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61Un petit feuillet, numéroté « 28 » à l'encre en haut à droite, posé sur un feuillet plus grand numéroté « 29 », dont on voit le haut au-dessus de lui : « prop. XV. Si \(B\) plano in \(A\) cubum \(-\,A\) quadratocubo æquetur \(Z\) planosolido. » — ces lignes sont celles de la vue 63 et y sont transcrites. La page continue la prop. X, dont l'énoncé termine la vue précédente. Dans la marge de gauche, des traces pâles d'écriture, décharge du feuillet voisin, non transcrites.

Est \(B\) plano compositum ex duobus quadratis duorum laterum, primi ductu in secundum fit \(Z\) planoplano et fit \(A\) quadratum maius duorum minusve.

Sint latera 1. 4. dicetur \(17Q - 1QQ\) æquari 16. et fit \(1N\). 1 vel 4. quod si \(1N\) intelligatur quadratum radixve plana \(17N - 1Q\) æquabitur 16. et fit \(1N\). 1 vel 16. \(Q\,N\). — en regard de la dernière ligne, le \(N\) barré dessus et dessous.

prop. XI.

\[\left. \begin{array}{l} \text{Si } B \text{ solidum in } A \text{ cubum} \\ -\,A \text{ cubocubo} \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ solidosolido.}\]

Est \(B\) solidum compositum ex duobus cubis quorum primi ductu in secundum fit \(Z\) solidosolidum. et fit \(A\) cubus maior duorum minorve.

Sunto latera 1. 8. dicetur \(513C - 1CC\) æquari 512 et fit \(1N\). 1 vel 8.

quod si \(1N\) intelligatur cubus radixve solida \(513N - 1Q\) æquabitur 512 et fit \(1N\) 1. vel 512.

prop. XII.

\[\left. \begin{array}{l} \text{Si } B \text{ planoplano in } A \text{ quadratum} \\ -\,A \text{ cubocubo} \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ solidosolido.}\]

Est \(B\) plano compositum ex quadratis trium planorum proportionalium. et \(Z\) solidosolidum quod fit ab uno plano in aggregatum quadratorum a duobus reliquis planis et fit \(A\) quadratum maius minusve. × id est \(A\)q. est æquale quadrato maiori minorive extremæ

Sunto tria plana proportionalia 1. 2. 4. dicetur \(21Q - 1CC\). æquari 20. et fit \(1N\). 1. vel 2. quod si \(1N\) intelligatur quadratum radixve plana \(21N - 1C\) æquabitur 20 et fiet \(1N\). 1 vel 4. La note marginale, d'une main plus petite, est appelée par une croix ; « quadrato » est à demi couvert d'une tache.

prop. XIII

\[\left. \begin{array}{l} \text{Si } B \text{ plano in } A \text{ quadratoquadratum} \\ -\,A \text{ cubocubo} \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ solidosolido}\]

Est \(B\) plano compositum a tribus planis proportionalibus et \(Z\) solidosolidum quod fit ab uno plano in quadratum compositi ex duobus reliquis et × fit \(A\) quadratum, maius duorum minusve. × id est \(A\)q. æquale composito ex prima et secunda, vel ex secunda et tertia

Sint plana proportionalia 5. 20. 80 dicetur \(105QQ - 1CC\) æquari 50000 et fit \(1N\). 25. vel 100. 5 10 « 25 » et « 100 » sont soulignés dans la ligne, et sous eux, dans la marge de gauche, « 5 » et « 10 », soulignés aussi : ce sont les valeurs de \(1N\), dont 25 et 100 sont les carrés (\(105 \cdot 5^4 - 5^6 = 50000\), \(105 \cdot 10^4 - 10^6 = 50000\)). Le soulignement est rendu par l'italique.

62Verso du petit feuillet « 28 » ; le texte continue celui de la vue 61 (la prop. XIII). En haut à gauche, un « 8 » pâle, sans doute le « 28 » du recto vu par transparence. La colonne de gauche porte un calcul de la main plus petite des notes marginales, séparé du texte par un trait vertical.

Inventio autem trium planorum proportionalium quorum medio adscito sive primo sive postremo fit quadratum numero patet ex hac serie \[\frac{B \text{ quadratoquadrato}}{B \text{ quad.} = G \text{ quad.}} \qquad \frac{B \text{ quad. in } G \text{ quad.}}{B \text{ quad.} = G \text{ quad.}} \qquad \frac{G \text{ quad. quad.}}{B \text{ quad.} = G \text{ quad.}}\] Le signe « \(=\) » des trois dénominateurs n'est pas l'égalité : c'est sans doute le signe de la différence de deux grandeurs, d'ordre non spécifié. Dans le premier, un trait vertical traverse les deux barres, comme un « \(+\) » écrit par-dessus ; dans la marge de gauche, à la même hauteur, trois « \(+\) » : « \(+ \quad + \quad +\) ». Le calcul qui suit (« \(B\) quad. \(+\) \(G\) quad. ») demande en effet la somme.

[…] videlicet totali.

Sit enim medium planorum \(E\) plano et primo statuatur \(B\) quad. minus \(E\) plano postremum \(G\) quad. minus \(E\) plano cum igitur primo plano additur \(E\) planum fiet quadratum nempe \(B\) quad. restat igitur ut ea tria plana proportionalia sint et consequenter quod a medio fit in se æquetur ei quod fit ab extremis qua comparatione secundum artem facta. \[\frac{B \text{ quad. in } G \text{ quad.}}{B \text{ quad.} + G \text{ quad.}} \quad \text{invenitur æquari } E \text{ plano}\]

Duc […] \(G\,p\) in \(D\,p\). \(-\,G\,p\) in \(E\,p\). \(-\,D\,p\). in \(E\,p\). \(+\,E\,pp\) \(\mid\) \(E\,pp\) — igitur \(G\,p\) in \(D\,p\). æquabitur \(G\,p\) in \(E\,p\). \(+\,D\,p\) in \(E\,p\). \(\mid\) quando — quibus demptis æquantur \(-E\,pp\). \(\mid\) \(E\,pp\). — igitur \(\frac{G\,p \text{ in } D\,p.}{G\,p + D\,p}\) \(\mid\) \(E\,p\). Calcul de la marge de gauche, sur deux colonnes séparées par un trait vertical : le produit \((G - E)(D - E)\) égalé à \(E^2\), d'où \(E = \frac{GD}{G+D}\) ; « \(p\) » et « \(pp\) » abrègent « plano » et « planoplano ». Les premiers mots sont mal formés ; la colonne de droite n'est lue qu'en partie.

