Français 9115, vues 721–740

Français 9115 · lot 37 · vues 721–740 · Transcription · Papiers de Sophie GERMAIN. — Recueil de dissertations et problèmes mathématiques et physiques.
Datation du catalogue : 1801-1900
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Numérotation des feuillets. En haut à droite, à l'encre, d'une écriture plus ronde, la série qui court dans tout le volume : 357 et 358 (vue 722), 359 (vue 724), 361 au-dessus de 360 (vue 726), 363 au-dessus de 362 (vue 728), 364 (vue 730), 365 (vue 734), 366 (vue 736), 367 (vue 738), 368 (vue 740) ; jamais au dos. Le feuillet des vues 732–733, blanc, n'en porte pas. Cette série occupe la place de la foliotation de la Bibliothèque, mais elle est tracée à la plume et non au crayon, et aucun « f. » n'est donc porté. Tous ces nombres ont été lus sur la vue ; aucun n'est déduit. Ne sont pas transcrites : la vue 721, dos blancs des feuillets 355 et 356 ; la vue 725, dos blanc du feuillet 359 ; la vue 727, dos blancs des feuillets 361 et 360 ; la vue 731, dos blanc du feuillet 364 ; les vues 732 et 733, les deux côtés d'un feuillet blanc sans nombre.

722

Deux petits feuillets montés l'un au-dessus de l'autre sur la même feuille de garde, écrits des deux côtés ; leurs dos forment la vue 723. En haut à droite de chacun, à l'encre, le nombre de la série du volume : « 357 » sur le feuillet du haut, « 358 » sur celui du bas. Le 5 a la queue descendante qui le fait prendre pour un 9 ; on le distingue du 9 bouclé de « 359 » (vue 724).

retournez Si on se bornoit a vouloir demontrer que tout nombre de la forme \(3k-1\) est non residu d'un nombre premier, sans exiger que ce nombre soit \(<\) que \(3k-1\) ; on y parviendroit en considerant un nombre de la forme \(p+3aa\) dans lequel \(p=3k-1\) ; car, \(p+3aa\) est dela forme \(3k-1\) et parconséquent il est, ou premier, ou divisible par un nombre de la même forme ; soit \(q\) ce nombre on a \(p\equiv-3aa\) (mod. \(q\)) mais \(-3\) est non residu pour tout nombre de la forme \(3k-1\) donc \(p\) est aussi non residu (mod. \(q\)) si \(p\) est pair a doit être supposé impair, et pair si \(p\) est impair afin que \(p+3aa\) soit un nombre impair. car si ce nombre étoit pair il seroit possible que \(2\) fut le seul nombre \(3k-1\) qui le divisât et on sait que [tout nombre impair \(\equiv1\) (mod 2)] tout nombre est divisible \(-3\) est residu mod 2. car tous On voit que dans la suite des differentes valeurs que l'on peut donner a a il doit se trouver des valeurs de \(p+3aa\) divisibles par des valeurs de \(q<p\). mais je ne sais pas le demontrer En tête du feuillet, à gauche, au-dessus de la première ligne, un mot souligné, lu « retournez » : la première lettre est peu formée, mais le même mot, souligné et bien lisible, est écrit au bas du feuillet inférieur ; le dos de ce feuillet-ci (vue 723) porte trois lignes. Le « est » de la deuxième ligne est repassé et empâté, non barré. Entre la troisième et la quatrième ligne, au-dessus de « un nombre », un petit groupe biffé et empâté qui commence par « \(1+\) » : […]. Le signe de « \(p\equiv-3aa\) » a trois traits, nettement distincts du signe \(=\) de « \(p=3k-1\) » ; il est rendu \(\equiv\), ici et partout où il a trois traits. « et on » est souligné d'un trait épais, qui peut aussi être une rature ; la ligne suivante commence par « On voit que » et le sens ne dit pas si « et on sait que » est maintenu. « tout nombre impair \(\equiv1\) (mod 2) » est écrit au-dessus de « tout nombre est divisible », qu'il remplace ; la fin de la ligne, « \(-3\) est residu mod 2. car tous », est barrée d'un trait épais qui court jusqu'au bord. « mais je ne sais pas le demontrer » est écrit en trois lignes serrées au bout de la dernière ligne, contre le bord droit du feuillet.

P. 125 L'auteur se borne a démontrer le tout cas des nombres premiers dela forme \(4n+1\) parcequ'il n'emploie que celui là dans sa demonstration de son théorème fondamental (V. N.o 139. § 146) si on vouloit demontrer la proposition generale :

Tout nombre, excepté les quarrés positivement pris, est résidu non residu de quelque nombre premier.

Nous observerons qu'en supposant la chose accordée pour les nombres \(4n+1\) il ne reste a examiner que ceux \(4n+2\), \(4n+3\) parceque les nombres \(4n\) étant multiples d'un quarré seront non residu si \(n\) l'est.

Pour les nombres, \(4n+2\)

Soit \(4n+2+(2k+1)^{2}\) ce nombre est dela forme \(4k+3\) et parconséquent divisible par un nombre premier dela même forme soit \(q\) ce nombre on aura \(4n+2\equiv-(2k+1)^{2}\) et a cause de \(-1\) non residu (mod \(4k+3\)) \(4n+2\) sera également non residu (mod. \(4k+3=q\)). Je n'ai pas vu comment demontrer \(-(4n+2)\) non residu

Retournez « P. 125 » est écrit dans la marge, devant la première ligne ; la première lettre est un grand trait vertical, lu P. Dans la parenthèse, la lettre avant « N.o » est lue V. avec doute, et le signe entre « 139 » et « 146 », en forme de \(\delta\), est lu § avec doute : il a la forme du § de « §126 » en tête de la vue 724 (& n'est pas exclu). Un trait horizontal traverse « fondamental » par le milieu ; il est donné comme biffure, avec doute. « Tout nombre … pris, » se termine par un mot court lu « est » avec doute (« et » est possible), puis par un mot barré lu « résidu » ; la ligne suivante s'ouvre sur une tache d'encre dans la marge, et de petites marques sont écrites au-dessus de « residu ». La lettre de « \(4n+1\) », « \(4n+2\) » est un \(n\) ou un \(u\) ; celle de « \(2k+1\) », « \(4k+3\) » un \(k\) : les deux sont gardées comme on les lit. Un trait passe sur « Soit » et sur « et parconséquent », sans doute ses traits de liaison ; ces mots ne sont pas donnés comme barrés. Au-dessous, un court trait horizontal, puis, au bas du feuillet, « Retournez », souligné, d'une encre plus noire, écrit par-dessus l'écriture du dos qui se lit à l'envers par transparence : le texte continue au dos (vue 723, feuillet du bas). Le mot souligné en tête du feuillet du haut est le même renvoi, pour son propre dos.

723

Dos des deux petits feuillets de la vue 722 ; ni l'un ni l'autre ne porte de nombre de ce côté. Le dos du feuillet du haut (357) n'est écrit que sur trois lignes ; le reste montre par transparence, à l'envers, le texte du recto. Le dos du feuillet du bas (358) est écrit en entier ; les mots barrés et les petits signes qu'on y voit entre les lignes et dans la marge de gauche sont ceux du recto, lus à l'envers par transparence (« fondamental », « résidu »), et ne sont pas transcrits. Les nombres des rectos se lisent à l'envers par transparence en haut de chaque feuillet.

il est clair que parmi les nombres de la forme \(3k-1\) il s'en trouvent qui sont en même tems de celle \(8n+1\) ; tels sont ceux dela forme \(\uncertain{2}4n+17\) Le premier chiffre de « \(24n+17\) » est sous une tache d'encre ; lu 2 avec doute, ce que le calcul confirme (\(24n+17\) est à la fois \(3k-1\) et \(8n+1\)). Son 1 est un trait court en forme de s, son 5 un s à longue queue descendante (vue 724, où « \(12k+1\) » et « \(12k+5\) » se suivent). « forme » finit par un trait en forme de x, sans doute un paraphe.

