Français 9115, vues 501–520

Français 9115 · lot 26 · vues 501–520 · Transcription · Papiers de Sophie GERMAIN. — Recueil de dissertations et problèmes mathématiques et physiques.
Datation du catalogue : 1801-1900
Source gallica.bnf.fr / Bibliothèque nationale de France
Lecture automatique — non vérifiée

TEI P5 source — open the XML · download batch-26.fr.xml

Numérotation des feuillets. Chaque page de cette mise au net porte en tête, au milieu, entre parenthèses, sa pagination : (91) à la vue 501, puis (92) à (110) aux vues 502 à 520, une par vue, sans lacune et sans rature. Les feuillets sont écrits des deux côtés, et seul le côté de pagination impaire porte en haut à droite, à l'encre, d'une écriture plus ronde, un nombre de la série qui court dans tout le volume : 246 (vue 501), 247 (503), 248 (505), 249 (507), 250 (509), 251 (511), 252 (513), 253 (515), 254 (517), 255 (519). Cette série numérote des feuillets et non des pages ; elle occupe la place de la foliotation de la Bibliothèque, mais elle est tracée à la plume et non au crayon, et aucun « f. » n'est donc porté. Tous ces nombres ont été lus sur la vue ; aucun n'est déduit. Chaque feuillet est monté sur une feuille de garde, dont le haut ou le bas, blanc, paraît sur beaucoup de vues. Aucune vue de ce lot n'est blanche ni répétée.

501

et dans celui des \(y\), les sons on prend pour terme de comparaison les sons qui accompagnent les figures qui appartiennent a l'intégrale (C) et […], comme je l'ai dit, qui tant d'après l'opinion de M^r Chladni que d'après la théorie que j'ai cherché a établir, doivent être les mêmes que les sons donnés par la simple lame dont les extremités sont libres en vertu des conditions \(\frac{ddz}{dx^2}=0\) et \(\frac{d^3z}{dx^3}=0\), on trouve que le son de toutes les figures périodiques qui renferment des périodes complettes, est trop [plus] grave d'environ 1 ton que la théorie ne l'indique.

C'est ainsi, par exemple, que le son de \(0|4\) fig. 72–73 est sol\(^{\sharp}3\) et celui de \(4|3\) fig. 80 est fa\(^{\sharp}5\), tandis qu'il ne devroit y avoir que deux octaves entre ces deux sons, puisque, d'après la théorie d'Euler, le premier est proportionel au nombre \(\frac{25}{4}\), et que d'après la théorie des surfaces périodiques, le second est proportionel au nombre \(25\).

Mais non seulement le son des figures qui contiennent ou sont censées contenir une ou plusieurs periodes complettes, ne sont [pas seulement] plus graves d'un ton environ que ne semble l'exiger la comparaison aux sons donnés par la simple lame; mais cette difference doit [encore] être considérée comme un minimum du quel [dont] se rapprochent [d'autant plus] les sons produits par les vibrations En tête, au milieu, « (91) », entre parenthèses, non barré ; en haut à droite, à l'encre, d'une écriture plus ronde, « 246 ». La première ligne continue une phrase commencée à la vue 500, hors de ce lot. Après « (C) et », un groupe surchargé et noirci, surmonté d'un point, ne se lit pas. Dans « le son de toutes », « le » est écrit sur « la ». Les notations « \(0|4\) » et « \(4|3\) » sont celles des figures de Chladni ; le dernier chiffre de « \(4|3\) » est tracé comme celui de « 73 ». Les additions « pas seulement », « encore » et « d'autant plus » sont écrites au-dessus de la ligne, la première appelée par deux petits signes en forme de 7. Le « s » et le « t » initiaux se ressemblent dans cette main ; « son » est lu partout où le sens est celui d'un son particulier, « ton » là où il s'agit de l'intervalle (« 1 ton », « un ton environ »). La phrase se poursuit à la vue 502.

502

tournantes se rapprochent d'autant plus qu'elles [ou les figures qui leur appartiennent] contiennent un plus grand nombre de lignes nodales. C'est ainsi que d'une part les sons qui accompagnent les fig 63 et 68, [bien qu'ils] ne devroient différer que de 2 octaves different puisqu'ils sont entr'eux d'après la théorie \(::2:8\), et qu'ils different pourtant de 2 octaves 1 ton et \(\frac{1}{2}\) ton; desorte que le son dela fig. 63 est plus grave de 2 tons et \(\frac{1}{2}\) ton que ne le veut la comparaison aux sons delasimple lame, [et] que les sons qui accompagnent les fig. 66^a et 69, présentent les mêmes differences, et [tandis] que [d'autre part] le son de la fig. 74 et ceux est moins eloigné du rapport donné par la théorie, et qu'enfin les sons des fig. 79b et 86 se rapprochent encore plus des nombres que j'ai cru pouvoir leur assigner en leur appliquant l'intégrale (I), d[…] même que [car] le son de la fig 86 qui est ut.6 comparé à celui dela fig 75 qui est ut 5 (V table P. 152) est exactement cequ'il doit être pour la comparaison au cas des périodes complettes, puisque le nombre que j'ai assigné au premier est 36, et que la théorie donne 18 pour le second.

Des differences du même genre se font remarquer dans la comparaison des sons des figures qui se forment sur les plaques rectangulaires differentes du quarré desorte que les figures qui sur ces diverses plaques presentent une ou plusieurs périodes complettes donnent toujours, aumoins en prenant au En tête, au milieu, « (92) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 501. La première ligne achève la phrase de la vue 501 (« les sons produits par les vibrations / tournantes ») ; « se rapprochent d'autant plus qu'elles » y est barré et remplacé, au-dessus de la ligne, par « ou les figures qui leur appartiennent ». Le « ne » barré devant « devroient » est surchargé ; « bien qu'ils » est écrit au-dessus. « \(::2:8\) » : le signe entre 2 et 8 a une barre verticale collée aux deux points. « le son de la fig. 74 » est corrigé de « les sons », l'article surchargé et le « s » final barré d'une petite croix ; de même « du rapport » corrigé de « des » ; la fin de « accompagnent » et de « rapprochent » est aussi surchargée. Le groupe barré après « (I), » commence par « d » et se termine par « même que » ; le milieu est noirci. « ut.6 » et « ut 5 » : le 5 a la forme de celui de « fa\(^{\sharp}\)5 » à la vue 501. La phrase se poursuit à la vue 503.