Sit \(B\) 1. \(G\) 2. plana quæsita erunt \(\frac{1}{5}\). \(\frac{4}{5}\). \(\frac{16}{15}\) 5 Dans le troisième dénominateur, le « 1 » est un trait épais, peut-être une rature ; le calcul donne \(\frac{16}{5}\), et la multiplication par 25 qui suit donne 80.

medium adscito primo facit 1. adscito vero secundo facit 4 eadem plana ducantur in aliquod quadratum utpote 25 fient \[\overset{\text{I}}{5}. \quad \overset{\text{II}}{20}. \quad \overset{\text{III}}{80}\] qualia ad exemplum adsumpta sunt.

De reliquis.

Prop. XIIII

\[\left. \begin{array}{l} \text{Si } B \text{ solidum in } A \text{ quadratum} \\ -\,A \text{ quadratocubo} \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ planosolido.}\]

Est \(B\) solidum constans cubo compositæ a duabus primis in serie trium proportionalium plus cubo compositæ a duabus postremis et insuper solido quod fit ductu alterius extremarum in quadratum compositæ ex secunda et tertia. 1^o et […] \(Z\) planosolidum quod fit […] solido […] [primi] cubo a duabus […] in quadratum compositæ ex prima et secunda […] La note marginale, de la main plus petite, est appelée par le même « 1^o » que celui écrit au-dessus de « vel » à la ligne suivante ; elle fournit la définition de \(Z\), que le texte ne donne pas. Elle est raturée en plusieurs endroits et tachée à la fin ; lecture très incomplète.

^1o vel a cubo compositæ ex secunda et tertia plus solido sub tertia et quadrato compositæ ex prima et secunda^a […] in quadratum compositæ ex prima et secunda. Après « secunda », un petit « a » suscrit, puis un signe noirci en forme de croix ; « in quadratum » est souligné. La phrase ne donne pas \(B\) telle qu'elle est écrite : dans l'exemple, \(B = 279 = 216 + 63\) et \(63 = (4 + 3) \cdot 9\).

et fit \(A\) composita ex duabus primis vel composita ex duabus postremis.

Sint proportionales \(\overset{\text{I}}{1}\). \(\overset{\text{II}}{2}\). \(\overset{\text{III}}{4}\). \(279Q - 1QC\) æquabitur 2268. et fiet \(1N\): 3 vel 6.

63Le grand feuillet numéroté « 29 » à l'encre en haut à droite, dont la vue 61 montrait le haut au-dessus du petit feuillet « 28 ». La page s'ouvre sur une proposition nouvelle ; la prop. XIIII de la vue 62 finit avec son exemple. Dans la marge de gauche, des traces pâles, décharge ou transparence, non transcrites. Le bas du feuillet est blanc.

prop. XV.

\[\left. \begin{array}{l} \text{Si } B \text{ plano in } A \text{ cubum} \\ -\,A \text{ quadratocubo.} \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ planosolido.}\]

Est \(B\) plano constans quadrato compositæ a tribus primis in serie quatuor continue proportionalium plus quadrato compositæ e tribus postremis minus plano quod fit a tertia in compositam ex tertia secunda et prima vel secunda in compositam ex secunda tertia et quarta.

et \(Z\) planosolidum quod fit a \(B\) plano minus quadrato compositæ ex tribus primis in cubum compositæ ex tribus postremis. vel ab \(B\) plano minus quadrato compositæ e tribus postremis in cubum compositæ ex tribus primis • primis postremis Les deux mots barrés dans le texte sont corrigés dans la marge de gauche, l'un sous l'autre : « primis », « postremis ». Le calcul de l'exemple confirme la correction : \((217 - 49) \cdot 7^3 = (217 - 196) \cdot 14^3 = 57624\). Devant le premier « tribus », une tache couvre la préposition.

et fit \(A\) composita ex tribus primis vel composita ex tribus postremis.

Sint proportionales continue \(\overset{\text{I}}{1}\). \(\overset{\text{II}}{2}\). \(\overset{\text{III}}{4}\). \(\overset{\text{IIII}}{8}\).

\(217C - 1QC\) æquabitur 57624 et fit \(1N\). 7 vel 14.

Æqualitatum contradicentium constitutiva Cap. XVIII XIX} « XVIII », dont le V est repassé d'une encre plus noire, est suivi de « XIX » d'une encre plus pâle, sans rature de l'un ni de l'autre : un renumérotage du chapitre.

Contradicentium autem constitutio est huiusmodi. Le trait qui traverse « est huius- » est la barre du t de « est » prolongée, non une rature.

prop. I.

\[\left. \begin{array}{l} \text{Si } A \text{ quadratum} \\ +\,B \text{ in } A \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ plano}\]

\[\left. \begin{array}{l} \text{et rursus } E \text{ quadratum} \\ \qquad -\,B \text{ in } E \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ plano.}\] Au-dessus de « plano », dans la seconde équation, quelques signes petits et pâles, peut-être « \(+B\) in \(A\) » : […].

