Français 9115 · lot 35 · vues 681–700 · Transcription · Papiers de Sophie GERMAIN. — Recueil de dissertations et problèmes mathématiques et physiques.
Datation du catalogue : 1801-1900
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Numérotation des feuillets. En haut à droite des feuillets, à l'encre, d'une écriture plus ronde, un nombre de la série qui court dans tout le volume : 335 (vue 682), 336 (684), 337 (686), 338 (688), 339 (690), 340 (692), 341 (694), 342 (696), 343 (698), 344 (700). Cette série occupe la place de la foliotation de la Bibliothèque, mais elle est tracée à la plume et non au crayon, et aucun « f. » n'est donc porté. Près de ce nombre, sa propre pagination, petite, le plus souvent barrée (voir les notes de chaque vue). Tous ces nombres ont été lus sur la vue ; aucun n'est déduit. Les vues 681, 683, 685, 687, 689, 697 et 699 sont des dos blancs où l'écriture du recto se voit à l'envers ; la vue 700 est le côté blanc du feuillet 344, dont le texte est au dos (vue 701, hors de ce lot). Elles ne sont pas transcrites.

682

\(\underline{r}\) a la valeur totale \(R\); on en conclura l'équation déterminée: \[b\left(1 - \frac{gR^2}{2(n+1)} + \frac{g^2R^4}{2.4(n+1)(n+3)} - \frac{g^3R^6}{2.4.6(n+1)(n+3)(n+5)} + \&c\right)\] \[= \frac{2gR}{2(n+1)} - \frac{4g^2R^3}{2.4(n+1)(n+3)} + \frac{6g^3R^6}{2.4.6(n+1)(n+3)(n+5)} - \&c\] \(g\), \(g'\), \(g^2 \ldots g^\beta\). étant cequi devient laquantité \(g\) lorsque que le coëfficient de \(\varphi\) est \(0, 1, 2 \ldots \beta\). on prouvera, en se conformant a cequi est demontré N.^o 306 et suivans T. 2 que quelque soit le nombre \(\underline{n}\) cette equation en \(g\), \(g'\), \(g^2 \ldots g^\beta\), dans laquelle \(\underline{b}\) et \(R\) sont des quantités déterminées a une infinité de racines réelles.

Il suit delà qu'on peut donner a la variable \(\underline{v}\) une infinité de valeurs des formes. \(e^{-gkt}s\), \(e^{-g'kt}(A'\,\text{sin}\,\varphi + B'\,\text{cos}\,\varphi)\,r\,s\), \(e^{-g^2kt}(A^2\,\text{sin}.2\varphi + B^2\,\text{cos}\,2\varphi)\,r^2s \ldots\ldots e^{-g^\beta kt}(A^\beta\,\text{sin}\,\beta\varphi + B^\beta\,\text{cos}\,\beta\varphi)\,r^\beta s\). qui differeront seulement par les exposans \(g\), \(g'\), \(g^2 \ldots g^\beta\). On pourra donc composer une valeur plus générale en ajoutant toutes ces valeurs multipliées particulières multipliées par des coëfficiens arbitraires.

L'intégrale qui servira a résoudre dans toute son étendue la question proposée est donnée par l'équation: \[v = B^{\uncertain{0}}\left(a_1e^{-g_1kt}s_1 + a_2e^{-g_2kt}s_2 + a_3e^{-g_3kt}s_3 + \&c\right)\] \[+ (A'\,\text{sin}\,\varphi + B'\,\text{cos}\,\varphi)\left\{a'_1e^{-g'_1kt}s'_1 + a'_2e^{-g'_2kt}s'_2 + a'_3e^{-g'_3kt}s'_3 + \&c\right\}\] \[+ (A^2\,\text{sin}\,2\varphi + B^2\,\text{cos}\,2\varphi)\left\{a^2_1e^{-g^2_1kt}s^2_1 + a^2_2e^{-g^2_2kt}s^2_2 + a^2_3e^{-g^2_3kt}s^2_3 + \&c\right\}\] &c. \[+ (A^\beta\,\text{sin}\,\beta\varphi + B^\beta\,\text{cos}\,\beta\varphi)\left\{a^\beta_1e^{-g^\beta_1kt}s^\beta_1 + a^\beta_2e^{-g^\beta_2kt}s^\beta_2 + a^\beta_3e^{-g^\beta_3kt}s^\beta_3 + \&c\right\}\] En haut à droite, à l'encre, « 335 », le 5 à longue queue ; au-dessus, un « 6 » barré d'un trait oblique, de sa main : sa pagination du morceau (voir l'en-tête). Au début de la première ligne, « a » est repassé d'une encre plus lourde sur une lettre qu'il couvre, peut-être une majuscule. Le troisième terme du second membre porte « \(R^6\) » sur la feuille, là où le calcul demande \(R^5\) ; on garde la feuille. Dans les exposants et les indices, la lettre bouclée à hampe est lue \(\beta\), comme dans les pages précédentes du volume ; les exposants \('\), \(2\), \(\beta\) de \(g\), \(A\), \(B\), \(a\), \(s\) sont des indices d'ordre, non des puissances. L'exposant de \(B\) dans la première ligne de l'intégrale est un pâté ; « 0 » est offert d'après la vue 684, qui écrit \(A^0\), \(B^0\). Les deux premiers \(s\) de cette ligne sont chargés d'encre. Le « que » en tête de la ligne qui suit « lorsque » paraît biffé d'un trait bouclé. Après « suivans », un petit groupe souligné dont la fin est chargée d'encre, lu avec doute « T. 2 ». Le bas du feuillet est blanc.

