Français 9115 · lot 38 · vues 741–750 · Transcription · Papiers de Sophie GERMAIN. — Recueil de dissertations et problèmes mathématiques et physiques.
Datation du catalogue : 1801-1900
Source gallica.bnf.fr / Bibliothèque nationale de France
Lecture automatique — non vérifiée

TEI P5 source — open the XML · download batch-38.fr.xml

Numérotation des feuillets. En haut à droite, à l'encre, d'une écriture plus ronde, la série qui court dans tout le volume : 369 (vue 742), 370 (744), 371 (746), 372 (748), sur le recto seulement, à la suite de 368 (vue 740, hors de ce lot) ; les versos (vues 741, 743, 745, 747, 749) ne portent pas de numéro. Sur la vue 750, feuillet blanc qui clôt le volume, en haut à droite, un nombre à l'encre lu « 373 », barré de deux traits horizontaux. Le dernier nombre non barré, 372, est le nombre de feuillets que donne la notice du volume (« 372 feuillets ») ; la série occupe la place de la foliotation de la Bibliothèque, mais elle est tracée à la plume : aucun « f. » n'est donc porté. Aucune mention du type « Volume de … feuillets » n'est visible sur la dernière vue. Tous ces nombres ont été lus sur la vue ; aucun n'est déduit. La vue 750 n'est pas transcrite : feuillet blanc, où transparaissent quelques traces d'écriture de l'autre face, non photographiée.

741

Verso du feuillet de la vue 740 (encre 368, en haut à droite), dont le recto, hors de ce lot, porte le titre « 3 V. des Memoires de Turin — Eclaircissemens sur le mouvement des cordes vibrantes Par Euler ». La page commence un nouvel alinéa, à la suite de ce recto. Aucun numéro écrit de ce côté.

On ne sauroit douter non plus qu'après avoir imprimé a la corde une telle figure discontinue ou irréductible a aucune équation analytique, la corde étant subitement relachée, soit qu'on lui imprime encore quelque mouvement ou non, n'en recoive un certain mouvement de vibration.

Mais si la théorie nous conduit à une solution si générale, qu'elle s'etend aussi bien à toutes les figures discontinues que continues il faudra avouer, que cette recherche ouvre une nouvelle carrière dans l'analyse. En effet j'ai remarqué a cette occasion, que la partie de l'analyse des infinis, a laquelle cette question appartient, renferme essentiellement ce caractère, qu'elle recoit dele fonctions absolument arbitraires, pendant que de telles fonctions sont entièrement bannies de l'analyse ordinaire qu'on a cultivée jusqu'ici, qui roule principalement sur des fonctions d'une seule variable. Mais l'analyse dont nous avons besoin ici, s'occupe des fonctions de deux ou plusieurs variables: ou cela arrive de bien remarquable, que chaque intégration introduit dans le calcul une fonction absolument arbitraire. « qu'elle recoit dele fonctions » : le mot, en un seul trait, se lit « dele » ; on attendrait « des ». Après « cultivée », un petit signe en forme de croix, peut-être un renvoi sans note correspondante sur la page. « ou cela arrive » : ainsi, sans accent.

[c'est cequ montre l'équation \(y = \Gamma{:}(x+ct) + \Delta{:}(x-ct)\) ou \(\Gamma{:}(x+ct)\) marque une fonction quelconque de la quantité \(x+ct\), \(\Delta{:}(x-ct)\) une fontion aussi quelconque de \((x-ct)\), qui l'intégrale de \(cc\left(\frac{ddy}{dx^{2}}\right) = \left(\frac{ddy}{dt^{2}}\right)\) equation aux cordes vibrates] Les crochets sont sur la feuille : ce passage entre crochets paraît une explication ajoutée à la traduction, non le texte d'Euler ; c'est une inférence. « cequ », « fontion », « qui l'intégrale » (pour « qui est l'intégrale ») et « vibrates » : ainsi écrits. Le deux-points après \(\Gamma\) et \(\Delta\) est la notation des fonctions, conservée.

Lorsque l'on veut considerer des cordes qui ne soient pas uniformement epaisses on a aulieu de \(cc\left(\frac{ddy}{dx^{2}}\right) = \left(\frac{ddy}{dt^{2}}\right)\) dans laquelle \(c\) est une constante; \(rr\left(\frac{ddy}{dx^{2}}\right) = \left(\frac{ddy}{dt^{2}}\right)\) et \(r\) represente une fontion de \(x\) donnée par la grosseur et la tension de la corde l'intégrale de cette équation est engénéral de la forme \[y = P\Gamma{:}\left(\int u\,dx + t\right) + Q\Gamma'{:}\left(\int u\,dx + t\right) + R\Gamma''{:}\left(\int u\,dx + t\right) + \&c.\] ou \(P\), \(Q\), \(R\) &c. demême que \(u\) sont de certaines fonctions dela seule variable \(x\). Ensuite puisque la quantité \(t\) se peut prendre tant aussi bien negativement que positivement, pour compléter l'intégrale on y doit ensuite ajouter encore ces termes \[P\Delta{:}\left(\int u\,dx - t\right) + Q\Delta'{:}\left(\int u\,dx - t\right) + R\Delta''{:}\int\left(u\,dx - t\right) + \&c.\] qui n'exigent donc point une recherche particulière « et \(r\) represente » : entre « et » et « represente » un \(r\) se lit mal, comme redoublant l'initiale du verbe. « tant aussi bien » : ainsi. Dans le dernier terme, le signe \(\int\) est écrit devant la parenthèse, et non dedans comme dans les deux premiers ; conservé. Les signes \(-\) de la seconde série sont un trait suivi d'un point, qu'on lit « \(-\) » par l'opposition annoncée entre \(t\) positif et négatif.

Dans le cas ou on a simplement \[y = x\Gamma{:}\left(\frac{\beta}{x} - t\right) + x\Delta{:}\left(\frac{\beta}{x} + t\right) \quad \text{et ou parconséquent}\] \[P = x, \quad \text{et} \quad \int u\,dx = -\frac{\beta}{x}\] les cordes ont cela de commun avec les cordes uniformement epaisses, que de quelque manière qu'on les ébranle, elles produisent toujours des vibrations regulières. Le fondement de cette proprieté est, qu'en quelqu'état que la corde soit mise au commencement elle y doit necessairement revenir après un certain tems; or dans les autres espèces de cordes ce rétablissement dans le premier état n'arrive La phrase se poursuit à la vue 742.