Sunt duo latera quorum differentia est \(B\) quod autem sub eis fit æquale est \(Z\) plano. et fit \(A\) minus laterum \(E\) maius. […] « est \(B\) » est traversé par la barre prolongée d'une lettre, comme plus haut. Les derniers mots de la ligne sont serrés contre le bord du feuillet. Dans la marge de gauche, à cette hauteur, un signe pâle suivi d'une barre oblique.

Sunto latera 1. 2. \(1Q + 1N\) æquabitur 2 et fit \(1N\). 1.

rursus \(1Q - 1N\). æquabitur 2. et fit \(1N\). 2.

prop. II

\[\left. \begin{array}{l} \text{Si } A \text{ quadratoquadratum} \\ +\,B \text{ solido in } A \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ planoplano.}\]

\[\left. \begin{array}{l} \text{et rursus } E \text{ quadratoquadrato} \\ \qquad -\,B \text{ solido in } E \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ planoplano}\]

64Verso du grand feuillet « 29 » ; le texte continue la prop. II commencée au bas de la vue 63. Le petit feuillet « 28 » dépasse sous le bas de la page : on y lit la dernière ligne de la vue 62, « 2268. et fiet \(1N\): 3 vel 6. », non transcrite ici. À droite, la marge du feuillet suivant, avec des notes de la main des annotations, qui reparaissent à la vue 65. En haut à gauche, une tache et un signe […]. Toute la marge de gauche est occupée par des notes de la main plus petite, en trois blocs séparés par des traits.

Sunt quatuor continue proportionales a quibus cubi alterne sumpti differunt per \(B\) solidum. fit autem \(Z\) planoplano ductu alterius extremæ in differentiam cuborum a reliquis alterne sumptorum et est \(A\) prima minor inter extremas \(E\) quarta.

Sunto continue proportionales. \(\overset{\text{I}}{1}\). \(\overset{\text{II}}{LC2}\). \(\overset{\text{III}}{LC4}\). \(\overset{\text{IIII}}{2}\). « \(LC\) » : latus cubicum, la racine cubique ; de même « \(LQC\) » plus bas, latus quadratocubicum, la racine cinquième.

\(1QQ + 5N\). æquabitur 6. et fit \(1N\). 1.

rursus \(1QQ - 5N\). æquabitur 6. et fit \(1N\). 2.

4 Sit differentia alterne sumpta trium primarum \(A\). ergo \(\frac{Z\,pp}{A}\) erit quarta maior æquale \(B + A\). sive differentiæ quatuor continue proportionalium alterne sumptarum plus differentia trium primarum alterne sumptarum ut ex hac serie patet. \(A\). \(B\). \(\frac{Bq}{A}\) \(\frac{Bc}{Aq}\). differentia quatuor alterne sumptarum est \(\frac{Bc \text{ in } A + B \text{ in } Ac - Bq \text{ in } Aq - Aqq}{Ac}\) differentia trium primarum sumptarum alterne est \(\frac{Bq + Aq - B \text{ in } A}{A}\). quare \(\frac{Bc \text{ in } Aq + B \text{ in } Aqq - Bq \text{ in } Ac - Aqc + Bq \text{ in } Ac + Aqc - B \text{ in } Aqq}{Aqq}\) æquale erit \(\frac{Bc}{Aq}\) Premier bloc de la marge de gauche, en regard de la fin de la prop. II et de la prop. III : une démonstration par la suite \(A\), \(B\), \(\frac{Bq}{A}\), \(\frac{Bc}{Aq}\) ; « \(q\) », « \(c\) », « \(qq\) », « \(qc\) » abrègent quadratum, cubus, etc. Les deux sommes sont écrites en colonne, terme sous terme. Dans le dernier terme du numérateur, « \(Aqq\) » est surchargé et peu sûr. Le « 4 » en tête est le numéro de la remarque.

prop. III

\[\left. \begin{array}{l} \text{Si } A \text{ cubocubus} \\ +\,B \text{ planosolido in } A \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ solidosolido}\]

\[\left. \begin{array}{l} \text{et rursus } E \text{ cubocubus} \\ \qquad -\,B \text{ planosolido in } E \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ solidosolido.}\]

Sunt sex continue proportionales a quibus quadratocubi alterne sumpti differunt per \(B\) planosolidum. fit autem \(Z\) solidosolidum ductu alterius extremæ in differentiam quadratocuborum a reliquis alterne sumptorum et est \(A\) prima minor inter extremas. \(E\) sexta.

Sunto proportionales continue \[\overset{\text{I}}{1}.\ \overset{\text{II}}{LQC2}.\ \overset{\text{III}}{LQC4}.\ \overset{\text{IIII}}{LQC8}.\ \overset{\text{V}}{LQC16}.\ \overset{\text{VI}}{2}.\]

\(1CC + 21N\). æquabitur 22. et fit \(1N\). 1.

et rursus \(1CC - 21N\). æquabitur 22. et fit \(1N\). 2.

prop. IIII.

\[\left. \begin{array}{l} \text{Si } A \text{ quadratoquadratum} \\ +\,B \text{ in } A \text{ cubum} \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ planoplano}\]

\[\left. \begin{array}{l} \text{et rursus } E \text{ quadratoquadratum} \\ \qquad -\,B \text{ in } E \text{ cubum} \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ planoplano,}\]

Sunt quatuor continue proportionales quarum alterne sumptarum × dum intelligitur \(B\) prima, minor inter extremas (et) sit \(A\) differentia alterne sumpta trium primarum \(E\) differentia trium postremarum.

Eodem [modo] ostenderetur si fingerentur […] quatuor continue proportionalium cum intelligitur prima minor, differentiam trium postremarum alterne sumptarum minus differentia quatuor alterne sumptarum æquari extremæ maiori Deuxième bloc de la marge, encadré de traits au-dessus et au-dessous ; il se rapporte à la seconde équation de la prop. II ou de la prop. IIII, sans renvoi visible. « modo » est écrit au-dessus de la ligne ; la dernière ligne est soulignée.

