Français 9115 · lot 29 · vues 561–580 · Transcription · Papiers de Sophie GERMAIN. — Recueil de dissertations et problèmes mathématiques et physiques.
Datation du catalogue : 1801-1900
Source gallica.bnf.fr / Bibliothèque nationale de France
Lecture automatique — non vérifiée

TEI P5 source — open the XML · download batch-29.fr.xml

Numérotation des feuillets. Les pages du mémoire portent en tête, au milieu, entre parenthèses, leur pagination : (140) à la vue 565, puis (141) à (149) aux vues 566 à 574, et (150) à (153) aux vues 577 à 580, sans lacune ; les pages paires (142) à (152) sont barrées, (140) ne l'est pas. Le côté de chaque feuillet qui porte une page paire porte aussi, en haut à droite, à l'encre, d'une écriture plus ronde, un nombre de la série qui court dans tout le volume : 276 (vue 561), 277 (563), 278 (565), 279 (567), 280 (569), 281 (571), 282 (573), 283 (575), 284 (577), 285 (579) ; les petits feuillets des vues 561, 563 et 575, sans pagination, en ont un aussi. Cette série occupe la place de la foliotation de la Bibliothèque, mais elle est tracée à la plume et non au crayon, et aucun « f. » n'est donc porté. Tous ces nombres ont été lus sur la vue ; aucun n'est déduit. Les vues 562 et 576 sont les dos blancs des feuillets des vues 561 et 575 et ne sont pas transcrites.

561

On a \[\frac{1}{r}\frac{dz}{dr} + \frac{d^2z}{dr^2} = \frac{u^2}{e^2}z\] \[-\frac{1}{r^2}\frac{dz}{dr} + \frac{1}{r}\frac{d^2z}{dr^2} + \frac{d^3z}{dr^3} = \frac{u^2}{e^2}\frac{dz}{dr}\] \[\frac{2}{r^3}.\frac{dz}{dr} - \frac{2\,d^2z}{r^2dr^2} + \frac{1}{r}\frac{d^3z}{dr^3} + \frac{d^4z}{dr^4} = \frac{u^2}{e^2}\frac{d^2z}{dr^2}\] \[\frac{2}{r^3}.\frac{dz}{dr} - \frac{2\,d^2z}{r^2dr^2} + \frac{1}{r}\frac{d^3z}{dr^3} + \frac{d^4z}{dr^4} + \frac{1}{r^3}\frac{dz}{dr} + \frac{1}{r^2}\frac{d^2z}{dr^2} + \frac{1}{r}\frac{d^3z}{dr^3} = \frac{u^2}{e^2}\left(\frac{1}{r}\frac{dz}{dr} + \frac{d^2z}{dr^2}\right)\] En reduisant on trouve \[\frac{1}{r^3}\frac{dz}{dr} - \frac{d^2z}{r^2dr^2} + \frac{2\,d^3z}{r\,dr^3} + \frac{d^4z}{dr^4} = \frac{u^4}{e^4}z\] qui est en effet l'équation dela surface comprise dans celle qui a été donnée 139 et qui appartient au cas ou l'ordonnée \(z\) n'est pas fonction dela quantité angulaire \(\theta\).

\[\frac{1}{r}\left(\frac{dz}{dr}\right) + \frac{ddz}{dr^2} = \varphi\] \[-\frac{1}{r^2}.\frac{dz}{dr} + \frac{1}{r}\frac{d^2z}{dr^2} + \frac{d^3z}{dr^3} = \frac{d\varphi}{dr}\] \[+\frac{2}{r^3}\frac{dz}{dr} - \frac{1}{r^2}\frac{d^2z}{dr^2} - \frac{1}{r^2}\frac{d^2z}{dr^2} + \frac{1}{r}\frac{d^3z}{dr^3} + \frac{d^4z}{dr^4} = \frac{d^2\varphi}{dr^2}\] Petit feuillet de calculs, monté sur un grand feuillet blanc ; en haut à droite, à l'encre, « 276 ». Aucune pagination de sa main. Dans la première équation, le dénominateur de \(\frac{u^2}{e^2}\) est empâté d'une tache ; l'exposant du second membre de l'équation réduite (\(u^4/e^4\)) l'est aussi. Au quatrième membre de la quatrième équation, qui ajoute à la troisième la deuxième divisée par \(r\), le feuillet porte « \(+\frac{1}{r^3}\frac{dz}{dr}\) » où le calcul demande \(-\frac{1}{r^3}\frac{dz}{dr}\) ; la réduction qui suit, \(\frac{1}{r^3}\frac{dz}{dr}\), est faite avec le signe moins ; on laisse le signe du feuillet. Dans le dernier terme de la même ligne, le dénominateur « \(r\) » est suivi d'une tache. « 139 » renvoie vraisemblablement à la page (139) de sa pagination (vue 560, hors de ce lot), où l'équation (B) est donnée : c'est l'inférence du transcripteur. La lettre angulaire finale est une boucle proche d'un « 8 », lue \(\theta\). Sous un trait, un second calcul : dans la dernière ligne, le premier signe moins est un trait épais et empâté, et les exposants de \(d^3z\) et de \(d^4z\) sont récrits sur d'autres chiffres. Le bas du feuillet est blanc ; le dos (vue 562) ne montre que l'écriture du recto par transparence.

563

addition a la p. 140

Si on prend \(\theta = 0\) on aura les cas devibrations ou les lignes nodales sont toutes annulaires.