684

\(g_1, g_2, g_3\,\&c.\ g'_1, g'_2, g'_3\,\&c.\ g^2_1, g^2_2, g^2_3\,\&c. \ldots\ g^\beta_1, g^\beta_2, g^\beta_3\,\&c.\) qui désignent toutes les valeurs de \(g\), \(g'\), \(g^2 \ldots g^\beta\), qui satisfont aux équations déterminées correspondantes aux valeurs \(1, 3, 5 \ldots 2\beta+1\) du nombre \(n\); \(u_1, u_2, u_3\,\&c.\ u'_1, u'_2, u'_3\,\&c.\ u^2_1, u^2_2, u^2_3\,\&c. \ldots\) \(u^\beta_1, u^\beta_2, u^\beta_3\,\&c.\) désignent les valeurs de \(\underline{u}\) qui correspondent à ces differentes racines; \(B^{\uncertain{0}}\); \(A'\), \(B'\); \(A^2\), \(B^2\); \(\ldots\) \(A^\beta\), \(B^\beta\); et \(a_1, a_2, a_3\,\&c.\) \(a'_1, a'_2, a'_3\,\&c.\ a^2_1, a^2_2, a^2_3\,\&c. \ldots\ a^\beta_1, a^\beta_2, a^\beta_3\,\&c.\) sont des coëfficiens arbitraires.

N.^o 5 si on remarque remplace \(\frac{gR^2}{2^2}\), \(\frac{g'R^2}{2.3}\), \(\frac{g''R^2}{2.5}\) &c. \(\frac{g^\beta R^2}{2(n+1)}\) par \(\theta\) on aura \[\uncertain{f}\theta = y = 1 - \frac{(n+1)\theta}{n+1} + \frac{(n+1)^2\theta^2}{1.2(n+1)(n+3)} - \frac{(n+1)^3\theta^3}{1.2.3(n+1)(n+3)(n+5)}\] \[+ \frac{(n+1)^4\theta^4}{1.2.3.4(n+1)(n+3)(n+5)(n+7)} - \&c.\] \[\frac{dy}{d\theta} = -1 + \frac{(n+1)^2\theta}{(n+1)(n+3)} - \frac{(n+1)^3\theta^2}{1.2(n+1)(n+3)(n+5)} + \frac{(n+1)^4\theta^3}{1.2.3(n+1)(n+3)(n+5)(n+7)} - \&c.\] \[\frac{2\theta}{n+1}.\frac{d^2y}{d\theta^2} = \frac{(n+1)^{\uncertain{3}}.2\theta}{(n+1)(n+3)} - \frac{4(n+1)^2\theta^2}{1.2(n+1)(n+3)(n+5)} + \frac{6.(n+1)^3\theta^3}{1.2.3(n+1)(n+3)(n+5)(n+7)} - \&c.\] et parconséquent \[y + \frac{dy}{d\theta} + \frac{2\theta}{n+1}.\frac{d^2y}{d\theta^2} = 0\] \[\frac{dy}{d\theta} + \frac{n+3}{n+1}.\frac{d^2y}{d\theta^2} + \frac{2\theta}{n+1}.\frac{d^3y}{d\theta^3} = 0\] \[\frac{d^2y}{d\theta^2} + \frac{n+5}{n+1}.\frac{d^3y}{d\theta^3} + \frac{2\theta}{n+1}.\frac{d^4y}{d\theta^4} = 0\] &c. \[\frac{d^iy}{d\theta^i} + \frac{n+2i+1}{n+1}.\frac{d^{i+1}y}{d\theta^{i+1}} + \frac{2\theta}{n+1}\frac{d^{i+2}y}{d\theta^{i+2}} = 0\] En appliquant ici les remarques qui font l'objet de l'art 308. on verra qu'en donnant a \(\theta\) une valeur positive En haut à droite, à l'encre, « 336 » ; au-dessus, un « 7 » barré d'un trait oblique, sa pagination. Le premier « qui » est biffé, ce qui fait de la liste de la première ligne le sujet de « désignent ». Ces lignes répètent, sans rature, celles qui sont barrées au dos de la vue 678 (vue 679, lot 34), avec \(A'\), \(B'\) … et \(B^0\). Le premier des coëfficiens \(B\) porte de nouveau un exposant noyé dans un pâté, comme à la vue 682 ; « 0 » reste une lecture offerte. « N.o 5 » est écrit en tête de l'alinéa : c'est son numéro d'article, auquel renvoie « (art 5) » à la vue 686, comme « art 4 » (vue 688) renvoie à l'intégrale de la vue 682. Les dénominateurs « \(2^2\) », « \(2.3\) », « \(2.5\) » sont lus tels qu'écrits, là où la règle qu'elle énonce ensuite, \(2(n+1)\) pour \(n = 1, 3, 5\), donnerait \(2.2\), \(2.4\), \(2.6\) ; on garde la feuille. Dans la marge de gauche, devant « \(y =\) », une lettre à longue hampe suivie de \(\theta\) et d'un signe égal, lue avec doute \(f\theta\) ; le \(y\) est récrit sur un premier tracé. Dans la troisième équation, l'exposant « 3 » de \((n+1)\) est très pâle, comme effacé ; le calcul demande \((n+1)\) sans exposant. Son 4 est écrit comme un « b » (« \(1.2.3.4\) », « \(4(n+1)^2\theta^2\) »). « l'art 308. » : le mot « art » est lu d'après le tracé, chargé d'encre. La phrase se poursuit à la vue 686 ; le bas du feuillet est blanc.