Pour les nombres \(4n+3\). positivement pris

Soit \(4n+3+4k^{2}\) ; ce nombre sera dela forme \(4n+3\) et parconséquent divisible par un nombre premier, \(q\) dela même forme et acause de \(-1\) non residu (mod \(q\)) il resulte de \(4n+3\equiv-4k^{2}\) (mod \(q\)). \(4n+3\) non residu (mod \(q\))

Pour les nombres \(4n+3\) négativement pris

Soit \(4n+3\equiv4k^{2}\), \(4n+3-4k^{2}\) sera toujours dela forme \(4k+3\) donc divisible par un nombre premier \(q\) de la même forme ; il est clair que \(4n+3\) est ici residu (mod donc a cause de \(-1\) non residu \(-(4n+3)\) non residu (mod. \(q\))

de la comparaison des deux cas que nous venons de traiter il resulte cette proposition remarquable : Tout nombre dela forme \(4k+3\) pris tant avec le signe \(+\) qu'avec le signe \(-\) Chaque partie est suivie d'un court trait horizontal. La lettre de « \(4n+3\) » est un \(n\) ou un \(u\), celle de « \(4k^{2}\) », « \(4k+3\) » un \(k\) ; dans « Pour les nombres \(4n+3\) négativement pris » et « Soit \(4n+3\equiv4k^{2}\) » le \(n\) est empâté et pourrait être un \(k\). Le signe de « \(4n+3\equiv-4k^{2}\) » et de « \(4n+3\equiv4k^{2}\) » a trois traits ; le signe entre \(4n+3\) et \(4k^{2}\), à la ligne suivante, est un long trait, lu \(-\). « residu (mod » s'arrête au bord droit du feuillet, contre la garde, qui peut cacher la fin. La phrase finale s'arrête sur « le signe \(-\) » au bas du feuillet ; sa suite n'est pas sur ces deux feuillets.

724

Un feuillet monté sur une feuille de garde, écrit d'un seul côté (le dos, vue 725, est blanc) ; d'une écriture plus posée que celle des vues 722–723, presque sans rature. En haut à droite, à l'encre, « 359 ». En haut à gauche, souligné, « §126 ».

§126 Il s'agit de prouver qu'un nombre premier quelconque dela forme \(8n+1\), pris avec le signe \(+\), est toujours non residu d'un autre nombre premier plus petit que lui.

Les nombres premiers \(8n+1\), appartiennent a l'une ou l'autre des formes \(24k+1\), \(24k+17\).

Nous examinerons d'abord les nombre \(24k+17\). et nous observerons qu'ils sont compris dans cette forme \(12k+5\). Nous supposerons donc qu'il s'agitte de prouver qu'un nombre premier \(p=12k+5\) est non residu d'un nombre premier moindre que lui. pour cela, en designant par a un nombre quelconque, (pair) et \(<\sqrt{\frac{p}{3}}\), le nombre \(p-3aa\) sera positif \(<\) que \(p\) et de la forme \(12k+5\). Or tout nombre premier appartient a l'une des quatre formes suivantes \(12k+1\), \(12k+5\), \(12k+7\), \(12k+11\) ; et parmi les six produits differens des quarrés il n'y a que \(12k+1\) par \(12k+5\) et \(12k+7\) par \(12k+11\) qui soient de la forme \(12k+5\). fesons donc, a cause de \(3\) non residu mod. \(12k+5\) et \(12k+7\), (V. P. 116) \(q=12k+5\) ou \(=12k+7\) et nous aurons \(p\equiv3aa\) (mod \(q\)) c'est adire \(p\) non residu mod. \(q\) : et \(q\) sera evidemment \(<p\) puisqu'il est facteur d'une quantité moindre que ce nombre. cequ'il falloit demontrer. « les six produits differens des quarrés » est écrit ainsi. Dans le dernier « \(12k+5\) », le 2 est récrit sur un autre chiffre. La référence « (V. P. 116) » a la même lettre P que « P. 125 » de la vue 722.

A l'égard des nombres \(24k+1\) nous observerons qu'ils sont la somme de deux quarrés, puisque cette propriété appartient généralement a tous les nombres premiers de la forme \(4n+1\). Or, en considérant les formes de \(x\) et \(y\), dans \(x^{2}+y^{2}\) par rapport au nombre \(5\), on voit que, si on fait \(x=5n\pm1\) ou \(=5n\pm2\) il faut, pour que \(x^{2}+y^{2}\) soit un nombre premier, que \(y^{2}\) soit ou de la même forme que \(x^{2}\), ou un multiple de \(5\) : en effet : si on fesoit \(x=5n\pm1\) et \(y=5n\pm2\) on auroit \[x^{2}+y^{2}=25n\pm2.5n+1\] \[+25n\pm2.5.2n+4\equiv0\ (\text{mod}\ 5)\] Les termes « \(25n\) » sont écrits sans exposant, là où le carré de \(5n\) donne \(25n^{2}\) ; la feuille est laissée telle qu'on la lit. Le texte s'arrête sur cette congruence, le bas du feuillet blanc ; sa suite n'est pas sur la vue 726, qui porte d'autres feuillets.

726

Deux feuillets montés sur la même feuille de garde, écrits d'un seul côté (leurs dos, vue 727, sont blancs). En haut à droite, à l'encre, « 361 » sur le feuillet du haut, « 360 » sur celui du bas : la série les numérote de bas en haut. Le feuillet du bas, plus mince, laisse voir son texte par transparence au dos (vue 727). Le 5 de ces feuillets est le s à longue queue descendante des vues 722–724.

Si \(5\) est non residu des nombres premiers compris sous la forme \(F\) \(5\) sera aussi non residu d'un des facteur des nombres dela même forme \(F\) qui ne sont pas premiers c'est adire que le produit d'un nombre quelconques de nombres premiers pour lesquels \(5\) est residu ne pourra jamais être dela forme \(F\) qui renferme les nombres premiers pour lesquels \(5\) est non residu La lettre rendue \(F\) est une capitale barrée, deux fois écrite de même ; « aussi » est repassé ; « le » de « le produit » est récrit sur « les ». Un trait souligne la fin du paragraphe.

\(-3\) est non residu des nombres premiers compris sous la forme \(3n-1\) \(-3\) sera aussi non residu d'un des facteurs des nombres de la même forme qui ne sont pas premiers c'est adire que le produit d'un nombre quelconque de nombres premiers delaforme \(3n+1\) pour lesquels \(-3\) est residu ne pourra jamais être dela forme \(3n-1\) « forme \(3n-1\) » est écrit sous le début de la dernière ligne, au bas du feuillet.

Ce qui suit est sur le feuillet du bas (360).