Les conditions des extremités sont alors \[\left(\frac{1}{r}\left(\frac{dz}{dr}\right) + \frac{ddz}{dr^2}\right)\delta\frac{dz}{dr}\,\text{cos}.\varphi + \left(\frac{1}{r^2}\frac{dz}{dr} - \frac{1}{r}\frac{ddz}{dr^2} - \frac{d^3z}{dr^3}\right)\delta z\,\text{cos}.\varphi = 0\] et \[\left(\frac{1}{r}\left(\frac{dz}{dr}\right) + \frac{ddz}{dr^2}\right)\delta\frac{dz}{dr}\,\text{sin}.\varphi + \left(\frac{1}{r^2}\frac{dz}{dr} - \frac{1}{r}\frac{ddz}{dr^2} - \frac{d^3z}{dr^3}\right)\delta z\,\text{sin}.\varphi = 0\] A cause de \[\frac{1}{r}\left(\frac{dz}{dr}\right) + \frac{ddz}{dr^2} = \frac{e^2}{a^2}z\] \[-\frac{1}{r^2}\left(\frac{dz}{dr}\right) + \frac{1}{r}\frac{d^2z}{dr^2} + \frac{d^3z}{dr^3} = \frac{e^2}{a^2}\frac{dz}{dr}\] on peut y satisfaire par l'une ou l'autre des suppositions \[z = 0 \qquad \frac{dz}{dr} = 0.\] On voit parla que toutes les lignes de repos satisfont aux conditions des extremités sans être pourtant des lignes d'appuis dans le sens analytique attribué a ce mot par Euler: on voit encore que toutes les fois que la tangente est parallele auplan dela surface en repos on a une ligne circulaire qui satisfait aussi aux conditions des extremités. Ces deux remarques établissent entre le cas que nous examinons et ceux qui appartiennent aux intégrales angulaires et exponentielles, c'est adire tous ceux qui ont été examinés jusqu'ici, une difference remarquable. Les extremités réelles et physiques sont assujetties a la condition \(\frac{dz}{dr} = 0\) ainsi elle a lieu lorsque le rayon \(\rho\) a obtenu savaleur complette \(R\). Petit feuillet monté sur un grand feuillet blanc, écrit sur le seul quart supérieur de la vue ; en haut à droite, à l'encre, « 277 ». Aucune pagination de sa main : la ligne de tête, « addition a la p. 140 », dit que la feuille est un ajout à la page (140) de sa pagination, qui est la vue 565. Le « 4 » est tracé comme un « b », à la manière qu'on lui connaît, et pourrait passer pour un 6 ; la page (140) de la vue 565, qui reprend le calcul là où la page (139) de la vue 560 l'a laissé, décide. La lettre angulaire de la première ligne est la même boucle qu'à la vue 561, lue \(\theta\) ; la parenthèse qui ferme le premier facteur des deux équations des extrémités est tracée comme une accolade. Dans la seconde équation « à cause de », l'exposant de \(a\) est mal formé. Le mot lu analytique s'écrit sur la vue « ahotytique » ou approchant : la seconde lettre est une haste bouclée, suivie d'un « o » ; le sens appelle « analytique », qu'on n'impose pas. « Euler » est écrit avec l'E en forme de L. Le rayon est d'abord \(r\) dans les équations, puis \(\rho\) dans la dernière ligne ; on garde les deux. Un timbre rond de la Bibliothèque (« Bibliothèque impériale MSS. ») est imprimé à droite des équations ; deux gouttes d'encre sont tombées sur la ligne « dans le sens … ». Le dos (vue 564) porte des calculs.

564

En mettant \(g\) alaplace de \(\frac{u^2}{e^2}\) cette condition donne l'équation \[A'\left\{\frac{gR}{2} + \frac{g^2R^3}{2.2.4} + \frac{g^3R^5}{2.4.2.4.6} + \frac{g^4R^7}{2.4.6.2.4.6.8} + \&c\right\}\] \[-A\left\{\frac{gR}{2} - \frac{g^2R^3}{2.2.4} + \frac{g^3R^5}{2.4.2.4.6} - \frac{g^4R^7}{2.4.6.2.4.6.8} + \&c\right\} = 0\] \(R\) est une quantité constante parconséquent on satisfera a cette equation en prenant \[A = 1 + \frac{gR^2}{2.4} + \frac{g^2R^4}{4.2.4.6} + \frac{g^3R^6}{4.6.2.4.6.8} + \&c.\] \[A' = 1 - \frac{gR^2}{2.4} + \frac{g^2R^4}{4.2.4.6} - \frac{g^3R^6}{4.6.2.4.6.8} + \&c.\] En général il y aura autant deligne nodales annulaires sur la plaque ronde qu'il y a de valeur de \(r < R\) qui pour une valeur donnée de \(g\) satisferont a la condition \[\left(1 + \frac{gR^2}{2.4} + \frac{g^2R^4}{4.2.4.6} + \frac{g^3R^6}{4.6.2.4.6.8} + \&c.\right)\] \[\left\{1 - \frac{g\uncertain{r}^2}{(2)^2} + \frac{g^2\uncertain{r}^4}{(2.4)^2} - \frac{g^3r^6}{(2.4.6)^2} + \&c\right)\] \[+\left(1 - \frac{gR^2}{2.4} + \frac{g^2R^4}{4.2.4.6} - \frac{g^3R^6}{4.6.2.4.6.8} + \&c\right)\] \[\left\{1 + \frac{gr^2}{(2)^2} + \frac{g^2r^4}{(2.4)^2} + \frac{g^3r^6}{(2.4.6)^2} + \&c\right) = 0\] En effaçant cequi se détruit cette equation peut devient \[1 + \frac{g^2R^4}{4.2.4.6} + \frac{g^4R^8}{4.6.8.2.4.6.8.10} + \&c.\] \[-\frac{gR^2}{2.4}.\frac{gr^2}{(2)^2} - \frac{g^3R^6}{4.6.2.4.6.8}.\frac{gr^2}{(2)^2} - \&c.\] \[+\frac{g^2r^4}{(2.4)^2} + \frac{g^2R^4}{4.2.4.6}.\frac{g^2r^4}{(2.4)^2} + \frac{g^4R^8}{4.6.8.2.4.6.8.10}\frac{g^2r^4}{(2.4)^2} + \&c.\Big) =\] \[-\frac{g^{\ill{}}R^{\ill{}}}{\uncertain{4.6.2.4.6.8}}.\frac{g^3r^6}{(2.4.6)^2} - \frac{g^3R^6}{4.6.2.4.6.8}\frac{g^3r^6}{(2.4.6)^2} - \&c\] \[+ \&c\] Dos du feuillet de la vue 563 (l'écriture de l'un se voit à l'envers par transparence sur l'autre) ; pas de nombre en haut à droite. Les accolades et parenthèses sont les siennes, et elle ouvre souvent par « \(\{\) » ce qu'elle ferme par « ) ». Dans le premier facteur de la seconde ligne de la condition, les deux premiers \(r\) sont couverts d'une tache et lus par la suite du calcul ; le signe entre les deux derniers termes du facteur suivant est un trait épais. Une grande parenthèse, en marge droite, embrasse les trois lignes qui suivent « devient », et un signe « = » est écrit tout au bord du feuillet après elle ; rien ne suit sur la vue. Dans la dernière ligne, le premier terme est surchargé : les exposants du numérateur sont empâtés (la lettre lue \(R\)), le dénominateur a le premier chiffre et « 6.8 » barrés ou récrits ; au facteur suivant, la lettre du numérateur est tracée comme un « p », pour \(r\). Le « + » devant le dernier « &c. » de l'avant-dernière ligne est traversé d'un trait.