503

resultat moyen, des sons un peu plus graves qu'il ne le faudroit pour établir l'accord ent dela théorie et de l'experience Dans la comparaison au son des figures qui se rapportent aux mouvemens de la simple lame, et que les figures qui sur les mêmes plaques ne contiennent point de périodes complettes, donnent des sons qui dans la même comparaison se trouvent de beaucoup trop graves.

On pourroit à la rigueur regarder les différences dont il s'agit ici comme peu importantes, puisqu'il est rare qu'elles excèdent une tierce, distance qui n'a pas empêché M^r Chladni de regarder [considérer] comme équivalentes les fig 64 et 65 que la théorie montre aussi devoir appartenir à une même valeur de l'angle \(\underline{\omega}\). Cependant la constance du phénomène le rend remarquable, et ne permet guères de le regarder comme produit par les causes physiques qui influent sur les expériences les mieux faites; car s'il en étoit ainsi, les differences devroient en quelquesorte se balancer tandis qu'au contraire elles sont toutes, ou presque toutes dans le même sens.

Puisqu'il me paroit [semble] inévitable de conclure [de cequi précède] l'existence d'une cause tendante à rendre les sons qui accompagnent les figures périodiques, plus graves que la comparaison avec les sons [qui accompagnent] les figures non périodiques qui peuvent se former sur les mêmes surfaces, ne semble l'exiger, En tête, au milieu, « (93) » ; en haut à droite, à l'encre, d'une écriture plus ronde, « 247 ». La première ligne continue la phrase de la vue 502 (« aumoins en prenant un / resultat moyen »). Le mot barré après « l'accord » est court et commence par « en » ; « Dans », à la ligne suivante, a une majuscule bien que la phrase continue. Après « comparaison », « au » est écrit sur un autre mot, peut-être « du ». « de cequi précède » est écrit au-dessus de la ligne et appelé par un petit signe sous « conclure ». « tendante » porte à la fin une petite croix, qui annule semble-t-il un « s » ; « les » devant « figures non périodiques » est écrit sur « des ». La phrase se poursuit à la vue 504.

504

il […] [me sera permis de] presenter a cet egard une conjecture qui ne me paroît pas entièrement denuée de probabilité.

On se rappelle que les differences qu'il s'agit d'expliquer sont à leur maximum lorsque la surface périodique ne presente que des demies periodes tant dans le sens des \(\underline{x}\) que dans celui des \(\underline{y}\), c'est ceque j'ai déja nommé quart de période pour distinguer l'espace qu'il en reservant la denomination q de demie période pour les figure [parties] composées d'une periode dans le sens d'un des axes et d'une demie periode seulement dans le sens de l'autre axe. Cela posé, on se souvient encore que les differences, en prenant toujours un resultat moyen entre plusieurs faits, sont d'autant moindres que la surface périodique qui ne comprend pas de periode complettes est composée d'un plus grand nombre de demies periodes, et qu'enfin lorsqu'outre les quarts de périodes et les demies périodes qui se trouvent dans toutes les figures périodiques dont les extremités sont libres, la figure renferme des periodes complettes les mêmes differences diminuent encore desorte, […] elles sont [même] souvent audessous d'un ton qui peut être considéré comme leur mesure moyenne. En tête, au milieu, « (94) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 503. Au début, « il » est surchargé et suivi d'un mot court barré ; « me sera permis de » est écrit au-dessus. « periode » (quart de période, periode complettes) et « figure » (la figure renferme) portent sur l'« s » final la petite croix qui annule un pluriel : le singulier est donné. Le « q » isolé barré après « denomination » est un début de mot abandonné. Dans « pour les parties composées », « figure » est souligné ou barré d'un trait léger, et « parties » est écrit au-dessus ; le « les » est surchargé. « sont » devant « libres » est écrit sur un autre mot. Le groupe barré après « desorte, » est noirci ; « même » est écrit au-dessus de « souvent ». Les deux tiers inférieurs de la marge et le bas du feuillet sont blancs.

505

si on observe que si il s'agissoit de surfaces appuyées de tout côté les mêmes équations, seroient applicables

En réfléchissant sur la gradation du phénomène, il paroîtra peut-être vraisemblable qu'il ait pour cause l'existence de ces quarts de periode et demi periodes dans les figures qui se forment sur les plaques dont tous les côtés sont libres. En effet on voit que si les quarts de periode sont seuls leur influence doit être a leur maximum qu'elle doit diminuer par l'addition de demie periodes qui comprennent des periodes entières dans le sens d'un des axes, et qu'enfin elle doit se trouver en partie contrebalancée et parconséquent réduite a son minimum lorsque la figure contient des périodes complettes; desorte que la théorie ne pourroit s'accorder dans cette hypothèse on ne devroit obtenir un accord parfait entre les sons indiqués par la théorie et les sons donnés par l'experience que dans le seul cas des surfaces appuyés detout côté.

Malheureusement M^r Chladni ne s'est pas occupé de ce genre de surfaces qui presentent [ne peuvent être soumises à l'experience qu'avec] beaucoup de difficultés a obtenir, et je ne puis appuyer […]. Le cas analogue des lames libres à leurs extrémités en vertu des conditions \(\frac{ddz}{dx^2}=0\) et \(\frac{d^3z}{dx^3}=0\), si s'il avoit été essayé avec succès m'avoit fourni un fait analogue à celui des surfaces periodiques libres; et si il eut donné un son plus grave que le cas correspondant dans la lame dont les extrémités sont appuyés, j'aurois été autorisé a regarder l'effet des demies En tête, au milieu, « (95) » ; en haut à droite, à l'encre, d'une écriture plus ronde, « 248 ». Le feuillet est monté plus bas que les précédents sur sa feuille de garde, dont le haut, blanc, occupe le premier quart de la vue. Les deux premières lignes sont barrées d'un trait continu ; la page commence au paragraphe « En réfléchissant ». Dans « gradation » et « paroîtra » une lettre est surchargée d'une tache ; « periode » porte deux fois la petite croix qui annule le « s » du pluriel, et le singulier est donné. « elle » dans « qu'elle doit diminuer » est repassé. Le mot barré après « qui », « presentent », est remplacé par l'ajout au-dessus de la ligne. La fin de la ligne barrée suivante, après « appuyer », ne se lit pas (deux mots courts, le second terminé en « -dit »). Dans \(\frac{ddz}{dx^2}\), le premier \(d\) et l'exposant sont noircis d'une tache. Le premier mot de « m'avoit fourni » peut se lire « n'avoit » ; le sens demande « m'avoit » ou « m'auroit ». La phrase se poursuit à la vue 506.