Supposons que tous les nombres premiers, jusqu'a \(P\), pour lesquels \(a\) est residu, soient delaforme \(ma+b^{2}\) et en prenant \(e\) pair et non divisible par \(a\) fesons \(e^{2}=a+fP\) \(f\) est impair on a \(e^{2}\equiv a\) (mod \(f\)) c'est adire \(a\) residu mod. \(f\) parconséquent modulis tout facteur de \(f\), mais comme \(f<P\) tous ces facteurs seront a plus forte raison \(<P\) par conséquent dela forme \(ma+b^{2}\). \((b<a)\) et le produit de tant de nombre de la forme \(ma+b^{2}\) que l'on voudra sera de cette même forme laquelle appartient aussi au quarré \(e^{2}\) donc aussi a \(P\)

si \(ma+b^{2}=p\) et que \(p<a\) \(m\) est negatif Le \(P\) est une capitale d'imprimerie, distincte du \(p\) de la dernière ligne. « est » après \(f\) est barré d'un gros trait. Un trait sépare les deux dernières lignes du paragraphe qui précède ; le bas du feuillet est blanc.

728

Deux petits feuillets montés à droite de la feuille de garde, dont les dos, écrits eux aussi, sont photographiés en travers à la vue 729. En haut à droite, à l'encre, « 363 » sur le feuillet du haut, « 362 » sur celui du bas : la série les numérote, comme à la vue 726, de bas en haut. Tout le feuillet du haut est traversé de longs traits de plume verticaux, épais et appuyés, qui l'annulent ; il est transcrit en entier, avec cette note, plutôt que donné comme biffure. On y voit aussi, par transparence, des colonnes de calcul écrites au dos.

P. 116. Pour tout nombre premier dela forme \(4k+3\) si \(n\) est non residu \(-n\) sera residu en effet prenant la racine primitive \(r\) et supposant \(r^{2f+1}\equiv n\) si on vouloit que \(r^{2g+1}\equiv-n\) on auroit \[r^{2g+1}+r^{2f+1}\equiv0\] \[r^{2(g-f)}+1\equiv0 \quad \text{c'est a dire } -1 \text{ residu}\]

L'induction a mené l'auteur a établir pour les nombres \(12n+11\) \(3\) residu et \(-3\) non residu je ne vois pas que l'on puisse rien conclure pour ces nombres de la formule \[\frac{4(a^{3}-1)}{a-\uncertain{1}}=(2x+1)^{2}+3\] mais a l'égard des nombres compris sous la forme \(4k+1\) a cause de \(+\) et \(-n\) residu ou non residu si on vouloit que \(3\) fut residu \[r^{nk}\equiv\ill{}\] \[r^{mk}\equiv-f\] \[r^{nk}+r^{mk}\equiv0\] \[r^{(n-m)k}+1\equiv0\] « P. 116. » est écrit en tête, à gauche, souligné, avec la même lettre P que « P. 125 » (vue 722) ; c'est le « (V. P. 116) » que cite la vue 724. Les signes \(\equiv\) ont trois traits. Dans la fraction, le dénominateur « \(a-\) » est coupé par un des traits d'annulation, qui cache le dernier caractère ; au-dessus de la parenthèse de « \((2x+1)\) », l'exposant est un 2 mal formé, qu'on pourrait prendre pour un 8. Une tache et un trait d'annulation couvrent le second membre de la première congruence du bas, qui ne se lit pas. Le reste du feuillet est blanc.

\[A=ma+b^{2}\] \[a=d^{2}-nA\] \[A=md^{2}-mnA+b^{2}\] \[(1+mn)A=md^{2}+b^{2}\] \[a=d^{2}-n(ma+b^{2})\] \[(1+mn)a=d^{2}-nb^{2}\] Feuillet du bas (362) : ces six lignes de calcul, sans texte. Un trait prolonge « \(a=d^{2}-nA\) » vers la droite.

729

Vue prise en largeur. En haut, deux petits feuillets vus de dos, écrits en travers ; au-dessous, la feuille de garde repliée. Le feuillet de droite est le dos du feuillet 363 de la vue 728 : tourné d'un quart de tour et retourné, il laisse voir par transparence, à leur place, le « 363 » et le « P. 116 » du recto, et ses propres lignes sont les colonnes qu'on voit par transparence sur la vue 728. Le petit feuillet de gauche, écrit au crayon, est vraisemblablement le dos du feuillet 362 (on y devine, par transparence, l'encre d'un calcul) ; cela n'a pas pu être vérifié trait pour trait. Aucun nombre de la série n'est porté de ce côté.

Pour tout nombre premier \(12n+5\) dans lesquels \(3n+1\) est premier \(3\) est racine primitive En effet pour les nombres \(12n+5\) \(3\) est non residu par conséquent si \(3\) n'est pas racine primitive on aura \(r^{3n+1}\equiv3\) puisque \(4\) et \(3n+1\) sont les seuls facteurs de \(p-1\) ainsi a cause de \(r^{4(3n+1)}\equiv1\) \(3^{4}\equiv1\) \(3^{2}+1\equiv0\) mais \(3^{2}+1=2.5\) est \(<\) que \(12n+5\) donc &c.

Soit a present \(3n+1=p^{n}\) […] tels sont \(4.7+1=29\) \(4.13+1=53\) \(4.19+1=77\) \(4.23+1=93\) « est » devant « \(<\) que » est empâté. Sous la ligne « mais … donc &c. », trois lignes de calcul sont barrées de traits ondulés : « Soit a present \(3n+1=p^{n}\) », suivi de puissances de \(r\) dont l'exposant contient \(p\) et d'une congruence « \(\equiv3\) » ; puis « \(3r^{(\nu-1)p-(3n+1)}\) … » et « \(3r^{(\nu-1)p}\) » ; seul le début se lit, le reste est rendu par […]. La lettre rendue \(\nu\) est un v bouclé. Dans la colonne de droite, sous « tels sont », souligné, les nombres \(4(3n+1)+1\) ; le 13 est empâté ; les deux dernières lignes sont barrées d'un trait, et la dernière est suivie de deux points.

étant le nombre de lettres la déterminante de l'o[…] de l'ordre \(n+1\) la dét[…] […]rdre \(n\) dans laquelle […] […]es coefficiens de la […] […] aux de […] […] de l'ordre \(n^{2}\) […] Jaune Ce Mon[…] Petit feuillet de gauche, écrit au crayon, d'une écriture plus grande, en lignes perpendiculaires à celles du feuillet de droite. C'est un fragment découpé : chaque ligne est coupée aux deux bords, et les lettres perdues ne sont pas restituées. La main n'a pas été identifiée. Entre les deux dernières lignes, à l'encre, tête-bêche, deux mots d'une autre écriture, lus avec doute « Jaune » et « Ce Mon… », le second traversé d'un trait : sans doute le reste d'un papier réemployé.

730

Un feuillet monté sur une feuille de garde, écrit d'un seul côté (le dos, vue 731, est blanc). En haut à droite, à l'encre, « 364 ». Écriture posée. Un trait fin et sinueux descend à travers le haut du feuillet, de « nombre premier » à « soit quarré », et un autre, ondulé, à travers le bas ; tous deux se retrouvent au dos : ce sont des plis ou des fentes du papier, non des ratures.

Nombres premiers delaforme \(2^{2^{i}}+1\)

T. si \(aRa'\) \(a'Ra\) soit \(a'>a\) pour que la condition \(a'Ra\) soit satisfaite il faut que \(a'=ma+d^{2}\) \(d\) étant \(<a\).