565

\[\frac{d^4u}{dr^4} = \beta(\beta-1)(\beta-2)(\beta-3)\,r^{\beta-4}s + 4\beta(\beta-1)(\beta-2)\,r^{\beta-3}.\frac{ds}{dr} + 6\beta(\beta-1)\,r^{\beta-2}.\frac{dds}{dr^2} + 4\beta\,r^{\beta-1}.\frac{d^3s}{dr^3}\] \[+ \frac{d^4s}{dr^4}.\] et apres avoir substitué ces differentes valeurs dans l'équation \((B')\), et avoir [avoir] pratiqué les reductions convenables on trouvera aura enfin l'équation et divisé par \(r^\beta\) on aura enfin l'équation \[\frac{u^4}{e^4}s = \frac{d^4s}{dr^4} + (1+2\beta)\left\{\frac{2}{r}.\frac{d^3s}{dr^3} + (2\beta-1)\left\{\frac{1}{r^2}.\frac{dds}{dr^2} - \frac{1}{r^3}.\frac{ds}{dr}\right\}\right\} \ldots (B'')\] La valeur la plus générale que l'on puisse attribuer à \(s\) est \(s = A + Br + Cr^2 + Dr^3 + \&c.\); car si on vouloit prenoit \[s = \text{sin}.\frac{u}{e}r\left\{a + br + cr^2 + dr^3 + er^4 + \&c\right\} + \text{cos}.\frac{u}{e}r\left\{A + Br + Cr^2 + Dr^3 + Er^4 + \&c\right\}\] Le developpement des valeurs de \(\text{sin}.\frac{u}{e}r\) et \(\text{cos}.\frac{u}{e}r\) en serie rameneroit à la première valeur [forme attribuée à] pour \(\underline{s}\).

Pour déterminer les coëfficiens des differentes puissances de \(\underline{r}\) dans le developpement dela valeur de \(\underline{s}\), il faudra, ego après avoir substitué dans l'équation \((B'')\) aux différentielles de \(d\) \(\underline{s}\) leurs valeurs en \(\underline{r}\), égaler à zéro la somme de chacun des coëfficiens de chacune des [différentes] puissances de \(\underline{r}\) dans l'équation \((B'')\) ainsi transformée en suivant et on trouvera […] ainsi, en fesant \(1+2\beta = n\) \[s = A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{\uncertain{2}(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \frac{\frac{u^6}{e^6}r^6}{2.4.6.(n+1)(n+3)(n+5)} + \&c\right\}\] \[+ A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \frac{\frac{u^6}{e^6}r^6}{2.4.6(n+1)(n+3)(n+5)} + \&c\right\}\] formule dans laquelle \(A\) et \(A'\) sont deux constantes arbitraires. En tête, au milieu, entre parenthèses, « (140) » : le chiffre du milieu est couvert d'une tache ; il est lu 4 parce que la page (139), à la vue 560 (hors de ce lot), s'arrête sur \(\frac{d^3u}{dr^3}\) et que celle-ci commence par \(\frac{d^4u}{dr^4}\), et parce que le feuillet de la vue 563 se dit « addition a la p. 140 ». En haut à droite, à l'encre, « 278 ». Dans le développement de \(\frac{d^4u}{dr^4}\), le dernier terme est écrit \(\frac{d^4s}{dr^4}\) sans le facteur \(r^\beta\) que portent les autres ; on laisse le feuillet. Dans l'équation (B\(''\)), après « \(2\beta\) » une lettre est récrite et empâtée ; les deux accents de « B\(''\) » ressemblent à un petit « 4 ». Le premier mot barré avant « aura enfin l'équation » pourrait se lire « l'aura ». « prenoit » est traversé par le prolongement du trait qui barre « vouloit » ; on le garde, la phrase le demande. « forme attribuée à » est écrit au-dessus de « valeur », barré. Le mot barré devant « ainsi », après « on trouvera », ne se lit pas ; le premier mot de la ligne « après avoir substitué » est barré et lu, avec doute, « ego ». Les capitales \(A\), \(A'\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) sont des capitales cursives bouclées. Le premier dénominateur, lu \(2(n+1)\) comme le second, a un chiffre bouclé qui peut passer pour un 8. Le 5 de \((n+5)\) a une queue descendante. Les lettres soulignées sont soulignées sur la page. Le verso de ce feuillet est la vue 566.

566

et la valeur de \(\underline{z}\) sera donnée par l'équation donc \[z = \ldots\,\text{sin}(\beta\varphi + B)r^\beta\left\{\begin{array}{l} A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}.r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \frac{\frac{u^6}{e^6}.r^6}{2.4.6(n+1)(n+3)(n+5)} + \&c\right\} \\ + A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \frac{\frac{u^6}{e^6}.r^6}{2.4.6(n+1)(n+3)(n+5)} + \&c\right\} \end{array}\right.\] et on trouvera aura, après les réductions convenables, \[\frac{ddz}{dx^2} + \frac{ddz}{dy^2} = \frac{u^2}{e^2}r^\beta\,\text{sin}.(\beta\varphi + B)\left\{\begin{array}{l} A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4.(n+1)(n+3)} + \&c\right\} \\ - A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.r^4}{2.4.(n+1)(n+3)} - \&c\right\} \end{array}\right.\] En général Si on représente par \(z'\) et \(z''\) les valeurs de \(\underline{z}\) qui satisfont au respectivement aux deux équations du second degré trouvées N.o 2, il est que ces valeurs seront ici \[z' = r^\beta A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\}\] \[z'' = r^\beta A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\}\] et les quatre couples d'équations donnés N.o 9 comme devant appartenir aux points du contour savoir: \[z'-z''=0 \text{ et } z+z''=0\,; \quad z-z''=0 \text{ et } \frac{dz'}{d\varphi} - \frac{dz''}{d\varphi} = 0\,;\] \[z'+z''=0 \text{ et } \frac{dz'}{d\varphi} + \frac{dz''}{d\varphi} = 0\,; \quad \frac{dz'}{d\varphi} - \frac{dz''}{d\varphi} = 0 \text{ et } \frac{dz'}{d\varphi} + \frac{dz''}{d\varphi} = 0.\] Deviendront après avoir été divisées par \(r^\beta\), qui ne peut jamais être nul. En tête, au milieu, « (141) », le chiffre du milieu empâté comme à la page précédente. Pas de nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 565. Les accolades qui embrassent les deux lignes des deux grandes formules sont les siennes, sans accolade fermante. Le signe devant le second \(A\) de la deuxième formule est une tache, lue « \(-\) » d'après les signes de la série qu'il multiplie. Dans le premier des quatre couples, le deuxième \(z\) n'a pas son accent en haut, et le troisième \(z\) non plus ; une petite virgule est sous chacun d'eux : on les laisse sans accent, comme sur la vue. « divisées » : la finale « ées » est écrite au-dessus d'une autre, empâtée. La phrase « Deviendront … » n'a pas de suite sur la page : le bas du feuillet est blanc. Le \(\underline{z}\) souligné est souligné sur la page.