506

periodes comme constaté. Mais l'experience n'ayant rien décidé à cet egard, je suis réduit à présenter l'explication que je viens de donner comme une simple conjecture.

En effet quoique les cas dela corde tendue et de la flute ouverte aux deux bouts semblent présenter deux faits comparables et susceptibles, parconséquent, de fournir aumoins des inductions, dans sur l'objet présent, ils ne peuvent pourtant être d'aucun secours, parceque [car] la détermination du son dans les instrumens à vent ne peut encore être regardée comme parfaitement rigoureuse.

Voila, ce me semble, ici la difficulté; L'ingénieuse hypothèse que M^r De la Place a imaginé et que M^r Poisson a ensuite introduite dans le calcul, suffit à la verité pour expliquer comment la vitesse réelle du son surpasse celle que l'analyse indique, parceque cette vitesse qui n'a guere été mesurée que sur des sons graves, est regardée p tacitement par les physiciens comme independante de la place qu'occupe [que] le son transmis occupe dans l'échelle diatonique; desorte qu'en considérant d'une part cette tons [vitesse] comme uniforme et de l'autre l'influence du dégagement de la chaleur comme egalement uniforme on peut satisfaire aux conditions dela question.

Mais s'il s'agissoit de décider dans la correction à appliquer aux sons d'une flûte, l'effet la quantité En tête, au milieu, « (96) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 505. La première ligne achève la phrase de la vue 505 (« l'effet des demies / periodes comme constaté »). Un petit trait oblique, au-dessus de « à présenter », est peut-être un signe d'insertion sans ajout. « dans », devant « sur l'objet présent », est chargé de traits plus épais et paraît annulé. Dans « du son dans les instrumens », l'« s » final porte la petite croix qui annule un pluriel. Devant « tacitement », un « p » isolé est barré. « cette » est corrigé de « ces » par une tache, et « tons » qui suivait est barré, « vitesse » écrit au-dessus. La phrase se poursuit à la vue 507.

507

l'influence du coëfficient de [proportionnel a] la chaleur degagée, et celle de l'existence des demies périodes, on seroit d'autant plus embarassé que l'on ne pourroit regarder peut affirmer la constance d'un coëfficient qui est fondé sur un fait variable dans son amplitude et dans sa frequence, dont mesuré pendant un tems donné desorte que l'on auroit et que parconséquent deux effets dont on n'auroit pas de mesure exacte, se trouveroient confondus.

Quoiqu'il en soit du degré de confiance que merite l'explication que je viens de soumettre au jugement dela classe, je n'ai pas cru devoir dissimuler la difficulté qui est en est l'objet. Mais il me sera permis d'observer qu'avant l'explication proposée par M^r De la Place, la théorie des instrumens àvent et celle de la transmission du son, qui présentoient donnoient des resultats fort éloignés de ceux de l'experience, n'en étoient pas moins admis [regardées] par les géomètres et les physiciens comme entièrement satisfesantes, et que [d'ailleurs] la difference que j'ai essayé d'expliquer est bien peu considérable puisqu'elle [dans son maximum] excède […] fort [à] peine peu celles que [dont] M^r Chladni n'a pas tenu compte dans la formation de sa table p. 152, et qu'elle n'est vraiment remarquable que par sa constance.

Je vais m'occuper àprésent des plaques rectangulaires differentes du quarré. En tête, au milieu, « (97) » ; en haut à droite, à l'encre, d'une écriture plus ronde, « 249 ». La première ligne achève la phrase de la vue 506 (« dans la correction à appliquer aux sons d'une flûte, / l'influence du coëfficient… »). « proportionnel a » est écrit au-dessus de « dela », dont le « de » est barré. « fondé » et « variable » portent à la fin la petite croix qui annule une lettre (« fondée », « variables ») ; la forme corrigée est donnée. Le début d'« amplitude » est surchargé. Dans « la difference », l'article est repassé sous « d'ailleurs », écrit au-dessus. Après « excède », un mot court surchargé puis « fort » sont barrés ; un accent seul, au-dessus, donne « à » ; « dans son maximum » est écrit au-dessus de la ligne, « maximum » souligné. « celles » s'accorde avec un pluriel qui n'est pas écrit. Le texte s'arrête au tiers inférieur de la page sur « du quarré. » ; le reste du feuillet est blanc.

508

§.5 Comparaison dela théorie à l'experience dans le cas des plaques rectangulaires differentes du quarré

N.^o 17. L'intégrale (C) N.^o 3, dont j'ai longuement developpé l'application aux plaques quarrées, (V. N.^os 10 11 et 12 §.4) peut aussi servir à rendre compte d'une partie des figures qui se mon montrent sur les plaques vibrantes differentes du quarre rectangulaires differentes du quarré, aussi bien que [et en même tems aussi] des sons qui accompagnent chacune des mêmes figures.

Cependant, en fesant attention à la nature de la formule (C) [question], on verra aisément qu'elle exige que la valeur de l'angle \(\underline{\omega}\) soit lamême pour chacune des fonctions de \(\underline{x}\) et \(\underline{y}\) qui la composent [entrent dans la formule (C)]. Ainsi, si dans la plus-part des cas, on aura necessairement \(B=0\) [ou \(\mathcal{A}=0\)], c'est adire qu'il ne pourra se former que des lignes alors sur les plaques rectangulaires dont les mouvemens sont compris dans l'intégrale (C), que de simples lignes droites nodales parallelles entr'elles; et On ne pourra obtenir [trouvera] des va figures susceptibles de distorsions que pour les valeurs de [l'angle] \(\underline{\omega}\) qui s'accorderont auront entr'elles le rapport necessaire pour compenser la difference entre la grandeur des côtés des plaques d que l'on considère.

