text{sin}\,u\omega = 0\] \[e^{u\omega} - e^{(1-u)\omega} - \{(1-e^{\omega})\,\text{cos}\,u\omega + (1+e^{\omega})\,\text{sin}\,u\omega\} = 0 \qquad \text{ou}\] \[e^{u\omega} - e^{(1-u)\omega} = 0,\quad (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,u\omega + (1-e^{\omega})\,\text{sin}\,u\omega = 0\] l'une devient identique par la supposition \(u=\frac{1}{2}\) tandis que l'autre est précisément l'équation qui sert à déterminer l'angle \(\omega\). En tête, au milieu, « (20) » ; aucun nombre en haut à droite. La phrase continue celle de la vue 422 (« aucun point de repos ne peut être consideré comme point d'appui / au sens d'Euler »). « aux » est écrit sur un autre mot ; « couples » sur « couple ». Dans le premier couple d'équations, « \(\frac{dz}{dx}\) » est écrit sans « \(=0\) ». « indique » est barré, « caractorise » écrit à la suite sur la ligne. « P. 157 » est barré et « N.o 47 » écrit au-dessus ; la lecture « 157 » n'est pas sûre, le dernier chiffre étant pris dans la biffure. L'initiale de « A l'égard » est repassée. Dans la dernière paire d'équations, le second crochet est écrit « \((1-e^{\omega})\) » devant \(\text{sin}\,u\omega\), là où les deux équations dont elle est tirée portent « \((1+e^{\omega})\) » ; le feuillet est suivi. Le « ou » est écrit à droite, au bout de la seconde équation. Une tache d'encre sous cette équation. « Néanmoins, » est écrit au-dessus de « Cependant », barré.

424

On doit conclure delà que lorsqu'il y a un nombre pair de points de repos sur la lame élastique dont les extrêmités sont libres en vertu des équations \(\frac{d^2z}{dx^2}=0\) et \(\frac{d^3z}{dx^3}=0\); elle vibre comme deux lames séparés de moitié moins longues qui auroient chacune une de leurs extrêmités assujettie aux mêmes conditions que celles delalame entière, tandis que leur autre extrêmité seroit libre en vertu des conditions \(\frac{dz}{dx}=0\) et \(\frac{d^3z}{dx^3}=0\).

Lorsqu'il y a un nombre impair de points de repos, la valeur de \(\underline{z}\) est donnée par l'équation \[z = \ldots\, e^{u\omega} - e^{(1-u)\omega} + (1+e^{\omega})\,\text{sin}.u\omega + (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,u\omega\] et d'après ceque j'ai dit pour le cas précédent, on voit qu'un point de repos ne peut être point d'appui au sens d'Euler que lorsqu'il satisfait aux deux conditions \[\left.\begin{array}{l} e^{u\omega} - e^{(1-u)\omega} + (1+e^{\omega})\,\text{sin}.u\omega + (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,u\omega = 0 \\ e^{u\omega} - e^{(1-u)\omega} - \{(1+e^{\omega})\,\text{sin}.u\omega + (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,u\omega\} = 0 \end{array}\right\} \text{ ou }\] \[\begin{array}{l} e^{u\omega} - e^{(1-u)\omega} = 0 \\ (1+e^{\omega})\,\text{sin}.u\omega + (1-e^{\omega})\,\text{cos}\,u\omega = 0 \end{array}\] c'est adire que lorsque \(u = \frac{1}{2}\).

On doit donc conclure que, lorsqu'il y a un nombre impair de points de repos sur la lame élastique dont les extrêmités sont libres au sens d'Euler, elle vibre comme deux lames séparés, de moitié moins longues, qui auroient chacune une de leurs extrêmités libres, tandis que leur autre extrêmité seroit appuyée. Et en effet la condition \(\frac{e^{\omega}-1}{e^{\omega}+1} = \text{tang}\,\frac{1}{2}\omega\), qui resulte pour ce cas, de l'équation \(\frac{2}{e^{\omega}+e^{-\omega}} = \text{cos}\,\omega\), laquelle sert a déterminer l'angle \(\omega\) lorsque les deux extrêmités sont En tête, au milieu, « (21) » ; en haut à droite, à l'encre, « 208 ». Le dernier mot de la première ligne, « points », et le premier de la seconde, « de repos », sont écrits sur d'autres mots, empâtés ; ce qu'ils recouvrent ne se lit pas. « ceque » en un mot. L'accolade qui réunit les deux premières équations et le « ou » qui les relie aux deux suivantes sont d'elle. La phrase se poursuit à la vue suivante.