567

\[\begin{array}{l} \left\{A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\}\right. \\ \qquad \left. - A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\}\right\}\text{sin}(\beta\varphi + B) = 0 \end{array}\] \[\begin{array}{l} \text{et }\left\{A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\}\right. \\ \qquad \left. + A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\}\right\}\text{sin}(\beta\varphi + B) = 0; \end{array}\] \[\begin{array}{l} \left\{A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\}\right. \\ \qquad \left. - A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\}\right\}\text{sin}(\beta\varphi + B) = 0 \end{array}\] \[\begin{array}{l} \text{et }\left\{A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\}\right. \\ \qquad \left. - A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\}\right\}\text{cos}(\beta\varphi + B) = 0; \end{array}\] \[\begin{array}{l} \left\{A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\}\right. \\ \qquad \left. + A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\}\right\}\text{sin}(\beta\varphi + B) = 0 \end{array}\] \[\begin{array}{l} \text{et }\left\{A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\}\right. \\ \qquad \left. + A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\}\right\}\text{cos}(\beta\varphi + B) = 0 \end{array}\] \[\begin{array}{l} \left\{A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\}\right. \\ \qquad \left. - A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\}\right\}\text{cos}(\beta\varphi + B) = 0 \end{array}\] \[\begin{array}{l} \text{et }\left\{A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\}\right. \\ \qquad \left. + A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\}\right\}\text{cos}(\beta\varphi + B) = 0; \end{array}\] Le premier couple appartient aux points d'extremités appuyés. On peut y satisfaire de plusieurs manières: et, d'abord, en fesant \(\text{sin}(\beta\varphi + B) = 0\); cette condition montre que lorsque \(B = 0\), c'est-adire lorsque le plan des \(x\) et \(y\) se confond avec celui dela plaque en repos, il y a \(2\beta\) points de repos à la circonference. Il est clair que la condition dont il s'agit est entièrement indépendante de la valeur de \(\underline{r}\), et que, parconséquent, les \(2\beta\) points de repos de la circonference ne sont autre chose que les extremités de \(\beta\) lignes nodales [d'appui] diametrales; ces lignes ces lignes satisferont donc dans toute leur etendue aux conditions des limites, et elles pourroient également exister sur les surfaces tendues. En tête, au milieu, « (142) », barré d'un trait horizontal ; en haut à droite, à l'encre, « 279 ». Le texte est écrit sur la partie basse d'une feuille plus grande, montée sur un onglet ; le haut de la vue est blanc. La page commence par les huit équations annoncées au bas de la page (141) (« Deviendront … ») : la phrase court de la vue 566 à celle-ci. Chaque équation ouvre par une accolade et ferme ses séries par des accolades doubles ou simples, tracées tantôt « \(\{\) », tantôt « ) » ; elles sont régularisées ici. Le signe entre les deux séries de la septième équation est empâté, lu « \(-\) » par le couple auquel elle appartient. Les exposants des numérateurs \(\frac{u^2}{e^2}\), \(\frac{u^4}{e^4}\) sont écrits au-dessus du \(u\) et repris au dénominateur. « d'appui » est écrit au-dessus de « nodales », barré. « appuyés » : la finale est surchargée. Le \(\underline{r}\) est souligné sur la page.

568

Les surfaces circulaires qui sont comprises dans la présente intégrale jouissent, comme on voit, d'une sorte de périodicité relative aux valeurs de l'angle \(\varphi\); et en effet [Car] la valeur de \(\underline{z}\) donne alors, entre \(t\) et \(\varphi\), l'équation \(\frac{ddz}{dt^2} = \frac{ddz}{d\varphi^2}.\frac{\uncertain{uu}}{\beta\beta}\) dela forme de celle aux cordes vibrantes, et en effet les differens secteurs formés par les lignes nodales diamétrales peuvent être superposés, puisqu'ils sont parfaitement égaux entr'eux.

Lorsque \(\beta = 0\), c'est-a-dire lorsqu'il n'y a pas de lignes nodales diamétrales, on ne peut faire \(B = 0\); par car il resulteroit de cette supposition que laplaque ne pourroit se mouvoir. Le plan des \(\underline{x}\) et \(\underline{y}\), ne peut donc se confondre alors avec celui dela plaque en repos.

On peut encore satisfaire au premier couple d'équations par la double supposition \[\begin{array}{l} A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\} \\ \qquad - A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\} = 0 \end{array}\] \[\begin{array}{l} A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\} \\ \qquad + A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}.r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\} = 0 \end{array}\] qui se reduit à \[A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}.r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4.(n+1)(n+3)} - \&c\right\} = 0\] \[A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}.r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\} = 0\] Si on fait \(A' = 0\) et \(1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}.r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4.(n+1)(n+3)} - \&c = 0\) on aura le cas où la surface seroit appuyée En tête, au milieu, « (143) », le 4 tracé comme un « b » ; pas de nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 567. « Car » est écrit au-dessus de « et en effet », barré. La lettre lue \(t\) dans « entre \(t\) et \(\varphi\) » et dans \(dt^2\) est une petite croix qui peut passer pour un « + ». Le numérateur du dernier facteur, lu uu, est deux petites lettres jumelles au-dessus de \(\beta\beta\). Le mot lu aux devant « cordes » porte une croix sur sa fin. Dans « on ne peut faire \(B = 0\) », la capitale est empâtée ; c'est la constante \(B\) de \(\text{sin}(\beta\varphi + B)\), non \(\beta\). « pourroit » : une lettre est récrite au milieu du mot. La phrase « on aura le cas où la surface seroit appuyée » continue à la page suivante. Les lettres soulignées le sont sur la page.

569

dans tous les points de son contour; son équation seroit alors la mem conviendroit également alors àla surface tendue demême forme, et elle seroit en effet la même que Euler adonnée dans le tome X de pétersbourg. (V. N.o 13 du m. De motu vibratorio tympanorum). Les figures nodales seroient parconséquent semblables, sur les deux genres de surfaces; et, conformement àl'ordre des equations differentielles qui leur appartiennent reciproquement [respectivement], les sons, qui pour l'une d'elles, seroient proportionels aux valeurs de \(\underline{u}\), seroient par rapport a l'autre suivroient pour l'autre la proportion des quarrés des mêmes valeurs.