× differentia est \(B\) et fit \(Z\) planoplanum ex ductu utriusque inter extremas in cubum differentiæ reliquarum alterne sumptarum. et […] est namque \(\frac{1}{4} \big/ 5\) et rursus \(\frac{2}{8} \big/ 10\) quarum differentia est 5. Troisième bloc de la marge, appelé par la croix écrite dans la ligne après « sumptarum » : il complète la phrase, que le texte laisse sans verbe. Les nombres de la fin sont écrits en colonne : 1 sur 4, et leur somme 5 sous un trait ; 2 sur 8, et 10. Dans l'exemple, \(1 + 4 = 5\) et \(2 + 8 = 10\) diffèrent de \(B = 5\), et \(Z = 216 = 1 \cdot 6^3 = 8 \cdot 3^3\).

Sunto proportionales continue \(\overset{\text{I}}{1}\). \(\overset{\text{II}}{2}\). \(\overset{\text{III}}{4}\). \(\overset{\text{IIII}}{8}\).

\(1QQ + 5C\). æquabitur 216. et fiet \(1N\). 3

et rursus \(1QQ - 5C\). æquabitur 216 et fiet \(1N\). 6.

In secunda æquatione \(\frac{Z\,pp}{Ec} \propto E - B\). id est differentia trium postremarum […] alterne sumptarum minus differentia quatuor alterne sumptarum Cette dernière note, de la main plus petite, est écrite sous l'exemple, dans la colonne du texte, ouverte par une grande parenthèse. Le signe d'égalité de cette main, une boucle en forme de z, est rendu \(\propto\) ; le « \(c\) » du dénominateur est petit. Dans l'exemple, \(\frac{216}{6^3} = 1 = 6 - 5\).

65Feuillet numéroté « 30 » à l'encre en haut à droite. Le texte continue sans rupture la série de la vue 64. À gauche dépasse la marge du feuillet « 29 » (fins de lignes de la vue 64) ; à droite, le bord d'un autre feuillet. La marge de gauche est couverte de notes et de calculs de la main plus petite, en blocs séparés par des traits. Le bas du feuillet est blanc.

Prop. V.} Le numéro est en partie couvert d'une tache : « Prop. V » se lit par la suite (prop. IIII à la vue 64).

\[\left. \begin{array}{l} \text{Si } A \text{ cubocubus} \\ +\,B \text{ in } A \text{ quadratocubum} \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ solidosolido.}\]

\[\left. \begin{array}{l} \text{et rursus} \\ \quad E \text{ cubocubus} \\ \quad -\,B \text{ in } E \text{ quadratocubum} \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ solidosolido}\]

Sunt sex continue proportionales quarum alterne sumptarum differentia est \(B\). fit autem \(Z\) solidosolidum ductu utriusque extremæ in quadratocubum differentiæ reliquarum alterne sumptarum

× et dum intelligitur prima, minor inter extremas sit \(A\) differentia alterne sumpta quinque primarum et \(E\) differentia quinque postremarum.

Sunto proportionales continue \(\overset{\text{I}}{1}\). \(\overset{\text{II}}{2}\). \(\overset{\text{III}}{4}\). \(\overset{\text{IIII}}{8}\). \(\overset{\text{V}}{16}\). \(\overset{\text{VI}}{32}\)

\(1CC + 21QC\). æquabitur 4,618,812, et fit \(1N\). 11 et rursus

\(1CC - 21QC\) æquabitur 4,618,812, et fit \(1N\) 22. Les deux « 4,618,812 » sont soulignés et surlignés, et « 22 » souligné : le nombre est faux. La marge donne le bon, 5153632 : \(11^6 + 21 \cdot 11^5 = 22^6 - 21 \cdot 22^5 = 5153632\). Les virgules séparent les tranches de trois chiffres.

\(\frac{Z\,ss}{Aqc} \propto B + A\). in serie enim […] [sex] continue proportionalium differentia omnium alterne sumptarum plus differentia quinque primarum æquatur maiori extremæ \(\frac{Z\,ss}{Eqc} \propto E - B\). rursus differentia quinque postremarum minus differentia […] sex alterne sumptarum æquatur extremæ minori ut ex calculo clarum est. \(\frac{1,\ 4,\ 16}{21}\) \(\frac{2,\ 8,\ 32}{42}\) \(\frac{42 - 21}{21.\ B.}\) fit una extremarum. 1 \(\frac{+2,\ 8,\ 32}{42}\) \(\frac{4,\ 16}{20}\) \(\frac{42 - 20}{22.}\) cuius quadratocubus est. 5153632. 515363[…] 5153632. […] × \(\frac{1,\ 4,\ 16}{21}\) \(\frac{2,\ 8}{10}\) \(\frac{21 - 10}{11.}\) \(A\)) \(\frac{2,\ 8,\ 32}{42}\) \(\frac{4,\ 16}{20}\) \(\frac{42 - 20}{22.}\) Calculs de la marge, écrits en colonnes, chaque somme sous un trait : les termes de rang impair et de rang pair de la suite, leur différence \(B = 21\), puis \(A = 11\) et \(E = 22\). Le bloc du haut est séparé des colonnes par un trait courbe. Sous « cuius quadratocubus est 5153632 », deux autres copies du nombre, la première barrée avec son dernier chiffre, la seconde soulignée deux fois et suivie d'une surcharge noircie. La croix de ce bloc répond à celle du texte, devant « dum intelligitur ».

Æqualitatum Inversarum Constitutiva. Cap. XIX XX

Inversarum denique systatica sunt hæc.

prop. I

\[\left. \begin{array}{l} \text{Si } B \text{ plano in } A \\ -\,A \text{ cubo.} \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ solido}\]

\[\left. \begin{array}{l} \text{et rursus } \underline{\overline{B}} \text{ cubus} \\ \qquad -\,B \text{ plano in } E \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ solido}\] \(E\) « \(B\) cubus » : le \(B\) est souligné et surligné, et la marge porte, encadré, « \(E\) », qui est la bonne lettre.