Je vais éclaircir ceci par des exemples. Si on a une plaque dont les côtés soient entr'eux \(::5:7\). on verra aisément que le nombre qui convient au cas de 3 lignes parallelles étant 25 auquel le son doit être proportionnés dans le cas de 3 lignes droites parallelles, etant \(\frac{25}{4}\), et celui auquel le nombre auquel le pr son doit être proportionnel. En tête, au milieu, « (98) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 507. Le titre est souligné et précédé de « §.5 » ; le signe § est tracé comme un S suivi d'un point. Dans « (V. N.^os 10 11 et 12 §.4) », le « 12 » est à demi effacé. « rapport » et « necessaire » portent à la fin la petite croix qui annule le « s » du pluriel ; le singulier est donné. Le \(B\) de « \(B=0\) » est écrit sur une autre lettre, noircie, et le signe \(=\) est repassé ; l'ajout « ou \(\mathcal{A}=0\) » est au-dessus de la ligne, la lettre étant la capitale bouclée que le lot 22 a rendue par \(\mathcal{A}\). Le dénominateur de \(\frac{25}{4}\) est surchargé et peut se lire 8. « proportionnés » est gardé tel qu'il est écrit. Le texte s'arrête à mi-page sur « doit être proportionnel. », phrase inachevée ; le bas du feuillet est blanc. La suite, si elle existe, est à la vue 509.

509

dans le cas de quatre lignes nodales parallelles, étant \(\frac{49}{4}\), 3 lignes nodales parallelles entr'elles et transversales au côté qui est comme 7, doit donner le même son que 4 lignes nodales parallelles entr'elles et transversales au côté qui est comme 5. Il suit dela que la valeur de l'angle \(\underline{\omega}\) est lamême pour l'un et l'autre de ces cas, et qu'il peut exister alors differentes figures sur qui seront toutes accompagnées du même son [équivalentes] puisque la supposition \(B=0\) cesse d'être necessaire.

Independamment de la considération de l'intégrale (C), M^r Chladni paroît avoir senti que ce ne pouvoit être que dans le cas dela compensation dont j'ai parlé plus haut, qu'il pouvoit exister sur les plaques rectangulaires differentes du quarré, des figures nodales differentes [diverses] entr'elles, mais toutes equivalentes à un certain nombre de points de repos dans la simple lame dont les extremités sont libres. (V. T. d'acoustique N.^o 136). et On peut voir N.^o 136 du traité d'acoustique, que dans le cas que j'ai pris pour exemple, parcequ'il repond a la première des figures observées sur les plaques rectangulaires l'auteur regarde en effet les figures qui a qui se sont montrées, comme intermédiaires entre les deux especes de vibrations, qu'il atribue à la plaque partagée par quatre lignes nodales [parallelles] suivant une de ses dimensions, et par 3 pareilles lignes suivant l'autre de ses dimensions. N.^o 121 du même traité, on peut encore voir que la plaque dont les côtés sont entr'eux \(::3:5\), présente aussi des figures intermediaires aux deux manières de vibrer qui repondent aux suppositions successives \(\mathcal{A}=0\) et \(B=0\), dans l'intégrale (C). car alors, suivant la remarque de l'auteur, En tête, au milieu, « (99) » ; en haut à droite, à l'encre, d'une écriture plus ronde, « 250 ». Comme à la vue 505, le feuillet est monté bas sur sa feuille de garde, dont le haut blanc occupe le premier quart de la vue. La première ligne continue la phrase laissée en suspens au bas de la vue 508 (« le nombre auquel le son doit être proportionnel / dans le cas de quatre lignes nodales parallelles ») : le point qui la fermait là n'arrêtait donc pas la phrase. Le dénominateur de \(\frac{49}{4}\) est surchargé. « équivalentes » est écrit au-dessus de « sur », en tête de la ligne barrée ; « puisque » est écrit sur un premier « puis ». « paroît » et « pouvoit » (« ce ne pouvoit être ») sont surchargés. Le renvoi barré au « T. d'acoustique » et le renvoi gardé portent le même numéro, dont le chiffre du milieu est le 3 à tête plate de cette main. Dans « les figures », l'« s » de l'article et celui du nom sont surchargés ; « qui » et « a » qui suivent sont barrés. « N.^o 121 » est repassé. Dans « \(::3:5\) », le second chiffre a la forme du 5 de la vue 501. \(\mathcal{A}\) est la capitale bouclée de la vue 508. « atribue » est son orthographe. La phrase se poursuit à la vue 510.

510

2 lignes nodales parallelles dans un des sens doit donner le même son que 4 pareilles lignes dans l'autre sens.

Demême encore pour sur la plaque dont les côtés sont entr'eux \(::3:1\). Les suppositions successives \(\mathcal{A}=0\) et \(B=0\) qui repondent et, en suivant la notation de M^r Chladni, aux cas \(5|0\) et \(0|2\) donnent les deux mêmes figures auxquelles les fig. 77 sont equivalentes (V. T. d'acoustique N 122).

Parmi les fig. pl. 6 du traité [d'acoustique], celles qui repondent aux trois cas dont j'ai parlé, et les differentes fig. 170 sont les seules qui presentent plusieurs formes dependantes de […] toutes de l'intégrale (C). Parmi les figures qui ont été [pl. 6 du traité d'acoustique] observées sur les plaques rectangulaires celles qui appartiennent aux trois cas dont je viens de parler et les fig 170 sont les seules qui puissent être expliquées a l'aide de l'intégrale (C) et Rien ne seroit plus aisé que de suivre de point en point, pour chacune d'elles la formation des differentes lignes nodales qui les composent. mais j'aurois à répéter des détails fastidieux qui peut être ont déja été que trop rebattus dans la description des figures que lamême intégrale (C) donne sur la plaque quarrée. ainsi je me contenterai de presenter a cet

Cependant, afin de montrer comment la supposition \(\mathcal{A}=B\), appliquée aux plaques rectangulaires dont les côtés sont inégaux entr'eux peut donner lieu a des figures dependantes du rapport entre les mêmes côtés, [figures très] et très differentes parconséquent de celles qui ont été expliquées pour la plaque quarrée; je crois devoir entrer dans le détail de la formation dela fig. 163b En tête, au milieu, « (100) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 509. Le feuillet est monté bas sur sa feuille de garde. La première ligne achève la phrase de la vue 509 (« suivant la remarque de l'auteur, / 2 lignes nodales… ») ; le premier chiffre peut se lire 3, le second, surchargé, est lu 4 ; la fin de « parallelles » et de « doit » est surchargée. Dans « \(5|0\) », le 5 a la forme de celui de la vue 501. La note de la marge de gauche, d'une plume plus fine, remplace le passage barré qui lui fait face (« Parmi les figures… (C) et ») ; « d'acoustique » y est écrit au-dessus de « traité », dont l'« s » final est barré d'une petite croix, et le groupe barré avant « toutes » commence par « de » et ne se lit pas au-delà. Dans le passage barré, « pl. 6 du traité d'acoustique » est écrit au-dessus de « ont été ». « ainsi je me contenterai de presenter a cet » reste inachevé au bout de la ligne ; un petit signe en forme de virgule est sous « quarrée ». « ont » (« qui peut être ont déja été ») est écrit sur un autre mot. Tout le dernier paragraphe, de « Cependant » à « fig. 163b », est barré ligne par ligne ; « figures très » est écrit au-dessus de « et très », lui-même barré. Le bas du feuillet est blanc.