N.o 22 Le second couple d'équations convient [dans le cas] où les points de contour sont libres en vertu des conditions \(\frac{ddz}{dx^2} + \frac{ddz}{dy^2} = 0\) et \(\frac{d\left\{\frac{ddz}{dx^2} + \frac{ddz}{dy^2}\right\}}{dx} = 0\); ou, cequi est ici lamême chose, \(\frac{ddz}{dx^2} + \frac{ddz}{dy^2} = 0\) et \(\frac{d\left\{\frac{ddz}{dx^2} + \frac{ddz}{dy^2}\right\}}{dy} = 0\), on peut y satisfaire par la supposition \[\begin{array}{l} A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\} \\ \qquad - A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.r^4}{2.4(n+1)(n+\uncertain{4})} + \&c\right\} = 0 \end{array}\] Lorsque les valeurs de \(A\) et \(A'\) seront données, en mettant fesant dans cette équation \(r = a\), c'est àdire \(r\) égal au rayon du cercle dont la circonférence est à la limite de la surface, elle pourra servir à déterminer les differentes valeurs de \(\underline{u}\) qui correspondront aux mouvements dont la plaque est [sera] susceptible. En tête, au milieu, « (144) », barré obliquement ; en haut à droite, à l'encre, « 280 ». La première ligne achève la phrase de la vue 568 (« on aura le cas où la surface seroit appuyée / dans tous les points de son contour »). « Euler » est écrit avec l'E en forme de L et une fin très cursive (« Lobr »), comme aux vues 419–420 ; « tome X » : le chiffre romain est une croix. « du m. » abrège sans doute « du mémoire ». Le titre latin est souligné sur la page, en trois traits. Dans « respectivement », écrit au-dessus de « reciproquement » barré, la virgule qui suit est la sienne. Au second couple, le « \(dx^2\) » du premier terme de « ou, cequi est ici lamême chose » est écrit au-dessus d'un autre dénominateur barré. Au dernier dénominateur de l'équation, le feuillet porte un chiffre lu 4 là où les autres dénominateurs ont \((n+3)\). Dans « correspondront » la fin est récrite sur une autre ; dans « mouvements » le « t » est ajouté. Le bas du feuillet est blanc.

570

Mais Quelque [quelles que] soient les valeurs de \(\underline{u}\), il est visible que \[1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}.a^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.a^4}{2.4.(n+1)(n+3)} - \&c \;\uncertain{\neq}\; \uncertain{\alpha} \quad \text{et}\] \[1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}.a^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.a^4}{2.4.(n+1)(n+3)} + \&c \;\uncertain{\neq}\; \uncertain{\alpha}\] seront des quantités constantes; ainsi [donc] on pourra toujours prendre, \[A = 1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}.a^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.a^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\] \[A' = 1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}.a^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.a^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c.\] [Mais dans cette supposition] Et alors les conditions des extremités auront lieu d'elles mêmes, et ne pourront plus servir, parconséquent à connoître les valeurs de \(\underline{u}\) puisque qui devront être donnés d'ailleurs.

Le cas dont je viens de parler, sera celui où dans la plaque circulaire, on n'auroit pas égard àla variabilité du rayon; ce cas est absolument analogue à celui où, dans les plaques rectangulaires, on ne regarde qu'une des deux coordonnés \(\underline{x}\) et \(\underline{y}\) comme variable.

En général, si pour une valeur quelconque de \(\underline{u}\), on peut satisfaire à l'équation \[\begin{array}{l} A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}.r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\} \\ \qquad + A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}.r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\} = 0 \end{array}\] il y aura autant de lignes nodales circulaires qu'il se trouvera de valeurs de \(\underline{r}\) convenables à cette equation. Les lignes nodales circulaires En tête, au milieu, « (145) » ; pas de nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 569. En tête de la première ligne, « Mais » est barré et « Quelque » barré d'une croix, « quelles que » écrit au-dessus ; « soient » est récrit sur « soit » ; une petite lettre précède « Mais » dans la marge. À la fin des deux premières séries, un signe d'égalité traversé d'un trait vertical (lu \(\neq\)) est suivi d'une lettre empâtée qui ressemble à un \(\alpha\) ouvert, peut-être un zéro surchargé : ni l'un ni l'autre n'est sûr, et la phrase qui suit (« seront des quantités constantes ») ne tranche pas. « donc » est écrit au-dessus de « ainsi », barré. « Mais dans cette supposition » est écrit dans la marge et l'interligne au-dessus de « Et alors », barré. Le pluriel d'« equations » est annulé par une petite croix sur l's final : on donne le singulier. La phrase se poursuit à la page suivante.

571

seront de simples lignes de repos; car la supposition d'une ligne d circulaire d'appui entraine la condition \(A' = 0\) qui ne peut convenir qu'au seul cas où les points du contour sont eux mêmes appuyés.

Dans le cas present des points de contour libres, il peut donc y avoir sur la plaque circulaire deux genres de lignes nodales, savoir des lignes d'appui qui seront les lignes nodales diamétrales+ qui seront des lignes d'appui, et des simples [lignes nodales circulaires qui seront de simples] lignes de repos qui ne satisferont pas aux conditions des extremités qui seront les lignes nodales circulaires.

Ces deux genres de lignes nodales peuvent exister en- semble ou séparement sur la plaque dont le contour est libre; ainsi les suppositions \(A = 1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\) et \(A' = 1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}.r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\) appartiennent au cas où il n'y a pas de lignes nodales circulaires; et la supposition \(\beta = 0\) à celui où il n'y a pas delignes nodales diametrales, et dans toute autre hypothese il y aura àlafois sur la plaque circulaire vibrante, des lignes nodales diametrales et des lignes nodales circulaires. En tête, au milieu, « (146) », barré ; en haut à droite, à l'encre, « 281 ». La première ligne achève la phrase de la vue 570 (« Les lignes nodales circulaires / seront de simples lignes de repos »). La note de la marge gauche, « + qui seront des lignes d'appui, », est appelée par la croix écrite après « diamétrales ». L'ajout de l'interligne, « lignes nodales circulaires qui seront de simples », finit dans la marge droite (« simples »). Dans la ligne « qui ne satisferont pas … », le premier « qui » est traversé d'un trait qui peut être une rature ou le trait de liaison ; on le garde, la phrase le demande ; le « qui » final et la ligne suivante sont barrés. « ainsi les » est récrit sur « Ainsi Les ». Le signe devant le dernier « &c » de \(A'\) est une tache, lue « \(-\) » par la série. Dans ces deux valeurs de \(A\) et \(A'\) la variable est \(r\) sur la page, là où la vue 570 écrivait \(a\) ; et la série aux signes alternés est ici celle de \(A'\), celle de la vue 570 étant celle de \(A\) : on laisse le feuillet. Le bas du feuillet est blanc.