Il resulte dela que, pour tout nombre premier \(2^{2^{i}}+1\) les nombres premiers plus petits et de même forme sont non residus et par conséquent racines primitives

En effet soit \(2^{2^{i+\delta}}+1\) un nombre premier ; pour prouver qu'il ne peut être residu (mod. \(2^{2^{i}}+1\)). on mettra \(2^{2^{i+\delta}}+1\) sous une autre forme. et on trouvera \[2^{2^{i+\delta}}+1=(2^{2^{i}.m}-1)\,2^{2^{i+\delta}-2^{i}.m}+2^{2^{i+\delta}-2^{i}.m}+1\] \[=2^{2^{i+\delta}-2^{i}.m}.(2^{2^{i}}+1)\,\{2^{m(2^{i}-1)}-2^{m(2^{i}-2)}+\ldots-1\}+2^{2^{i+\delta}-2^{i}m}+1\] on prendra \(m\) de manière que \(2^{2^{i+\delta}-2^{i}.m}+1\) soit \(<(2^{2^{i}}+1)^{2}\) et il faudra pour satisfaire a la condition \(a'=ma+d^{2}\) que \(2^{2^{i+\delta}-2^{i}m}+1\) soit un quarré c'est cequi ne peut avoir lieu puis que le seul cas ou \(2^{x}+1\) soit quarré est celui ou \(x=3\). [cela est faux parcequ'il suffit que \(2^{2^{i+\delta}-2^{i}.m}+1\equiv x^{2}\)] « T. », au bord gauche devant la première ligne, ouvre de même le troisième paragraphe (« Demême a cause de T. ») ; le sens de l'abréviation n'est pas donné sur la feuille. \(R\) est une capitale, entre deux lettres, de sens « est résidu de » d'après la suite ; elle est gardée telle quelle. Dans les exposants, le point de « \(2^{i}.m\) » est tantôt écrit, tantôt omis ; il est donné comme on le lit. « \(x=3\). » est écrit au début de la ligne suivante et souligné. « cela est faux parcequ'il suffit que … \(\equiv x^{2}\) » est serré entre les lignes, au-dessus et à droite de « \(x=3\) », d'une plume plus fine : une correction de sa main qui annule le raisonnement qui précède. Le signe final a trois traits.

Demême a cause de T. si \(bRa\) \(aRb\) \(a\) étant \(>b\) on a \(a=mb+d^{2}\) \(d<b\) soit \(a\) \(2^{2^{i}}+1\) et \(b=2^{n}-1\) on aura \[2^{2^{i}}+1=2^{2^{i}-xn}(2^{xn}-1)+2^{2^{i}-nx}+1.\] \[=2^{2^{i}-xn}(2^{n}-1)\,\{2^{n(x-1)}+2^{n(x-2)}+\ldots+1\}+2^{2^{i}-nx}+1\] on prendra \(x\) demaniere que \(2^{2^{i}-nx}+1\) soit \(<(2^{n}-1)^{2}\) il faut pour satisfaire, que \(2^{i}-nx=3\) par conséquent \(n\) ne peut être ni \(=2\) ni \(=3\) c'est adire que \(2^{2}-1=3\) et \(2^{3}-1=7\) sont non residus (mod \(2^{2^{i}}+1\)) c'est cequej'avois deja trouvé d'une autre maniere « soit \(a\) \(2^{2^{i}}+1\) » est écrit sans signe \(=\), et un petit « \(+\) » suit l'\(i\) de l'exposant. L'exposant « \(xn\) » de la première ligne est récrit et empâté. Le bas du feuillet est blanc.

734

Un grand feuillet monté sur une feuille de garde, écrit des deux côtés : le dos est la vue 735. En haut à droite, à l'encre, « 365 ». Écriture régulière et soignée, peu de ratures. Ce feuillet et les suivants (vues 734–741) changent de sujet : ce sont des extraits, en français, de mémoires sur le son et les cordes vibrantes, chacun annoncé par sa source.

Memoire de turin ^{2d ?} année 1761 Pag. 16 Theorie du son La Grange

La Courbe \(EKS\) de Newton (Prop. 49 liv. 2 des Principes) dont la circonference represente la durée de chaque oscillation ne peut etre un cercle comme il le pretend. Car 1.^o Les ebranlemens primitifs dependent absolument de l'impulsion du corps sonore ; laquelle peut etre quelconque ; par conséquent il est impossible que ces ébranlemens soient toujours exprimés par la même courbe, et encore moins par un cercle ; 2.^o Comme le cercle est une courbe rentrante, il est clair qu'on peut toujours trouver un arc \(=t-\uncertain{u}x\) dont l'abscisse representera sou suivant la cout construction l'excursion d'une particule quelconque distante comme l'on voudra de la particule \(E\) ; d'ou il s'en suit que toutes les particules de la fibre sonore infiniment prolongées de part et d'autre du point \(E\) doivent etre toutes en mouvement a la fois ; cequi détruit la propagation du son.

Nous venons de montrer que la courbe \(EKS\) ne peut être un cercle. Or je dis qu'elle ne peut pas même être une courbe algébrique, ou transcendante en général. Pour le prover prouver je remarque que la fonction \(\varphi\left(t-\frac{xT}{\sqrt{2hA}}\right)\) qui represente les excursions primitives des particules de la fibre pour un tems quelconque \(t\), doit aussi representer les excursions primitives, telles qu'elles sont engendrées dans le premier instant par l'action du corps sonore sur les particules de l'air contigu. Or il est clair que cette impression ne sauroit s'étendre a l'infini, mais qu'elle devra même etre renfermée dans un très petit espace autour du corps, a cause de l'extrême petitesse de ses vibrations ; d'ou il suit que dans le premier instant qu'il ne peut y avoir qu'un certain nombre de particules, dans la fibre aërienne qui soient mises en mouvement et pour lesquelles la valeur de \(\varphi\left(t-\frac{xT}{\sqrt{2hA}}\right)\) doive etre réelle ; il faudra en conséquence pour remplir cette condition, que la fonction \(\varphi\left(t-\frac{xT}{\sqrt{2hA}}\right)\) s'évanoüisse toujours d'elle même, lorsque \(x\) \(t\) étant \(=0\) \(x\) surpassera une quantité donnée. Soit a la longueur dela portion de la fibre qui est ébranlée au commencement il faudra avoir en général \(\varphi\left(-\frac{(a+z)T}{\sqrt{2hA}}\right)=0\) prenant pour \(z\) une quantité quelconque positive.

Telle devra donc être la nature dela courbe \(EHS\), d'ou depend la valeur de \(\varphi\), que tous les arcs exprimés par \(-\frac{(a+z)T}{\sqrt{2hA}}\) repondent toujours au même point de l'axe ou les abscisses ont leur origine c'est cequi ne […] sauroit avoir lieu dans aucune courbe soit géométrique soit transcendante, puisqu'il faudroit pour cela que dans un tel point elle se transforma tout a coup en une droite perpendiculaire a l'axe. Au-dessus de « 1761 », en exposant, « 2d » suivi d'un signe qui semble un point d'interrogation ; lu avec doute. Le titre est souligné d'un long trait. La lettre initiale du nom de la courbe, et celle de « la particule \(E\) », « du point \(E\) », est une capitale qu'on pourrait aussi lire P ; la deuxième lettre est un K aux deux premières occurrences, un H à la troisième (« \(EHS\) »), comme on les lit. Dans l'arc « \(t-ux\) », la lettre avant \(x\) est un petit u, lu avec doute. Au numérateur de « \(\frac{xT}{\sqrt{2hA}}\) », entre \(x\) et \(T\), une petite marque qui pourrait être un accent. « a » est souligné. Le mot barré avant « sauroit » est court et ne se lit pas.

735

Dos du feuillet 365 (vue 734), sans nombre de ce côté ; au-dessus de lui, sur la vue, une bande de papier blanc. Même écriture ; l'extrait se poursuit sans titre. Les lignes montent vers la droite, si bien que la fin de chaque ligne se trouve à la hauteur du début de la ligne précédente ; l'ordre donné ici est celui du sens.