686

qui rende nulle la fluxion \(\frac{d^{i+1}y}{d\theta^{i+1}}\) une valeur positive qui les deux autres termes de cette équation recevront des valeurs opposées et on en conclura que les differentes valeurs de \(g\), \(g'\), \(g^2 \ldots g^\beta\) sont toutes réelles.

N.^o 6 Examinons à présent la forme du facteur \(A^\beta\,\text{sin}.\beta\varphi + B^\beta\,\text{cos}.\beta\varphi\) qui est dû a la difference de temperature entre les divers points d'une même couche: ce facteur contient les deux quantités angulaires \(\text{sin}.\beta\varphi\) et \(\text{cos}.\beta\varphi\) et parconséquent, soit qu'on suppose \(\beta\) infini, ou nul, il doit se réduire a un seul terme. La première supposition indiqueroit que sur la circonférence d'es différentes couches [de chacune des couches] il y auroit [existeroit] un nombre infini de points qui auroient une seule et [la] même temperature, La secon elle donneroit lieu a la condition \(\text{cos}\,\beta\varphi = 0\). La seconde exprime qu'a raison de l'uniformité dela chaleur dans les chacune [tous les points. qui sont] également distants [a une distance égale] [de l'axe du cylindre] des couches, la \(v\) n'est pas fonction delaquantité angulaire \(\varphi\); elle donne [on en conclut] l'équation \(\text{sin}\,\beta\varphi = 0\).

Les deux suppositions dont on vient de parler ne sont donc que deux manières differentes de présenter un seul et le même état dela distribution dela chaleur.

Il resulte delà que plus le nombre \(\beta\) est grand plus aussi les differentes valeurs de \(g^\beta\) doivent être grandes, car s'il en étoit autrement la supposition de \(\beta\) infini réduiroit la valeur de \(s\), [(art 5)] a l'unité, et on seroit mené à conclure que la supposition de l'uniformité dela chaleur entre les differens points d'une même couche En haut à droite, à l'encre, « 337 » ; à sa gauche, un « 8 » barré d'un trait oblique, sa pagination. La première ligne continue la phrase de la vue 684 (« en donnant a \(\theta\) une valeur positive | qui rende nulle la fluxion… ») ; les mots « une valeur positive qui », après la fraction, sont barrés d'un trait qui les coupe à mi-hauteur. « indiqueroit » est écrit « indequeroit », l'i sans point et formé comme un e. Dans « d'es différentes couches », l'« es » et « différentes » sont barrés ; « de chacune des couches » est écrit au-dessus, plus fin ; « couches », sur la ligne, n'est pas barré. « existeroit » est écrit au-dessus d'« auroit » barré, « la » au-dessus de « seule et » barré. « a la condition » et « l'équation » sont écrits dans la marge de gauche, plus petit, devant les deux égalités qu'ils introduisent. L'addition au-dessus de « les chacune des couches » se lit « tous les points. qui sont également distants de l'axe du cylindre », « également distants » barré et « a une distance égale » écrit plus haut encore, au-dessus ; aucun signe n'en marque la place, et « des couches » n'est pas barré sur la ligne. Avant \(v\), un petit mot barré, lu avec doute « la ». « on en conclut » est écrit en fin de ligne, dans l'interligne, au-dessus de « elle donne » barré. « (art 5) » est écrit au-dessus de « \(s\), ». La phrase se poursuit à la vue 688 ; le bas du feuillet est blanc.

688

entraine nécessairement la même uniformité entre tous les points du cylindre.

En admettant donc [si on admet] qu'en suivant l'ordre des indices \(1, 2 \ldots \beta\) les valeurs des quantités \(g\ g' \ldots g^\beta\) sont soient toutes plus grandes que celles qui appartiennent a l'ordre précédent et qu'en même tems, elles soient plus petites que les valeurs qui conviennent a l'ordre suivant. On verra [donc] que plus le tems écoulé augmente et plus les [[…]] termes qui composent la valeur de \(\underline{v}\) dans l'équation trouvée art 4 deviennent petits par rapport à ceux qui les précèdent.