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libres, n'est autre chose, en mettant \(\underline{\omega}\) aulieu de \(\frac{1}{2}\omega\), que l'équation qui détermine le même angle \(\underline{\omega}\) dans le second cas examiné par Euler, c'est adire lorsqu'une extrêmité est libre et l'autre appuyée. Il en est demême de l'expression de \(\underline{z}\), desorte qu'il est visible que ce grand géomètre auroit pû se dispenser de calculer àpart le cas dont il s'agit, puisque ce cas est expressement contenu dans le premier

Dans le troisième cas d'Euler qui est celui d'une extrêmité fixe et l'autre libre, on peut s'assurer, en employant des raisonnemens semblables à ceux dont j'ai fait usage pour le premier cas, que de quelque manière que la lame se meuve, il ne peut exister aucun autre point qui satisfasse aux conditions des limites que les extrêmités reelles et physiques de cette lame. Ainsi elle ne peut jamais etre considerée y comme separée en plusieurs autres lames vibrant separément

Le quatrième cas d'Euler est celui des deux extrêmités appuyés. Il est fort remarquable en ce que, suivant la remarque l'observation de cet illustre auteur, la lame se ploye alors aux mêmes courbures que la corde tendue En tête, au milieu, « (22) » ; aucun nombre en haut à droite. La première ligne achève la phrase de la vue 424 (« lorsque les deux extrêmités sont / libres »). Le point manque après « le premier ». Le mot biffé après « considerée » est une seule lettre, lue « y ». Après « suivant », « la » est repassé et le mot qui suit est annulé par des boucles serrées ; « remarque » est une lecture du sens plus que de la lettre. Le point manque aussi après « separément ». La phrase se poursuit à la vue suivante.

426

Aussi est-il visible que, dans ce cas, tous les points de repos sont de véritables limites, puisqu'ils satisfont [tous] aux conditions \(z=0\) et \(\frac{ddz}{dx^2}=0\), et que, de plus, si s'il y a, par exemple \(n-1\) points de repos, on aura [outre] les \(n+1\) points d'extrêmités resultans des conditions \(z=0\) et \(\frac{ddz}{dx^2}=0\) \(\underline{n}\) autres limites analytiques assujetties aux conditions \(\frac{dz}{dx}=0\) et \(\frac{d^3z}{dx^3}=0\); desorte que \(2n+1\) exprimera le nombre des points qui pourront, dans ce cas, etre considerés comme de veritables limites des parties qu'ils separent.

Les deux derniers cas savoir, ceux d'une extrêmité fixe, l'autre appuyée, et des deux extrêmités fixes, ont entr'eux le même rapport que celui que j'ai remarqué entre les deux premiers cas; et Euler auroit encore pû se dispenser de calculer à part le veme qui se trouve compris dans le vieme. A la vérité, la valeur de \(\underline{z}\) qui appartient au veme se présente sous une autre forme que celle qui seroit déduite du vieme; mais cette différence vient uniquement de ceque c'est l'extrêmité \(x=0\) qu'Euler suppose appuyée dans l'analyse de son veme cas, tandis que dans le vieme ce ne peut jamais etre que le point \(x=\frac{1}{2}a\) qui soit censé appuyé. Au reste, dans ce vieme cas, on trouve, comme dans le premier, qu'il ne peut jamais y avoir qu'une seule extrêmité En tête, au milieu, « (23) » ; en haut à droite, à l'encre, « 209 ». L'initiale de « Aussi » est repassée. « tous » est ajouté au-dessus de la ligne, avec un signe d'insertion, après « satisfont ». « si » est barré devant « s'il ». « outre » est écrit au-dessus de « les ». Le mot après « points » est écrit sur un autre et se lit mal ; « d'extrêmités » est offert avec doute. Le \(n\) de « \(\underline{n}\) autres limites » est souligné. Les ordinaux « veme » et « vieme » sont en chiffres romains minuscules, la terminaison en exposant. La phrase se poursuit à la vue suivante.

427

purement analytique, laquelle est toujours aumilieu de la lame, et que lorsqu'il y a un nombre impair de points de repos, cette extrêmité est appuyée en vertu des conditions \(z=0\) et \(\frac{ddz}{dx^2}=0\), tandis que, lorsqu'il y a un nombre pair de pareils points, l'extrêmité analytique est libre en vertu des conditions \(\frac{dz}{dx}=0\) et \(\frac{d^3z}{dx^3}=0\).

D'après les remarques précédentes, il est maintenant hors de doute que les points de repos des lames élastiques ne doivent pas etre assimilés aux nœuds de vibrations des cordes tendues; mais il est étonnant que, quoique la vraie théorie du mouvement de ces lames ait été donnée depuis longtems par Euler, que le cas des extrêmités libres ait été le sujet d'un excellent memoire de Giordano Ricati (Delle vibrazioni de cilindri T. 1 des M. dela Société italienne) dans lequel cet auteur a calculé avec beaucoup d'exactitude les differentes valeurs de l'angle \(x\omega\), et qu'en dernier lieu Mr Chladni ait confirmé par l'experience les résultats dela théorie qu'il reconnoit pour entièrement satisfesante; [il est étonnant que] ni l'un ni l'autre de ces savans auteurs ne se soient apperçu que les intervalles qui separent les points de repos sont inégaux entr'eux. il En tête, au milieu, « (24) » ; aucun nombre en haut à droite. La première ligne achève la phrase de la vue 426 (« qu'une seule extrêmité / purement analytique »). « il est étonnant » est barré en fin de ligne, et « que » au début de la suivante ; la même tournure, « il est étonnant que », est ajoutée plus bas au-dessus de la ligne, après « satisfesante », avec un signe d'insertion, où la phrase la demande. La lettre devant \(\omega\) dans « l'angle \(x\omega\) » est lue \(x\). « Ricati », « de cilindri » : ainsi. Le dernier mot, « il », est traversé d'un trait qui semble le biffer ; le feuillet suivant de la même suite (vue 429, page (25)) s'ouvre sur « En effet », qui ne continue pas « il ».