742

En haut à droite, à l'encre, « 369 ». Le feuillet est monté bas sur sa feuille de garde ; au-dessus de son bord, sur la tranche d'un autre feuillet qui dépasse, se lit « 370 » : c'est le numéro du feuillet suivant (vue 744), non de celui-ci. La phrase de la vue 741 continue en tête de page.

peut-être jamais, et quand il arrive ce n'est que sous de certaines circonstances sous lequel le son ne sauroit être regulier ou formé par des vi vibrations isochrones. « sous lequel » : ainsi, au singulier. « isochrones » est souligné. Le passage tiré d'Euler s'achève sur cette phrase ; la suite est donnée sous le nom de Lagrange.

La Grange Pag. 259 du même volume

On pourroit douter s'il ne faut pas que la courbe initiale de la corde soit comprise aussi dans l'équation \(y = \alpha\,\text{sin.}\,\pi x + \beta\,\text{sin.}\,2\pi x + \&c.\) Il est certain que si on veut que la courbe génératrice soit la même géométriquement que la courbe initiale, il faut que celle-ci soit renfermé dans l'équation \(y = \alpha\,\text{sin}\,\pi x + \&c.\) Je dis la même géométriquement car il suffit que la difference de ces deux courbes soit moindre qu'aucune grandeur donné pour qu'elles puissent être prises pour les mêmes. Or il est clair que, quelque soit la courbe initiale on peut toujours faire passer, par une infinité de points infiniment proches de cette courbe, une autre courbe de la forme \(y = \alpha\,\text{sin}\,\pi x + \&c.\) de manière que la difference entre ces deux courbes soit aussi petite que l'on voudra, quoique cette difference ne puisse devenir absolument nulle que dans le cas ou la courbe initiale sera aussi dela même forme; dans tous les autres cas cette courbe initiale ne sera qu'une espèce d'assymptôte dont la courbe génératrice pourra s'approcher a l'infini, sans qu'elle puisse jamais coincider entièrement. « Pag. 259 » est souligné ; « du même volume » renvoie, semble-t-il, au volume des Mémoires de Turin nommé en tête de la vue 740. Le \(\pi\) est écrit comme deux jambages, « \(11\) » ; le premier coefficient comme un « a » ou « u », le second comme un \(\beta\) fermé. « donné », « renfermé » : ainsi, sans accord. Une tache d'encre sur « nulle ».

On demontre dans le même memoire que l'équation dela figure initiale de la corde lorsqu'elle en a une, ne peut être que de la forme \[y = \alpha\,\text{sin.}\,\frac{\pi x}{a} + \beta\,\text{sin.}\,\frac{2\pi x}{b} + \gamma\,\text{sin.}\,\frac{3\pi x}{c} + \&c.\] Les dénominateurs se lisent \(a\), \(b\), \(c\), et non trois fois la même longueur ; transcrits tels. Le troisième coefficient est tracé comme un « \(\vartheta\) », qui est son \(\gamma\) ailleurs dans le volume.

A la Pag. 275 du même mémoire on y trouve l'équation \(r = a + iy\) \(i\) étant un coëfficient très petit et \(y\) une nouvelle variable et par conséquent \[\Delta r = \Delta(a + iy) = \left(\text{en supposant } \frac{d.\Delta r}{dr} = \Delta' r,\ \frac{d.\Delta' r}{dr} = \Delta'' r\ \&c.\right)\] \[= \Delta a + i\Delta' a\,y + i^{2}\frac{\Delta'' a}{2}\,y^{2} + i^{3}\frac{\Delta''' a}{2.3}\,y^{3} + \&c.\]

[cequi est bien près de la théorie des fonctions.] « Pag. 275 » : le mot est souligné. Le crochet final est sur la feuille, comme à la vue 741 : remarque du copiste sur la page de Lagrange, rapprochée de la théorie des fonctions analytiques ; l'attribution est une inférence. Le bas de la page est blanc.

743

Verso du feuillet 369 (vue 742) ; aucun numéro écrit de ce côté : ce qui paraît en haut à gauche est le « 369 » du recto lu par transparence, à rebours. Un nouveau morceau commence ici, sous un titre.

Mémoire de La Grange sur l'intégration de quelques équations differentielles dont les indéterminées sont séparées, mais dont chaque membre en particulier n'est point intégrable

T. 4 « T. 4 », sous le titre, au-dessus d'un trait : sans doute le tome du recueil où se trouve le mémoire ; c'est une inférence.

La séparation des indéterminées est regardée avec raison comme un des meilleurs moyen que les géometres ayent imaginés pour intégrer les équations differentielles du premier ordre. En effet il est clair que quand on a séparé les indéterminées dans une équation, on peut alors regarder chacun des membres comme une differentielle particulière qui ne contient qu'une variable; de sorte qu'il n'y a plus qu'a prendre séparement l'intégrale de l'un et de l'autre membre, en y ajoutant une constante arbitraire. Delà il semble qu'on pourroit conclure que lorsque les deux membres de l'équation […] ainsi separée ne sont point integrables l'équation elle-même ne doit pas l'etre non plus; c'est ce qui est vrai en effet dans la plus part des équations differentielles; mais il se trouve néanmoins des cas, ou cette conclusion seroit fausse, et qui vont faire le sujet de ce mémoire. « un des meilleurs moyen » : ainsi, au singulier. Devant « ainsi », un mot bref barré d'un trait, qu'on ne lit pas (quelque chose comme « iute »). « mémoire », à la fin de l'alinéa, est souligné.

