Français 9115 · lot 32 · vues 621–640 · Transcription · Papiers de Sophie GERMAIN. — Recueil de dissertations et problèmes mathématiques et physiques.
Datation du catalogue : 1801-1900
Source gallica.bnf.fr / Bibliothèque nationale de France
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Numérotation des feuillets. En haut à droite, à l'encre, d'une écriture plus ronde, la série qui court dans tout le volume : 305 (vue 622), 306 (624), 307 (626), 308 (628, feuillet blanc), 309 (630), 310 (632), 311 (634, face blanche du feuillet dont l'autre face est la vue 635), 312 (636), 313 (638, face blanche du feuillet dont l'autre face est la vue 639), 314 (640). Sur la vue 639, un « 312 » barré d'un trait horizontal, sur la face écrite du feuillet numéroté 313 sur l'autre face. Cette série numérote des feuillets, feuillet blanc compris ; elle occupe la place de la foliotation de la Bibliothèque, mais elle est tracée à la plume et non au crayon, et aucun « f. » n'est donc porté. Sa pagination, en tête : 2 (vue 622), 3 (624), 4 (626), puis 7 (632), 8 (635), 7 (636), 6 (639). Tous ces nombres ont été lus sur la vue ; aucun n'est déduit. Ne sont pas transcrites : les vues 621, 623, 625, 627, 631 et 633, dos blancs des feuillets qui les précèdent, où l'écriture se lit à l'envers par transparence ; les vues 628 et 629, feuillet 308 blanc des deux côtés ; les vues 634 et 638, faces des feuillets 311 et 313 qui ne portent que ce numéro.

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je donnerai ensuite les J'exposerai ensuite celles de mes experiences dont j'ai tenu note en fin je monte comparerai le petit nombre defaits qui s'y prêtent aux resultats du calcul dans le cas le plus simple qui puisse se présenter En haut à droite, à l'encre, « 305 », le dernier chiffre à queue descendante (lu 5 parce que le feuillet précédent, vue 620, hors de ce lot, porte 304) ; à côté, souligné et barré d'un trait oblique, « 2 », sa pagination. La phrase continue la page 1 (vue 620), qui s'arrête sur « rendre compte. de ces des singularités qu'ils présente ». « le petit nombre » : le « t » final de « petit » porte le paraphe qu'elle met à la fin des mots, lu sans « s ».

N.o Dans la vue de rendre, autant que possible les faits [entre les experiences que j'allois entreprendre et celles qui] experiences sur les surfaces cylindriques comparables a celles [au cas le plus simple que presente la vibration des plaques surfaces planes] qui ont été faits sur les plaques quarrées [ont été faits sur les surfac.], je me suis procuré des portions cylindriques dont la hauteur avoit pour mesure l'étendue de l'arc A et dont les quatre côtés étoient deux a deux exactement parallels. Le « N.o » est en tête du paragraphe, sans chiffre. Les deux interlignes sont écrits au-dessus des lignes 2 et 3 et au-dessous de la ligne 3 ; on les donne à la place où l'œil les prend. La phrase, dans l'état où la laissent les corrections, n'est pas achevée : « Dans la vue de rendre les experiences sur les surfaces cylindriques comparables au cas le plus simple [que] la vibration des surfaces planes ». À partir de « je me suis procuré » jusqu'à « parallels. », le passage est annulé par de grands traits obliques croisés, et non par des traits horizontaux.

En tirant la pla surface appliquant les doigts au centre de figure de la surface et tirant le son d'un des angles on obtient que g toujours, quelque soit le nombre de degrés compris dans l'arc A, une figure nodale composée Ce paragraphe entier est annulé par quatre grands traits obliques qui le traversent de haut en bas ; la phrase s'arrête sur « composée » en fin de ligne, sans suite.

J'ai fait taillé un certain nombre de plaques quarrées qui ont été ensuite ployés suivant [les] differentes courbures dont je voulois et connoître l'influence. « ployés » : la fin du mot est récrite et peut se lire « ployées ». « taillé » : ainsi, avec l'accent.

Avant de faire cambrer les plaques dont il s'agit j'avois essayé tous les tons correspondans aux diff deux figures les plus simples qui se forment dans le nodales qui peuvent s'y former j'esperois obtenir par là une première indication de l'effet dela courbure « cambrer » : le mot commence par une lettre récrite ; on lit « camber » ou « cambrer ».

j'ai vu avec étonnement que la première figure [nodale] de Mr Chladni c'est-adire celle qui est formée [composée] de deux ligne droites qui se croisent au centre de la plaque figure qui se forme a de la même manière sur les surface cylindrique, que sur les surf plaque étoit sauf de très petites accompagnée du « ligne », « surface », « plaque » : sans « s » sur le feuillet. Le premier mot barré de la dernière ligne a le s long ; « de très » est écrit en un mot. La page s'arrête sur « accompagnée du » ; la suite est à la vue 624.

624

même ton. après et avant la courbure, sur une quarantaine de surfaces qui ont été ainsi essayées il s'est trouvé sept ou huit fois une difference d'un demi ton, le son de la surface courbée étoit alors le plus élevé Je suis porté a croire que le contraire devoit arriver je pense que la haute temperature alaquelle on est forcé d'elever le verre pour le rendre flexible complique l'effet que je voulois obtenir en changeant l'élasticité naturelle des pièces. Le peu d'activité des ateliers a l'époque ou je me suis occupé de ce genre d'expe d'essais m'a empêché de les varier sous [les] differentes conditions que j'avois imaginées pour en écarter toute cause d'erreurs. En tête, au milieu, « 3 » souligné, sa pagination ; en haut à droite, à l'encre, « 306 ». Le cachet de la Bibliothèque impériale est frappé au milieu du feuillet. La première ligne continue la page 2 (vue 622), qui s'arrête sur « accompagnée du » : « accompagnée du même ton ».