428

\[f^2 = dx^2 + \left(\frac{dz}{dx}\right)^2 dx^2\] \[g^2 = dx^2 + \left\{\left(\frac{dz}{dx}\right)dx + \left(\frac{d^2z}{dx^2}\right)dx^2\right\}^2\] \[h^2 = 4dx^2 + \left\{2\left(\frac{dz}{dx}\right)dx + \left(\frac{d^2z}{dx^2}\right)dx^2\right\}^2\] \[f^2 + g^2 - h^2 = -2dx^2 - \uncertain{2}\,dx^2\left(\frac{dz}{dx}\right)\left(\frac{d^2z}{dx^2}\right)dx\] \[(f^2 + g^2 - h^2) = 4dx^4 + 8dx^5\left(\frac{dz}{dx}\right)^2\left(\frac{d^2z}{dx^2}\right)\] \[\qquad + 4dx^6\left(\frac{dz}{dx}\right)^4\left(\frac{d^2z}{dx^2}\right)^2\] \[4f^2g^2 = 4dx^4\]

\[{}^{d}\iint\left(\frac{d^2z}{dx^2} + \frac{d^2z}{dy^2}\right)\delta\frac{d^2z}{dx^2}\,dx\,dy\] \[= \int\ill{}\left(\frac{d^2z}{dx^2} + \frac{d^2z}{dx^2}\right)\delta\frac{dz}{dx}\,dy - \iint\frac{d\left(\frac{d^2z}{dx^2} + \frac{d^2z}{dy^2}\right)}{dx}\,\delta\frac{dz}{dx}\cdot dy\] \[\iint\frac{\left(\frac{d^2z}{dx^2} + \frac{d^2z}{dy^2}\right)\delta\ill{}}{dx}\] Petit feuillet d'un autre papier, plus court et plus étroit que les feuillets qui l'entourent, monté sur onglet, le bord gauche arraché ; en haut à droite, à l'encre, « 210 ». Au bas, le cachet « Bibliothèque impériale MSS ». Des calculs sans un mot, d'une plume plus fine et d'une écriture plus petite que la mise au net des vues 421–427 ; ils ne continuent pas la phrase de la vue 427. Les accolades sont d'elle ; les parenthèses droites de plusieurs facteurs sont à peine formées. Le coefficient du second terme de \(f^2+g^2-h^2\) est un chiffre bouclé, lu 2 avec doute, suivi d'une tache d'encre. Le carré de \((f^2+g^2-h^2)\) n'est pas écrit au premier membre, bien que le second en soit le carré ; et les exposants 2 et 4 de \(\left(\frac{dz}{dx}\right)\) aux deux derniers termes sont ceux du feuillet. Le « d » isolé devant la première intégrale double est écrit plus haut que la ligne. Le signe qui ouvre la deuxième ligne est un \(\int\) suivi d'un trait appuyé illisible, peut-être un second \(\int\) ou un \(\delta\) repassé. Dans la parenthèse de cette ligne, le second terme est écrit \(\frac{d^2z}{dx^2}\), là où la première ligne porte \(\frac{d^2z}{dy^2}\). Le \(\delta\) est le « d » à hampe bouclée de ses calculs de variation. Sous le second terme, « \(\int\frac{dz}{dx}\cdot dy\) » est récrit à part, précédé d'un signe d'intégrale. La dernière expression est écrite en partie sur le cachet ; le signe qui suit le \(\delta\) du numérateur ne se lit pas.

429

En effet Giordano Ricati n'auroit eu qu'à comparer entr'elles les valeurs qu'il a calculés [pour remarquer] qu'une partie comprise entre l'extrêmité et le point de repos le plus voisin doit etre moins grande que la moitié de l'espace compris entre le même nœud et le suivant, que la partie comprise entre le second nœud et le troisième doit etre moins grande que celle qui est limitée par les deux premiers nœuds, et ainsi de suite; desorte qu'en général une partie comprise entre deux nœuds doit etre dautant plus étendue qu'elle est plus éloignée de l'extrêmité et plus voisine du milieu delalame quoique pourtant les differences soient beaucoup plus grandes entre les parties qui sont près des extrêmités qu'entre celles qui s'en éloignent davantage. On ne peut douter que Mr Chladni n'eut remarqué aussi les mêmes differences, si s'il eut employé des lames suffisamment longues; car je me suis assuré que l'experience les confirme[…] avec la plus grande exactitude.

Euler lui même n'a sans doute pas fait la remarque dont je viens de parler; car en voulant donner N.o 47 de son memoire un exemple des effets de l'application d'un stilet dans un point quelconque d'une lame dont les extrêmités seroient libres, fixés ou appuyés, il En tête, au milieu, « (25) », barré d'un trait oblique ; en haut à droite, à l'encre, « 211 ». Dans la marge de gauche, le cachet « Bibliothèque impériale MSS ». « pour remarquer » est écrit au-dessus de la ligne, entre « calculés » et « qu'une ». La fin de « confirme » est surchargée et barrée ; les lettres biffées ne se lisent pas. La phrase se poursuit à la vue suivante. La vue 431 photographie une seconde fois ce même feuillet ; la vue 430 est le dos, blanc, de la feuille grise sur laquelle est monté le petit feuillet de la vue 428.