511

egard quelques reflexions générales et de les appliquer, par forme d'exemple, à la figure 163b que je supposerai tracée.

Lorsque les suppositions successives \(\mathcal{A}=0\) et \(B=0\) donnent lieu, l'une et l'autre, à des [la formation de] nombres pairs de lignes nodales droites parallelles entr'elles, les valeurs de \(f(x)\) et de \(f(y)\) considérées prises à l'origine a sont [peuvent être] egales entr'elles parceque toutes deux sont dela forme \(2(1+e^{\omega})\); ces deux valeurs sont [peuvent] encore [être] egales entr'elles lorsque les suppositions \(\mathcal{A}=0\) et \(B=0\) donnent lieu l'une et l'autre àlaformation de ligne nombres impairs delignes nodales droites; car alors ces deux fonctions sont dela forme \(2(1-e^{\omega})\); Mais si les mêmes suppositions, savoir \(\mathcal{A}=0\) et \(B=0\), donnent lieu, l'une à la formation d'un nombre impair de lignes nodales parallelles entr'elles, et que l'autre entraîne laformation d'un nombre pair de pareilles lignes, on ne pourra plus regarder \(f(x)\) et \(f(y)\) comme égales entr'elles à l'origine, car quoique la valeur de \(\underline{\omega}\) soit egale de part et d'autre.

Il résulte de ceque je viens de dire, que la supposition \(\mathcal{A}=-B\) qui dans aucun cas, [excepté celui du quarré,] ne peut donner lieu àla formation delignes nodales parallelles et diagonales ne peut même ne peut même donner lieu a la formation En tête, au milieu, « (101) » ; en haut à droite, à l'encre, d'une écriture plus ronde, « 251 ». La première ligne achève la phrase inachevée de la vue 510 (« de presenter a cet / egard »). Le numéro de la figure est « 163 » suivi d'un signe souligné qui peut se lire « b » ou « 6 » ; c'est la figure dont la vue 510 annonçait, dans le passage barré, « le détail de la formation ». « la formation de » est écrit au-dessus de « des », lui-même surchargé d'une petite croix. Le mot entre « parallelles » et « diagonales » est surchargé et peut-être barré. Le bas de la page porte une ligne entièrement barrée, et la phrase reste en suspens ; elle se poursuit à la vue 512.

512

sur les plaques rectangulaires, ne peut même expliquer laformation d'une ligne nodale ayant son origine au point \(\underline{a}\) que dans le seul cas où les suppositions \(\mathcal{A}=0\) et \(B=0\) entraînent l'une et l'ont l'autre la formation de nombres pairs ou celle de nombres impaires de lignes nodales droites.

La fig. 175b de M^r Chladni présente un exemple de ce cas; par et les suppositions \(\mathcal{A}=0\) et \(B=0\) donnent [en effet] \(2|0\) et \(0|4\).

Si dans le cas où les suppositions successives \(\mathcal{A}=0\) et \(B=0\) donnent lieu, l'une à un nombre pair, l'autre à un nombre impair de lignes nodales droites, on vouloit avoir une figure dont une des lignes nodales commençat au point \(\underline{a}\) d'origine, aulieu de la supposition \(\mathcal{A}=-B\), il faudroit faire celle-ci \(\mathcal{A}(1-e^{\omega}) = -(1+e^{\omega})B\). La fig. 163b (V. la table) paroît appartenir à cette supposition [hypothèse]; et en la supposant tracée, on voit qu'elle satisfait à toutes les conditions que la théorie exige. En effet à partir du point \(\underline{a}\) la ligne nodale s'avance diagonalement vers le point \(i\) qui lui est opposé parceque f(x) et f(y) qui etoient [les quantités] \((1-e^{\omega})f(x)\) et \((1+e^{\omega})f(y)\) qui étoient egales au point \(\underline{a}\), diminuent en même tems jusqu'à ceque elles de En tête, au milieu, « (102) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 511. La première ligne continue la phrase de la vue 511 (« qui dans aucun cas […] ne peut donner lieu àla formation delignes nodales parallelles et diagonales / sur les plaques rectangulaires, ne peut même expliquer… »). Une petite croix au-dessus de « ou », en tête de la ligne « ou celle de nombres impaires », semble signaler un ajout ; elle n'appelle aucune note. « fig. 175b » et « fig. 163b » : le dernier signe, souligné (rendu en ), peut se lire « b » ou « 6 ». « \(2|0\) et \(0|4\) » : la notation des figures de Chladni. Au-dessus de « à toutes », un mot ajouté et barré, peut-être « aussi ». Le dernier mot de la page, « de », est barré ; la phrase se poursuit à la vue 513. Le bas du feuillet, sous cette ligne, est coupé par le bord de la feuille de garde : rien n'y est écrit.

513

deviennent nulles en même tems [àlafois] au point \(i\). À partir de ce point la ligne entre dans un intervalle où [les plus grandes valeurs] des mêmes quantités \((1-e^{\omega})f(x)\) et \((1+e^{\omega})f(y)\) sont égales entr'elles, ou cequi revient aumême quant a l'effet physique, presqu'égales entr'elles. et c'est pourcela que, suivant ceque j'ai expliqué N.^o 11, àl'occasion dela quatrième valeur del'angle \(\underline{\omega}\), la figure nodale montre quatre branches autour d'un point \(\underline{m}\) de cet intervalle. Il en est demême pour les autres intervalles où se trouvent de semblables points \(\underline{m}\); et quant au changement de direction dela courbe, j'ai eu occasion tant de fois d'en expliquer la cause que je me contenterai de renvoyer au même N.^o 11 dans lequel au passage du N.^o 11 que j'ai cité plus haut. et Il me suffira [donc] de remarquer que conformément à la théorie, la presente figure nodale passe par les 12 points de repos invariables.