Pour commencer par les cas les plus simples nous prendrons l'équation \(\frac{dx}{\sqrt{(1-x^{2})}} = \frac{dy}{\sqrt{(1-y^{2})}} \ldots\ldots (\text{A})\) dans laquelle tout est separé comme l'on voit. Il est d'abord evident que les deux membres de cette équation ne sont point intégrables au moins algébriquement; cependant on sait que l'équation en elle-même admet une intégrale algébrique. En effet \(\frac{dx}{\sqrt{(1-x^{2})}}\) est la differentielle de l'arc dont le le sinus est \(x\), demême que \(\frac{dy}{\sqrt{(1-y^{2})}}\) est la differentielle de l'arc dont le sinus est \(y\) on aura en prenant les arcs aulieu de leurs differentielles et ajoutant une constante quelconque \(C\) et supposant \(C = \text{arc. dont le sinus est } a\) \[\text{arc sin.}\,x = \text{arc sin.}\,y + \text{arc sin.}\,a\] c'est-adire que l'arc qui repond au sinus \(x\) doit être égal à la somme des arcs qui repondent aux sinus \(y\) et \(a\). de sorte que l'on aura par les théorèmes connus \[x = y\sqrt{(1-a^{2})} + a\sqrt{(1-y^{2})} \ldots\ldots (\text{B})\] [en effet on a engénéral \(\text{sin.}(m+n) = \text{sin.}\,n\,\text{cos.}\,m + \text{sin.}\,m\,\text{cos.}\,n\) et il est visible que \(\sqrt{(1-a^{2})}\) et \(\sqrt{(1-y^{2})}\) representent les cosinus des arcs dont les sinus sont \(a\) et \(y\)] C'est l'intégrale de la proposée, dans laquelle \(a\) est la constante arbitraire. « dont le le sinus » : le « le » est écrit deux fois, sans rature. Dans (B), le premier \(a\) est écrit comme un \(\alpha\). Le crochet est sur la feuille, comme aux vues 741 et 742. Le texte s'arrête au bas du feuillet et reprend à la vue 744.

744

En haut à droite, à l'encre, « 370 » : le numéro qui dépassait au-dessus du feuillet de la vue 742. Le texte suit, sans rupture, celui de la vue 743 (mémoire de Lagrange, équation (A)).

J'avoue qu'on peut trouver cette intégrale sans le secours des théorèmes sur les sinus, en intégrant chaque membre de l'équation (A) par les logarithmes imaginaires, et passant ensuite des logarithmes aux nombres de cette manière on aura [en mettant \(\frac{dx}{\sqrt{(1-x^{2})}} = \frac{dy}{\sqrt{(1-y^{2})}}\) sous la forme \[\frac{dx\left[\sqrt{(1-x^{2})} + x\sqrt{-1}\right]}{\sqrt{(1-x^{2})}\left[\sqrt{(1-x^{2})} + x\sqrt{-1}\right]} = \frac{dy\left[\sqrt{(1-y^{2})} + y\sqrt{-1}\right]}{\sqrt{(1-y^{2})}\left[\sqrt{(1-y^{2})} + y\sqrt{-1}\right]}\] multipliant les deux membres par \(\sqrt{-1}\) \[\frac{dx\sqrt{-1}}{\sqrt{(1-x^{2})} + x\sqrt{-1}} - \frac{x\,dx}{\sqrt{(1-x^{2})}\left[\sqrt{(1-x^{2})} + x\sqrt{-1}\right]}\] \[= \frac{dy\sqrt{-1}}{\sqrt{(1-y^{2})} + y\sqrt{-1}} - \frac{y\,dy}{\sqrt{(1-y^{2})}\left[\sqrt{(1-y^{2})} + y\sqrt{-1}\right]}\] ou \(\left[dx\sqrt{-1} - \frac{x\,dx}{\sqrt{(1-x^{2})}}\right] : \sqrt{(1-x^{2})} + x\sqrt{-1} = \left[dy\sqrt{-1} - \frac{y\,dy}{\sqrt{(1-y^{2})}}\right] : \sqrt{(1-y^{2})} + y\sqrt{-1}\) \[d.L\left[x\sqrt{-1} + \sqrt{(1-x^{2})}\right] = d.L\left[y\sqrt{-1} + \sqrt{(1-y^{2})}\right]\] puis intégrant en observant que la constante doit être telle que le premier membre de l'équation lui devienne egal lorsque \(y = 0\)] « multipliant les deux membres par \(\sqrt{-1}\) » est écrit dans la marge de gauche, en face de la deuxième équation. Le deux-points de la troisième ligne marque la division. Le premier crochet de \(d.L[\ldots\) se ferme sur la feuille par une parenthèse.

\[l\left[x\sqrt{-1} + \sqrt{(1-x^{2})}\right] = l\left[y\sqrt{-1} + \sqrt{(1-y^{2})}\right] + l\left[a\sqrt{-1} + \sqrt{(1-a^{2})}\right]\] d'ou l'on tire \[x\sqrt{-1} + \sqrt{(1-x^{2})} = \left[y\sqrt{-1} + \sqrt{(1-y^{2})}\right]\left[a\sqrt{-1} + \sqrt{(1-a^{2})}\right]\] \[= \left[y\sqrt{(1-a^{2})} + a\sqrt{(1-y^{2})}\right]\sqrt{-1} + \sqrt{(1-y^{2})}\sqrt{(1-a^{2})} - ay\] et comparant la partie imaginaire du premier membre à la partie imaginaire du second, et la partie réelle avec la partie réelle; on aura comme cidessus \[x = y\sqrt{(1-a^{2})} + a\sqrt{(1-y^{2})}\] ou bien encore ce qui revient au même dans le fond. \[\sqrt{(1-x^{2})} = \sqrt{(1-a^{2})}\sqrt{(1-y^{2})} - ay\] [cette dernière équation resulte de la comparaison des parties réelles [mais on] peut la tirer [aussi] dela première; en effet si on la quarre que l'on ajoute [ensuite] l'unité a chacun de ses membres [pris avec un signe contraire] et que l'on prenne ensuite la racine quarrée on aura \(\sqrt{(1-x^{2})} = \sqrt{\left(1 - y^{2}(1-a^{2}) - 2ya\sqrt{(1-y^{2})}\sqrt{(1-a^{2})} - a^{2}(1-y^{2})\right)}\) \[= \sqrt{\left((1-a^{2})(1-y^{2}) - 2ya\sqrt{(1-y^{2})}\sqrt{(1-a^{2})} + a^{2}y^{2}\right)}\] \[= \sqrt{(1-a^{2})}\sqrt{(1-y^{2})} - ay\ ]\] « mais on », d'une encre plus appuyée, est écrit en bout de ligne après « réelles », peut-être sur un mot effacé ; « aussi », « ensuite » (le premier) et « pris avec un signe contraire » sont écrits au-dessus de la ligne, en plus petit ; le second « ensuite », dans la ligne, est barré. Le crochet ouvert devant « cette dernière » se ferme après la dernière égalité.