432

établit une équation entre les valeurs de \(\frac{dz}{dx}\) qui conviennent aux deux branches séparées par l'application qu'il suppose; or, cette équation qui […] a lieu en effet pour le cas des extrêmités appuyés qu'il a choisi pour exemple, ne sauroit subsister lorsque les deux branches ont des courbures differentes; desorte que toute cette analyse qui d'ailleurs seroit sujette à quelqu'objection ne pourroit s'appliquer en general, aux autres états des extrêmités. Au reste on jugera peut-etre cette recherche surabondante si on observe que l'effet de l'application d'un obstacle doit qui laisse subsister la communication du mouvement entre les deux portions delalame, doit toujours se borner à déterminer une des manières de vibrer dont elle est susceptible à l'exclusion des autres, qu'un pareil obstacle peut etre placé dans un point de repos quelconque, et qu'il arrive même toujours, lorsque les extrêmités sont libres ou fixes, que ce n'est pas dans un véritable point d'appui au sens d'Euler qu'il convient de serrer la lame pour obtenir les differens sons dont elle est susceptible. En tête, au milieu, « (26) » ; aucun nombre en haut à droite. La première ligne achève la phrase de la vue 429 (« il / établit une équation »), par-dessus la vue 430, blanche, et la vue 431, qui répète la vue 429. Le mot barré après « qui », à la troisième ligne, est court et noirci ; il ne se lit pas. « doit » est barré en fin de ligne après « obstacle ». À la dernière ligne, « elle est » est repassé d'une encre plus épaisse. L'initiale de « dans un point de repos » est tachée.

433

D'après ceque je viens de dire, on voit que rien n'est plus vague que la signification des mots libre et appuyé appliqués aux differens points de la lame élastique; car après avoir […] remarqué qu'il existe deux manières d'etre analytiquement differentes qui peuvent appartenir aux extrêmités libres, je trouve encore que l'appui physique est souvent placé dans un point qui ne peut etre consideré comme appuyé au sens d'Euler

N.o 9 Je passe enfin à l'examen des conditions auxquelles sont assujettis les points du contour des plaques élastiques vibrantes. Si dans la formule N.o 1 résultante de la differentiation par parties, on prend les termes qui ne sont affectés que d'un seul signe d'intégration, que l'on y mette pour \(E\). sa valeur, et que l'on divise par \(\uncertain{\beta}^2\) et par les facteurs dépendans de l'épaisseur et dela nature de la matière, quantités qui dont aucune ne peut etre supposée nulle, on trouvera que les conditions des limites se reduisent aux deux équations \(S\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}\delta.\frac{dz}{dx\,dy} = 0\), \(S\frac{d\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}}{dx\,dy}\,\delta z = 0\).

Afin de démêler plus aisément ceque signifient ces équations, j'examinerai les conséquences que l'on peut en tirer dans les hypothèses les plus simples. Je supposerai donc d'abord que la surface vibrante soit rectangulaire, que le plan de cette surface en repos soit pris pour celui des \(\underline{x}\) et \(y\) afin que l'origine soit en un des points de repos dela même surface En tête, au milieu, « (27) », barré d'un trait oblique comme « (25) » à la vue 429 ; en haut à droite, à l'encre, « 212 ». « libre » et « appuyé » sont soulignés. Le mot barré devant « remarqué » est un seul signe empâté. Le point manque après « au sens d'Euler ». « N.o 9 » est écrit en tête de l'alinéa, en retrait, au-dessus de la ligne : un numéro de paragraphe, le premier de ce lot ; « N.o 1 », dans la ligne, renvoie à une formule d'une page qui n'est pas dans ce lot. La lettre après « pour » est une capitale suivie d'un point, lue « E » avec doute ; la lettre grecque sous le carré, lue \(\beta\), n'est pas sûre non plus. Le signe « S » qui ouvre les deux équations est son signe de somme intégrale, gardé tel quel. Dans la première, « \(dx\,dy\) » est écrit sous la barre de \(\frac{dz}{\ }\), là où la vue 428 écrit \(\delta\frac{dz}{dx}\,dy\). Le texte se poursuit à la vue suivante.