Sunt tres proportionales a quibus quadrata alterne sumpta differunt per \(B\) planum. fit autem \(Z\) solidum ductu alterius extremæ in differentiam quadratorum a reliquis et est \(A\) prima minor inter extremas \(E\) tertia.

\(\frac{Z\,s}{A} \propto Bp - Aq\). [signandi] differentia […] quadratorum alterne sumptorum auferatur quadratum primæ relinquitur differentia quadratorum a reliquis […] [postremis] ut patet ex proposita serie \(A\). \(B\). \(\frac{Bq}{A}\) Ito \(\frac{Z\,s}{E} \propto Eq - Bp\). Item a […] quadrato maioris extremæ si auferatur quadratum differentia quadratorum a tribus alterne sumptorum relinquitur differentia quadratorum a duabus primis […] potissimis. Dernier bloc de la marge, en regard de la prop. I ; la seconde moitié est enfermée dans une accolade tournée vers le texte. Plusieurs mots barrés, et des ajouts interlinéaires peu lisibles.

Sunto proportionales \(\overset{\text{I}}{1}\). \(\overset{\text{II}}{L2}\). \(\overset{\text{III}}{2}\).

\(3N - 1C\) æquabitur 2. et fit \(1N\). 1. et rursus

\(1C - 3N\) æquabitur 2. et fit \(1N\). 2.

prop. II.

\[\left. \begin{array}{l} \text{Si } B \text{ planoplano in } A \\ -\,A \text{ quadratocubo} \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ planosolido}\]

\[\left. \begin{array}{l} \text{et rursus} \\ \quad E \text{ quadratocubus} \\ \quad -\,B \text{ planoplano in } A.\,E \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ planosolido.}\] « in \(A\). \(E\) » : le \(E\) suit le \(A\) sans que celui-ci soit barré ; c'est \(E\) que l'équation demande.

66Verso du feuillet « 30 » ; la prop. II des inversæ, dont l'énoncé termine la vue 65, se poursuit. Sous le bas de la page dépasse de nouveau le petit feuillet « 28 », avec la ligne « 2268. et fiet \(1N\): 3 vel 6. » de la vue 62, non transcrite ici. En haut à gauche, une tache. La marge de gauche et le haut de la page portent des notes de la main plus petite ; celle du haut court sur toute la largeur, au-dessus de la première ligne du texte, qu'elle souligne d'un trait.

\(\frac{Z\,pl}{A} \propto Bpp - Aqq\). (a differentia quadrato-quadratorum alterne sumptorum ablato quadquad. primæ relinquit differentiam quadratoquadratorum a quatuor postremis. et contra a quadquad extremæ maioris ablata differentia quadquad alterne sumptorum relinquitur diff. quadquad a quatuor primis alterne sumptorum \(\frac{Z\,pl}{E} \propto Eqq - Bpp\).

Sunt quinque continue proportionales longitudines a quibus quadratoquadrata alterne sumpta differunt per \(B\) planoplanum. fit autem \(Z\) planosolidum ductu alterius extremæ in differentiam quadratoquadratorum a reliquis et fit \(A\) prima minor inter extremas \(E\) quinta. Un trait traverse « et fit \(A\) » : rature ou barre de t prolongée, on ne peut trancher.

\(B\) alterne sumptis \(\frac{1,\ 4,\ 16}{21}\) \(\frac{2,\ 8}{10}\) \(\frac{21 - 10}{11}\) […]

Sunto continue proportionales \(\overset{\text{I}}{1}\). \(\overset{\text{II}}{LQQ2}\). \(\overset{\text{III}}{LQQ4}\). \(\overset{\text{IIII}}{LQQ8}\). \(\overset{\text{V}}{2}\).

\(11N - 1QC\) æquatur 10 et fit \(1N\) 1. et rursus

\(\underline{\overline{1QQ}} - 11N\) æquatur 10 et fit \(1N\). 2. \(\overline{\underline{C}}\) « \(1QQ\) » est souligné et surligné, son second signe surchargé ; la marge porte « \(C\) » entre deux traits : il faut \(1QC\), comme à la ligne précédente (\(2^5 - 22 = 10\)).

\(\frac{Z\,s}{Aq} \propto B + A\) differentia trium proportionalium alterne sumptorum plus differentia duarum primarum æquatur extremæ maiori. \(\frac{Z\,s}{Eq} \propto B - E\). si a differentia trium alterne sumptarum auferatur differentia duarum postremarum relinquitur extrema minor. ex proposita serie \(A\). \(B\). \(\frac{Bq}{A}\) \(\frac{4}{5}\) \(-\frac{2}{3}\) Bloc de la marge en regard de la prop. III ; les deux fractions de la fin, sous un trait courbe, ne se rattachent à rien de lisible.

prop. III.

\[\left. \begin{array}{l} \text{Si } B \text{ in } A \text{ quadratum} \\ +\,A \text{ cubo.} \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ solido.}\]

\[\left. \begin{array}{l} \text{et rursus} \\ \quad B \text{ in } E \text{ quadratum} \\ \quad -\,E \text{ cubo} \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ solido}\]

Sunt tres proportionales quarum alterne sumptarum differentia est \(B\). fit autem \(Z\) solidum ductu alterutrius extremæ in quadratum differentiæ reliquarum alterne sumptarum et dum intelligitur prima minor inter extremas est \(A\) differentia alterne sumpta duarum primarum \(E\) differentia duarum postremarum. « tres » est écrit sur un mot effacé.

differentia 1 et 2 est 1 cuius q. est 1. quod ducto in 4 facit 4. sit differentia 2 et 4 est 2 cuius q. est 4. quod ducto in 1 facit 4.

Sunto proportionales \(\overset{\text{I}}{1}\). \(\overset{\text{II}}{2}\). \(\overset{\text{III}}{4}\).