Il est évident que les autres figures 163 données par M^r Chladni, remplissent également cette condition; car l'une d'elles montre quatre lignes nodales sinueuses ayant chacune une flexion et \(\frac{1}{2}\), et l'autre presente 3 lignes nodales sinueuses ayant chacune 2 flexions complettes; et on se rappelle qu'une flexion 1 \(\frac{1}{2}\) passe par trois points de repos invariables, tandis que deux flexions complettes passent par En tête, au milieu, « (103) » ; en haut à droite, à l'encre, d'une écriture plus ronde, « 252 ». Le feuillet est monté bas sur sa feuille de garde. La première ligne achève la phrase de la vue 512 (« jusqu'à ceque elles / deviennent nulles »). La fin de « deviennent » est surchargée. « intervalle » et « physique » portent sur l'« s » final la petite croix qui annule un pluriel ; le singulier est donné. « les plus grandes valeurs » est écrit au-dessus de la ligne, et « des » est écrit sur « les » ; « entr'elles », ajouté au-dessus de « égales », est barré. La fin d'« autour » est noircie. « Il », après « haut. », est écrit sur un « et » barré. Dans « une flexion \(\frac{1}{2}\) », le signe barré avant la fraction paraît être un 1. « repos invariables » est souligné, comme « flexion » et « flexions ». La phrase se poursuit à la vue 514.

514

quatre pareils points de repos invariables.

On peut établir comme une regle générale pour juger aquelle valeur de l'angle \(\underline{\omega}\) se rapporte une figure nodale composée de lignes sinueuses, que si \(\underline{m}\) est le nombre des lignes droites nodales auxquelles la supposition \(\mathcal{A}=0\) donne lieu, et que \(\underline{n}\) soit le nombre des lignes droites nodales qu'entraîne la supposition \(B=0\), la figure sera necessairement composée de \(\underline{m}\) lignes sinueuses ayant chacune \(\frac{n}{2}\) flexions, ou de \(\underline{n}\) lignes également sinueuses dirigées dans le sens opposé aux premiers, et presentant chacune \(\frac{m}{2}\) flexions.

On voit donc que la considération des points de repos invariables àlaquelle j'ai déja eu recours plusieurs fois, est du plus grand secours pour l'explication des figures qui sont assujetties à passer par chacun d'eux; mais je me dispenserai defaire de nouvelles applications de la regle précédente, et je passerai toutdesuite àla considération des intégrales periodiques.

N.^o 18 surfaces periodiques. Pour appliquer les intégrales données N.^os 4 et 5 au cas des surfaces rectangulaires differentes du quarré, il faut multiplier En tête, au milieu, « (104) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 513. Le feuillet est monté bas sur sa feuille de garde. La première ligne achève la phrase de la vue 513 (« deux flexions complettes passent par / quatre pareils points »). Le \(B\) de la seconde supposition est écrit sur une autre lettre, peut-être la capitale bouclée \(\mathcal{A}\). « flexions » est souligné la première fois, non la seconde ; « surfaces periodiques », titre du N.^o 18, est souligné. « aux premiers » est écrit ainsi pour « aux premières ». La fin de « toutdesuite » est surchargée. La phrase se poursuit à la vue 515.

515

les ordonnées parallelles au plus petit côté par la fraction renversée qui exprime le rapport entre la longueur des deux côtés dela plaque rectangulaire, desorte que si, par exemple, les longueurs des [deux] côtés sont entr'elles \(::s:t\) \(t\) etant \(<\) que \(s\), la forme generale de ces equations sera \[z = \ldots\ldots\,\text{sin}.\Big(\frac{\pi.tmx}{tA}\Big)\,\text{sin}\Big(\frac{\pi.sny}{tA}\Big).\] Cette formule montre qu'il y aura \(\underline{m}\) lignes nodales parallelles à l'axe des \(\underline{y}\) et \(\underline{n}\) lignes nodales parallelles à l'axe des \(\underline{x}\), et que, si on changeoit \(m\) en \(n\), la figure seroit alors fort differente dela premiere.

Elle montre aussi que le son doit en général être proportionnel au nombre \(\frac{t^2m^2+s^2n^2}{t^2}\).

M^r Chladni n'a pas jugé necessaire defaire connoître la p la totalité des figures qu'il a observées sur les plaques rectangulaires differentes du quarré; mais celles qu'il a données presentent un caractere important pour essayer vérifier la théorie, et je regrette de n'avoir pas assez de tems pour entrer dans le détail de leur description individuelle. Cependant, en me bornant même à des généralités, j'espère pouvoir rendre un compte suffisant des singularités que presentent les divers groupes d'équations que M^r Chladni regarde comme équivalents. En tête, au milieu, « (105) » ; en haut à droite, à l'encre, d'une écriture plus ronde, « 253 ». Le feuillet est monté sur sa feuille de garde, dont une bande blanche occupe le haut de la vue. La première ligne achève la phrase de la vue 514 (« il faut multiplier / les ordonnées… »). « deux » est écrit au-dessus de « des », dont la fin est surchargée. Dans la formule, la lettre qui précède \(ny\) au second numérateur est écrite sur une autre et se lit \(s\) ; les deux dénominateurs sont \(tA\), et les points de suspension sont les siens, comme au lot 22 (« = … », facteur laissé en blanc). La formule est gardée telle qu'elle est écrite. Dans \(\frac{t^2m^2+s^2n^2}{t^2}\), les exposants sont écrits au-dessus des lettres, d'une plume plus fine. Devant « totalité », « la » est surchargé et un « p » est barré. « équivalents » est écrit sur « équivalentes ». Le bas du feuillet est blanc.

516

Jusqu'ici je n'ai employé, pour rendre compte [expliquer] des distorsions des figures nodales que la considération d'une seule forme d'intégrale, desorte que ç'a toujours été par des changemens exécutés effectués dans une seule et même équation, que j'ai crû pouvoir expliquer le changement des lignes nodales lorsque le son restoit le même.