434

enfin que chacun des côtés soit parallelle à un des axes [des] \(\underline{x}\) et \(y\). cela posé, la suite des points qui servent de limites aux valeurs de \(\underline{x}\), c'est-à-dire ceux qui appartiennent aux côtés parallelles à l'axe des \(y\). devront satisfaire aux conditions \[S\frac{1}{dy}\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}\delta\left(\frac{dz}{dx}\right) = 0, \quad S\frac{1}{dy}\,\frac{d\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}}{dx}.\delta z = 0,\] en vertu de l'un ou l'autre des quatre couples d'équations: \[z=0 \text{ et } \left(\frac{dz}{dx}\right)=0; \quad z=0 \text{ et } \left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right) = 0;\] \[\frac{d\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}}{dx} = 0 \text{ et } \left(\frac{dz}{dx}\right)=0; \quad \frac{d\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}}{dx} = 0 \text{ et } \left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right) = 0\] l'analogie est frapante entre ceque l'on trouve ici et cequi a lieu pour les extrêmités de la simple lame. On voit en effet que les deux derniers groupes [couples] ne peuvent appartenir qu'aux points libres du contour, tandis que les deux premiers conviennent aux points de repos du même contour. cependant on ne peut plus regarder le point auquel appartiendroient les conditions \(z=0\) et \(\left(\frac{dz}{dx}\right)=0\) comme fixe parcequ'elles ne suffisent pas pour que le plan tangent tombe dans le plan des \(\underline{x}\) et \(y\) et qu'il faudroit encore pour cela que l'on eut \(\left(\frac{dz}{dy}\right)=0\). On voit demême que la suite des points qui servent de limites aux valeurs de \(y\), c'est adire ceux qui appartiennent aux côtés parallelles à l'axe des \(\underline{x}\) doivent satisfaire aux conditions \(S\frac{1}{dx}\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}\delta.\left(\frac{dz}{dy}\right) = 0\), \(S\frac{1}{dx}\,\frac{d\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}}{dy}\,\delta z = 0\). en vertu de l'un ou l'autre des quatre couples d'équations: En tête, au milieu, « (28) », non barré ; aucun nombre en haut à droite. La première ligne continue la phrase de la vue 433. « des » est ajouté au-dessus de la ligne après « axes », avec un signe d'insertion. « groupes » est barré, « couples » écrit au-dessus. Le verbe après « auquel » est surchargé à sa fin : « appartiendroient » est offert avec doute. Les initiales de « comme » et de « On voit demême » sont empâtées. Le second couple de la page s'arrête sur les deux-points ; les quatre couples pour \(y\) sont à la vue suivante.

435

\[z=0 \text{ et } \left(\frac{dz}{dy}\right)=0; \quad z=0 \text{ et } \left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right) = 0; \quad \frac{d\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}}{dy} = 0\] \[\text{et } \left(\frac{dz}{dy}\right)=0; \quad \frac{d\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}}{dy} = 0 \text{ et } \left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right) = 0.\] Puisqu'il s'agit ici des surfaces rectangulaires, on voit que les points situés aux quatre angles sont assujettis à quatre conditions: x car ils appartiennent également aux côtés parallelles à l'axe des \(\underline{x}\) et aux côtés parallelles à l'axe des \(y\). je les nommerai points de double limite tout point qui remplira àla fois les conditions des limites des valeurs de \(\underline{x}\) et celles des valeurs de \(y\). Ainsi les équations \(z=0\) et \(\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right) = 0\) qui forment le caractère analogue à celui qu'Euler attribue aux points d'appui, ne pourront appartenir qu'aux points de doubles limites. si dans un point On aura encore un point de double limite, si on peut satisfaire àla fois aux deux couples d'équations \(z=0\) et \(\left(\frac{dz}{dx}\right)=0\); \(z=0\) et \(\left(\frac{dz}{dy}\right)\), et le plan tangent a ce point tombera dans le plan de \(\underline{x}\) et \(y\). au contraire le plan tangent sera seulement parallelle au même plan des \(\underline{x}\) et \(y\) lorsque les conditions du point de double limite seront les deux couples d'équations \[\frac{d\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}}{dy} = 0 \text{ et } \left(\frac{dz}{dy}\right) = 0; \quad \frac{d\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}}{dx} = 0 \text{ et } \left(\frac{dz}{dx}\right) = 0.\] Il est clair que tout point qui satisfera aux conditions des limites, appartiendra à une ligne de limite analytique: mais deplus on peut observer que si une pareille ligne En tête, au milieu, « (29) », barré d'un trait oblique ; en haut à droite, à l'encre, « 213 ». Les deux premières lignes sont les quatre couples d'équations annoncés à la fin de la vue 434, pour les côtés parallèles à l'axe des \(x\). Une petite croix, barrée, précède « car » après « conditions: » ; aucun renvoi ne lui répond sur la page. « les » est biffé après « je ». « double limite », « doubles limites » sont soulignés. « si dans un point » est barré à la fin d'une ligne et au début de la suivante ; l'initiale de « On » est repassée. Dans le second couple, « \(\left(\frac{dz}{dy}\right)\) » est écrit sans « \(=0\) ». La phrase se poursuit à la vue suivante.

436

de limite satisfait, par exemple, aux conditions \[S\frac{1}{dy}\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}\delta\left(\frac{dz}{dx}\right) = 0, \quad S\frac{1}{dy}\,\frac{d\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}}{dx}.\delta z = 0\] et que pour un ou plusieurs de ses points on ait \(dy=0\); il faudra que les quatre conditions \[\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right) = 0, \quad \left(\frac{dz}{dx}\right) = 0, \quad \frac{d\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}}{dx} = 0, \text{ et } z=0.\] soient remplis àla fois pour les mêmes points: ce qui donnera le caractere des points d'origine; desorte que l'on pourra prendre indifferemment sur les plaques rectangulaires tout point qui satisfera à ces quatre conditions pour l'origine des coordonnées dela surface.