\(3Q \mathbin{\overset{+}{=}} 1C\). æquatur 4 et fit \(1N\) 1. et rursus

\(3Q - 1C\) æquatur 4. et fit \(1N\). 2. \(+\) Dans la première équation, le signe est un « \(=\) » traversé d'un trait vertical, comme à la vue 62 ; la marge porte « \(+\) » entre deux traits. L'équation demande \(+\) : \(3 + 1 = 4\). Le « 4 » qui suit « æquatur » est repassé.

prop. IIII.

\[\left. \begin{array}{l} \text{Si } B \text{ in } A \text{ quadratoquadratum} \\ +\,A \text{ quadratocubo} \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ planosolido}\]

\[\left. \begin{array}{l} \text{et rursus} \\ \quad B \text{ in } E \text{ quadratoquadratum} \\ \quad E \text{ quadratocubo} \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ planosolido.}\] Aucun signe n'est visible devant « \(E\) quadratocubo ».

Sunt quinque proportionales quarum alterne sumptarum differentia est \(B\). fit autem \(Z\) planosolidum ductu alterutrius extremæ in quadroquadratum differentiæ reliquarum alterne sumptarum.

et dum intelligitur prima minor inter extremas est \(A\) differentia alterne sumpta quatuor primarum \(E\) differentia quatuor postremarum.

\(\frac{Z\,pl}{Aqq} \propto B + A\). differentia quinque proportionalium continue plus differentia alterne sumpta quatuor primarum æquatur extremæ maiori et rursus \(\frac{Z\,pl}{Eqq} \propto B - E\). si a differentia quinque continue proportionalium alterne sumptarum auferatur differentia quatuor postremarum alterne sumptarum relinquitur prima. Derniers blocs de la marge, en regard de la prop. IIII, le premier fermé par un trait courbe. La proposition n'a pas d'exemple ; le reste de la page est blanc.

67Un feuillet numéroté « 31 » à l'encre en haut à droite, posé sur un feuillet plus grand numéroté « 33 », dont on voit les trois premières lignes au-dessus de lui : « Imminuis ab adiectione sub gradu extremo ut opus comprobabit postremo fit homogeneum sub \(B\) coefficiente et \(A\) extremo gradu adfectum […] […] \(A\) […] quoniam igitur » — lignes d'une autre pièce, lues ici sans assurance et non transcrites comme texte. Le feuillet « 31 » continue la prop. IIII de la vue 66 par son exemple.

\(\frac{1,\ 4,\ 16}{21.}\) \(\frac{2,\ 8}{10}\) \(\frac{21 - 10}{11}\) \(B\) \(\frac{2,\ 8}{10}\) \(\frac{4,\ 16}{20}\) \(\frac{20 - 10}{10}\) cuius quadratoquadrat. 10000 Calculs de la marge : \(B = 21 - 10 = 11\), puis \(E = 20 - 10 = 10\) et \(10^4\). Après « 10000 », quelques chiffres serrés, […].

Sunto proportionales \(\overset{\text{I}}{1}\). \(\overset{\text{II}}{2}\). \(\overset{\text{III}}{4}\). \(\overset{\text{IIII}}{8}\). \(\overset{\text{V}}{16}\).

\(11QQ + 1QC\). æquatur 10,000. et fit \(1N\) 5. et rursus

\(11QQ - 1QC\). æquatur 10,000 et fit \(1N\). 10.

prop. V.

\[\left. \begin{array}{l} \text{Si } B \text{ plano in } A \text{ cubum} \\ = A \text{ quadratocubo} \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ planosolido}\] \(\overset{+}{=}\) et rursus \(B\,p\) in \(E\) \(-\,E\) quad. cub. æquetur \(Z\) planosolido Le signe devant « \(A\) quadratocubo » est de nouveau un « \(=\) » ; la marge porte au-dessus un « \(+\) » sur deux barres, puis la seconde équation, que le texte omet. Le bloc est fermé par un trait.

Sunt sex proportionales quarum extremæ ductæ in differentiam quartæ et primæ faciunt \(B\) planum. fit autem \(Z\) planosolidum e cubo differentiæ quartæ et primæ in \(B\) planum plus eiusdem differentiæ quadrato. vel e cubo differentiæ quintæ et secundæ in \(B\) planum, multato illius differentiæ inter quintam et secundam quadrato

et cum prima intelligitur maior inter extremas sit \(A\) differentia quartæ et primæ et × differentia quintæ et secundæ. minor × \(E\). « maior » est souligné et corrigé en « minor » dans la marge ; la croix après « et » appelle « \(E\) », écrit dans la marge. Dans l'exemple, \(Z = 7^3 \cdot 231 + 7^5 = 14^3 \cdot 231 - 14^5 = 96040\) : les deux « quadrato » de la phrase précédente valent « quadratocubo ».

Sunto proportionales. \(\overset{\text{I}}{1}\). \(\overset{\text{II}}{2}\). \(\overset{\text{III}}{4}\). \(\overset{\text{IIII}}{8}\). \(\overset{\text{V}}{16}\). \(\overset{\text{VI}}{32}\).

\(231\underline{Q} + 1QC\). æquat. 96040. et fit \(1N\) 7. et rursus

\(231\underline{Q} - 1QC\). æquat. 96040 et fit \(1N\). 14. \(\overline{\underline{C}}\) \(\overline{\underline{C}}\) Les deux « \(Q\) » soulignés sont corrigés en « \(C\) » dans la marge : \(231 \cdot 7^3 + 7^5 = 96040\).

prop. VI.

\[\left. \begin{array}{l} \text{Si } B \text{ solidum in } A \text{ quadratum.} \\ +\,A \text{ quadratocubo} \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ planosolido}\] × et rursus \(B\) solidum in \(E\) q. \(-\,E\) quad. cubo æquetur \(Z\) planosolido La seconde équation est de nouveau suppléée dans la marge, appelée par une croix sous la première.