Dela on voit la necessité d'admettre dans ce calcul d'autres courbes que celles que les géomètres ont considéré jusqu'apresent et d'employer un nouveau genre de fonctions variables indépendantes dela loi de continuité et qu'on peut très bien appeller fonctions irrégulières et discontinues. Mais ce n'est pas ici le seul usage qu'on doive faire de ces sortes de fonctions ; elles sont necessaires pour un grand nombre de questions importantes de Dynamique et d'hydrodinamique. Car lorsqu'on a un systême de corps ou de points mobiles, dont le nombre est infini, et qu'on en cherche les mouvemens, après les avoir derangés dequelque manière que cetoit de leur équilibre, il est facile de comprendre que tous ces mouvemens ne pourront être contenus dans une même formule, amoins qu'elle ne soit aussi appliquable au premier état du systême qui est tout-afait arbitraire et dans les lequel la loi de continuité est le plus souvent violée.

Probleme

Etant donné un systême d'un nombre infini de points mobiles dont chacun dans l'état d'équilibre soit déterminé par la variable \(x\) et dont le premier et le dernier qui répondent a \(x=0\) et a \(x=a\) soient supposés fixes ; trouver les mouvemens de tous les points intermédiaires dont la loi est contenue dans la formule \(\left(\frac{d^{2}z}{dt^{2}}\right)=c\left(\frac{d^{2}z}{dx^{2}}\right)\) \(z\) étant l'espace decrit par chacun d'eux durant un tems quelconque \(t\).

Qu'on multiplie cette equation par \(M\,dx\), \(M\) étant une fonction quelconque de \(x\) et qu'on l'intégre en ne fesant varier que \(x\) il est clair que si dans cette intégrale prise ensorte qu'elle évanoüisse lorsque \(x=0\), on fait \(x=a\) on aura la somme de toutes les valeurs particulières dela formule \(\left(\frac{d^{2}z}{dt^{2}}\right)M\,dx=c\int\left(\frac{d^{2}z}{dx^{2}}\right)M\,dx\), qui repondent a chaque point mobile du systême donné cette somme sera donc \(\int\left(\frac{d^{2}z}{dt^{2}}\right)M\,dx=c\int\left(\frac{d^{2}z}{dx^{2}}\right)M\,dx\).

Or l'intégrale \(\int\left(\frac{d^{2}z}{dx^{2}}\right)M\,dx\), ou la difference \(d^{2}z\) ne depend que dela variable \(x\), peut se transformer par les regles connues en \(\left(\frac{dz}{dx}\right)M-\int\left(\frac{dz}{dx}\right)\times\left(\frac{dM}{dx}\right)dx\) cette dernière intégrale se change demême en \(z\left(\frac{dM}{dx}\right)-\int z\left(\frac{d^{2}M}{dx^{2}}\right)dx\) de sorte que l'on aura \(\int\left(\frac{d^{2}z}{dx^{2}}\right)M\,dx=\left(\frac{dz}{dx}\right)M-z\left(\frac{dM}{dx}\right)+\int z\left(\frac{d^{2}M}{dx^{2}}\right)dx\) ; or puisque \(\int\left(\frac{d^{2}z}{dx^{2}}\right)M\,dx=0\) lorsque \(x=0\) si on suppose que \(\int z\left(\frac{d^{2}M}{dx^{2}}\right)dx\) le soit aussi il faudra que \(\left(\frac{dz}{dx}\right)M-z\left(\frac{dM}{dx}\right)\) evanoüisse de même dans ce point ; mais par hypothèse on a ici \(z=0\) [car \(z\) est l'espace parcouru et le premier point est supposé fixe], donc il suffira que l'on ait \(\left(\frac{dz}{dx}\right)M=0\) ou bien \(M=0\) lorsque \(x=0\). Par la notre équation intégrale deviendra \(\int\left(\frac{d^{2}z}{dt^{2}}\right)M\,dx=c\left[\left(\frac{dz}{dx}\right)M-z\left(\frac{dM}{dx}\right)\right]+c\int z\left(\frac{d^{2}M}{dx^{2}}\right)dx\) « Probleme » est centré et souligné, et un trait sépare l'énoncé de la solution. Dans la première formule « \(\left(\frac{d^{2}z}{dt^{2}}\right)M\,dx=c\int\ldots\) », le premier membre est écrit sans signe d'intégration, comme on le lit ; il l'a à la ligne suivante. Plusieurs dénominateurs « \(dx^{2}\) » ont un exposant qui ressemble à un 3 ; ils sont rendus \(dx^{2}\), comme le calcul le demande. Le mot barré devant « chaque » est court et lu « a » ; « les » barré devant « lequel ». Les crochets sont de l'écrit. La dernière formule atteint le bord droit du feuillet ; le bas du feuillet est blanc ; la suite est au feuillet 366 (vue 736), qui commence par « Posons \(x=a\) ».

736

Feuillet monté sur une feuille de garde, écrit des deux côtés (le dos est la vue 737). En haut à droite, à l'encre, « 366 », les deux 6 fermés en petites boucles. Même écriture que les vues 734–735 ; le texte continue sans titre la page précédente. La variable qu'on rend \(s\) est une lettre à longue haste, comme un s long ; le coefficient rendu \(\mu\) est un u précédé d'un crochet descendant, écrit sans crochet dans « \(\mu^{2}=\frac{1}{cK}\) », « \(\mu=\pm\frac{1}{\sqrt{cK}}\) ».

Posons \(x=a\) ; et puisque \(z\) s'évanoüit par hypothèse faisons disparoitre demême l'autre terme \(\left(\frac{dz}{dx}\right)M\) par une valeur convenable de \(M\) il ne restera après celaque la simple equation \(\int\left(\frac{d^{2}z}{dt^{2}}\right)M\,dx=c\int z\left(\frac{d^{2}M}{dx^{2}}\right)dx\). Soit supposé \(\left(\frac{d^{2}M}{dx^{2}}\right)=KM\). \(K\) designe une constante indeterminée dont on trouvera la valeur au moyen des conditions qu'on a déja attaché à la quantité \(M\) ; on aura \(\int\left(\frac{d^{2}z}{dt^{2}}\right)M\,dx=Kc\int zM\,dx\). Le signe de la dernière égalité est un \(=\) traversé d'un trait vertical, qu'on pourrait lire \(\pm\) ; rendu \(=\) par le sens. Au dénominateur de « \(\frac{d^{2}M}{dx^{2}}\) » l'exposant ressemble à un 3.

Soit encore \(\int zM\,dx=s\) ; prenant la difference de part et d'autre, dans la supposition que le seul \(t\) soit vari variable on a acause de \(M=\) fonction \(x\). \(\int\left(\frac{dz}{dt}\right)M\,dx=\left(\frac{ds}{dt}\right)\) et differentiant une seconde fois \(\int\left(\frac{d^{2}z}{dt^{2}}\right)M\,dx=\left(\frac{d^{2}s}{dt^{2}}\right)\) ; ces valeurs substituées dans la derniere équation intégrale, il en resulte \(\left(\frac{d^{2}s}{dt^{2}}\right)=cKs\) équation qu'il faut maintenant intégrer en ne regardant que le tems \(t\) com comme variable. Nous avons donc deux équations differentielles à intégrer dont l'une regarde simplement la variabilité de \(x\), et l'autre celle de \(t\), cequi fait qu'elles rentrent dans la classe ordinaire des equations a deux variables.