Mais si d'un côté cette méthode est un peu plus directe que la précédente, de l'autre elle a aussi l'inconvenient de dependre des quantités transcendantes; en effet puisque l'intégrale de l'équation est purement algébrique n'est-il pas naturel depenser qu'il y ait une voie [aussi] purement algébrique pour y parvenir? Qu'on multiplie les deux membres de l'équation (A) en croix, on aura \[dx\sqrt{(1-y^{2})} = dy\sqrt{(1-x^{2})} \quad \text{et intégrant par parties}\] \[x\sqrt{(1-y^{2})} + \int\frac{xy\,dy}{\sqrt{(1-y^{2})}} = y\sqrt{(1-x^{2})} + \int\frac{yx\,dx}{\sqrt{(1-x^{2})}} + C\] or l'équation (A) étant multipliée par \(yx\) et ensuite integrée donne \(\int\frac{xy\,dy}{\sqrt{(1-y^{2})}} = \int\frac{xy\,dx}{\sqrt{(1-x^{2})}}\) donc l'équation précédente deviendra \(x\sqrt{(1-y^{2})} = y\sqrt{(1-x^{2})} + C\) équation algébrique qui en déterminant convenablement la constante revient au même que celle trouvée plus haut. « aussi », au-dessus de « purement », est ajouté entre les lignes. Dans le second membre de la deuxième équation, un premier \(y\) est écrit et chargé, puis repris : on lit \(yx\,dx\). « multipliée » : le « m » est récrit sur un autre trait. La page s'arrête au bas du feuillet sur « plus haut. » et la vue 745 continue.

745

Verso du feuillet 370 (vue 744) ; aucun numéro écrit de ce côté, le « 370 » du recto se lit à rebours par transparence en haut à gauche. La suite immédiate de la vue 744. Les coefficients sont tracés comme ailleurs dans le volume : \(\alpha\) comme un « u », \(\beta\) comme un « \(\ell\) » bouclé, \(\gamma\) comme un « v ».

On pourroit aussi appliquer la même méthode a l'intégration de l'équation générale \(\frac{dx}{\sqrt{(\alpha + \beta x + \gamma x^{2})}} = \frac{dy}{\sqrt{(\alpha + \beta y + \gamma y^{2})}} \ldots\ldots \text{C}\) car multipliant d'abord en croix, et prenant ensuite l'intégrale de chaque membre par parties on a \[x\sqrt{(\alpha + \beta y + \gamma y^{2})} - \int\frac{(\beta + 2\gamma y)\,x\,dy}{2\sqrt{(\alpha + \beta y + \gamma y^{2})}}\] \[= y\sqrt{(\alpha + \beta x + \gamma x^{2})} - \int\frac{(\beta + 2\gamma x)\,y\,dx}{2\sqrt{(\alpha + \beta x + \gamma x^{2})}} + C \ldots\ldots \text{D}\] Or l'équation C étant multipliée par \(xy\) et ensuite intégrée donne \[\int\frac{xy\,dx}{\sqrt{(\alpha + \beta x + \gamma x^{2})}} = \int\frac{xy\,dy}{\sqrt{(\alpha + \beta y + \gamma y^{2})}}\] deplus on a par la même équation \[\int\frac{y\,dx}{\sqrt{(\alpha + \beta x + \gamma x^{2})}} = \int\frac{y\,dy}{\sqrt{(\alpha + \beta y + \gamma y^{2})}}\] \[= \frac{1}{\gamma}\sqrt{(\alpha + \beta y + \gamma y^{2})} - \frac{\beta}{2\gamma}\int\frac{dy}{\sqrt{(\alpha + \beta y + \gamma y^{2})}}\] et demême \[\int\frac{x\,dy}{\sqrt{(\alpha + \beta y + \gamma y^{2})}} = \int\frac{x\,dx}{\sqrt{(\alpha + \beta x + \gamma x^{2})}}\] \[= \frac{1}{\gamma}\sqrt{(\alpha + \beta x + \gamma x^{2})} - \frac{\beta}{2\gamma}\int\frac{dx}{\sqrt{(\alpha + \beta x + \gamma x^{2})}}\] \[= \frac{1}{\gamma}\sqrt{(\alpha + \beta x + \gamma x^{2})} - \frac{\beta}{2\gamma}\int\frac{dy}{\sqrt{(\alpha + \beta y + \gamma y^{2})}}\] Le signe « D » de la première équation est écrit en bout de ligne, sous le « \(+ C\) ». Dans la troisième équation, le \(y\) du second numérateur est récrit sur une autre lettre, sans doute un \(x\).

donc fesant ces substitutions dans l'équation (D) et effaçant cequi se détruit on aura cette équation algébrique \[x\sqrt{(\alpha + \beta y + \gamma y^{2})} - \frac{\beta}{2\gamma}\sqrt{(\alpha + \beta x + \gamma x^{2})} = y\sqrt{(\alpha + \beta x + \gamma x^{2})} - \frac{\beta}{2\gamma}\sqrt{(\alpha + \beta y + \gamma y^{2})} + C\] ou bien \[\left(x + \frac{\beta}{2\gamma}\right)\sqrt{(\alpha + \beta y + \gamma y^{2})} = \left(y + \frac{\beta}{2\gamma}\right)\sqrt{(\alpha + \beta x + \gamma x^{2})} + C\] qui est l'intégrale de l'équation proposée « détruit » : le « t » est récrit au-dessus de la ligne.

Voila donc comme on voit une methode bien simple pour intégrer ces sortes d'équations, dont chaque membre en particulier depend de la quadrature du cercle ou de l'hyperbole; mais il y a encore d'autres equations plus générales que les précédentes qui admettent aussi des intégrales algébriques, quoique chacun de leurs membres ne soient en aucune façon intégrable. Ces équations sont comprises dans la formule suivante \[\frac{dx}{\sqrt{(\alpha + \beta x + \gamma x^{2} + \delta x^{3} + \varepsilon x^{4})}} = \frac{dy}{\sqrt{(\alpha + \beta y + \gamma y^{2} + \delta y^{3} + \varepsilon y^{4})}}\] [le reste du memoire qui contient environ 20 pages est copié presqu'en entier depuis la page 77 jusqu'a la p. 91 du 2^me V. du C. I. de Cousin] Le crochet final est sur la feuille : c'est une remarque de celui qui copie, qui renvoie pour la suite du mémoire à un autre ouvrage, dont le titre est abrégé « C. I. » (peut-être « Calcul intégral » ; c'est une inférence) ; le nom de l'auteur se lit mal. Le bas de la page est blanc ; le mémoire de Lagrange s'arrête ici.