Il y a donc une certaine valeur de \(\underline{t}\) pour laquelle le mouvement dela chaleur commence a être sensiblement représenté par l'équation \[v = B\left\{a_1e^{-g_1kt}s + a_2e^{-g_2kt}s + \&c\right\}\] \[+ (A'\,\text{sin}.\varphi + B'\,\text{cos}\,\varphi)\left\{a'_1e^{-g'_1kt}s + a'_2e^{-g'_2kt}s + \&c\right\}\] Si dans cet état on choisit deux points appartenans a une même couche et situés aux extrémités d'un même diamètre; en représentant par \(\varphi_1\) et \(\varphi_2\) leurs distances respectives à l'origine, par \(v_1\) \(v_2\), leurs temperatures correspondantes au tems \(\underline{t}\), on aura verra [observera] que la difference entre la valeur de \(v_1\) et celle de \(v_2\) depend uniquement de la difference [celle qui existe] entre celle les facteurs \((A'\,\text{sin}\,\varphi_1 + B'\,\text{cos}\,\varphi_1)\) et \((A'\,\text{sin}.\varphi_2 + B'\,\text{cos}.\varphi_2)\) et qu'a cause de \(\varphi_2 = \pi + \varphi_1\) la somme de ces deux facteurs est nulle. En haut à droite, à l'encre, « 338 » ; à sa gauche, un « 9 » barré d'un trait oblique, sa pagination. La première ligne achève la phrase de la vue 686. « si on admet » est écrit au-dessus de « En admettant donc » barré ; « soient » après « sont » est barré, puis récrit sur la ligne suivante, chargé d'encre. « donc » est écrit au-dessus de « verra » ; au-dessus de « les », en fin de ligne, un petit mot ajouté, au bord du feuillet, qui n'a pas pu être lu. « sensiblement » est offert pour un mot rapide dont le tracé se lit à peu près « stablement ». Dans la formule, \(B\) n'a pas d'exposant et les \(s\) n'ont pas d'indice. « la valeur » : l'article est repassé. Au-dessus de « la difference » barré, « celle qui existe » ; au-dessus de « les », un « celle » écrit puis barré. « observera » est écrit au-dessus d'« aura » et de « verra », barrés l'un et l'autre. Le bas du feuillet est blanc ; la vue 689 en est le dos, blanc.

690

parconséquent la somme des seconds termes des valeurs de \(v_1\) et \(v_2\) est également nulle et on a \[\frac{v_1+v_2}{2} = B\left(a_1e^{-g_1kt}s + a_2e^{-g_2kt}s + \&c\right)\] Ainsi la demi-somme des temperature des points opposés est égale a la temperature moyenne dela couche a laquelle ils appartiennent, si on veut que \(v_1\) et \(v_2\) représentent le maximum et le minimum des temperatures existantes dans la même couche on aura \(\frac{dv_1}{d\varphi} = 0\) \(\frac{dv_2}{d\varphi} = 0\) et parconséquent \(A'\,\text{cos}\,\varphi_1 - B'\,\text{sin}\,\varphi_1 = 0\), \(\frac{A'}{B'} = \text{tang}.\varphi_1\), \(v'_1\) et \(v'_2\) étant les temperatures de deux autres points placés a la distance \(\frac{\pi}{2}\) des premiers, les facteurs angulaires qui multiplient les seconds termes des valeurs de \(v'_1\) et \(v'_2\) seront \[B'(\text{tang}.\varphi_1\,\text{cos}\,\varphi_1 - \text{sin}\,\varphi_1 = 0 \quad\text{et}\quad - B'(\text{tang}\,\varphi_1\,\text{cos}\,\varphi_1 - \text{sin}\,\varphi_1) = 0\] Les valeurs de \(v'_1\) et \(v'_2\) se réduiront [donc] au seul terme qui exprime la temperature moyenne dela couche.

Ainsi lorsqu'il n'y a aucun mouvement de la chaleur dans le sens de l'axe du cylindre, quelque soit d'ailleurs la manière dont ce solide ait été échauffé il doit arriver lorsque le tems \(\underline{t}\) aura acquis une certaine valeur, que le refroidissement s'opere, dans les points situés sur le rayon qui partage en deux parties égales l'arc compris entre les points qui ont la plus grande et la moindre chaleur; absolument dela même manière que si ce rayon appartenoit au cylindre dont tous les point egalement eloignés del'axe ont [auroient] reçus une temperature uniforme.

Il existe la plus grande analogie entre cequi arrive ici et ce qui a lieu dans l'armille; aussi pourroit-on appliquer au cas présent tout cequ'on lit art 245 p 277 dela Théorie dela chaleur On sentira la raison de cette identité des lois dela chaleur En haut à droite, à l'encre, « 339 » ; au-dessus, « 10 » barré d'un trait oblique, sa pagination. Le premier mot continue la vue 688. Dans la première des deux égalités du bas, la parenthèse ouverte n'est pas fermée ; on garde la feuille. « donc » est écrit au-dessus de « réduiront », « auroient » au-dessus d'« ont » barré. « 245 » : le 4 en forme de « b », comme ailleurs dans sa main ; « p 277 » lu tel qu'écrit. « Théorie dela chaleur » n'est pas souligné. La phrase se poursuit au dos du feuillet, vue 691, dont l'écriture se voit ici à l'envers à travers le papier ; en haut à gauche, deux petits traits obliques pâles, qui ne sont pas un nombre.

691

si on remarque que chacune des tranches parallèles a la base circulaire du cylindre doit se comporter comme une plaque ronde qui seroit soustraite au refroidissement dû a l'action del'air et que le cas del'armille est correspond a celui ou on feroit le rayon constant. Dos du feuillet de la vue 690, écrit sur ses cinq premières lignes seulement ; le reste est blanc. Ni pagination ni nombre à l'encre : ce qu'on voit pâle en haut à gauche est le « 10 » et le « 339 » du recto vus à travers le papier. « est correspond » : ainsi sur la feuille, sans biffure visible. La phrase achève celle de la vue 690 (« On sentira la raison de cette identité des lois dela chaleur | si on remarque… ») ; le feuillet suivant (vue 692) ouvre un nouveau titre.