Mais par la nature du genre de calcul qui convient àlaquestion que je traite, non seulement les differentes valeurs de \(\underline{z}\) qui résultent des diverses intégrales particulieres, satisfont à l'équation differentielle, mais la somme de plusieurs de ces valeurs y satisfait également; et rien n'empêche de supposer en effet que \(\underline{z}\) soit ainsi composé. Cependant, comme il faut ne s'agit que des mouvemens qui doivent produire un son mesurable, les valeurs de \(\underline{z}\) composées comme je viens de le dire, ne peuvent être employées que dans les cas où le son des differens termes produits par l'addition des diverses valeurs de \(\underline{z}\) qui viennent des intégrales particulieres composantes, est le même pour chacune d'elles.

Pour effectuer l'application des formules composées d'après le principe que je viens d'établir En tête, au milieu, « (106) », suivi d'un point, non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 515. Le feuillet est monté sur sa feuille de garde, dont le haut et le bas paraissent. La page commence un paragraphe nouveau. Après « employé », une virgule ou un « s » final. « des » (« des distorsions ») est écrit sur « les ». « le son » est corrigé de « les sons » : l'« s » de l'article et celui du nom portent la petite croix qui annule le pluriel. « composé » (« que z soit ainsi composé ») : le « z » est surchargé. La phrase reste en suspens au bas du texte, qui s'arrête aux deux tiers de la page ; elle se poursuit à la vue 517.

517

il suffira de multiplier chacun des termes par une une constante arbitraire, et de tracer les figures qui conviendront à la supposition de toutes ces constantes [nulles], excepté une supposée nulle. La rencontre des differentes figures produites par les suppositions successives des divers coëfficiens nuls, donnera un certain nombre de points de invariables de repos, qui, comme je l'ai dit ailleurs, devront appartenir à toutes les figures renfermées dans la valeur composée de \(\underline{z}\). mais [et] Non seulement il peut existera [\(\times\) comme dans les cas qui ont été expliqués jusqu'ici,] des points invariables de repos, \(\times\) mais on pourra trouver aussi [alors] de veritables lignes de repos invariables. par exemple et si pour plus de simplicité Si on se borne au cas où la valeur de \(\underline{z}\) ne seroit si pour plus de simplicité, formée que dela somme de deux valeurs [termes] données par deux intégrales particulieres differentes, on sentira aisément qu'il pourra arriver [en effet] que les deux figures appartenantes à chacune de ces deux valeurs ayent une ligne nodale commune, et qu'alors la cette ligne sera une veritable ligne invariable de repos, desorte qu'elle sera commune àtoutes les distorsions des figures appartenantes à la valeur de \(\underline{z}\) ainsi composée.

A l'egard des conditions des limites, on voit ici une nouvelle preuve de la necessité de distinguer l'état analytique des extrémités physiquement En tête, au milieu, « (107) », suivi d'un point ; en haut à droite, à l'encre, d'une écriture plus ronde, « 254 ». Le feuillet est monté bas sur sa feuille de garde, dont le haut blanc occupe le premier quart de la vue. La première ligne achève la phrase de la vue 516 (« d'après le principe que je viens d'établir / il suffira… »). Le premier « une » devant « constante » est noirci. « nulles » est écrit au-dessus de « excepté une », et « supposée nulle » qui suivait est barré. Les deux croix sont les siennes : celle qui est écrite au-dessus de la ligne, devant « comme dans les cas qui ont été expliqués jusqu'ici », appelle cet ajout, écrit d'une plume plus fine ; celle qui suit « de repos, » en marque la place. Le verbe devant « trouver » est surchargé et lu avec doute ; « alors » est écrit au-dessus de « aussi », barré. La note de la marge de gauche, « par exemple si pour plus de simplicité », remplace le « Si » barré en tête de la ligne et le « si pour plus de simplicité, » barré sous la ligne ; un mot court y est barré après « exemple », peut-être « et ». Dans « on se borne », l'« s » final de « bornes » porte la petite croix qui l'annule. Le texte s'arrête au bas de la page au milieu d'une phrase ; elle se poursuit à la vue 518.

518

libres; car rien n'empêche de composer la valeur de \(\underline{z}\) de termes qui satisferont aux aux conditions des extrémités en vertu de differens couples d'équations, desorte que le mot libre n'aura a proprement parler ni l'une ni l'autre des significations que je lui ai reconnues jusqu'ici, mais que sa valeur sera composée des deux premieres

Pour appliquer la théorie que je viens d'établir aux cas observés par M^r Chladni, je reprendrai la formule \(\frac{t^2m^2+s^2n^2}{t^2}\) àlaquelle j'ai trouvé que le son qui accompagnent accompagne les figures qui se forment nodaldes plaques rectangulaires, devoit être proportionnel en fesant \(s=6\) \(t=5\), \(m=4\) et \(n=1\) cette formule devient \(\frac{16.25+96}{25} = \frac{4(109)}{25}\).

en fesant toujours \(s=6\) et \(t=5\), mais prenant \(m=2\), \(n=3\), on a par la même formule \(\frac{4.25+9.36}{25} = \frac{4(106)}{25}\). L'intervalle entre les sons qui appartiennent à ces deux cas, est donc \(\frac{109}{106}\) c'est àdire beaucoup moindre qu'un demi ton mineur et guere plus grand qu'un comma. La limite des erreurs possibles dans les experiences les mieux faites, et parconséquent aussi l'influence des causes physiques inappréciables, est donc plus grande que la distance entre les sons des En tête, au milieu, « (108) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 517. Le feuillet est monté bas sur sa feuille de garde, dont le haut blanc occupe le premier quart de la vue. La première ligne achève la phrase de la vue 517 (« des extrémités physiquement / libres »). Le premier « aux » est écrit sur un autre mot et répété. « premieres » n'a pas de point. Dans « accompagnent », la finale « -ent » est barrée ; un trait vertical sépare « les » de « figures ». En tête de la ligne suivante, « des » est écrit sur un mot commencé, qui paraît être « nodal- » : la lecture en est incertaine. Le terme « 96 » du premier numérateur : le premier chiffre a la boucle fermée d'un 9 ; le calcul (\(s^2n^2 = 36\), et \(16\cdot25+36 = 436 = 4\cdot109\)) demande 36, le 3 de cette main ayant une queue qui le fait prendre pour un 9 ; la page est gardée telle qu'elle se lit. Le second calcul, \(4\cdot25+9\cdot36 = 424 = 4\cdot106\), est juste. Le « 1 » de « 109 » au membre de droite est surchargé. « comma » est souligné. Une petite croix à l'encre pâle, sous « appartiennent », n'appelle rien. La phrase se poursuit à la vue 519.