N.o En essayant de suite aumoins quarante plaques quarrées j'ai eu occasion de m'assurer qu'un des intervalle le plus constant est celui des sons qui accompagnent sur ce genre desurface les figures nodales composées d'une ligne tracé de deux lignes droites perpendiculaires l'une a l'autre et de deux trois lignes egalement droites dont l'une est perpendiculaire aux deux autres je n'ai remarqué que deux fois une difference qui n'étoit pas même d'un demi ton. * Lorsqu'il s'agit des surfaces cylindriques l'intervalle des sons qui accompagne les figures analogues a celles dont je viens de parler est touj varie en raison du plus ou moins de courbure. La note marginale est écrite dans la marge de gauche, en face des lignes « nodales composées » à « qui n'étoit pas même d'un demi ton » ; aucun signe ne l'appelle dans la marge, mais l'astérisque qui suit « demi ton. » paraît la désigner. « N.o » sans chiffre, comme à la page précédente. « un des intervalle le plus constant » : ainsi, au singulier.

On sait que Sur les plaques quarrées le un même [donné] nombre de lignes nodales est toujours accompagné toujours du même ton, il se fait même ce principe est si constant « ce » est récrit sur un autre mot, sans doute « le ». La page s'arrête sur « si constant », au tiers inférieur du feuillet, le reste blanc.

626

qu'il a guidé Mr Chladni dans la classification ingénieuse qu'il a faite des distorsions des figures nodales et la Th théorie a pleinement [confirmé], comme je l'ai dit ailleurs, les vues ingénieuses de ce physicien. En tête, au milieu, « 4 » souligné et barré d'un trait oblique ; en haut à droite, à l'encre, « 307 ». La première ligne continue la page 3 (vue 624), qui s'arrête sur « ce principe est si constant ».

Le contraire arrive dans les surfaces cylindriques le même on verra par le détail des résultats faits que dont je donnerai plus bas la note j'exposerai plus bas l'exposition des fa On verra toute a l'heure que les lignes paralleles au côté courbe dela surface ne sont pas équi que des figures [nodales] composées du même nombre de lignes paralleles [les unes aux côtés courbes] au côté [les autres aux côtés droit dela même surface] de la surface et sont accompagnées de sons differens. Les deux interlignes « les unes aux côtés courbes » et « les autres aux côtés droit dela même surface » sont écrits au-dessus des deux dernières lignes du paragraphe ; « de la surface » reste sur la ligne, non barré.

En fin la figure [nodale] com composée de deux lignes diagonales qui se montre très [très] facilement sur les plaques quarrées ne peut se former sur les surface cylindriques il suffit d'une courbure a peine sensible pour que cette figure ne paroisse plus. Selon suivant l'indication de Mr Chladni et la théorie que [dont il s'agit] j'ai developpée N.o 11 de mon memoire pour 1813, cette la figure [dont il s'agit] est equivallante a celle qui seroit composée de deux lignes droits paralleles aux des côtés dela plaque. Mr Chladni a remarqué que jamais cette dernière figure qui ne se forme sur les plaques quarrées mais qu'elle est toujours remplacée par les distorsions dont j'ai expliqué ailleurs la nature a été expliquée ailleurs Les trois lignes « ne peut se former … ne paroisse plus. » sont barrées mot à mot de croix obliques, non d'un trait horizontal. « très » est barré sur la ligne et récrit au-dessus. Le premier « dont il s'agit », au-dessus de « 1813, cette » à droite, est barré ; il est récrit au-dessus de « figure est ». « la », qui remplace « cette » barré, est écrit dans la marge de gauche, devant « figure ». Le « mémoire pour 1813 » et son N.o 11 sont nommés ainsi sur le feuillet ; on n'identifie pas ici ce mémoire. « deux lignes droits » et « aux des côtés » : ainsi. La page s'arrête sur « a été expliquée ailleurs », au bas du feuillet.

630

cône

on prendra, comme lorsqu'il s'est agi dela sphère, ou cequi est la même chose dela surfa du cone pris dans la sphère et terminé non pas par une base plane mais la calotte sphérique qui a sa base commune avec celle du cône. En haut à droite, à l'encre, « 309 » ; aucune pagination de sa main. Le titre « cône » est souligné, en tête et au milieu. Le mot lu « est » après « cequi » est empâté. La phrase n'a pas de complément à « on prendra » : ainsi sur le feuillet. Le feuillet ne continue pas la page 4 (vue 626) : c'est un autre papier, sans numéro de page, et un autre sujet.

\[x = r\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi, \qquad y = r\,\text{sin}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi, \qquad z = \text{cos}\,\theta.\] \[dx = dr\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi + r\,\text{cos}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi\,d\theta - r\,\text{sin}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi\,d\varphi.\] \[dy = dr\,\text{sin}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi + r\,\text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi\,d\theta + r\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi\,d\varphi\] \[dz = dr\,\text{cos}\,\theta - r\,\text{sin}\,\theta\,d\theta.\] « \(z = \text{cos}\,\theta\) » : sans le facteur \(r\), que la différentielle \(dz\) de la ligne suivante suppose ; ainsi sur le feuillet.

avant de procéder aux transformations qui doivent donner les valeurs de \(\frac{d^2v}{dx^2} + \frac{d^2v}{dy^2}\) \(+ \frac{d^2v}{dz^2}\) relatives au cône il faut observer que les differentielles ne doivent pas être prise ici par rapport a l'arc \(\theta\), mais par rapport au sinus de cet angle; la raison de ce changement est que l'arc \(\theta\) qui mesure la calotte sphérique est remplacée ici par \(\text{sin}\,\theta\) qui mesure la base du cône qui considéré dans la sphère s'appuyoit sur la calotte sphérique. « les » est récrit sur un autre mot. Le dernier dénominateur, au début de la deuxième ligne, est tracé presque comme « \(dx^2\) » ; on le lit \(dz^2\).