Lorsque l'on veut appliquer les conditions des limites à d'autres figures que les rectangles, il doit etre souvent plus commode de les transformer suivant les cas; par exemple, si on veut considérer une plaque ronde, on peut prendre \(x = r\,\text{cos}\,\varphi\), \(y = r\,\text{sin}\,\varphi\); et on trouvera, en désignant par \(z'\) et \(z''\) les valeurs de \(\underline{z}\) qui conviendroient à chacune des équations du second degré auxquelles peut s'abaisser celle de la surface élastique et observant qu'aux limites le rayon \(r\) étant constant on peut \(r=a\) faire \(r=a\): \[z = z' + z''. \quad \left(\frac{dz}{dx}\right) = -\frac{\text{sin}\,\varphi}{a}\left\{\left(\frac{dz'}{d\varphi}\right) + \left(\frac{dz''}{d\varphi}\right)\right\}, \quad \left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right) = \ldots\{z' - z''\}\] \[\frac{d\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}}{dx} = \ldots\,\frac{\text{sin}\,\varphi}{a}\left\{\left(\frac{dz''}{d\varphi}\right) - \left(\frac{dz'}{d\varphi}\right)\right\}\] En tête, au milieu, « (30) », non barré ; aucun nombre en haut à droite. La première ligne continue la phrase de la vue 435 (« si une pareille ligne / de limite satisfait »). Après « ait \(dy=0\) », un signe entre virgule et point-virgule. « d'origine » est souligné. « sin » est écrit avec un s long, « cos » et « sin » suivis d'un point à la deuxième formule. Le groupe barré après « on peut » est court et pris dans une croix ; on croit y lire « \(r=a\) », que la suite récrit. Les points de suspension, « \(=\ldots\) », sont d'elle : elle laisse en blanc le facteur qui précède l'accolade, comme sur la copie d'Euler. La page s'arrête sur la dernière équation ; elle ne porte pas de mot de réclame.

437

\[\frac{d\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}}{dy} = \ldots\,\frac{\text{cos}\,\varphi}{a}\left\{\left(\frac{dz''}{d\varphi}\right) - \left(\frac{dz'}{d\varphi}\right)\right\}\] Ainsi les conditions auxquelles sont assujettis les points qui servent de limites aux valeurs de \(\underline{x}\) seront \[S\frac{1}{dy}\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}\delta\left(\frac{dz}{dx}\right) = \struck{\ldots}\,S\frac{1}{d\varphi}(z'-z'')\,\frac{\text{tang}\,\varphi}{a}\,\delta\left\{\left(\frac{dz'}{d\varphi}\right) + \left(\frac{dz''}{d\varphi}\right)\right\} = 0\] \[S\frac{1}{dy}\,\frac{d\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}}{dx}.\delta z = \ldots - S\frac{1}{d\varphi}\,\frac{\text{tang}\,\varphi}{a}\left\{\left(\frac{dz''}{d\varphi}\right) - \left(\frac{dz'}{d\varphi}\right)\right\}\delta(z'+z'') = 0.\] Les mêmes substitutions donneront pour les conditions auxquelles sont assujettis les points qui servent de limite aux valeurs de \(y\) \[S\frac{1}{dx}\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}\delta\left(\frac{dz}{dy}\right) = \ldots\,S\frac{1}{d\varphi}(z'-z'')\,\frac{\text{cot}.\varphi}{a}\,\delta\left\{\left(\frac{dz'}{d\varphi}\right) + \left(\frac{dz''}{d\varphi}\right)\right\} = 0\] \[S\frac{1}{dx}\,\frac{d\left\{\left(\frac{ddz}{dx^2}\right) + \left(\frac{ddz}{dy^2}\right)\right\}}{dy}.\delta z = \ldots\,S\frac{1}{d\varphi}\struck{(z'-z'')}\,\frac{\text{cot}.\varphi}{a}\left\{\left(\frac{dz'}{d\varphi}\right) - \left(\frac{dz''}{d\varphi}\right)\right\}\delta(z'+z'') = 0.\] Les premières seront donc remplies par la supposition \(\text{tang}\,\varphi = 0\), et les secondes par la supposition équivalente \(\text{cot}.\varphi = 0\)., c'est adire que ces points seront aux extrêmités des axes des \(\underline{x}\) et des \(y\), et parconséquent à angles droits les uns des autres: c'est ceque l'on auroit pû conclure immed[iatement] dela figure de cette plaque, laquelle ne permet jamais pas qu'un seul et même point remplisse àla fois les deux systemes de conditions qui caractérisent ceque j'ai nommé point de double limite