746

En haut à droite, à l'encre, « 371 », au bout de la ligne de titre. Le feuillet est monté bas sur sa feuille de garde, comme celui de la vue 742. Nouveaux extraits, sans lien de phrase avec la vue 745.

Condorcet Pag. 4 du 4^me V. de Turin Les deux chiffres ont la même forme bouclée, proche d'un « A », qui est le 4 du « T. 4 » de la vue 743 ; lecture donnée avec doute. La seconde moitié du titre est soulignée.

Soit \(Z\) une fonction de \(x\), \(y\), \(z\) &c. \(dx\), \(dy\), \(dz\) &c. \(ddx\), \(ddy\), \(ddz\), &c. &c. qu'elle soit une differentielle exacte d'une fonction d'un ordre moins élevé, d'une unité, et que \(B\) soit cette intégrale inconnue, il est clair que differentiant d'une manière independante des differences qui se trouvent dans \(Z\) et dans \(B\), j'ai \(\delta dB = \delta Z\), \(\int\delta Z = \delta B\). le signe d'intégration \(\int\) se rapportant a la caractéristique \(d\). Il suit dela 1.^o, que cherchant a intégrer \(\delta Z\) par partie en regardant les \(\delta x\), \(\delta y\), \(\delta z\) &c. comme des variables ordinaires, on aura necessairement égale a zéro l'expression qui reste sous le signe \(\int\) sans pouvoir être reduite. [en effet on a lors \(dZ\) a intégrer aulieu de \(\delta Z\) et parconséquent l'intégrale par le signe \(\int\) n'est autre chose que \(Z\), mais \(Z\) a été supposée être une differentielle exacte et une differentielle exacte ne doit contenir aucune quantité sous le signe; donc la partie affect affectée de ce signe \(\int\) doit être nulle] 2.^o que l'expression qui sera hors du signe sera identiquement la même que \(\delta B\) …… &c. Le « &c. » final de la première ligne est écrit sur un autre « &c. » empâté. La caractéristique \(\delta\) est un « d » à boucle, distinct du \(d\) droit. « on a lors » : ainsi, pour « alors ». Le crochet est sur la feuille, comme aux vues précédentes.

Pag 168 et suivantes Memoire de La Grange sur la methode des variations. « variations » est souligné. Un trait horizontal sépare ce titre de ce qui précède.

On suppose \(\psi\) \(= P\delta\varphi + Q\delta x + R\delta y + S\delta z + \&c.\) \[\Pi = P'\delta\varphi + P''d\delta\varphi + P'''d^{2}\delta\varphi + \&c.\] \[+ Q'\delta x + Q''d\delta x + Q'''d^{2}\delta x + \&c.\] \[+ R'\delta y + R''d\delta y + R'''d^{2}\delta y + \&c.\] \[+ \&c.\] \[\int\psi + \Pi = a \text{ une constante}\] La lettre que l'on donne pour \(\psi\) est un « v » barré, marqué d'un point dans les deux lignes suivantes. \(\Pi\) est tracé comme deux jambages sous une barre. Au-dessus du « O » de « On », une petite marque d'encre en forme de « E », hors du texte.

On prouve par le calcul que si on change \(\delta\) en \(d\) dans l'expression de \(\Pi\) on aura toujours \(\Pi = 0\) et par conséquent \(\int\psi = \text{constante}\) \[\psi = 0\] « l'expression » est récrit sur un premier mot, peut-être « la ». \(\psi = 0\) est écrit sous « \(\int\psi =\) constante ».

[ainsi dans Condorcet ce sont les quantités sous le signe qui deviennent nulle tandis que le le même changement de \(\delta\) en \(d\) rend nulle les quantités hors le signe dans le present mémoire; sans doute cette difference vient de changement dans les hypotheses mais pour en bien juger il faudroit avoir un mémoire précédent sous les yeux] Ce paragraphe entre crochets est d'une écriture plus petite. « le le » à la coupure de ligne, « nulle » au singulier : ainsi sur la feuille. Le bas de la page est blanc.

747

Verso du feuillet 371 (vue 746) ; aucun numéro écrit de ce côté. La page poursuit les extraits des volumes de Turin : Lagrange encore, sur le mouvement d'un corps attiré vers des centres fixes.

[On trouve Pag. 188 jusqu'a 243 deux memoires de la Grange qu'il a analysés en y fesant quelque transformation et addition dans la section de la mechanique ou il traite Du mouvement d'un corps attiré vers un ou plusieurs centres] « la Grange » : le « n » est ajouté au-dessus de la ligne. Le deuxième chiffre de « 243 » a la forme bouclée du 4 de la vue 746. « la mechanique » renvoie, semble-t-il, à la Mécanique analytique de Lagrange, citée plus bas par sa page ; c'est une inférence.

[Dans le cas ou le corps est attiré par deux centres fixes] Pag. 210. Si l'un des centres des forces s'eloignoit a l'infini, alors la force tendente a ce centre infiniment distant deviendroit uniforme, et agiroit suivant des lignes parallèles; ainsi on auroit le cas d'un corps attiré vers un centre fixe par une force reciproquement proportionnelle aux quarrés des distances, et poussé en même tems par une force devaleur et de direction constante. « Pag. 210. » est écrit dans la marge de gauche, en face de « Si l'un des centres ». Un crochet ouvrant, isolé, se voit aussi dans la marge en face de « proportionnelle ».

[Pour appliquer les formules de la méchanique (Pag. 271) au cas present il est visible que l'on doit faire \(b = \infty\) et \(r\) ou \(q\) egalement \(\infty\)]

2^ème Memoire Pag. 218 Ce titre est souligné d'un long trait.