cela posé on aura \[\frac{dr}{dx} = \text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi, \quad \frac{d.\text{sin}\,\theta}{dx} = \frac{\text{cos}^2\theta\,\text{cos}\,\varphi}{r}, \quad \frac{d\varphi}{dx} = -\frac{\text{sin}\,\varphi}{r\,\text{sin}\,\theta}\] \[\frac{dr}{dy} = \text{sin}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi, \quad \frac{d.\text{sin}\,\theta}{dy} = \frac{\text{cos}^2\theta\,\text{sin}\,\varphi}{r}, \quad \frac{d\varphi}{dy} = \frac{\text{cos}\,\varphi}{r\,\text{sin}\,\theta}\] \[\frac{dr}{dz} = \text{cos}\,\theta, \quad \frac{d.\text{sin}\,\theta}{dz} = -\frac{\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta}{r},\]

\[\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dr}.\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi + \frac{dv}{d.\text{sin}\,\theta}.\frac{\text{cos}^2\theta\,\text{cos}\,\varphi}{r} - \frac{dv}{d\varphi}.\frac{\text{sin}\,\varphi}{r\,\text{sin}\,\theta}\] \[\frac{dv}{dy} = \frac{dv}{dr}.\text{sin}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi + \frac{dv}{d.\text{sin}\,\theta}.\frac{\text{cos}^2\theta\,\text{sin}\,\varphi}{r} + \frac{dv}{d\varphi}.\frac{\text{cos}\,\varphi}{r\,\text{sin}\,\theta}\] \[\frac{dv}{dz} = \frac{dv}{dr}.\text{cos}\,\theta - \frac{dv}{d.\text{sin}\,\theta}.\frac{\text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,\theta}{r}\] Dans \(\frac{dv}{dy}\), le « cos » du dernier numérateur est repassé et empâté. Le cachet de la Bibliothèque impériale (« MSS. ») est frappé à droite de ces trois lignes.

et en mettant \(\sqrt{1-\text{sin}^2\theta}\) a la place de \(\text{cos}\,\theta\) \(1-\text{sin}^2\theta\) a la place de \(\text{cos}^2\theta\).

\[\begin{align*} \frac{d^2v}{dx^2} = {} & \text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi\left\{\frac{d^2v}{dr^2}.\frac{dr}{dx} + \frac{d^2v}{dr\,d.\text{sin}\,\theta}.\frac{d.\text{sin}\,\theta}{dx} + \frac{d^2v}{dr\,d\varphi}.\frac{d\varphi}{dx}\right\} \\ & + \frac{\text{cos}^2\theta\,\text{cos}\,\varphi}{r}\left\{\frac{d^2v}{d.\text{sin}\,\theta.dr}\frac{dr}{dx} + \frac{d^2v}{d.\text{sin}\,\theta.d\varphi}.\frac{d\varphi}{dx} + \frac{d^2v}{(d.\text{sin}\,\theta)^2}.\frac{d.\text{sin}\,\theta}{dx}\right\} \\ & - \frac{\text{sin}\,\varphi}{r\,\text{sin}\,\theta}\left\{\frac{d^2v}{d\varphi.dr}.\frac{dr}{dx} + \frac{d^2v}{d\varphi.d.\text{sin}\,\theta}.\frac{d.\text{sin}\,\theta}{dx} + \frac{d^2v}{d\varphi^2}.\frac{d\varphi}{dx}\right\} \\ & + \frac{dv}{dr}\left\{\frac{d.\text{sin}\,\theta}{dx}.\text{cos}\,\varphi - \frac{d\varphi}{dx}.\text{sin}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi\right\} \\ & - \frac{dv}{d.\text{sin}\,\theta}\left\{\frac{d\varphi}{dx}.\frac{\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}^2\theta}{r} + \frac{dr}{dx}\,\frac{\text{cos}^2\theta\,\text{cos}\,\varphi}{r^2}\ \struck{\ill{}}\ \add{-\frac{d.\text{sin}\,\theta}{dx}\,\frac{\uncertain{2}\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi}{r}}\right\} \\ & - \frac{dv}{d\varphi}\left\{\frac{d\varphi}{dx}.\frac{\text{cos}\,\varphi}{r\,\text{sin}\,\theta} - \frac{d.\text{sin}\,\theta}{dx}.\frac{\text{sin}\,\varphi}{r\,\text{sin}^2\theta} - \frac{dr}{dx}.\frac{\text{sin}\,\varphi}{r^2\,\text{sin}\,\theta}\right\} \end{align*}\] Première ligne : le \(\varphi\) du dernier \(\frac{d\varphi}{dx}\) est écrit sur un autre signe et empâté. Deuxième ligne : « \(\frac{dr}{dx}\) » est serré après le premier dénominateur et le « \(+\) » qui suit est empâté. Troisième ligne : le \(r\) du premier \(\frac{dr}{dx}\) est empâté. Quatrième ligne : entre « \(\text{sin}\,\theta\) » et « \(\varphi\) » un « sin » récrit. Cinquième ligne : à la fin, un groupe écrit puis noirci de boucles, illisible, au-dessous d'un ajout écrit au-dessus de la ligne jusqu'au bord droit et fermé d'un trait vertical, « \(-\frac{d.\text{sin}\,\theta}{dx}\) » suivi d'une fraction dont le numérateur, lu « \(2\,\text{sin}\,\theta\) », a été récrit (un « cos » barré à la fin) et dont la seconde ligne porte « \(\text{cos}\,\varphi\) » ; le chiffre lu 2 peut être un 3.