572

Le troisième couple d'équations conviendroit au cas où les points du contour seroient fixés, et on pourroit y satisfaire par la condition \[\begin{array}{l} A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\} \\ \qquad + A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\} = 0 \end{array}\] Enfin le quatrième couple donne les deux conditions \[\begin{array}{l} A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\} \\ \qquad - A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\} = 0 \end{array}\] \[\begin{array}{l} A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\} \\ \qquad + A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}r^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}r^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\} = 0 \end{array}\] ou celle-ci \(\text{cos}(\beta\varphi + B) = 0\). Les premières ont déjà été examinées à l'occasion du premier couple d'équations. Quant àla seconde qui est entièrement indépendante des valeurs de \(\underline{r}\), elle montre que lorsque la surface est périodique par rapport aux valeurs de l'angle \(\varphi\), chaque secteur formé par deux lignes d'appui consécutives, est partagé endeux autres secteurs égaux entr'eux par une ligne de limite analytique; desorte que l'on peut concevoir ces secteurs comme réellement séparés et en deux autres pareilles figu surfaces de pareille figure qui auroient chacune un de leur coté appuyé, l'autre libre en vertu des conditions \(\frac{dz}{d\varphi} = 0\) et \(\frac{d^3z}{d\varphi^3} = 0\) et les points de l'axe dont les sons seroient les mêmes que ceux dela plaque entière. En tête, au milieu, « (147) », non barré ; pas de nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 571. « Les premières » est récrit sur un autre mot. Le mot barré avant « en deux autres » est court, lu « et ». Le bas du feuillet est blanc.

573

N.o 23. La difficulté de déterminer les valeurs de \(\underline{u}\) m'empêche d'entreprendre d'appliquation à l'experience de l'intégrale donnée dans le N.o précédent [à l'experience]; mais sans s'occuper des sons qui accompagnent chaque figure nodale, on peut toujours que remarquer que les fig. 104 et 109 de M^r Chladni appartiennent au cas où \(\beta = 0\) \[\begin{array}{ll} 105,\ 110^a \text{ et } 116^a \ldots\ldots & \beta = 1 \\ 99,\ 106, \text{ et } 111 \ldots\ldots & \beta = 2 \\ 100, \text{ et } 107 \ldots\ldots & \beta = 3 \\ 101\,a \text{ et } 108 \ldots\ldots & \beta = 4 \\ \text{enfin la fig. } 102\,a \ldots\ldots & \beta = 5 \end{array}\] Si dans l'équation differentielle \[\frac{u^4}{e^4}z = \ldots \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{r^3}.\frac{dz}{dr} - \frac{1}{r^2}.\frac{ddz}{dr^2} + \frac{2}{r}\frac{d^3z}{dr^3} + \frac{4}{r^4}.\frac{ddz}{d\varphi^2} \\ - \frac{2}{r^3}.\frac{d^3z}{d\varphi^2dr} + \frac{2}{r^2}\frac{d^4z}{d\varphi^2dr^2} + \frac{d^4z}{dr^4} + \frac{1}{r^4}\frac{d^4z}{d\varphi^4} \end{array}\right.\] on fait \(r = a\), on devra trouver l'équation [differentielle] de la circonférence dela plaque circulaire, ou, cequi est lamême chose, l'équation differentielle de l'anneau élastique. Il est clair que la supposition de \(\underline{a}\) constant fait fera disparoître toutes les differentielles partielles relatives à \(\underline{r}\), et aussi le terme \(\frac{4}{r^4}.\frac{ddz}{d\varphi^2}\) qui dans lequel des differentielles du même genre n'ont disparues [été effacées] qu'à l'aide des substitutions (V. N.o 2). ainsi l'équation de l'anneau se reduira à \(\frac{u^4}{e^4}.z = \ldots \frac{1}{r^4}\frac{d^4z}{d\varphi^4}\) dont l'intégrale sera \(z = \ldots \mathcal{A}\,\text{sin}(\beta\varphi + B)\). \(\mathcal{A}\) étant une constante arbitraire qui rien n'empêche de faire prendre \(\mathcal{A}\) \[\begin{array}{l} = a^\beta\left\{A\left\{1 - \frac{\frac{u^2}{e^2}a^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}a^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \&c\right\}\right. \\ \qquad \left. + A'\left\{1 + \frac{\frac{u^2}{e^2}a^2}{2(n+1)} + \frac{\frac{u^4}{e^4}a^4}{2.4(n+1)(n+3)} + \&c\right\}\right\} \end{array}\] En tête, au milieu, « (148) », barré ; en haut à droite, à l'encre, « 282 ». « N.o 23 » ouvre la page, dans la ligne. La fin de « d'appliquation » est barrée, et la phrase ne récrit pas la fin du verbe ; « à l'experience », barré sur la ligne, est récrit dans l'interligne au-dessus de « précédent ». Les numéros de figures sont ceux du traité de Chladni ; les « a » sont écrits petits, en exposant ou sur la ligne, comme sur la page. La table est rangée en colonnes comme sur la page, les tirets et les points de conduite rendus par …. « N.o 2 » : la lettre qui suit « N. » est empâtée ; le N.o 2 est cité ainsi à la vue 566. \(\mathcal{A}\) : une capitale cursive bouclée, distincte des \(A\) et \(A'\) de la même ligne. Dans la dernière formule, le « 4 » du deuxième dénominateur est couvert d'une tache. Le bas du feuillet est blanc.

574

et l'équation de l'anneau se présentera alors sous laforme d'un cas particulier de l'équation dela plaque circulaire.

Il est aisé de voir que les équations données par Euler àlafin de son mémoire sur la lame élastique ne different de celles que je viens de trouver, qu'en ceque les arcs remplacent dans mes formules les ordonnées auxquelles elles sont egales et [mais] qu' [que] dans celles de cet Illustre auteur a continué de désigner delamême manière que s'il s'agissoit encore d'une simple lame droite.

On voit donc que soit que l'on applique immédiatement à l'anneau l'analyse dela simple lame [droite] dont les deux extrémités sont appuyés, en se contentant, comme [ainsi que] le fait Euler, de considerer ces deux extrémités comme réunis en un seul point. soit que l'on cherche la même equation en employant les trois coordonnés qui doivent déterminer la courbure, on est toujours conduit àla même équation.