Soit d'abord supposé \(\frac{ds}{dt}=r\) on aura \(\frac{d^{2}s}{dt^{2}}=\frac{dr}{dt}\), et l'équation donnée se changera en \(\frac{dr}{dt}=cKs\) qu'on la multiplie par un coëfficient quelconque \(\mu\) et qu'on la joigne avec celle que l'on a fait par hypothèse, on aura \[\frac{ds+\mu\,dr}{dt}=\mu cKs+r=\mu cK\left(s+\frac{1}{\mu cK}r\right)\] soit fait \(\mu=\frac{1}{\mu cK}\) et par conséquent \(\mu^{2}=\frac{1}{cK}\), \(\mu=\pm\frac{1}{\sqrt{cK}}\), j'aurai donc \(\frac{ds+\mu\,dr}{dt}=\frac{1}{\mu}(s+\mu r)\) \[\frac{ds+\mu\,dr}{s+\mu r}=\frac{dt}{\mu}\] \[\text{log.}(s+\mu r)=\frac{t}{\mu}+A,\quad s+\mu r=Ae^{\frac{t}{\mu}}\] en substituant la valeur de \(\mu\) on a acause de l'ambiguité des signes . . . . \[s+\frac{r}{\sqrt{cK}}=Ae^{t\sqrt{cK}}\] \[s-\frac{r}{\sqrt{cK}}=Be^{t-\sqrt{cK}}\] \(B\) étant une nouvelle constante arbitraire. Dans « \(s+\mu\,dr\) » du dernier numérateur, le \(d\) est récrit sur une autre lettre. L'exposant de la dernière équation est écrit « \(t-\sqrt{cK}\) », là où la symétrie avec la précédente attend \(-t\sqrt{cK}\) ; il est donné comme on le lit, et de même plus bas.

Pour déterminer les valeurs de \(A\) et de \(B\), supposons que \(s\) et \(r\) deviennent \(S\) et \(R\) lorsque \(t=0\) nous aurons \(S+\frac{R}{\sqrt{cK}}=A\), \(S-\frac{R}{\sqrt{cK}}=B\) substituant ces valeurs et joignant ensemble les deux équations il nous vient \[s=S\,\frac{e^{t\sqrt{cK}}+e^{t-\sqrt{cK}}}{2}+\frac{R}{\sqrt{cK}}\times\frac{e^{t\sqrt{cK}}-e^{-t\sqrt{cK}}}{2}\] de même en retranchant les équations l'une de l'autre, on trouve \[r=R\times\frac{e^{t\sqrt{cK}}+e^{t-\sqrt{cK}}}{2}+S\sqrt{cK}\times\frac{e^{t\sqrt{cK}}-\ill{}^{\,t\sqrt{cK}}}{2}\] ces équations se réduisent a la forme suivante qui est beaucoup plus simple \[s=S\,\text{cos.}\,t\sqrt{-cK}+\frac{R}{\sqrt{-cK}}\,\text{sin.}\,t\sqrt{-cK},\quad r=R\,\text{cos}\,t\sqrt{-cK}-S\sqrt{-cK}\,\text{sin.}\,t\sqrt{-cK}.\] Le signe de « \(S-\frac{R}{\sqrt{cK}}=B\) » est un trait empâté, lu \(-\). Dans la formule de \(s\), le \(S\) est récrit sur une autre lettre. Dans celle de \(r\), la base et le signe de la seconde exponentielle sont sous une tache d'encre ; l'exposant qui la suit se lit « \(t\sqrt{cK}\) ». Dans « \(\frac{R}{\sqrt{-cK}}\) », le signe \(-\) est un trait épais sous le radical.

Or \(s\) est par supposition \(=\int zM\,dx\) et \(r=\frac{ds}{dt}=\int\left(\frac{dz}{dt}\right)M\,dx\), ou bien puisque \(\frac{dz}{dt}\) exprime la vitesse qui repond a l'espace \(z\) et au tems \(t\), si on denote cette vitesse par \(u\), on \(r=\int uM\,dx\). Pour avoir demême les valeurs de \(S\) et de \(R\) supposons que \(Z\) soit en général la valeur de \(z\) et \(V\) celle de \(u\) au commencement du mouvement « on \(r=\) » est écrit ainsi, sans verbe. La phrase se poursuit au dos (vue 737).

737

Dos du feuillet 366, sans nombre de ce côté ; même écriture. Les lignes montent vers la droite ; l'ordre donné est celui du sens. Le bas du feuillet est blanc, sauf un trait court sous le dernier paragraphe.

lorsque \(t=0\), on aura \(S=\int ZM\,dx\) et \(R=\int VM\,dx\) substituant ces valeurs on changera les équations précédentes en celles-ci \[\int zM\,dx=\text{cos.}\,t\sqrt{-cK}\int ZM\,dx-\frac{\text{sin.}\,t\sqrt{-cK}}{\sqrt{-cK}}\int VM\,dx\] \[\int uM\,dx=\text{cos.}\,t\sqrt{-cK}\int ZM\,dx+\sqrt{-cK}\,\text{sin.}\,t\sqrt{-cK}\int ZM\,dx.\] Comparées aux formules de \(s\) et de \(r\) de la vue 736, ces deux lignes diffèrent : dans la première, le signe du second terme est \(-\) (la formule de \(s\) a \(+\)) ; dans la seconde, le premier terme porte \(\int ZM\,dx\) là où \(R\) donnerait \(\int VM\,dx\), et le second a \(+\) là où la formule de \(r\) a \(-\). La feuille est laissée comme on la lit.

Il ne nous reste plus qu'a trouver la valeur de \(M\) par la resolution de l'équation \(\frac{d^{2}M}{dx^{2}}=KM\), qu'on integrera par la même methode que nous avons pratiqué cidessus ; prenant deux constantes arbitraire \(C\) et \(D\) on trouvera aisément que la valeur de \(M\) est en général \(Ae^{x\sqrt{K}}+Be^{-x\sqrt{K}}\) ; or \(M\) doit premièrement être \(=0\) lorsque \(x=0\) cequi donne \(A+B=0\) \(A=-B\) par conséquent \(M=A(e^{x\sqrt{K}}-e^{-x\sqrt{K}})\). changeons la constante \(A\) et supposons la divisée par \(2\sqrt{-1}\) on aura plus simplement \(M=A\,\text{sin.}\,x\sqrt{-1}\). Les constantes sont annoncées « \(C\) et \(D\) » et écrites \(A\) et \(B\) dans la formule. « \(M=A\,\text{sin.}\,x\sqrt{-1}\) » est écrit ainsi, avec \(\sqrt{-1}\) là où la suite porte \(\sqrt{-K}\).

Il faut maintenant faire ensorte que \(M\) évanoüisse lorsque \(x=a\), d'ou l'on a \(A\,\text{sin}\,a\sqrt{-K}=0\) et prenant pour \(\nu\) un nombre negatif quelconque entier positif ou negatif \(a\sqrt{-K}=\frac{\nu\pi}{\uncertain{a}}\) cequi apprend que \(\sqrt{-K}\) peut avoir une infinité de valeurs différentes…… « negatif » est barré en tête de ligne, et une ligne de points verticale, peut-être une tache, passe entre « quelconque » et « entier ». La lettre rendue \(\nu\) est un v bouclé, comme à la vue 736. Le dénominateur de \(\frac{\nu\pi}{a}\) est un petit signe lu \(a\) avec doute ; ainsi écrite, l'égalité répète le facteur \(a\).