Sunt sex proportionales continue quarum extremæ ductæ in quadratum a differentia tertiæ et primæ faciunt \(B\) solidum. fit autem \(Z\) planoplano a \(B\) solido plus cubo e differentia tertiæ et primæ in quadratum differentiæ eiusdem, vel \(B\) solido minus cubo e differentia secundæ et quartæ in quadratum differentiæ illius inter tertiam et quartam. secundam. « tertiam » est souligné, corrigé en « secundam » dans la marge : \((297 - 6^3) \cdot 6^2 = 2916\).

et cum prima intelligitur minor inter extremas sit \(A\) tertia minus prima. \(E\) quarta minus secunda.

Sunto proportionales. \(\overset{\text{I}}{1}\) \(\overset{\text{II}}{2}\). \(\overset{\text{III}}{4}\). \(\overset{\text{IIII}}{8}\). \(\overset{\text{V}}{16}\). \(\overset{\text{VI}}{32}\).

\(297\underline{Q} + 1QC\). æquat. 2916. et fit \(1N\). 3. et rursus

\(297\underline{Q} - 1QC\). æquat. 2916. et fit \(1N\). 6. Ici les « \(Q\) » soulignés sont justes (\(297 \cdot 9 + 243 = 2916\)) et la marge ne corrige rien. Le bas de la page est blanc.

68Verso du feuillet « 31 », sans numéro. Écriture de la même main que le recto, sans notes marginales ; à gauche, des traces pâles d'écriture, décharge du feuillet voisin, non transcrites. Le bas de la page est blanc.

Alia rursus æqualitatum Inversarum Constitutiva Cap. XXI

prop. I.

\[\left. \begin{array}{l} \text{Si } B \text{ plano in } A \\ -\,A \text{ cubo} \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ solido.}\]

\[\left. \begin{array}{l} \text{et rursus} \\ \quad E \text{ cubus} \\ \quad -\,B \text{ plano in } E \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ solido.}\]

Sunt tres proportionales quarum quadrata iuncta conficiunt \(B\) planum. summa autem extremitatum ducta in mediæ quadratum vel altera extremarum in aggregatum quadratorum ex duabus reliquis facit \(Z\) solidum. et fit \(A\) alterutra extremarum \(E\) vero earundem summa.

Sunto proportionales \(1\). \(2\). \(4\).

\(21N - 1C\). æquatur 20 et fit \(1N\). 1 vel 4. et rursus

\(1C - 21N\). æquatur 20 et fit \(1N\). 5.

prop. II.

\[\left. \begin{array}{l} \text{Si } B \text{ in } A \text{ quadratum} \\ -\,A \text{ cubo} \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ solido}\]

\[\left. \begin{array}{l} \text{et rursus} \\ \quad B \text{ in } E \text{ quadratum} \\ \quad +\,E \text{ cubo} \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ solido}\]

Sunt tres proportionales radices quarum summa est \(B\) composita autem e duabus primis adducta compositæ e duabus reliquis, dum ducitur in mediæ quadratum vel altera extremarum in quadratum compositæ e duabus reliquis facit \(Z\) solidum et fit \(A\) alterutra prædictarum compositarum. \(E\) media inter extremas. « summa » est surchargé. La première des deux constructions de \(Z\) ne donne pas 36 telle qu'elle est lue ; la seconde, \(1 \cdot 6^2 = 4 \cdot 3^2 = 36\), s'accorde avec l'exemple.

Sunto proportionales \(1\). \(2\). \(4\).

\(7Q - 1C\). æquatur 36 et fit \(1N\) 3 vel 6. et rursus

\(7Q + 1C\). æquatur 36. et fit \(1N\). 2.

69Un feuillet numéroté « 32 » à l'encre en haut à droite, posé sur le grand feuillet « 33 », dont les trois premières lignes (« Imminuis ab adiectione sub gradu extremo … quoniam igitur ») dépassent au-dessus, comme à la vue 67. Une pièce nouvelle commence ici, en tête de page, dans la même main que les feuillets précédents ; la vue 68 finissait sur l'exemple d'une proposition. À gauche, le bord d'un autre feuillet avec des fins de lignes, non transcrites.

Francisci Vietæ. De æquationum Emendatione tractatus secundus.

De solennibus quinque modis præparandarum æquationum adversus earum in numeris δυσμηχανίαν.

Ac primum. De expurgatione per uncias quæ remedium est adversus πολυπλοκείαν Cap. I.} Les deux mots grecs sont écrits d'une main peu sûre, sans accents lisibles ; ils sont transcrits lettre à lettre.

p. 127. editionis 1646. Dans la marge de gauche, en regard de la première ligne du chapitre, d'une autre main, petite et régulière, plus récente que le texte : « p. 127. editionis 1646. », un renvoi à une édition imprimée.

Agnita æquationum constitutione analysta ad præparandum eas quæ sunt alioqui mechanicismo respuant aut demum ægre subeunt toto se confert et qua præparatione efficit εὐμηχάνους. at præparandi quidem generale doctrina est, ut nova […] substituatur, vel plasmatis aut syncriseos vestigia repetantur, at denique nullus non tentetur transmutandi modus. sed non desunt analystæ singularia, et topica remedia adversus vitia quæque æquationum impedimentaque quo minus facilius sive re sive numero explicentur. fere autem quæ prosunt geometricæ ad εὐμηχανίαν prosunt et arithmeticæ ut etiam e contra. et etiam de effectionibus geometricis dicetur specialius suo loco, nunc autem circa numerosam analysim magis esse intentum nostri est instituti.

Præparationum igitur præsertim in numeris solennes et speciales modi sunt fere quinque.