Proposons nous les équations \(\frac{d^{2}x}{2dt^{2}} + M = 0\), \(\frac{d^{2}y}{2dt^{2}} + N = 0\), \(M\) et \(N\) étants des fonctions de \(x\), \(y\); et voyons quelles sont les conditions de l'intégrabilité de ces équations. Nous supposerons que ces deux équations étants multipliées l'une et l'autre par des quantités convenables, et ensuite ajoutées ensemble forment une équation intégrable. Cette supposition est peut-être la seule qui convienne a la nature des équations proposées, et elle est d'ailleurs la plus naturelle, et en même tems la plus générale qu'on puisse faire. Or comme les deux membres \(M\) et \(N\) sont des quantités finies, il est visible que les multiplicateurs ne sauroient être que des quantités differentielles du premier ordre. Prenons donc \(m\,dx + n\,dy\), et \(\mu\,dx + \nu\,dy\) pour les multipicateurs dont il s'agit, \(m\), \(n\), \(\mu\) et \(\nu\) étant des fonctions de \(x\) et \(y\) et nous aurons l'équation \[\frac{m\,dx\,d^{2}x + n\,dy\,d^{2}x + \mu\,dx\,d^{2}y + \nu\,dy\,d^{2}y}{2dt^{2}} \pm (mM + \mu N)\,dx + (nM + \nu N)\,dy = 0\] laquelles ne sauroit être intégrable amoins que les deux parties (savoir celle qui contient les differences secondes, et celle qui ne contient que les differences premières) ne soient intégrable chacune en particulier. Devant « Nous supposerons », une grande croix d'encre à boucle, en marge ; peut-être une majuscule manquée et reprise. « étants », « multipicateurs », « laquelles », « intégrable » : ainsi. Les deux derniers multiplicateurs sont tracés comme « u » (ou « c ») et « v » ; on les donne \(\mu\) et \(\nu\), choix du transcripteur. Le signe devant \((mM + \mu N)\) est un \(+\) posé sur un trait, lu \(\pm\).

Or il n'est pas difficile de voir que l'intégrale de la première ne peut être que de cette forme \(\frac{A\,dx^{2} + B\,dx\,dy + C\,dy^{2}}{2dt^{2}}\), \(A\), \(B\) \(C\), étant des fonctions de \(x\) et \(y\); donc comparant la differentielle de la quantité \(A\,dx^{2} + B\,dx\,dy + C\,dy^{2}\) qui est \[2A\,dx\,d^{2}x + B(dx\,d^{2}y + dy\,d^{2}x) + 2C\,dy\,d^{2}y + \left(\frac{dA}{dy} + \frac{dB}{dx}\right)dx\,dy\] \[+ \left(\frac{dB}{dy} + \frac{dC}{dx}\right)dy^{2}\,dx + \frac{d.C}{dy}\,dy^{3}, \quad \text{avec la quantité}\] \[m\,dx\,d^{2}x + \mu\,dx\,d^{2}y + n\,dy\,d^{2}x + \nu\,dy\,d^{2}y, \quad \text{on aura}\] La différentielle recopiée est incomplète : il y manque les termes \(\frac{dA}{dx}dx^{3}\) et, au lieu de \(\left(\frac{dA}{dy} + \frac{dB}{dx}\right)dx\,dy\), on attendrait \(dx^{2}\,dy\) ; transcrite telle quelle. La phrase s'arrête sur « on aura » au bas du feuillet, et la suite est à la vue 748.

748

En haut à droite, à l'encre, « 372 », au bout de la première ligne. La page commence par le résultat de la comparaison annoncée au bas de la vue 747 (« on aura »). Le cercle pâle qu'on devine au milieu de la page est le cachet de la vue 749 vu par transparence.

\[2A = m,\ B = n = \mu,\ 2C = \nu,\ \frac{dA}{dx} = 0,\ \frac{dC}{dy} = 0,\ \frac{dA}{dy} + \frac{dB}{dx} = 0,\ \frac{dB}{dy} + \frac{dC}{dx} = 0.\] Les équations \(\frac{dA}{dx} = 0\) et \(\frac{dC}{dy} = 0\) donnent d'abord \(A = \text{fonc.}\,y\), \(C = \text{fonc.}\,x\). [en effet \(\frac{dA}{dx}\) étant le coëfficient [de dans] de la differentielle de \(A\) prise par rapport a \(x\), il en resulte evidemment que \(A\) [ne] contient [pas] \(x\), puisque sans cette condition \(A\) ne pourroit être differentiée par rapport a cette variable [car si \(A\) etoit fonction de \(x\) la differentielle partielle prise parrapport a \(x\) ne seroit pas nulle. Mais \(A\) ab a été d'abord supposée fonction de \(y\) et \(x\) donc puis qu'elle ne contient pas \(x\) elle est simplement fonction de \(y\). le même raisonnement p. \(C\).] Dans le calcul des fonctions on auroit eu \(A' = 0\) et la manière deplacer l'accent auroit indiqué par rapport a quelle variable la fonction prime auroit été prise, cequi revient absolument au même] Dans la première ligne, « \(n =\) » est récrit sur un autre signe. Les lettres \(y\) et \(x\) de « fonc. \(y\) », « fonc. \(x\) » sont chacune récrites sur l'autre. Au-dessus de « de la differentielle », en plus petit, « de dans » (ou « dedans »), sans marque d'insertion. Le passage de « car si A etoit » à « p. C. » est écrit en très petit au-dessus et au-dessous des lignes barrées, qu'il remplace ; « p. C. » vaut sans doute « pour C ». Deux petits traits dans la marge de gauche, en face de « en effet ».

Ensuite les équations \(\frac{dA}{dy} + \frac{dB}{dx} = 0\), et \(\frac{dB}{dy} + \frac{dC}{dx} = 0\) donnent \(\frac{d^{2}A}{dy^{2}} = \frac{d^{2}C}{dx^{2}}\) d'ou il aisé de conclure que les quantités \(A\) et \(C\) ne peuvent que dela forme suivante \(A = a + by + cy^{2}\), \(C = g + hx + cx^{2}\), \(a\), \(b\), \(c\), \(g\), \(h\) étant des constantes. [on voit effectivement que les valeurs de \(A\) et \(C\) ne peuvent pas contenir des puissances des variables, dont elles sont respectivement fonction, plus elevées que le second degré il est de plus visible que cette puissance seconde de ne peut être multipliée que par la même constante dans l'une et l'autre fontion, car cette dernière condition est également necessaire pour que l'équation \(\frac{d^{2}A}{dy^{2}} = \frac{d^{2}C}{dx^{2}}\) ait lieu. Soit donc \(\frac{d^{2}A}{dy^{2}} = 2c\) ou \(\frac{d^{2}A}{dy} = 2c\,dy\) on a en intégrant \(\frac{dA}{dy} = 2cy + b\), \(dA = 2cy\,dy + b\,dy\) \(A = cy^{2} + by + a\) en fesant la même opération pour \(C\) on trouve la valeur indiquée […]. on voit que les constantes \(b\), \(a\), peuvent être differentes de \(g\) et \(h\) parceque ces lettres disparoissent […] en differentiant deux fois] « d'ou il aisé » : ainsi, sans « est » ; « ne peuvent que dela forme » : ainsi, sans « être ». Les trois lignes du calcul de \(A\) sont écrites à droite de la page, en face de « en fesant … on voit que ». Après « indiquée », un mot court noyé sous une tache ; après « disparoissent », un mot de deux lettres barré.