519

deux cas dont j'ai parlé, et ces cas peuvent parconséquent produire des figures comp résultantes de la somme des termes qui composent les valeurs de \(\underline{z}\), convenables a chacun d'eux. D'ailleurs Au reste le son de \(4|1\) qui appartient au cas des vibrations tournantes, peut, comme on sait, être plus grave que ne l'indique le […] nombre que donne la théorie, et la difference entre 109 et 106 est dans ce sens puis que le dernier nombre est \(<\) que le 1^er C'est ceque M^r Chladni a observé (V. N.^o 114 fig. 157) et parceque l'une et l'autre valeur de \(\underline{n}\) donne une ligne droite nodale parallelle au plus grand côté dela plaque et passant par le centre de la figure, cette ligne sera une veritable ligne invariable de repos et devra se trouver, comme elle se trouve en effet dans toutes les figures qui appartiennent à la même forme de [l'angle] \(\underline{\omega}\).

Dans le cas précédent les deux termes de \(\underline{z}\) étoient donnés par une même equation périodique mais ils peuvent être produits également , comme je l'ai déjà dit, par des intégrales entièrement differentes entr'elles

C'est ainsi par exemple que suivant la remarque de M^r Chladni (V. N.^o 115) lorsque les côtés dela plaque sont entr'eux \(::5:4\) les sons [qui accompagnent] des figures \(5|0\) et \(1|4\) sont les mêmes et [que ces fig.] presentent [montrent] des differences [variations] qu[…] cit l'auteur En tête, au milieu, « (109) » ; en haut à droite, à l'encre, d'une écriture plus ronde, « 255 ». La première ligne achève la phrase de la vue 518 (« la distance entre les sons des / deux cas dont j'ai parlé »). « cas », en tête, est surchargé et semble barré. La note de la marge de droite, d'une plume plus fine, est placée en face de « C'est ceque M^r Chladni a observé » et des lignes qui suivent ; aucun signe ne l'appelle dans le texte. Son premier mot, barré, est lu avec doute « Au reste » ; « D'ailleurs » est écrit au-dessus. La figure de Chladni qu'elle nomme a pour second chiffre un trait vertical qui peut être un 1 ou un 3 mal formé ; la vue 501 citait « \(4|3\) fig. 80 ». Le mot après « comme on » est surchargé. Le mot barré devant « nombre » est court et ne se lit pas. À la ligne de « valeur de \(\underline{n}\) », une grosse tache d'encre précède « de ». « l'angle » est écrit au-dessus de \(\underline{\omega}\), lui-même écrit sur une autre lettre. La virgule qui ouvre la ligne « , comme je l'ai déjà dit » est bien en tête de ligne. À la dernière ligne, « qui accompagnent » est écrit au-dessus de « des », barré ; « que ces fig. » au-dessus de « montrent », lui-même écrit au-dessus de « presentent », barré ; « variations » au-dessus de « differences », barré. La fin de la ligne est surchargée : après « qu », une lettre ou un accent illisible, puis un groupe barré qui paraît être « cit », puis « l'auteur ». La phrase se poursuit à la vue 520.

520

qu'il a représentées par les figures 158. On voit en effet en repassant mettant \(s=5\) \(t=4\), \(m=1\) et \(n=4\) dans la formule \(\frac{t^2m^2+s^2n^2}{t^2}\), elle donne \(\frac{\ill{}.16+25.16}{16} = \struck{\frac{\ill{}}{16}} = 26\) pour le nombre auquel le son de \(1|4\) doit être proportionnel et que la théorie d'Euler fo d'après la théorie d'Euler, le nombre auquel \(5|0\) est proportionnel étoit \(\frac{81}{4}.\frac{25}{16}\); d'où il suit [et parconséquent] que les sons […] doivent égaux qui appartiennent à l'un et l'autre cas, doivent être égaux entr'eux, car leur rapport est exprimé par la fraction 1125 entr'eux \(::2025:1664\). c'est-àdire à peu près \(::5:4\). q Le rapport précédent indique une différence de 2 tons environ entre les sons que l'on compare; et en se rappellant que les vibrations tournantes presentent [sont] toutes plus graves de […] d'un intervalle qui a pour limite d'une part 1 ton et de l'autre 2 tons et \(\frac{1}{2}\) ton, que ne semble l'exiger leur comparaison avec les sons dela simple lame on sentira que la réunion des termes qui conviennent a \(5|0\) et a \(1|4\) doit donner lieu à des figures compliquées par leur influence simultanée

Si le terme dû à \(5|0\) donnoit, s s'il étoit seul, 5 lignes nodales droites et parallelles entr'elles et En tête, au milieu, « (110) », non barré ; aucun nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 519. Le feuillet est monté sur sa feuille de garde, dont le bas blanc occupe le dernier tiers de la vue. La première ligne achève la phrase de la vue 519 (« des variations qu… l'auteur / qu'il a représentées par les figures 158 ») ; « qu'il » y est repassé. Dans « \(m=1\) » et « \(n=4\) », les chiffres sont écrits sur d'autres, noircis. Le premier facteur du numérateur, devant « .16 », est surchargé et ne se lit pas (le calcul, \(t^2m^2 = 16\), demande 1) ; la fraction intermédiaire, barrée, a un numérateur de trois chiffres surchargés (on lit « 281 », là où \(16+400 = 416\)). Le « 81 » de \(\frac{81}{4}\) est repassé. Le mot barré devant « doivent égaux » est court et ne se lit pas ; le groupe barré après « plus graves » commence par « de ». « 2025 : 1664 » est juste (\(\frac{81}{4}\cdot\frac{25}{16} = \frac{2025}{64}\) et \(26 = \frac{1664}{64}\)) ; la fraction barrée « 1125 » n'a pas de dénominateur. « compliquées » est écrit sur « compliqués », « simultanée » sur une autre fin de mot. La page s'arrête sur « entr'elles », suivi d'un « et » barré ; la phrase se poursuit au-delà de ce lot, à la vue 521.