\[\begin{align*} = {} & \text{sin}^2\theta\,\text{cos}^2\varphi.\frac{d^2v}{dr^2} + \frac{2\,\text{cos}^2\theta\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}^2\varphi}{r}.\frac{d^2v}{dr\,d.\text{sin}\,\theta} - \frac{2\,\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r}\,\frac{d^2v}{dr\,d\varphi} \\ & + \frac{\text{cos}^{\uncertain{4}}\theta\,\text{cos}^2\varphi}{r^2}.\frac{d^2v}{(d.\text{sin}\,\theta)^2} - \frac{2\,\text{cos}^2\theta\,\text{cos}\,\varphi\,\text{sin}\,\varphi}{r^2\,\text{sin}\,\theta}.\frac{d^2v}{d\varphi\,d.\text{sin}\,\theta} + \frac{\text{sin}^2\varphi}{r^2\,\text{sin}^2\theta}.\frac{d^2v}{d\varphi^2} \\ & + \frac{dv}{dr}\left\{\frac{\text{cos}^2\theta\,\text{cos}^2\varphi}{r} + \frac{\text{sin}^2\varphi}{r}\right\} \\ & + \frac{dv}{d.\text{sin}\,\theta}\left\{\frac{\text{sin}^2\varphi\,\text{cos}^2\theta}{r^2\,\text{sin}\,\theta} - \frac{\text{sin}\,\theta\,\text{cos}^2\theta\,\text{cos}^2\varphi}{r^2} - \frac{2\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}^{\uncertain{2}}\theta\,\text{cos}^2\varphi}{r^2}\right\} \\ & + \frac{dv}{d\varphi}\left\{\frac{\text{cos}\,\varphi\,\text{sin}\,\varphi}{r^2\,\text{sin}^2\theta} + \frac{\text{cos}^2\theta\,\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r^2\,\text{sin}^2\theta} + \frac{\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r^2}\right\} \end{align*}\] Le « sin » qui ouvre la ligne est récrit. Ses exposants 2 et 4 ont presque la même forme (le 4 tracé comme un « b ») : l'exposant de \(\text{cos}\,\theta\) dans le quatrième terme est lu 4, celui du dernier terme de l'accolade de \(\frac{dv}{d.\text{sin}\,\theta}\) est récrit et reste douteux. La page s'arrête sur l'accolade de \(\frac{dv}{d\varphi}\), au bas du feuillet ; le calcul de \(\frac{d^2v}{dy^2}\) n'est pas sur cette page.

632

Si on mène par le autre sommet du cône opposé un plan perpendiculaire a une position donné du rayon \(r\) qui est le côté de ce cone, lorsqu'il s'agit de \(r = z\) ce plan est celui des \(x, y\) s'il s'agit ce plan En haut à droite, à l'encre, « 310 » ; à sa gauche, « 7 » traversé d'un trait oblique, sans doute sa pagination barrée, comme le « 2 » de la vue 622. La phrase s'arrête sur « s'il s'agit ce plan », sans suite ; un trait horizontal court la sépare de ce qui suit. Dans la marge de gauche, sur toute la hauteur du texte, de petits dessins à la plume : des fleurs, une feuille, un rameau feuillu ; on les signale sans les décrire un à un.

Soit \(A\) comme jusqu'àprésent l'angle que le côté du cône donné fait avec l'axe et \(A'\) l'angle que le côté du cône opposé fait avec lemême axe. le plan perpendiculaire a une position donnée du côté [\(r = z\)] du cône donné coupera le plan des \(zx\) et celui des \(xy\). et l'angle que l'intersection avec le plan des \(zx\) fait avec l'axe des \(x\) est \(\frac{A\,v}{\frac{\pi}{2}}\). et celui que l'intersection du même plan perpendiculaire au rayon \(r\) avec l'axe le plan de \(\uncertain{y}x\) fait avec l'axe des \(x\) est \(\struck{\frac{A\,v}{\frac{\pi}{2}}}\). \(\frac{\pi}{2} - \frac{A\,v}{\frac{\pi}{2}}\) N.ota on a \(A + A' = \frac{\pi}{2}\) La note marginale est écrite à gauche, en face des lignes « du cône opposé … coupera le plan », après une grosse tache d'encre cernée d'un trait. Son \(\pi\) est tracé comme un grand \(\Pi\) aux jambages inégaux, qui se lit presque « 17 » ; on le rend partout par \(\pi\). Le numérateur lu « \(A\,v\) » : un \(A\) suivi d'une lettre bouclée surmontée d'un petit trait, lue \(v\) ; ce que désigne \(v\) n'est pas dit sur la page. « \(r = z\) » est écrit au-dessous de « du côté ». « avec » après « rayon \(r\) » est repassé ; le \(y\) de « le plan de \(yx\) » est empâté, et le long trait oblique qui en part descend barrer la première fraction de la ligne suivante.

l'angle que l'intersection du plan perpendiculaire a une position donné de \(r = \uncertain{z}\) du qui est le côté du cone opposé fait sur le pl sur le plan de \(yx\) \(zx\) fait avec l'angle des l'axe des \(x\) est \(\frac{\pi}{2} - \frac{A\,v}{\frac{\pi}{2}}\) et l'angle que l'intersection du même plan fera celui de \(xy\) fait avec l'axe de \(x\) est \(\frac{A\,v}{\frac{\pi}{2}}\). « \(r = z\) » : la lettre après le signe est récrite et paraît barrée ; « cone » est suivi d'une syllabe qu'on ne sépare pas du mot (« conedu ») ; le mot lu « fera » (« feue ») est à la place où l'on attendrait « avec » ; le \(x\) de « \(xy\) » est récrit sur une autre lettre. Le feuillet s'arrête là, aux deux tiers de la hauteur ; le reste est blanc.