Remarque

Comme laquestion est de trouver les mouvemens d'une infinité de points mobiles, dans la supposition que leur état d'équilibre ont été derangé d'une manière quelconque, on ne peut exprimer, ainsi qu'on l'a prouvé plus haut, exprimer tous ces mouvemens par une seule formule générale ; mais il faut regarder au contraire chaque point mobile comme isolé, et en chercher le mouvement, en resolvant comme autant de problèmes ala fois, qu'il y a de points mo mobiles dans le systême donné On trouve une infinité de valeurs de la constante \(K\), qui toutes lui conviennent également et dont le nombre repond a celui des équations que l'on resout alafois. C'est de ce nombre infini de valeurs de \(K\), que depend ensuite la détermination de toutes les valeurs de \(z\). « Remarque » est souligné. Avant « été », un mot court lu « ont » avec doute (« ait » est possible). Un trait sous le dernier paragraphe ferme l'extrait.

738

Un feuillet monté sur une feuille de garde, écrit des deux côtés (le dos est la vue 739). En haut à droite, à l'encre, « 367 ». Même écriture que les vues 734–737 : un nouvel extrait, sur la sommation des suites de cosinus et la dispute de d'Alembert et de Lagrange. Au-dessus du feuillet, en haut de la vue, dépasse le bord d'un autre feuillet, où se lit le haut d'un nombre, sans doute celui du feuillet suivant (vue 740, « 368 »).

La Grange (1 2d. de T. P. 69) cherche la somme de la suite \(\text{cos}\,x+\text{cos}\,2x+\text{cos.}\,3x+\text{cos.}\,4x+\&c.\) que l'on peut mettre sous cette forme \[\frac{e^{x\sqrt{-1}}+e^{2x\sqrt{-1}}+e^{3x\sqrt{-1}}+\&c.}{2}+\frac{e^{-x\sqrt{-1}}+e^{-2x\sqrt{-1}}+e^{-3x\sqrt{-1}}+\&c.}{2}\] ces deux suites traitées comme deux progressions géométriques infinies se changent par les regles com connues en \[\frac{e^{x\sqrt{-1}}}{2(1-e^{x\sqrt{-1}})}+\frac{e^{-x\sqrt{-1}}}{2(1-e^{-x\sqrt{-1}})}.\] Car en général \(s=\frac{dm-p}{m-1}\) et ici \(m=e^{x\sqrt{-1}}\) ou \(e^{-x\sqrt{-1}}\) et \(d=0\) si on suppose que la serie \(\text{cos}\,x+\text{cos}\,2x+\&c.\) s'arrête au terme \(\text{cos}\,mx\) le même calcul donne pour la somme \[\frac{e^{x\sqrt{-1}}-e^{(m+1)x\sqrt{-1}}}{2(1-e^{x\sqrt{-1}})}+\frac{e^{-x\sqrt{-1}}-e^{-(m+1)x\sqrt{-1}}}{2(1-e^{-x\sqrt{-1}})}=\frac{\text{cos.}\,x-1+\text{cos}\,mx-\text{cos}(m+1)x}{2(1-\text{cos.}\,x)}\] \[=\frac{\text{cos.}\,mx-\text{cos.}(m+1)x}{2(1-\text{cos.}\,x)}-\frac{1}{2}\] La référence entre parenthèses se lit « 1 2d. de T. P. 69 », peut-être « T. 1. p. 69 » ; les deux premiers signes et la lettre avant 69 sont incertains. Dans la seconde fraction de la première ligne et dans les suivantes, le signe \(-\) des exposants est un trait épais, parfois empâté. Dans la formule générale de la somme, les lettres \(d\), \(m\), \(p\) sont celles d'une progression dont \(d\) serait le dernier terme ; elles sont données comme on les lit. Dans la dernière ligne, le \(-\) devant \(\frac{1}{2}\) est un gros trait empâté. Un long trait sépare ce calcul de la suite.

D'Alembert objecte contre la sommation des series exponentielles imaginaires que l'on a eu tort que l'on de supposer le dernier terme nul comme on le fait communément lorsque la serie va a l'infini parceque dans la suite \(e^{x\sqrt{-1}}+e^{2x\sqrt{-1}}+\&c.\) le dernier terme est \(e^{\infty\sqrt{-1}}\) quantité qui est infinie au lieu d'être zéro.

Or je demande (repond La Grange (S. 2 T. P. 317) si toutes les fois que dans une formule algébrique il se trouvera par exemple une serie géométrique telle que \(1+x+x^{2}+x^{3}+\&c.\) on ne sera pas endroit d'y substituer \(\frac{1}{1-x}\), quoique cette quantité ne soit reellement égale a la somme de la serie proposée, qu'en supposant le dernier terme \(x^{\infty}\) nul. Il me semble qu'on ne sauroit contester l'exactitude d'une telle substitution sans renverser les principes les plus communs de l'analyse. La parenthèse ouverte avant « repond » n'est pas fermée. Dans la référence, la première lettre, lue S. avec doute, a la forme du § de « §126 » (vue 724).

[je crois voir la solution des difficultés de ce genre dans les differens rapports sous lesquels on considere les suites, d'abord lorsqu'il s'agit de leur formation on veut exprimer [faire connoître] que les exposans de la variable \(x\), en prenant l'exemple rapporté cidessus, vont toujours en augmentant sans qu'on puisse concevoir de terme a cet augmentation lorsque la serie est infinie, et c'est ce que l'on exprime fort bien en indiquant \(x^{\infty}\) comme le dernier terme de cette suite. Mais lorsqu'il s'agit de la sommation la serie est toute formée et il resulte de sa nature qu'elle ne doit pas avoir de dernier terme et c'est là ce que suppose le calcul en fesant \(d=0\). Ainsi \(x^{\infty}\) ne doit être y regardé que comme la limite de \(x\). \(x^{2}\). \(x^{3}\) &c. et parconséquent on n'a nul besoin de supposer l'absurdité exprimée par l'équation \(x^{\infty}=0\)] Les crochets sont de l'écrit : ils enferment une remarque à la première personne, qui n'est plus l'extrait. « faire connoître » est écrit au-dessus de « exprimer », barré. Après « être », une petite lettre à queue, lue « y » avec doute. Les deux dernières lignes sont d'une écriture plus petite et plus serrée, jusqu'au bas du feuillet.

739

Dos du feuillet 367, sans nombre de ce côté ; même écriture, l'extrait continue. Les lignes montent vers la droite ; l'ordre donné est celui du sens. Les guillemets répétés en tête de ligne marquent la citation de d'Alembert, comme ailleurs dans ce volume. Le bas du feuillet est blanc ; on y voit, par transparence, le recto à l'envers.

M^r D'Alembert apporte encore un argument particulier pour prouver que la somme dela suite \(\text{cos}\,x+\text{cos}\,2x+\text{cos}\,3x+\&c.\) a l'infini ne peut pas être \(-\frac{1}{2}\) comme je l'ai trouvée par mon calcul. Il suppose \(x=45^{\circ}\), et il trouve que cette suite devient \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), \(0\), \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\), \(-1\), \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\), \(0\) \(+\frac{1}{\sqrt{2}}\), \(+1\) &c. après quoi elle recommence : « or, dit-il, la somme de « cette suite finie est, ou \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), ou \(0\), ou \(-1\) ou \(-1-\frac{1}{\sqrt{2}}\) selon qu'on « y prendra plus ou moins de termes. Donc la somme de la suite « entière est aussi ou \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), ou \(0\) ou \(-1\) ou \(-1-\frac{1}{\sqrt{2}}\), selon le nombre « des termes qu'on y prendra, quelque soit d'ailleurs, quelque soit « d'ailleurs ce nombre de termes fini ou infini ». Et cette somme ne sera point « \(=-\frac{1}{2}\), a moins que […] ne soit \(=\) a une infinité de fois la circonference, non \(45^{\circ}+\) une infinité de fois la circonference ». « comme je l'ai trouvée » : c'est Lagrange qui parle, l'extrait étant écrit à la première personne de l'auteur cité. « \(\text{cos}\,2x\) » a le 2 récrit sur une autre lettre. Les deux dernières lignes de la citation sont barrées d'un trait ; le groupe après « a moins que » (une lettre, un signe \(+\), « \(45^{\circ}\) ») est pris dans la rature et ne se lit pas avec sûreté.