Cette équation montre que les sons qui accompagnent chaque figure nodale, doivent être proportionels aux quarrés des nombres 1, 2, 3, 4 &c. 2, 4, 6 &c. Euler indique la suite des nombres 4, 9, 16, 25 &c. mais ce grand géomètre ne paroit pas avoir remarqué qu'il y a toujours ne peut y avoir qu'un nombre pair de nœuds sur l'anneau élastique vibrant à la manière d'une lame En tête, au milieu, « (149) », non barré ; pas de nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 573. « Euler » est écrit avec l'E en forme de L et une fin cursive (« Lober »), trois fois. Après « élastique » un petit signe en forme de croix annule semble-t-il un « s » final. Dans la ligne « sont egales … », « mais » et « que » sont écrits au-dessus de « et » et de « qu' », barrés ; « dans celles de » est barré sur la ligne. Le mot de la fin de ligne après « proportionels » est surchargé (« à la » repris), lu aux ; « quarrés » est récrit sur un autre mot. « la suite » : les deux mots sont récrits sur des capitales. « nœuds » est écrit « nauds », l'œ ouvert, comme ailleurs dans ce volume. La phrase se poursuit à la page suivante ; le bas du feuillet est blanc.

575

Le mauvais état de ma santé m'a empêché d'étudier le mémoire que Monsieur fourier a eu la complaisance de me prêter, je veux pourtant lui communiquer une observation qui me semble curieuse.

Dans le N.o d'aout, le dernier qui ait paru, M^r Poisson repond a M^r Navier p 438 que l'hypothese n'est point admissible il semble ne connoître cette hypothese que j'ai donné en 1811 que par la citation de M^r Navier.

le plus curieux est l'objection « pour s'assurer del'inexactitude &c. puis une equation, (que par sa forme, je crois être applicable au point de contour mais peu importe) [il dira qu'il a entendu tel ou tel restriction] Suivant M^r Poisson l'hypothese ne seroit pas applicable a la plaque circulaire dont les points du contour sont assujettis a des forces normales on devoit donc s'attendre a trouver dans son mémoire au § VIII p. 189 ou il traite dela plaque circulaire une équation qu'on ne pourroit déduire del'hypothese absurde inadmissible: je savois qu'il ne traiteroit pas d'une equation generale qui fut contraire a la chose dont personne aumonde n'est plus convaincu que lui mais pourtant j'ai voulu verifier. et voici cequi je trouve.

p. 190 \(\frac{d^2z}{dx^2} + \frac{d^2z}{dy^2} = \varphi\) p. 191 \(\frac{d^2\varphi}{dx^2} + \frac{d\varphi}{dy^2} = \frac{d^2\varphi}{dr^2} + \frac{1}{r}\frac{d\varphi}{dr}\) Petit feuillet d'un autre papier, monté dans le bas d'une grande feuille blanche ; en haut à droite, à l'encre, « 283 ». Aucune pagination de sa main. L'écriture est plus rapide et plus pesante que celle des pages paginées qui l'entourent ; la note est à la première personne (« cette hypothese que j'ai donné en 1811 »), et parle de Fourier à la troisième (« lui communiquer »). La page (149) de la vue 574 s'arrête au milieu d'une phrase, dont la suite n'est pas ici. « N.o d'aout » : le numéro d'août d'un périodique qui n'est pas nommé. Le chiffre de page lu 438 s'écrit « b 38 », le premier chiffre formé comme un « b », à la manière de son 4. Un guillemet ouvrant précède « pour s'assurer » et n'est pas fermé ; la citation s'interrompt sur « &c. ». La ligne « il dira qu'il a entendu tel ou tel restriction » est écrite plus petit, serrée dans l'interligne, sous la parenthèse ; on la place où elle est. « absurde » est barré à la fin de la ligne, et « inadmissible » suit à la ligne. Le mot lu traiteroit commence par un trait qui peut être un « s ». Dans la seconde équation, \(\frac{d\varphi}{dy^2}\) est écrit sans exposant au \(d\). La note s'arrête sur ces deux équations, au bas du feuillet. Que le périodique soit les Annales de chimie et de physique et la réponse de Poisson à Navier celle de leur controverse de 1828 est une inférence du transcripteur, que rien sur le feuillet n'établit.

577

droite appuyée a ses extrémités, et que chaque nombre qu'un nombre pair de nœuds dans l'anneau équivaut à un nombre impair de nœuds dans la lame droite.

En traitant des conditions auxquelles sont assujettis les points de contour des plaques libres, (V. N.o 22) j'ai eu occasion de remarquer que il dans le cas où il n'y avoit sur ces plaques que des lignes nodales diamétrales, il étoit permis de la valeur de \(\underline{u}\) restoit indeterminée, rien n'empêche donc de faire \(\frac{u}{e} = \beta\), et cette valeur convient en conviendra en effet toutes les fois que l'on fera abstraction dela variabilité de \(\underline{r}\); les sons seront alors proportionels aux quarrés des differentes valeurs de \(\underline{\beta}\); et \(\beta\) indiquant[e], comme je l'ai deja dit, le nombre des lignes diamétrales [dela plaque] circulaire, et \(2\beta\) parconséquent \(2\beta\) exprimant[e] celui des nœuds de l'anneau élastique correspondant.

N.o 24. On peut voir, p. 118 du traité d'acoustique, que M^r Chladni observe que la théorie de l'anneau donnée par Euler n'est pas confirmée par l'experience. En effet cet habile physicien a trouvé que les sons simples rendus par l'anneau partagé en 4, 6, 8, &c parties vibrantes, sont proportionels aux quarrés des nombres 3, 5, 7 &c. tandis que la théorie veut que les mêmes sons soient proportionnels aux quarrés des nombres 4, 6, 8 &c. En tête, au milieu, « (150) », barré ; en haut à droite, à l'encre, « 284 ». La première ligne achève la phrase laissée au bas de la page (149), vue 574 (« … d'un nombre pair de nœuds sur l'anneau élastique vibrant à la manière d'une lame / droite appuyée a ses extrémités ») : le feuillet de la vue 575 s'intercale entre les deux pages. « (V. N.o 22) » est écrit au-dessus de la ligne, après « libres ». Dans « que il », le « il » est barré ; dans « il n'y avoit », « il » est barré aussi. « indique » et « exprime » : la finale « ant » est barrée dans les deux mots ; on donne ici le « e » qui reste comme une addition, la lecture étant celle du sens. « dela plaque » est écrit au-dessus de « circulaire », barré. Le premier \(2\beta\) de la ligne est barré. « nœuds » est écrit « nauds ». « Chladni » s'écrit « Chladni » avec une capitale bouclée ; « Euler », avec l'E en forme de L. Le bas du feuillet est blanc.