635

Dans le cylindre le plan du cercle qui sert debase est celui des \(zy\). parconséquent l'arc l'élément \(ds\) de l'arc est l'élément du même cercle. Pour avoir le cas de l'anneau il suffit donc de faire \(x\) constant dans l'équation du cylindre puisque cette condition ne peut apartenir qu'aux seuls points dela circonférence du cercle dont le plan est perpendiculaire a l'axe des \(x\). Lorsqu'il s'agit d'un cône le plan des \(yz\) n'est plus lemême que leplan du cercle qui lui sert de base. l'élément \(ds\) del'arc qui continue a être situé dans le plan de \(yz\) ne se confond plus avec l'élément dela base du cône il lui est au contraire plus ou moins incliné jusqu'a ceque dans la plaque en même tems que son rayon de courbure augmente en sorte que dans la plaque circulaire, qui est la limite du cône l'élément \(ds\) devient l'élément de l'ordonnée \(dy\) en même tems qu'il est perpendiculaire a l'élément du cercle extérieur dela plaque, cercle qui est la base de ce cône infiniment surbaissé. En haut à droite « 8 », sans soulignement, de sa main semble-t-il : sa pagination. Aucun numéro de la série à l'encre sur cette page : elle est le dos du feuillet qui porte « 311 » sur l'autre face, restée blanche (vue 634). Le haut de la vue montre, au-dessus de ce feuillet, le dos du feuillet de la vue 632, où son texte se lit à l'envers par transparence. Le « ne » de « ne peut » est repassé. La première lettre de « extérieur » est récrite.

En prenant pour rayon la distance del'origine a un point donné dela circonférence du cercle qui mesure la base du solide dont on considère la surface et nommant ce rayon \(r\) on trouvera que si le rayon \(z\,\text{cos}\,A\) \(A\) étant l'an Après « ce rayon », une ou deux petites lettres soulignées, lues avec doute \(r\). La page s'arrête au milieu de la hauteur, sur « l'an », coupé en fin de ligne ; la suite n'est pas sur cette page.

636

dont les rayons sont \(r\) et \(r + dr\) elle est comprise entre les deux plans qui coupent les sphères dont les rayons sont \(r + dr\) suivant les cercles qui servent debases aux mêmes calottes sphériques. En haut à droite, à l'encre, « 312 » ; à sa droite, un « 7 » traversé d'un trait oblique, le même signe qu'à la vue 632. La page commence au milieu d'une phrase (« dont les rayons sont ») : elle continue le bas de la vue 639, paginée 6, qui s'arrête sur « au lieu d'être comprise entre les deux calotte sphériques ». Elle ne suit pas la vue 635, qui s'arrête sur « l'an ».

Les trois côtés de cette molécule sont \(dr\), \(r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\), \(r\,\text{cos}\,\theta\,d\theta\) les trois faces sont \(r^2\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,d\varphi\,d\theta\), \(r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,dr\), et \(r\,\text{cos}\,\theta\,d\theta\,dr\). Pendant l'instant \(dt\) la molécule reçoit par ces trois faces des quantités de chaleur qui sont exprimées par les formules suivantes: \[-K\,r^2\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,d\theta\,\text{cos}\,\theta.\frac{dv}{dr}.dt\] \[-K\,r\,\text{sin}\,\theta.d\varphi\,dr.\frac{dv}{d.r\,\text{sin}\,\theta}.\text{cos}\,\theta.dt\] \[-K\,r\,\text{cos}\,\theta\,d\theta\,dr.\frac{dv}{r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi}\,dt\] les quantités de chaleur qui passent par les faces opposées sont \[\left\{-K\,r^2\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,d\varphi\,d\theta\,\frac{dv}{dr} - K\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,d\varphi\,d\theta\,d\Big(r^2\frac{dv}{dr}\Big)\right\}\] \[\left\{-K\,r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,dr\,\frac{dv}{dr\,\text{sin}\,\theta}\Big)\,\struck{\text{cos}\,\theta} - K\,r\,d\varphi\,d\theta.d.\Big(\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,\frac{dv}{d(r\,\text{sin}\,\theta)}\Big)\right\}\] \[\left\{-K\,r\,\text{cos}\,\theta\,d\theta\,dr\,\frac{dv}{r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi} - K\,r\,d\theta\,dr\,\add{\text{cos}\,\theta}\,d.\Big(\frac{dv}{r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi}\Big)\right\}\] Les trois formules de gauche et les trois accolades de droite sont écrites côte à côte ; les mots « les quantités de chaleur qui passent par les faces opposées sont » sont disposés en colonne devant les accolades. Au bout de la première accolade, contre le bord du feuillet, une lettre coupée (« d… »). Dans la deuxième, une parenthèse fermante sans ouvrante après le premier dénominateur, et le « \(\text{cos}\,\theta\) » qui suit est barré ; le \(d\theta\) de « \(d\varphi\,d\theta\) » est empâté. Le « \(\text{cos}\,\theta\) » de la troisième est écrit au-dessus de la ligne.