Pour tout autre point du contour que ceux dont je viens de parler, les conditions des limites se reduisent à \[S(z'-z'')\,\delta\left\{\left(\frac{dz'}{d\varphi}\right) + \left(\frac{dz''}{d\varphi}\right)\right\} = 0 \qquad S\left\{\left(\frac{dz''}{d\varphi}\right) - \left(\frac{dz'}{d\varphi}\right)\right\}\delta(z'+z'') = 0,\] et on peut y satisfaire par l'un ou l'autre des couples En tête, au milieu, « (31) », barré ; en haut à droite, à l'encre, « 214 ». La première équation continue la liste de la vue 436. Dans la première des quatre équations suivantes, un petit groupe après « \(=\) » est biffé, apparemment les points de suspension qu'elle écrit ailleurs ; dans la dernière, « \((z'-z'')\) » est biffé devant \(\frac{\text{cot}.\varphi}{a}\). Le second terme de cette dernière est écrit \(\left(\frac{dz'}{d\varphi}\right) - \left(\frac{dz''}{d\varphi}\right)\), dans l'ordre inverse de celui de la deuxième ; le feuillet est suivi. « immed » est coupé au bord droit sans point d'abréviation ; la fin du mot, « iatement », est ajoutée ici entre crochets éditoriaux. « laquelle » et « jamais » sont barrés d'un trait ; la phrase reste sans relatif. Le point manque après « double limite », souligné. La phrase se poursuit à la vue suivante.

438

d'équations \(z'-z''=0\) et \(z'+z''=0\); \(z'-z''=0\) et \(\left(\frac{dz'}{d\varphi}\right) - \left(\frac{dz''}{d\varphi}\right) = 0\); \(z'+z''=0\) et \(\left(\frac{dz'}{d\varphi}\right) + \left(\frac{dz''}{d\varphi}\right) = 0\); \(\left(\frac{dz'}{d\varphi}\right) - \left(\frac{dz''}{d\varphi}\right) = 0\) et \(\left(\frac{dz'}{d\varphi}\right) + \left(\frac{dz''}{d\varphi}\right) = 0\).

Je ne m'étendrai pas davantage sur ce sujet: mais je ne puis m'empêcher d'observer que la considération des conditions auxquelles les points du contour doivent satisfaire, est dela plus grande importance pour déterminer le choix des intégrales particulières qui peuvent convenir dans chaque cas, et qu'elle fournit aussi le moyen de renfermer dans les mêmes formules l'analyse de divers cas qui sembleroient, au premier coup d'œil, devoir etre calculés à part. En effet, d'après ceque j'ai dit plus haut, on voit que la suite des points qui satisfont aux conditions des extrêmités limites, forment sur la surface, des lignes de limites analytiques, et que l'on peut parconséquent concevoir ces surfaces comme reellement séparées en autant de surfaces partielles dont les points de contour peuvent etre dans un état different de ceux de la plaque entière, sans que [pour cela] l'équation qui convient au mouvement de cette plaque entière, cesse d'être applicable aux portions dans lesquelles elle est analytiquement separée. En tête, au milieu, « (32) », non barré ; aucun nombre en haut à droite. Les deux premières lignes achèvent la phrase de la vue 437 (« par l'un ou l'autre des couples / d'équations »). Après « des », un mot commencé, lu « extrêmités », est surchargé par « limites » ; une tache d'encre au-dessous. « pour cela » est écrit au-dessus de la ligne, après « sans que ». Le texte s'arrête ici, aux deux tiers de la page, sur un point : la fin d'une section. Le feuillet suivant (vue 439) ouvre une section nouvelle.

439

§. 4. Comparaison dela théorie à l'experience; […] [dans le cas des] cas [des] plaques quarrées

N.o 10. En prenant d'abord la valeur de \(\underline{z}\) donnée par l'équation (C) N.o 3, et y introduisant les coëfficiens déterminés par Euler (P. 118 et suiv. de son m.) pour le cas des extrêmités libres, en vertu des conditions \(\frac{ddz}{dx^2}=0\) et \(\frac{d^3z}{dx^3}=0\) ou \(\frac{ddz}{dy^2}=0\) et \(\frac{d^3z}{dy^3}=0\), on trouvera la formule \[z = \ldots\left\{\mathcal{A}\left\{e^{\frac{\omega x}{A}} \pm e^{\frac{(A-x)\omega}{A}} + (1\mp e^{\omega})\,\text{sin}.\frac{\omega x}{A} + (1\pm e^{\omega})\,\text{cos}.\frac{\omega x}{A}\right\}\right.\] \[\left. + B\left\{e^{\frac{\omega y}{A}} \pm e^{\frac{(A-y)\omega}{A}} + (1\mp e^{\omega})\,\text{sin}.\frac{\omega y}{A} + (1\pm e^{\omega})\,\text{cos}.\frac{\omega y}{A}\right\}\right.\] dans laquelle les signes superieurs appartiennent au cas où il y a un nombre pair de points de repos sur la simple lame, et [où] les signes inferieurs conviennent à celui où il y a un nombre impair de pareils points sur la même lame.

Dans l'un et l'autre cas il est visible qu'en fesant \(\mathcal{A}\) ou \(B=0\), il devra y avoir autant [de lignes] nodales droites sur la plaque quarrée qu'il y auroit […] de points de repos sur la simple lame dont la plaque ne diffère alors que par l'étendue d'une dimension qui n'entre plus dans le calcul.