578

cependant on ne peut guere douter que le cas soumis à l'experience ne soit veritablement celui qui repond au cas des extremités appuyés dans la lame droite; car un caractère particulier de cette manière de vibrer, est l'égalité parfaite des parties séparées par des points ou lignes d'appui, et on peut voir N.o 89 du traité d'acoustique, que l'auteur fait une remarque expresse de cette égalité.

Pour concilier des expériences sur l'exactitude desquelles on ne peut élever aucun doute, avec une théorie donnée par un des géometres dont l'autorité a le plus de poids, il faut avoir recours à la considération de quelques circonstances negl qui n'entrent pas dans le calcul.

On peut voir section VI P. 113 du traité d'acoustique, qu'a mesure que l'auteur aug que plus la courbure d'une bande droite de fer étoit augmentée representée fig. 37, étoit augmentée, plus aussi les sons [baissoient par] compar[…] à cequ'ils eussent été dans lamême manière de vibrer dela bande droite; étoient trop baissoient. et qu'en même tems les nœuds de vibrations situés dans la partie infléchie, se rapprochoient de plus en plus.

Dans la fig. ee qui est celle àlaquelle se rapportent les experiences fig. 38, 39 … 42, la fourche en donnant les mêmes sons qu'une lame droite dont les extrémités En tête, au milieu, « (151) », non barré ; pas de nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 577. Le premier mot de la deuxième ligne, barré, est récrit et lu « ne ». Le mot barré avant « qui n'entrent » est court, lu negl. Au-dessus de « compar- », dont la fin est noyée dans une tache, est écrit « baissoient par » ; le « à » qui suit reste. « nœuds » est écrit « nauds ». Le mot lu tems, en tête de ligne, est court et cursif. Après « la fig. », deux petites lettres rondes, lues ee, tiennent la place d'un numéro de figure : peut-être un blanc laissé à remplir, peut-être un chiffre mal formé ; la référence à Chladni ne se vérifie pas sur le feuillet. Le 8 de « 38 » est récrit. La phrase se poursuit à la page suivante ; le bas du feuillet est blanc.

579

eussent été appuyés, présentoit toujours deux nœuds fort voisins et placés dans la portion courbe dela fourche; desorte que l'un et les autres d'autant plus rapprochés les uns des autres qu'ils etoient dans les parties et l'intervalle entre deux nœuds n'étoit constant que dans les parties entièrement droites des branches de la même fourche.

Il est clair que la circonstance de la courbure considérée analytique- ment, ne peut rendre compte des faits observés par M^r Chladni; mais on doit remarquer que [car] dans son le calcul, on suppose toujours la rigidité naturelle constante dans toutes les points parties du corps sonore; et la courbure considerée en elle même ne pouvant altérer ce coëfficient, les formules doivent rester les mêmes, soit que le corps vibrant soit ait une forme rectiligne, soit que le même corps affecte toute autre forme. Et en effet lorsqu'il s'agit des instrumens à vent, l'experience montre que la courbure n'influe pas sur les sons. Il en est tout autrement dans les expériences de M^r Chladni et on ne peut supposer qu'une bande de fer ait conservé sa rigidité naturelle, lorsqu'elle s'est trouvée ployée aux différentes formes que ce physicien lui a fait prendre. Le résultat des expériences que je me propose d'expliquer, montrent que l'effet dela torsion a été de diminuer l'élasticité; et les deux circonstances observées, savoir l'abaissement des sons et le rapprochement des nœuds, concourent [egalement] a prouver cette diminution. En tête, au milieu, « (152) », barré ; en haut à droite, à l'encre, « 285 ». Le feuillet est monté plus bas sur sa feuille de support, dont le haut reste blanc. La première ligne achève la phrase de la vue 578 (« une lame droite dont les extrémités / eussent été appuyés »). « nœuds » est écrit « nauds ». Dans « toutes les points », la finale « tes » est surchargée, sans que « points » soit barré ; on garde les deux lignes telles qu'elles se lisent, « points » en fin de ligne et « parties » en tête de la suivante. « montrent » : la finale est barrée. « egalement » est écrit au-dessus de « a prouver » ; « cette diminution » est serré au bord droit du feuillet. Le texte s'arrête à la dernière ligne du feuillet, sur un point incertain.

580

En effet, toutes choses égales d'ailleurs, le son est d'autant plus aigu que l'élasticité est plus grande; ainsi lorsque tout est constant, excepté ce coëfficient, le son ne peut baisser sans qu'il [l'élasticité] diminue. Si le son reste le même, quoique l'élasticité diminue, tout lorsque le poids et l'épaisseur seront constans, il faudra que l'étendue dela partie vibrante soit aussi diminuée. On peut conclure delà que si le changement d'élasticité n'a lieu que dans quelques points d'une lame élastique, il doit arriver àlafois deux choses, l'une que le son baisse, l'autre que les parties vibrantes séparées par des nœuds de vibrations, soient d'autant moins grandes que leur élasticité est plus diminuée, c'est adire qu'elles se trouvent dans des portions dela fourche plus fortement infléchies. et [rien n'est plus conforme en effet à] On voit donc que c'est précisément là ceque M^r Chladni a observé dans les differens cas du mouvement des fourches.

Les mêmes principes peuvent servir à prévoir ceqi doit arriver lorsque la torsion, aulieu de se faire dans un espace circonscrit pris sur la bande élastique, a lieu uniformément dans toutes les parties dela même bande. Alors, il ne peut se manifester qu'un seul des deux effets qui se montrent dans le cas des fourches; car l'élasticité qui est proportionnelle àla courbure, est également constante dans l'étendue de la bande lorsque sa courbure est nulle, comme dans la bande En tête, au milieu, « (153) », non barré ; pas de nombre en haut à droite : c'est le dos du feuillet de la vue 579. « l'élasticité » est écrit au-dessus de « qu'il », dont le « il » est barré. Le pluriel de « fourches », dans « portions dela fourche », est annulé par une petite croix sur l's final : on donne le singulier. La ligne « rien n'est plus conforme en effet à » est écrite dans l'interligne, plus petit, au-dessus de la ligne barrée qu'elle remplace. « nœuds » est écrit « nauds ». « ceqi doit » : ainsi sur la page. La phrase se poursuit au-delà de ce lot ; le bas du feuillet est blanc.