La première differentielle étant prise par rapport a r seulement la seconde demême par rapport a […] et la troisième par rapport à \(\varphi\). En retranchant les quantités de chaleur qui entrent par chacune des faces dela de celles qui s'écoulent par les faces respectivement opposées ontrouve l'équation Après « par rapport a », un signe court repassé à l'encre, que le sens voudrait être \(\text{sin}\,\theta\) ; on ne le lit pas.

\[\begin{align*} r^2\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,d\theta\,d\varphi\,dr\,\frac{dv}{dt}\,dt = \frac{K}{C.D} & \Big\{\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta.d\varphi\,d\theta\,d\Big(r^2\frac{dv}{dr}\Big) + r\,d\varphi\,d\theta.d\Big(\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta.\frac{dv}{d(r\,\text{sin}\,\theta)}\Big) \\ & + r\,\text{cos}\,\theta\,d\theta\,dr\,d\Big(\frac{dv}{r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi}\Big)\Big\} \end{align*}\] \[\frac{dv}{dt} = \frac{K}{C.D}.\left\{\frac{1}{r^2}\,\frac{d\big(r^2.\frac{dv}{dr}\big)}{dr} + \frac{d\big(\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,\frac{dv}{dr\,\text{sin}\,\theta}\big)}{r\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,d\theta} + \frac{1}{r^2\,\text{sin}^2\theta}.\frac{d^2v}{d\varphi^2}\right\}\] \[= \frac{K}{C.D}\left\{\frac{d^2v}{dr^2} + \frac{2}{r}\,\frac{dv}{dr} + \frac{\text{cos}^2\theta}{r^2}.\frac{d^2v}{(d.\text{sin}\,\theta)^2} + \Big(\frac{\text{cos}\,\theta}{r^2\,\text{sin}\,\theta} - \frac{\text{sin}\,\theta}{r^2\,\text{cos}\,\theta}\Big)\frac{dv}{d\,\text{sin}\,\theta} + \frac{1}{r^2\,\text{sin}^2\theta}\,\frac{d^2v}{d\varphi^2}\right\}\] Première équation : le premier « \(\text{sin}\,\theta\) » de l'accolade est précédé d'un trait noirci, et le groupe « \(d(r^2\) » est couvert d'une tache d'encre ; le \(dt\) qui suit \(\frac{dv}{dt}\) est empâté. La lettre lue \(D\) dans « \(C.D\) » est un dôme sur une barre, comme celle que le lot 28 a relevée dans le brouillon sur la chaleur (vue 549) et qui pourrait être un \(\Omega\). Les trois lignes s'étendent jusqu'au bord droit du feuillet.

cette équation comparée a celle que j'ai trouvé d'une autre manière présente cette difference que les termes qui contiennent \(\frac{d^2v}{(d\,\text{sin}\,\theta)^2}\) et \(\frac{dv}{d\,\text{sin}\,\theta}\) [sont multipliés] doivent que dans cette dernière [par \(\text{cos}\,\theta\)] pour en trouver la raison il faut observer que l'on a multiplié le terme \(K\,r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,dr\,\frac{dv}{d(r\,\text{sin}\,\theta)}\) qui exprime la quantité de chaleur qui traverse la face \(r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,dr\) par \(\text{cos}\,\theta\) parceque la direction \(\frac{dv}{d\,\text{sin}\,\theta}\) fait l'angle \(\theta\) avec la perpendiculaire au plan de cette face. cela posé la chaleur qui traverse la molécule pour s'écouler \(\times\) \(\times\) par la face opposée la traverse dans une direction oblique ainsi la difference \(d\big(\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,\frac{dv}{d\,\text{sin}\,\theta}\big)\) \(K\,r\,d\varphi\,dr\) dela quantité de chaleur qui entre obliquement et sort par la face opposée ne mesure

Retournez La note marginale, écrite dans la marge de gauche en face des trois dernières lignes de l'équation et de tout ce paragraphe, continue la phrase du texte : le « \(\times\) » qui clôt « pour s'écouler » l'appelle, et elle commence par le même signe. Sa formule est soulignée ; « par \(\text{cos}\,\theta\) », au-dessus d'elle, appartient à la ligne du texte (« sont multipliés … par \(\text{cos}\,\theta\) »). « obliquement » est écrit en abrégé et récrit ; « et sort » est repassé. Au pied de la marge, souligné, « Retournez » : la suite est au dos du feuillet (vue 637).

637

plus la quantité de chaleur accumulée dans la molécule mais celle qui seroit accumulée dans une autre molecule que la chaleur traverseroit dans une direction perpendiculaire au plan des deux faces opposées. Il est clair que solidité dela première molecule est a la solidité de la seconde \(::\ \text{cos}\,\theta : 1\) parconséquent il faut multiplier l'expression dela quantité de chaleur qui seroit accumulée dans la molecule traversée dans la direction perpendiculaire quantité qui seroit \(d\big(\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,\frac{dv}{d(r\,\text{sin}\,\theta)}\big)\) par \(\text{cos}\,\theta\) et on aura ainsi l'expression dela quantité dechaleur qui est accumulée dans la molecule qui est traversée obliquement par le flux de chaleur. alors les équations seront identiques. Dos du feuillet de la vue 636, qui porte au pied de sa marge « Retournez » : la première ligne continue la note marginale de ce recto (« ne mesure plus la quantité de chaleur accumulée dans la molécule »). Aucun numéro de la série à l'encre sur cette face. Le « 8 » qui paraît en haut à droite de la vue est sur une étroite bande de papier visible au-dessus de ce feuillet, qui semble être le haut de la page de la vue 635 ; il n'appartient pas à cette page. « qui est traversée » : « est » est récrit. Le texte s'arrête au milieu du feuillet sur « seront identiques. », suivi d'une tache ; le reste est blanc, et le recto s'y lit par transparence.