692

Equation du mouvement varié dela chaleur dans un cylindre solide

1. Supposons que toutes les tranches parallèles à la base d'un cylindre solide d'une longueur infinie et dont le côté est perpendiculaire à la base circulaire, ayant été échauffé d'une manière entièrement arbitraire, mais semblable pour chacune d'elles; le cylindre soit exposé ensuite à un courant d'air plus froid.

Il s'agit de trouver les équations qui doivent représenter le mouvement dela chaleur dans un tel solide.

On voit d'abord que l'équation générale \[\frac{d\uncertain{v}}{dt} = \frac{K}{C.D}\left(\frac{d^2v}{dx^2} + \frac{d^2v}{dy^2} + \frac{d^2v}{dz^2}\right)\] qui sert à déterminer le mouvement dela chaleur dans l'intérieur des corps solides se réduit ici à \[\frac{dv}{dt} = \frac{K}{C.D}\left(\frac{d^2v}{dx^2} + \frac{d^2v}{dy^2}\right) \ldots\ldots (A)\] car, suivant l'hypothèse, les tranches du cylindre étant échauffés d'une manière semblable, tous les points qui sont situés sur des lignes parallèles a son axe, qui est en même tems celui des \(z\), ont la même temperature, parconséquent le mouvement dela chaleur est nulle dans cette direction et on a \(\frac{d^2v}{dz^2} = 0\).

Par la même raison l'équation générale relative a la surface se réduit à \[m\frac{dv}{dx} + n\frac{dv}{dy} + \frac{h}{K}vq = 0 \ldots\ldots (B)\]

2. Le centre d'une des tranches parallèles à la base du cylindre étant pris pour origine; soit \(\underline{r}\) le rayon du cercle qui mesure une des couches de cette tranche et \(\varphi\) l'arc compris Le titre et les articles 1 et 2 du morceau qui commence à la vue 672 (lot 34), écrits une seconde fois presque mot pour mot, d'une main posée, en tête d'un feuillet sans pagination de sa main ; en haut à droite, à l'encre, « 340 ». Sous le titre, un court trait. Les numéros d'article « 1. » et « 2. » sont dans la marge. Au numérateur du premier membre de la première équation, la lettre après d est chargée d'encre et peut se lire x ; \(v\) est offert d'après l'équation (A). L'accord de « échauffé » et d'« échauffés » est celui de la feuille. La phrase se poursuit au dos, vue 693 ; à travers le papier se voit à l'envers l'écriture de ce dos.

693

entre un des points de la circonference et celui auquel appartient l'ordonnée \(y = 0\), on aura quelque soit \(\varphi\). \(x = r\,\text{cos}\,\varphi\), \(y = r\,\text{sin}.\varphi\); d'ou on tire: \(dx = dr\,\text{cos}\,\varphi - r\,d\varphi\,\text{sin}\,\varphi\), \(dy = dr\,\text{sin}.\varphi + r\,d\varphi\,\text{cos}.\varphi\), \[dr = dx\,\text{cos}.\varphi + dy\,\text{sin}.\varphi, \qquad d\varphi = \frac{dy\,\text{cos}\,\varphi - dx\,\text{sin}.\varphi}{r}\] \[\frac{dr}{dx} = \text{cos}.\varphi, \quad \frac{dr}{dy} = \text{sin}\,\varphi; \quad \frac{d\varphi}{dx} = -\frac{\text{sin}\,\varphi}{r}, \quad \frac{d\varphi}{dy} = \frac{\text{cos}\,\varphi}{r}\] ces valeurs de \(\frac{dr}{dx}\), \(\frac{dr}{dy}\), \(\frac{d\varphi}{dx}\), et \(\frac{d\varphi}{dy}\) étant mises dans celles de \(\frac{dv}{dx}\), \(\frac{dv}{dy}\), \(\frac{d^2v}{dx^2}\) et \(\frac{d^2v}{dy^2}\) on trouve: \[\frac{dv}{dx} = \text{cos}.\varphi\,\frac{dv}{dr} - \frac{\text{sin}.\varphi}{r}\,\frac{dv}{d\varphi}\] \[\frac{dv}{dy} = \text{sin}.\varphi\,\frac{dv}{dr} + \frac{\text{cos}.\varphi}{r}\,\frac{dv}{d\varphi}\] \[\frac{d^2v}{dx^2} = \frac{\text{sin}^2\varphi}{r}\,\frac{dv}{dr} + \frac{2\,\text{sin}.\varphi\,\text{cos}.\varphi}{r^2}.\frac{dv}{d\varphi} + \text{cos}^2\varphi.\frac{d^2v}{dr^2} - \frac{2\,\text{sin}\,\varphi\,\text{cos}\,\varphi}{r}.\frac{d^2v}{dr\,d\varphi} + \frac{\text{sin}^2\varphi}{r^2}.\frac{d^2v}{d\varphi^2}\] \[\frac{d^2v}{dy^2} = \frac{\text{cos}^2\varphi}{r}.\frac{dv}{dr} - \frac{2\,\text{sin}.\varphi\,\text{cos}.\varphi}{r^2}.\frac{dv}{d\varphi} + \text{sin}^2\varphi\,\frac{d^2v}{dr^2} + \frac{2\,\text{sin}.\varphi\,\text{cos}.\varphi}{r}\,\frac{d^2v}{dr\,d\varphi} + \frac{\text{cos}^2\varphi}{r^2}\,\frac{d^2v}{d\varphi^2}\] \[\frac{d^2v}{dx^2} + \frac{d^2v}{dy^2} = \frac{1}{r}\,\frac{dv}{dr} + \frac{d^2v}{dr^2} + \frac{1}{r^2}\,\frac{d^2v}{d\varphi^2}\] et l'équation (A) devient \[\frac{dv}{dt} = \frac{K}{C.D}\left\{\frac{1}{r}\,\frac{dv}{dr} + \frac{d^2v}{dr^2} + \frac{1}{r^2}\,\frac{d^2v}{d\varphi^2}\right\} \ldots\ldots (C)\] A l'egard de l'équation relative a la surface, il faut remarquer que la condition \(m\,dx + n\,dy = 0\), qui donne les valeurs de \(\underline{m}\) et de \(\underline{n}\), et parconséquent aussi celle de \(\underline{q}\) étant, ici, \(x\,dx + y\,dy = 0\); on peut mettre aulieu de \(\underline{m}\), \(\underline{n}\) et \(q\); \(x\), \(y\) et \(\sqrt{x^2+y^2}\), ou plutôt leurs valeurs \(r\,\text{cos}\,\varphi\), \(r\,\text{sin}.\varphi\) et \(r\). Si on met aussi a la place de \(\frac{dv}{dx}\) et \(\frac{dv}{dy}\) les valeurs trouvées plus haut l'équation (B) deviendra: \[r\,\text{cos}.\varphi\left(\text{cos}\,\varphi\,\frac{dv}{dr} - \frac{\text{sin}.\varphi}{r}\,\frac{dv}{d\varphi}\right) + r\,\text{sin}.\varphi\left(\text{sin}.\varphi\,\frac{dv}{dr} + \frac{\text{cos}.\varphi}{r}.\frac{dv}{d\varphi}\right) + r\frac{h}{K}v = 0\] elle se réduira donc à \[\frac{dv}{dr} + \frac{h}{K}v = 0 \ldots\ldots (D)\]