Il est […] faut àprésent distinguer le cas des signes superieurs de celui des signes inferieurs. Pour cela, en suppfesant d'abord \(\mathcal{A} = -B\). j'écris \[\left.\begin{array}{l} z = \ldots\,\mathcal{A}\left\{e^{\frac{\omega x}{A}} + e^{\frac{(A-x)\omega}{A}} + (1-e^{\omega})\,\text{sin}.\frac{\omega x}{A} + (1+e^{\omega})\,\text{cos}.\frac{\omega x}{A}\right\} \\ \qquad - \left\{e^{\frac{\omega y}{A}} + e^{\frac{(A-y)\omega}{A}} + (1-e^{\omega})\,\text{sin}.\frac{\omega y}{A} + (1+e^{\omega})\,\text{cos}.\frac{\omega y}{A}\right\} \end{array}\right\}\ldots(C')\] On voit que le plan des \(\underline{x}\) et \(y\) sera alors celui dela plaque en repos; car \(\underline{z}\) sera nulle toutes les fois que \(\underline{x}\) égalera \(y\); cequi déterminera une première ligne nodale diagonale sur la surface quarrée; \(\underline{z}\) sera également nulle toutes les fois que En tête, au milieu, « (33) », barré ; en haut à droite, à l'encre, « 215 ». Une section nouvelle commence : le titre, souligné d'un court trait au milieu de la ligne suivante, ouvre le « §. 4 » — lu sur un signe de paragraphe tracé comme « S. », suivi d'un point — et le paragraphe est numéroté « N.o 10 », à la suite du « N.o 9 » de la vue 433. Dans le titre, après le point-virgule, un mot est barré de boucles serrées et ne se lit pas ; « dans le cas des » est écrit au-dessus, puis « cas » est barré et « des » récrit au-dessus de la ligne. « (C) N.o 3 » renvoie à une équation d'un paragraphe qui n'est pas dans ce lot ; « P. 118 et suiv. de son m. » à la page du mémoire d'Euler. Le premier coefficient est une capitale cursive bouclée, distincte du \(A\) des dénominateurs ; elle est rendue \(\mathcal{A}\), et le second coefficient \(B\). Dans la première formule, au dernier terme, un \(B\) empâté est écrit sur « (1 » ; on lit « \((1\pm e^{\omega})\) », comme à la ligne suivante. « où » est ajouté au-dessus de « les signes » ; « de lignes » au-dessus de « nodales ». Après « auroit », quelques lettres sont noircies et ne se lisent pas. « est » et le mot qui le suit, devant « faut », sont barrés ; le second ne se lit pas. Devant « d'abord », « supp » est barré et la fin du mot récrite dessus ; « fesant » est offert avec doute. Dans (C'), le facteur \(\mathcal{A}\) n'est pas répété devant la seconde accolade ; l'étiquette « (C') » est écrite à droite de la grande accolade. La phrase se poursuit à la vue 440.

440

l'équation \(y = A - x\) aura lieu. car à cause dela condition \(\text{tang}\,\frac{1}{2}\omega = \frac{1-e^{\omega}}{1+e^{\omega}}\) qui appartient à ce cas, l'équation (C') se réduit à \[z = \ldots\,\mathcal{A}\left\{(1-e^{\omega})\,2\,\text{cos}.\frac{\omega}{2}\,\text{sin}\frac{(A-2x)\omega}{2A} - (1+e^{\omega})\,2\,\text{sin}.\frac{\omega}{2}\,\text{sin}\frac{(A-2x)\omega}{2A}\right\} = 0.\] Il y aura donc une seconde ligne nodale diagonale sur la plaque quarrée, lorsque la valeur de l'angle \(\underline{\omega}\) indiquera un nombre pair de points de repos sur la simple lame.

En continuant de faire \(\mathcal{A} = -B\) mais prenant les signes inferieurs qui conviennent au cas d'un nombre impair de points de repos dans la simple lame, on trouve qu'il n'y a alors qu'une ligne nodale diagonale, savoir celle qui est formée de la suite des points pour lesquels \(x = y\).

Les lignes nodales diagonales ne sont pas les seules lignes nodales qui doivent exister sur les plaques quarrées dont les mouvemens sont appartiennent à l'intégrale (C) dans la supposition \(\mathcal{A} = -B\); et il est visible que leur nombre et leur disposition dependent des valeurs de l'angle \(\underline{\omega}\).

En général, quelque soit le rapport entre les valeurs de \(\mathcal{A}\) et de \(B\), on voit, à la simple inspection de l'équation (C), que la figure nodale doit passer par tous les points d'intersection des lignes nodales qui conviendroient aux suppositions successives \(\mathcal{A} = 0\), \(B = 0\); desorte que, si on represente par \(\underline{n}\) le nombre de En tête, au milieu, « (34) », non barré ; aucun nombre en haut à droite. La première ligne achève la phrase de la vue 439 (« toutes les fois que / l'équation \(y = A - x\) aura lieu »). Dans \(\frac{1-e^{\omega}}{1+e^{\omega}}\), le \(e\) du numérateur est à peine formé. Le renvoi « (C') » de la deuxième ligne a son accent ; ceux de « l'intégrale (C) » et de « l'équation (C) », plus bas, n'en ont pas, et sont gardés ainsi. L'initiale de « Il y aura » et celle de « En général » sont repassées. « sont » est barré devant « appartiennent ». La phrase se poursuit au-delà de ce lot, à la vue 441.