639

Les trois côtés de cet élément sont \(dr\), \(r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\) et \(r\,d\theta\) les trois faces sont \(r^2\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,d\theta\), \(r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,dr\) et \(r\,d\theta\,dr\), Pendant l'instant \(dt\) la molécule reçoit par ces trois faces des quantités de chaleur qui seront représentent exprimées par les formules. En haut à droite, à l'encre, « 312 » barré d'un trait horizontal et, à sa droite, « 6 » barré d'un trait oblique. L'autre face de ce feuillet (vue 638) est blanche et porte « 313 » : le feuillet a d'abord été numéroté 312 sur cette face, puis 313 sur l'autre ; c'est la vue 636 qui porte 312. Au-dessus de ce feuillet, sur une étroite bande de papier, le même « 8 » qu'à la vue 637. « cet » est récrit sur « cette ».

\[-K\,r^2\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,d\theta.\frac{dv}{dr}.dt\] \[-K\,r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,dr.\frac{dv}{r\,d\theta}\,dt\] \[-K\,r\,d\theta\,dr\,\frac{dv}{r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi}.dt\] les quantités de chaleurs qui passent par les faces opposées sont \[\left\{-K\,r^2\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,d\theta\,\frac{dv}{dr} - K\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,d\theta\,d\Big(r^2\frac{dv}{dr}\Big)\right\}dt\] \[\left\{-K\,r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,dr\,\frac{dv}{r\,d\theta} - K\,r\,d\varphi\,dr.d\Big(\text{sin}\,\theta\,\frac{dv}{r\,d\theta}\Big)\right\}dt\] \[\left\{-K\,r\,d\theta\,dr\,\frac{dv}{r\,\text{sin}\,\theta} - K\,r\,d\theta\,dr\,d.\frac{dv}{r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi}\right\}\] Même disposition qu'à la vue 636 : trois formules à gauche, trois accolades à droite, les mots « les quantités de chaleurs qui passent par les faces opposées sont » en colonne entre les deux. Dans la première formule de gauche, le \(d\) du numérateur est empâté ; les \(\theta\) des dénominateurs de la deuxième et de la troisième sont repassés. Le premier dénominateur de la troisième accolade s'arrête sur « \(r\,\text{sin}\,\theta\) », sans \(d\varphi\) : ainsi sur le feuillet.

la première differentielle étant prise par rapport a \(r\) [seulement] la seconde differe [demême] par rapport a \(\theta\) et et la troisième par rapport a \(\varphi\). « seulement » est écrit dans la marge de gauche, surmonté d'un mot court (« demême » ?) ; « demême » est écrit au-dessus de « differe » barré.

En retranchant les quantités de chaleur qui entrent par chacune des faces de l'élément la molécule sphériques [dela sphère] de celles qui s'écoulent par les faces respectivement opposées on trouve l'équation \[r^2\,\text{sin}\,\theta\,d\theta\,d\varphi\,dr\,\frac{dv}{dt}\,dt = \frac{K}{C.D}.\left\{\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,d\theta\,d\Big(r^2\frac{dv}{dr}\Big) + r\,d\varphi\,dr\,d\Big(\text{sin}\,\theta\,\frac{dv}{r\,d\theta}\Big) + \frac{r\,d\theta\,dr}{r\,\text{sin}\,\theta}\,d.\frac{dv}{d\varphi}\right\}dt\] \[\frac{dv}{dr} = \frac{K}{C\,D}.\left\{\frac{\ill{}}{r^2}\,\frac{d.\big(r^2\frac{dv}{dr}\big)}{dr} + \frac{d\big(\text{sin}\,\theta\,\frac{dv}{d\theta}\big)}{r^2\,\text{sin}\,\theta\,d\theta} + \frac{1}{r^2\,\text{sin}^2\theta}.\frac{d^2v}{d\varphi}\right\}\] \[= \frac{K}{C.D}\left\{\frac{d^2v}{dr^2} + \frac{2}{r}\,\frac{dv}{dr} + \frac{d^2v}{r^2\,d\theta^2} + \frac{\text{cos}\,\theta}{r\,\text{sin}\,\theta}.\frac{dv}{r\,d\theta} + \frac{1}{r^2\,\text{sin}^2\theta}.\frac{d^2v}{d\varphi^2}\right\}\] Le « \(dt\) » qui ferme l'accolade de la première équation est écrit sous la ligne, au bord droit. « \(\frac{dv}{dr}\) » en tête de la deuxième ligne : ainsi sur le feuillet, où le calcul attend \(\frac{dv}{dt}\). Le numérateur de la première fraction de l'accolade est noirci d'une tache ; le sens attend 1. Le dernier terme de cette ligne porte un petit 2 au-dessus du \(d\) du numérateur et aucun exposant au dénominateur. Le \(d\theta^2\) de la troisième ligne est repassé. Pour « \(C.D\) », voir la note de la vue 636.

Si au lieu de considérer le solide conique qui s'appuie sur la calotte sphérique on veut s'occuper du [simple] cône dont la base est la la plaque circulaire est l'intersection dela sphère et du plan qui passe par le parallèle donné on aura a examiner au lieu de la molecule sphérique [à la sphère] la molecule conique qui du cône et celle-ci diffère en dela première en ce point qu'au lieu d'être comprise entre les deux calotte sphériques La page s'arrête au bas du feuillet sur « calotte sphériques ». La phrase continue en tête de la vue 636 (« dont les rayons sont \(r\) et \(r + dr\) elle est comprise entre les deux plans … »), qui porte la pagination 7 quand celle-ci porte 6 : les deux feuillets sont reliés dans l'ordre inverse de sa pagination. Cette page traite la molécule de la sphère (côtés \(dr\), \(r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\), \(r\,d\theta\)) ; la vue 636 reprend le même calcul pour la molécule du cône, où le côté est \(r\,\text{cos}\,\theta\,d\theta\) et la variable \(\text{sin}\,\theta\).