3. En traitant la question d'une manière spéciale on obtiendroit egalement les deux équations (C) et (D). Pour y parvenir il Dos du feuillet de la vue 692, sans nombre à l'encre ; en haut à droite, « 2 » souligné, sa pagination de ce morceau (la page qui le précède, vue 692, n'en porte pas). La première ligne continue la phrase de la vue 692. Dans la liste « \(\frac{d^2v}{dy^2}\) » de la cinquième ligne, la lettre du numérateur est récrite et se lit aussi \(x\). Dans « les valeurs trouvées plus haut », l'article est récrit sur un premier mot. Le numéro d'article « 3. » est dans la marge. Le texte est celui des vues 674 et 676 (lot 34), sans la ligne barrée ni les ratures. La page s'arrête sur « Pour y parvenir il » ; la vue 694 ne la continue pas (voir sa note).

694

manières differentes de présenter le même état dela distribution dela chaleur. Il résulte delà que plus le nombre \(\beta\) est grand plus aussi les differentes valeurs de \(g^\beta\) doivent être grandes, car, s'il en étoit autrement la supposition de \(\beta\) infini réduiroit la valeur de \(s\) (art 5) a l'unité, et on seroit forcé de conclure que la supposition de l'uniformité dela chaleur entre les differens points d'une même couche, entraîne nécessairement la même uniformité entre tous les points du cylindre.

Si on admet qu'en suivant l'ordre des indices \(1, 2, \ldots \beta\) les valeurs des quantités \(g\), \(g'\), \(g^2 \ldots g^\beta\), soient toutes plus grandes que celles qui appartiennent a l'ordre précédent et qu'en mêmetems, elles soient plus petites que les valeurs qui conviennent a l'ordre suivant, on verra donc que plus le tems écoulé augmente et plus aussi les termes qui composent la valeur de \(\underline{v}\) dans l'équation trouvée art 4 deviennent petits par rapport a ceux qui les précèdent. Ainsi il y a une certaine valeur de \(\underline{t}\) pour laquelle le mouvement dela chaleur commence à être sensiblement représenté par l'équation: \[v = B\left\{a_1e^{-g_1kt}s_1 + a_2e^{-g_2kt}s_2 + \&c\right\}\] \[+ (A'\,\text{sin}.\varphi + B'\,\text{cos}.\varphi)\left\{a'_1e^{-g'_1kt}s'_1 + a'_2e^{-g'_2kt}s'_2 + \&c\right\}.\] Dans cet état, si on choisit deux points appartenant à une même couche et situés aux extrémités d'un même diamètre, en représentant par \(\varphi_1\) et \(\varphi_2\) leurs distances respectives à l'origine, par \(v_1\) \(v_2\) leurs temperature correspondantes au tems \(\underline{t}\); on observera que la difference entre la valeur de \(v_1\) et celle de \(v_2\) depend uniquement de celle qui existe entre les facteurs \(A'\,\text{sin}\,\varphi_1 + B'\,\text{cos}\,\varphi_1\) et \(A'\,\text{sin}\,\varphi_2 + B'\,\text{cos}.\varphi_2\). A cause de \(\varphi_2 = \pi + \varphi_1\) la somme de ces deux facteurs est nulle; la somme des En haut à droite, à l'encre, « 341 » ; à sa droite, un « 7 » barré d'un trait oblique, sa pagination. Ce feuillet ne suit pas la vue 693, qui s'arrête sur « Pour y parvenir il » : il reprend, mis au net en une écriture plus régulière et presque sans rature, le texte des vues 686 et 688 (« manières differentes de présenter le même état… » jusqu'à « la somme de ces deux facteurs est nulle »), avec des variantes de détail (« forcé » pour « mené », « Ainsi il y a » pour « Il y a donc », les indices des \(s\) écrits). Les pages 3 à 6 de cette mise au net ne sont pas dans ce lot. Dans « au tems », « au » est traversé d'un trait qui peut être son trait de liaison. L'exposant du second \(A\) de la dernière formule est plus haut que l'accent du premier, et lu \(A'\). Le bas du feuillet est blanc ; la phrase se poursuit au dos, vue 695.