Maintenant l'équation \(\frac{dA}{dy} + \frac{dB}{dx} = 0\), \(\frac{dB}{dx} = -b - 2cy\) d'ou en intégrant \(B = -(b + 2cy)x + \text{fonc.}\,y\) [on ajoute fonc. \(y\) parceque \(B\) ayant été supposée fonction de \(x\) et \(y\) on doit ajouter une fonc. de \(y\) a l'intégrale de la differentielle prise pour \(x\)] mais l'autre équation \(\frac{dB}{dy} + \frac{dC}{dx} = 0\) donnera demême \(B = -(h + 2cx)y + \text{fonc.}\,x\) ensorte qu'on aura \(B = k - bx - hy - 2cxy\), \(k\) étant une constante] Le \(y\) de « fonc. \(y\) », en fin de première ligne, est empâté. Le crochet fermant de la dernière ligne n'a pas de crochet ouvrant correspondant après le premier, déjà fermé.

[car engénéral \(\frac{dB}{dx}dx + \frac{dB}{dy}dy = dB\) mais ici on a \(\frac{dB}{dx}dx + \frac{dB}{dy}dy = -(b + 2cy)\,dx - (h + 2cx)\,dy\) et l'on tire de la première valeur de \(B\), \(dB = -(b + 2cy)\,dx - 2cx\,dy + \text{fonc}\,y'\,dy\) puis de la seconde …… \(dB = -(h + 2cx)\,dy - 2cy\,dx + \text{fonc.}\,x'\,dx\) et comparant ces valeurs de \(dB\) avec celle de la differentielle partielle on a \(-h\,dy = \text{fonc}\,y'\,dy\), \(-b\,dx = \text{fonc.}\,x'\,dx\) \(-hy = \text{fonc.}\,y + \text{constante}\), \(-bx = \text{fonc.}\,x + \text{constante}\) si on si donc on met pour fonc. \(x\) et fonc. \(y\) leurs valeurs dans celle \(B\) on aura l'équation indiqué] Dans « \(-h\,dy = \text{fonc}\,y'\,dy\) », le \(y\) et le \(dy\) sont récrits ; dans « \(-bx\) », le \(x\) est récrit sur un autre signe. « si on », en bout de ligne, est barré et repris à la ligne suivante.

Ayant déterminé ainsi les quantités \(A\), \(B\), et \(C\), on aura pour les multiplicateurs des équations proposées, les deux quantités \(2A\,dx + B\,dy\), et \(B\,dx + 2C\,dy\); et il ne restera plus qu'a rendre intégrables la formule \((2AM + BN)\,dx + (BM + 2CN)\,dy\), car alors, en nommant \(Z\) l'intégrale de cette formule, on aura l'équation dupremier ordre. \(\frac{A\,dx^{2} + B\,dx\,dy + C\,dy^{2}}{2dt^{2}} + Z = \text{une constante}\) \(= a\) Or pour qu'une quantité telle que \((2AM + BN)\,dx + (BM + 2CN)\,dy\) soit une differentielle exacte il faut que l'on ait \(\frac{d.(2AM + BN)}{dy} = \frac{d.(BM + 2CN)}{dx}\), c'est l'équation de condition qui doit avoir lieu pour que les équations proposées admettent une intégrale du premier ordre. « une constante » : « une » est écrit au-dessus de « constante », qui remplace un « \(= a\) » barré après \(Z\), et un second « \(= a\) » barré en bout de ligne ; les deux ratures sont réunies ici. La dernière ligne, serrée, finit au bord droit du feuillet (« ordre » est écrit au-dessus de la fin de la ligne). Le texte s'arrête au bas de la page et reprend en tête de la vue 749.

749

Verso du feuillet 372 (vue 748) ; aucun numéro écrit de ce côté. Dans la moitié haute, à gauche, le cachet rond « BIBLIOTHEQUE ROYALE » à la couronne, posé sur les équations. La page continue d'abord le second mémoire de Lagrange de la vue 748, puis passe, sous un trait épais, à un extrait sur l'équation \(x^{2} - ay^{2} = 1\).

Puisque \((2AM + BN)\,dx + (BM + 2CN)\,dy = dZ\), on aura \(2AM + BN = \frac{dZ}{dx}\), et \(BM + 2CN = \frac{dZ}{dy}\) et parconséquent \(M = \frac{2C\frac{dZ}{dx} - B\frac{dZ}{dy}}{4AC - B^{2}}\), \(N = \frac{2A\frac{dZ}{dy} - B\frac{dZ}{dx}}{4AC - B^{2}}\). où l'on pourra prendre pour \(Z\) une fonction quelconque de \(x\), et \(y\). Si on fait encore \(4AC - B^{2} = D\), et \(Z = D^{2}V\), (\(V\) etant une fonction quelconque de \(x\) et \(y\)) on aura \(M = 2V\left(2C\frac{dD}{dx} - B\frac{dD}{dy}\right) + D\left(2C\frac{dV}{dx} - B\frac{dV}{dy}\right)\) \[N = 2V\left(2A\frac{dD}{dy} - B\frac{dD}{dx}\right) + D\left(2A\frac{dV}{dy} - B\frac{dV}{dx}\right)\] or a cause de \(\frac{dA}{dx} = 0\), \(\frac{dC}{dy} = 0\), \(\frac{dB}{dx} = -\frac{dA}{dy}\) et \(\frac{dB}{dy} = -\frac{dC}{dx}\), on trouvera \[\frac{dD}{dx} = 2\left(2A\frac{dC}{dx} + B\frac{dA}{dy}\right)\ \frac{dD}{dy} = 2\left(2C\frac{dA}{dy} + B\frac{dC}{dx}\right);\ \text{donc on aura}\] \[M = D\left(4V\frac{dC}{dx} + 2C\frac{dV}{dx} - B\frac{dV}{dy}\right),\] \[N = D\left(4V\frac{dA}{dy} + 2A\frac{dV}{dy} - B\frac{dV}{dx}\right),\] Ainsi toutes les fois que les quantités \(M\) et \(N\) pourront se ramener a cette forme les équations \(\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + M = 0\), et \(\frac{d^{2}y}{dt^{2}} + N = 0\) auront pour intégrale \(\frac{A\,dx^{2} + B\,dx\,dy + C\,dy^{2}}{2dt^{2}} + D^{2}V = a\) une constante « \(\frac{dC}{dy} = 0\) » et le début de « \(\frac{dB}{dx}\) » sont sous le cachet et se lisent à travers. Dans la seconde expression de \(\frac{dD}{dy}\), le « 2 » est récrit sur un autre chiffre. Ici les équations sont écrites sans le « 2 » au dénominateur (\(\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\)), à la différence de la vue 747. Dans la dernière formule, le \(dy\) de \(C\,dy^{2}\) est récrit.