640

\[\Big(\frac{dz}{dx}\Big)^2 = \frac{\text{cos}^2\theta\,\text{cos}^2\varphi}{r^2}\,\Big(\frac{dz}{d\theta}\Big)^2 - \frac{2\,\text{cos}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi\,\text{sin}\,\varphi}{r^2\,\text{sin}\,\theta}.\frac{dz}{d\theta}.\frac{dz}{d\varphi} + \frac{\text{sin}^2\varphi}{r^2\,\text{sin}^2\theta}.\Big(\frac{dz}{d\varphi}\Big)^2\] \[\begin{align*} \frac{d^2z}{dy^2} = {} & \frac{d^2z}{d\theta^2}\,\frac{\text{cos}^2\theta\,\text{sin}^2\varphi}{r^2} + \frac{d^2v}{d\theta\,d\varphi}.\frac{2\,\text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r^2\,\text{sin}\,\theta} + \frac{d^2v}{d\varphi^2}\,\frac{\text{cos}^2\varphi}{r^2\,\text{sin}^2\theta} \\ & - \frac{dz}{d\theta}\left\{\frac{2\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,\text{sin}^2\varphi}{r^2} - \frac{\text{cos}^2\varphi\,\text{cos}\,\theta}{r^2\,\text{sin}^2\theta}\right\}. \\ & - \frac{dz}{d\varphi}\left\{\frac{\ill{}\,\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r^2\,\text{sin}^2\theta} + \frac{\text{cos}^2\theta\,\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r^2\,\text{sin}^2\theta} + \frac{\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r^2}\right\} \end{align*}\] En haut à droite, à l'encre, « 314 » ; aucune pagination de sa main. La page commence sans phrase d'introduction, sur le carré de \(\frac{dz}{dx}\) ; le dernier facteur de la première ligne touche le bord droit du feuillet. Elle écrit \(v\) dans deux numérateurs de \(\frac{d^2z}{dy^2}\) où les autres portent \(z\) : ainsi sur le feuillet. Le premier facteur du premier numérateur de la dernière accolade est couvert d'une tache.

Recherches sur les surfa cones

S'il s'agit d'un cône [l'élément de] la surface parallèle a la base est une portion de secteurs comprise entre deux cercles concentriques. les rayons de ces cercles sont \(r\,\text{sin}\,\theta\) et \(r\,\text{cos}.d\theta\,\text{sin}(\theta - d\theta)\) [\(r'\,\text{sin}(\theta - d\theta)\)] \(r\) est le rayon côté du cône qui a pour base le cercle extérieur \(\theta\) est l'angle que ce côté fait avec l'axe du cône parconséquent on a l'axe \[z = r\,\text{cos}\,\theta = r'\,\text{cos}(\theta - d\theta) \qquad r' = \frac{r\,\text{cos}\,\theta}{\text{cos}(\theta - d\theta)}\] \[r'\,\text{sin}(\theta - d\theta) = r\,\text{cos}\,\theta\,\frac{(\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,d\theta - \text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,d\theta)}{\text{cos}\,\theta\,\struck{\text{cos}\,d}\theta + \text{sin}\,\theta\,\text{sin}\,d\theta}\] en négligeant les termes du second ordre \(= \frac{r\,\text{cos}\,\theta\,(\text{sin}\,\theta - \text{cos}\,\theta\,d\theta}{\text{cos}\,\theta + \text{sin}\,\theta\,d\theta}\) Le titre, en tête de la seconde partie de la page, est souligné d'un long trait. Devant « \(r' =\) », une tache d'encre. Au-dessus du \(r\) de « \(r\,\text{cos}\,\theta\) », après le premier signe \(=\) de la deuxième formule, un petit signe récrit ; on lit \(r\). Au dénominateur, le « cos d » est noirci ; la parenthèse ouverte après \(\text{cos}\,\theta\) dans la dernière fraction n'est pas fermée.

\[r\,\text{sin}\,\theta - \frac{r\,\text{cos}\,\theta\,(\text{sin}\,\theta - \text{cos}\,\theta.d\theta)}{\text{cos}\,\theta + \text{sin}\,\theta\,d\theta} = \frac{r\,\text{sin}\,\theta\,(\text{cos}\,\theta + \text{sin}\,\theta\,d\theta) - r\,\text{cos}\,\theta\,(\text{sin}\,\theta - \text{cos}\,\theta\,d\theta)}{\text{cos}\,\theta + \text{sin}\,\theta\,d\theta}\] en effaçant cequi se détruit et négligeant \(d\theta\,\text{sin}\,\theta\) vis avis de \(\text{cos}\,\theta\) on a \(\frac{r^2}{2}\,\frac{d\varphi\,d\theta\,\text{sin}\,\theta}{\text{cos}\,\theta}\) pour la surface cherchée que traverse la chaleur dans la direction \(\frac{dv}{dr}\). par l'élément compris entre \(\frac{r\,d\theta}{\text{cos}\,\theta}\) et \(dr\) dans la direction \(\frac{dv}{d\varphi}\). \(dr\,\frac{r\,d\theta}{\text{cos}\,\theta}\) \(\frac{d\uncertain{v}}{d\theta}\,r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\,dr\) Dans « \(\frac{r^2}{2}\,\frac{d\varphi\,d\theta\,\text{sin}\,\theta}{\text{cos}\,\theta}\) », le « \(\text{sin}\,\theta\) » est écrit en petit au-dessus de la ligne, après \(d\theta\). À la dernière ligne, le numérateur lu \(dv\) est empâté et le \(\theta\) de « \(\text{sin}\,\theta\) » récrit. La page s'arrête là, aux trois quarts du feuillet ; le reste est blanc.