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seconds termes des valeurs de \(v_1\) et \(v_2\) est donc également nulle et on a: \[\frac{v_1+v_2}{2} = B\left(a_1e^{-g_1kt}s_1 + a_2e^{-g_2kt}s_2 + \&c\right)\] Ainsi la demi somme des temperatures des points opposés est égale a la temperature moyenne dela couche a laquelle ils appartiennent.

Si on veut que \(v_1\) et \(v_2\) représentent le maximum et le minimum existantes dans la même couche on aura \(\frac{dv_1}{d\varphi} = 0\), \(\frac{dv_2}{d\varphi} = 0\) ou, cequi est la même chose, \(A'\,\text{cos}\,\varphi - A'\,\text{sin}\,\varphi = 0\), \(\frac{A'}{B'} = \text{tang}.\varphi\). \(v'_1\) et \(v'_2\) étant les temperatures de deux autres points placés a la distance \(\frac{\pi}{2}\) des premiers, les facteurs angulaires qui multiplient les seconds termes des valeurs de \(v'_1\) et \(v'_2\) se réduiront à \(B'(\text{tang}.\varphi_1\,\text{cos}\,\varphi_1 - \text{sin}.\varphi_1)\) et \(-B'(\text{tang}.\varphi_1\,\text{cos}\,\varphi_1 - \text{sin}.\varphi_1)\). Les valeurs de \(v'_1\) et \(v'_2\) seront donc alors composées du seul terme qui exprime la temperature moyenne dela couche.

Ainsi lorsqu'il n'y a aucun mouvement dela chaleur dans le sens de l'axe du cylindre, quelque soit d'ailleurs la manière dont ce solide ait été échauffé, il doit arriver, lorsque le tems \(\underline{t}\) aura acquis une certaine valeur, que le refroidissement s'opère, dans les points situés sur le rayon qui partage en deux parties égales l'arc compris entre les points qui ont la plus grande et la moindre chaleur, absolument de la même manière que si ce rayon appartenoit au cylindre dont tous les points également éloignés de l'axe auroient reçus une temperature uniforme.

Il existe la plus grande analogie entre cequi arrive ici et cequi a lieu dans l'armille; aussi pourroit-on appliquer au cas présent tout cequ'on lit art 245. On sentira la raison de cette identité des lois de la chaleur si on remarque que chacune des tranches parallèles à la base circulaire du cylindre doit se comporter comme une plaque ronde qui seroit soustraite au refroidissement dû a l'action de l'air, et que le cas de l'armille correspond à celui ou on feroit le rayon constant. Dos du feuillet de la vue 694, sans nombre à l'encre ; en haut à droite, « 8 », non barré, sa pagination. C'est la mise au net des vues 690 et 691, qu'elle suit presque mot pour mot jusqu'à la même dernière phrase ; le renvoi « art 245 » y est donné sans la page ni le titre de l'ouvrage, et « est correspond » y devient « correspond ». « \(A'\,\text{cos}\,\varphi - A'\,\text{sin}\,\varphi = 0\) » : la seconde lettre est écrite \(A'\) sur la feuille, où le brouillon (vue 690) porte \(B'\) ; on garde la feuille. Sous « à celui », un gros trait d'encre horizontal, sans rapport apparent avec le texte. Le texte s'arrête sur « constant. » ; le bas du feuillet est blanc.

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Equations du mouvement dela chaleur [dans] la sphère, solide le cône et le cylindres solides échauffés d'une manière entièrement arbitraires

Lorsqu'on veut avoir l'équation [relative] du mouvement dela chaleur dans a la une sphère arbitraire [échauffée d'une manière], on peut se contenter comme l'ont fait M^rs dela Place et Poisson, de transformer [substituer dans] [transformer] l'équation du mouvement générale du mouvement dela chaleur dans un corps solide, en y substituant [substituant] [mettant] [a la place] dans cette équation des valeurs des coordonnées propres a la figure des coordonnées rectangulaires d'autres coordonnées appropriées a la figure du corps que l'on considère.