[Dans le mémoire cité (P. 37) dela Théorie des nombres on trouve (P. 46 T. 4 de Turin) Le premier chiffre de « 46 » et le « 4 » de « T. 4 » ont la forme bouclée du 4 des vues 743 et 746. « la Théorie des nombres » renvoie à un ouvrage qui cite, à sa page 37, le mémoire de Lagrange du tome 4 de Turin ; le crochet ouvert n'est pas refermé sur cette ligne.

Lemme. Le produit de ces deux quantités \(x^{2} - ay^{2}\) et \(x'^{2} - ay'^{2}\) est \((xx' \pm ayy')^{2} - a(xy' \pm yx')^{2}\); car \((x^{2} - ay^{2})(x'^{2} - ay'^{2}) = x^{2}x'^{2} + a^{2}y^{2}y'^{2} - ay^{2}x'^{2} - ax^{2}y'^{2}\). \[= x^{2}x'^{2} \pm 2axx'yy' + a^{2}y^{2}y'^{2} - ax^{2}y'^{2} \mp 2axyx'y' - ay^{2}x'^{2}\] \[= (xx' \pm ayy')^{2} - a(xy' \pm yx')^{2}\] [et P. 60 du même mémoire]

Or comme le quarré le cube &c. et en général toute puissance d'une quantité de cette forme \(x^{2} - ay^{2}\) est toujours aussi de la même forme il s'en suit qu'en élevant l'équation \(1 = x^{2} - ay^{2}\) à une puissance quelconque, on aura une infinité d'autres équations semblables de sorte qu'ayant trouvé par quelque méthode que ce soit, une seule solution du problème, on pourra par son moyen en trouver d'autres a l'infini. Pour renfermer toutes ces solutions dans une formule générale, supposons que \(p\) et \(q\) soient les valeurs trouvées de \(x\) et \(y\) en sorte que l'on ait \(1 = p^{2} - aq^{2}\); en élevant les deux membres de cette équation a une puissance quelconque, \(m\), on aura \(1 = (p^{2} - aq^{2})^{m}\), équation qu'il s'agit de réduire a la forme de celle-ci \(1 = x^{2} - ay^{2}\). Pour cela je remarque que \(p^{2} - aq^{2} = (p + q\sqrt{a})(p - q\sqrt{a})\), de sorte que l'on aura \((p^{2} - aq^{2})^{m} = (p + q\sqrt{a})^{m}(p - q\sqrt{a})^{m}\). or, \((p + q\sqrt{a})^{m} = p^{m} + mp^{m-1}q\sqrt{a} + \frac{m(m-1)}{2}.p^{m-2}q^{2}a + \&c.\) donc si on fait \(x = p^{m} + \frac{m(m-1)}{2}p^{m-2}q^{2}a + \&c.\) \(y = mp^{m-1}q + \frac{m(m-1)(m-2)}{2.3}.p^{m-3}q^{3}a + \&c.\) on aura \((p + q\sqrt{a})^{m} = x + y\sqrt{a}\); et prenant le radical \(\sqrt{a}\) en \(-\), on aura demême \((p - q\sqrt{a})^{m} = x - y\sqrt{a}\) donc \((p^{2} - aq^{2})^{m} = (x + y\sqrt{a})(x - y\sqrt{a}) = x^{2} - ay^{2}\); de sorte que l'on aura engénéral \(x^{2} - ay^{2} = 1\), en prenant pour \(m\) un nombre entier et positif. Au reste les équations \((p + q\sqrt{a})^{m} = x + y\sqrt{a}\), et \((p - q\sqrt{a})^{m} = x - y\sqrt{a}\) donneront. \[x = \frac{(p + q\sqrt{a})^{m} + (p - q\sqrt{a})^{m}}{2}, \quad y = \frac{(p + q\sqrt{a})^{m} - (p - q\sqrt{a})^{m}}{2\sqrt{a}}\] expressions qui reviennent au même que les précédentes; mais qui ont l'avantage d'être sous une forme finie, ainsi prenant successivement pour \(m\) a tous les nombres […] [naturels] on aura une infinité de solutions. Après « le cube », un « &c. » barré. « \(m\) » est écrit au-dessus de « pour », sur « a tous » barré ; « naturels », au-dessus de la ligne, remplace un mot barré qu'on ne lit pas ; « on aura » est récrit sur la rature.

[La Grange demontre ensuite P. 65] que si \(p\) et […] \(q\) sont les plus petites de \(x\) et \(y\) qui satisfassent a l'équation \(x^{2} - ay^{2} = 1\), toutes les autres valeurs de \(x\) et de \(y\) sont necessairement renfermées dans les formules générales. Pour cela il prouve que si \(p\) et \(q\) sont les plus petites valeurs et \(p'\) et \(q'\) soient les plus petites après celle on aura \(p' = \frac{(p + q\sqrt{a})^{2} + (p - q\sqrt{a})^{2}}{2}\), \(q' = \frac{(p + q\sqrt{a})^{2} + (p - q\sqrt{a})^{2}}{2\sqrt{a}}\). [il est visible que si on fait \(m = 1\) les deux membres des équations deviennent identiques cequi s'accorde doit être en effet pour que la proposition soit vraie] Devant « \(q\) », un mot bref barré. Dans \(q'\), le numérateur porte « \(+\) » entre les deux carrés, là où la formule générale de \(y\) donne « \(-\) » ; laissé tel. Ce paragraphe, entre crochets, est d'une écriture plus petite et serrée. Le bas de la page est blanc ; c'est la dernière page écrite du volume.