Je repons qu'avec un pareille raisonnement on soutiendroit aussi que \(\frac{1}{1+x}\) n'est point l'expression générale de la somme de la suite infinie \(1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-\&c.\) parceque en fesant \(x=1\) on a \(1-1+1-1+1-\&c.\) cequi est ou zero ou \(1\) selon que le nombre des termes qu'on prend est pair ou impair. Or je ne crois pas qu'aucun geno géomètre voulut admettre cette conclusion. Le \(x^{2}\) de la suite est récrit et empâté.

[Lorsqu'il s'agit de prendre la somme d'une suite infinie on ne peut pas pas supposer que les termes soient ennombre

[Quelque loi que suive une progression il est evident que lorsqu'on la suppose infinie sa somme doit être differente de cequ'elle seroit si on s'arretoit a un terme quelconque de cette suite puisque la condition est alors ne ne s'arrêter a aucun terme. A l'égard de l'exemple qui sert de sujet aux raisonnemens de d'Alembert, si on prend les quatre sommes \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), \(0\), \(-1\), \(-1-\frac{1}{\sqrt{2}}\) on verra qu'il faudra ajouter pour les rendre \(=-\frac{1}{2}\) : \(-\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\), \(-\frac{1}{2}\), \(+\frac{1}{2}\), \(+\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\) mais on a Pag. D. \[S=\frac{\text{cos}\,mx-\text{cos}(m+1)x}{2(1-\text{cos}\,x)}-\frac{1}{2}\] et il est evident que le terme \(\frac{\text{cos}\,mx-\text{cos}(m+1)x}{2(1-\text{cos}\,x)}\) qui n'est susceptible que de quatre valeurs a cause des signes differens de \(\text{cos}\,mx\) et \(\text{cos}(m+1)x\) est la cause des differences entre les sommes indiquées et \(-\frac{1}{2}\)] Les crochets sont de l'écrit, comme au recto : la remarque entre crochets n'est plus l'extrait. Le premier crochet ouvre deux lignes barrées d'un trait chacune ; le second ouvre la remarque qui suit, fermée après « \(-\frac{1}{2}\) ». « les rendre \(=-\frac{1}{2}\) » est écrit en plus petit, serré dans la marge. Après « mais on a », un groupe lu « Pag. D. » avec doute, puis la formule de \(S\) en tête de la ligne suivante. Dans « \(\text{cos}(m+1)x\) » de l'avant-dernière ligne, le 1 est empâté.

740

Un feuillet monté sur une feuille de garde, écrit des deux côtés (le dos est la vue 741, hors de ce lot). En haut à droite, à l'encre, « 368 ». Même écriture que les vues 734–739 : un nouvel extrait, annoncé par sa source. Le bas de la vue, sous le feuillet, est la garde, blanche.

3 V. Des Memoires de Turin — Eclercissement sur le mouvement des cordes vibrantes Par Euler Le titre, souligné sous « vibrantes Par Euler », s'ouvre sur « 3 » suivi d'une capitale lue V. avec doute (« 3 v. », le troisième volume, est possible). « Euler » est écrit avec le E en forme de L que hand.md relève ailleurs dans ce volume (« Lobr », v. 419–420) ; la lecture est sûre ici par « Par ». Au-dessus du Q initial du paragraphe suivant, une petite marque en forme d'astérisque.

Quand on demande le mouvement dela corde après qu'elle aura reçu une impulsion quelconque, il faut absolument que la figure qui lui a été imprimée d'abord soit telle, que non seulement toutes les ordonnées soient presqu'infiniment petites mais que l'inclinaison de tous les élémens de la courbe soient aussi infiniment petite. On pourroit encore ajouter cette condition qu'on ait imprimé en même tems a chaque élement dela corde un certain mouvement selon la direction de l'ordonnée et ce mouvement initial doit aussi etre telle, qu'il n'en resulte aucun saut dans la suite ; ou bien que la figure de la corde demeure toujours conforme aux loix prescrites.

Question

Ayant reduit la corde tendue à une figure quelconque, si aumoment qu'on la relache, on imprime encore a chaque élement de la corde un mouvement quelconque ; on demande pour chaque moment du tems suivant tant la figure que le mouvement de la corde.

Soit \(AB\) la corde fixe dans ses deux extremités \(A\) et \(B\), et tendue par une force quelconque, a laquelle on ait imprimé aucommencement la figure \(ASB\), et d'abord cette courbe doit être telle que 1.^o toutes ses appliquées soient presqu'infiniment petites et 2.^o que toutes ses tangentes ne s'éloignent qu'infiniment peu de l'axe \(AB\). « Question » est centré et souligné ; un court trait le sépare de ce qui suit. À droite de ces quatre lignes, une figure à la plume : l'axe horizontal \(AB\) ; au-dessus et au-dessous, une grande courbe fermée qui passe par \(A\) et \(B\), coupée en \(M\) (en haut) et \(V\) (en bas) par une verticale qui rencontre l'axe en \(X\) ; entre l'axe et la branche supérieure, une courbe plus plate, de \(A\) à \(B\), qui coupe la verticale en \(S\), juste au-dessus de \(X\).

Ces deux conditions sont si naturellement liées avec la tension de la corde a une telle figure ou ces deux conditions n'eussent pas lieu, dela il est clair que la figure initiale peut être variée a l'infini, et qu'elle dépend entièrement de nôtre volonté. Il est donc possible de donner a la courbe une telle figure, que ne sauroit être exprimée par aucune équation analytique, comme si on la tiroit par un mouvement libre de la main, sans qu'aucune loi de continuité y ait lieu. La première phrase est écrite ainsi ; elle ne se construit pas, et rien ne semble y manquer sur la feuille.

Il n'y certainement aucun doute, qu'on ne puisse imprimer a la corde une telle figure, et ou pourtant les deux conditions aient lieu. Pour s'en assurer on n'a qu'a tirer de \(AOB\) une ligne courbe quelconque \(AMB\), en observant cette seule condition, qu'il n'y ait nulle part une tangente perpendiculaire a l'axe : alors en diminuant toutes les appliquées \(XM\) presqu'a l'infini selon un même rapport desorte que \(XS=\alpha XM\), prenant \(\alpha\) pour une fraction extrèmement petite, non seulement toutes les appliquées \(XS\) deviendront infiniment petites, mais aussi les tangentes dans tous les points \(S\) seront infiniment peu inclinées a l'axe \(AB\), tout comme les deux conditions prescrites l'exigent : « n'y certainement » est écrit sans verbe. « \(AOB\) » : la lettre du milieu est un petit rond, qui ne figure pas sur le dessin. Le coefficient rendu \(\alpha\) est un petit « u » ; les deux dernières lignes, plus serrées, vont jusqu'au bord du feuillet. Le texte continue au dos (vue 741, hors de ce lot).