Des transformations du même analogues donnent également les équations du mouvement dela chaleur dans le cône et [dans] le cylindre. mais il sera difficile, en suivant ce procédé, [il seroit] d'appercevoir la liaison qui existe entre les trois équations. […]

Au contraire si [lorsque] on en suivant conformement a la méthode employée Dans la tous le par M^r fourier; on considère [envisage] [examine] chacun des de cas ces questions d'une manière spéciale et qu'on détermine verra que la molécule dela sphère dont on a [dont], pour trouver l'équation relative a ce solide il faut connoître et par l'examen et on [qu'on cherche la […] qu'elle et] détermine […] la quantité de chaleur acquise durant perd dans l'élément du [un tems donné] tems, par une des molécules qui appartiennent a chacun de ces solides [du solide] on s'apperçoit aisément que la molécule de la sphère appartient en même tems a un solide conique qui [a] auroit son sommet au centre dela sphère et qui seroit [est] terminé par une calotte sphérique. L'élément de ce La molécule dont il s'agit sera [est] comprise d'une part entre deux couches concentriques qui calottes concentriques elle l'est [est terminée d'ailleurs] ses autres faces sont terminées par des plans lorsqu'on veut avoir l'élément

La seule difference qui puisse exister entre la molécule dont il s'agit ici et celle qui appartiendroit au cône solide qui ayant le même centre et le même axe et le même coté Feuillet de brouillon, très raturé ; en haut à droite, à l'encre, « 342 », et au-dessus un « 1 » barré d'un trait oblique, sa pagination d'un nouveau morceau. Le titre est suivi d'un court trait. L's final de « cylindres » et d'« arbitraires » est annulé d'une petite croix : on donne le singulier. Dans les lignes 4 à 10, les additions sont écrites dans l'interligne au-dessus des mots barrés ; « transformer » est récrit sous la ligne et relié à sa place par un trait courbe ; « a la place » est écrit à côté de « mettant », au-dessus de « substituant » barré. Un long trait de liaison court sous « Lorsqu'on veut avoir l'équation » et sous « en y » sans être une biffure : ces mots sont gardés. « donnent » : la fin du mot est récrite en surcharge sur une première terminaison (« donneroient » ?), noyée d'encre. « il seroit » est écrit au-dessus de « procédé, d'appercevoir » ; « difficile », barré avec « il sera », n'est pas rétabli. En fin de la ligne « les trois équations. », un mot commencé, non lu. « Au contraire » est dans la marge de gauche, devant « si » ; « lorsque » au-dessus d'« on en suivant » barré. Au-dessus de « considère » barré, « envisage » barré, et au-dessous « examine ». Le passage de « verra que la molécule… » à « par l'examen » est barré ligne à ligne ; les mots écrits dans l'interligne au-dessus de « détermine », d'une plume fine et serrée, ne sont lus qu'en partie, et un mot barré sous une tache d'encre suit « détermin- ». Du passage « L'élément de ce… » à « avoir l'élément », il n'est pas sûr, pour quelques mots (« entre deux », « calottes concentriques »), si le trait qui les traverse est une biffure ou son trait de liaison ; on donne ce que la main semble garder. Le bas du feuillet est blanc sous « coté » ; le dos (vue 697) est blanc.

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Lorsque la sphère est échauffée uniformement du centre a la circonference les deux termes \(\frac{d^2v}{d\theta^2}.\frac{1}{r^2}\); \(\frac{d^2v}{d\varphi^2}\frac{1}{r^2\,\text{sin}^2\theta}\) sont l'un et l'autre nuls. Il est évident qu'il n'existe alors aucun mouvement dela chaleur dans une invelappe sphérique correspondante a une des valeur du rayon \(\underline{r}\) comprise entre zéro et la valeur entière du rayon dela sphère car alors [tous] les differens quadrilatères que l'on peut former sur la surface sphérique en menant du pôle les differens méridiens qui coupent alafois l'équateur et tous les parallèles ont tous lamême temperature ainsi il ne passe aucune quantité de chaleur par les côtés qui forment chacun de ces quadrilatères.

L'équation \(\frac{d^2v}{d\theta^2}.\frac{1}{r^2} + \frac{d^2v}{d\varphi^2}.\frac{1}{r^2\,\text{sin}^2\theta} = 0\) exprime la condition dela constance des temperatures des differens quadrilatères qui appartiennent aux la surface sphérique correspondante a la valeur \(\underline{r}\) du rayon. Elle a lieu lorsqu'en prenant le la parallèle dont le rayon est \(r\,\text{sin}\,\theta\), \(\theta\) étant l'arc du meridien compris entre le pôle et ce parallèle la quantité de chaleur qui passe par l'arc \(d\theta\) du meridien \(r\,\text{sin}\,\theta\,d\theta\) du paral méridien, arc qui forme un de côté du quadrilatère, est précisement egale a la quantité de chaleur qui pendant le même tems \(\frac{d\uncertain{v}}{dt}\), passe par l'arc \(r\,d\varphi\) du paralelle, arc qui forme le coté contigu du premier dans le quadrilatère et qui appartient au parallèle dont la distance au pôle est mesurée par l'arc \(\theta - d\theta\). En haut à droite, à l'encre, « 343 » ; pas de pagination de sa main. « invelappe » : ainsi. Dans « lamême », un pâté sur la fin du mot. « aux » est barré d'un trait appuyé ; « la surface » suit sans correction. Après « l'arc », « \(d\theta\) du meridien » est barré et remplacé à la suite, sur la ligne, par « \(r\,\text{sin}\,\theta\,d\theta\) » ; le calcul attendrait \(r\,d\theta\) pour l'arc du méridien et \(r\,\text{sin}\,\theta\,d\varphi\) pour celui du parallèle : on garde la feuille. Au-dessus de « méridien », « paral » est écrit puis barré. Dans « le même tems », la fraction qui suit a au numérateur, après d, une petite lettre bouclée lue avec doute \(v\) (elle peut être \(\theta\)). « paralelle » et « parallèle » alternent sur la feuille. Le texte s'arrête sur « \(\theta - d\theta\): » ; le bas du feuillet est blanc, le dos (vue 699) aussi.