1. Expurgatio per uncias
2. transmutatio πρώτον ἔχατον
3. Anastrophe.
4. Isomæria
5. Climactica paraplerosis.

La liste est numérotée 1 à 5 par l'auteur. Au 2, les deux mots grecs sont écrits ainsi ; le second a un accent au-dessus de la première lettre.

omnium adversus πολυπλοκείαν tutissimum et paratissimum remedium est expurgatio per uncias.

est autem species transmutationis per additionem vel subductionem. Le reste de la page est blanc ; le chapitre continue au verso, vue 70.

70Verso du feuillet « 32 », sans numéro ; le chapitre I du De æquationum emendatione continue. La dernière ligne s'arrête sur « quæ omnino evenit », suivi d'un mot barré : la phrase reprend au haut du feuillet « 33 » (vue 71), dont les trois premières lignes se voyaient déjà aux vues 67 et 69 au-dessus des feuillets plus petits.

Hæ æquationes potestatum adfectarum sub extremo parodico gradu quem sustinet coefficiens radici homogenea, […] ea adfectione liberantur salva numerorum symmetria. et in quadratis est Diahemysis, in cubis diatritemorion, et sic in infinitum ordine [in quadratoquadratis diatetartemorion.] in quadratocubis diapentemorion, in cubocubis diectemorion et sic in infinitum ordine, quoniam adfectiones sub eo gradu proficiscuntur a […], de […] quo intelligit adfecta radix de qua cumque potestate pura vel affecta primo proponebatur æquatio. 1^o in quadratoquadratis diatetartemorion. « in quadratoquadratis diatetartemorion » est écrit dans la marge de gauche, appelé par « 1^o », et souligné d'un trait qui rejoint la ligne ; il remplace les mots barrés « et sic in infinitum ordine », que l'auteur répète plus loin à leur place. Les deux mots rendus […] (« a […], de […] ») sont de même racine, le second avec la terminaison -one ; aucune lecture ne s'impose.

Atqui autem […] de […] duplum est coefficiens sub latere in quadratis. et triplum, coefficiens sub quadrato in cubis, et quadruplum coefficiens sub cubo in quadratoquadratis. et quintuplum coefficiens coefficiens sub quadratoquadrato in quadratocubis, et sextuplum denique coefficiens sub quadratocubo in cubocubis. et sic in infinitum ordine.

Itaque ad delendum plasma, contraria retrogradaque via fiunt unciæ conditionariæ coefficientis radici homogeneorum. in quadratis videlicet semis. in cubis triens. in quadratoquadratis quadrans. In quadratocubis quintans, in cubocubis sextans et eo continuo ordine, atque illis unciis conditionariis adficitur radix, atque adeo certe fit transmutatio.

totius itaque operis structura tres casuum differentias admittit primo.

Sit \(A\) potestas adfecta per adiunctionem homogenei sub \(B\) coefficiente et \(A\) parodico extremo gradu, quoniam igitur ea adfectio adfirmata est, adficitur radix affirmate a conditionariis \(B\) coefficientis unciis et ita affecta statuitur esse \(E\), unde \(E\) minus conditionariis \(B\) coefficientis unciis æquabitur \(A\) sub qua nova specie æquatio primo proposita ducetur et ordinabitur nova quæ omnino evenit immunis ab affectione sub gradu extremo ut opus comprobabit.

Secundo sit \(A\) potestas affecta per multam homogenei sub \(B\) coefficiente et \(A\) extremo parodico gradu, quoniam igitur ea adfectio negata est, adficitur \(A\) negate a conditionariis \(B\) coefficientis unciis, et ita adfecta statuitur esse \(E\) unde \(E\) plus conditionariis illis […] coefficientis unciis æquabitur \(A\) sub qua nova specie æquatio primo proposita ducetur et ordinabitur nova. quæ omnino evenit immunis \(B\) La lettre barrée avant « coefficientis » est corrigée dans la marge de gauche en « \(B\) », entre deux traits. Le dernier mot, « immunis », est barré ; il est récrit en tête du feuillet suivant.

71Le grand feuillet numéroté « 33 » à l'encre en haut à droite. Sa première ligne reprend le mot barré à la fin de la vue 70 et continue la phrase. À gauche dépassent les bords des feuillets « 31 » et « 32 », avec des fins de lignes, non transcrites. Sous le bas de la page dépasse un feuillet plus long, qui porte « \(-\,D\) plano in \(A\) » ; c'est la dernière ligne du feuillet « 35 » (vue 75), non transcrite ici.

immunis ab adfectione sub gradu extremo ut opus comprobabit.

postremo sit homogeneum sub \(B\) coefficiente et \(A\) extremo gradu adfectum per multam \(A\) potestatis. quoniam igitur potestas potius adficit quam adficitur utpote quæ negatur de homogeneo, adfectionis conditionariæ \(B\) coefficientis unciæ multabuntur \(A\) potestate et statuentur esse \(E\), unde eædem coefficientis unciæ minus radice \(E\), æquabuntur \(A\), sub qua nova specie æquatio primo proposita ducetur et ordinabitur nova quæ omnino evenit immunis ab affectione sub gradu extremo ut opus comprobabit

Exemplum in Quadrato.

proponatur \(A\) quadratum plus \(B\) in \(A\) bis æquari \(Z\) plano quoniam igitur in climacticarum magnitudinum ordine latus quadrato proxime succedit, proponitur autem hic quadratum adfectum sub latere, omnino æqualitas plasmatica est alicunde effecta. est autem adfectio illa adfirmata. Itaque plasma fuit per additionem semissis coefficientis sub latere, prout conditio quadrati quæ potestas est rationis duplicatæ exposcit. ad tollendum igitur plasma, fiat expurgatio diahemyseos et idcirco \(A + B\) esto \(E\). ergo \(E - B\) […] erit \(A\). et consequenter quadratum ab \(E - B\) adiunctum plano sub \(B\) bis et \(E - B\) æquabitur \(Z\) plano per ea quæ proponuntur. Æqualitas igitur de \(E\) secundum artem ordinetur: omnibus rite peractis deprehendetur \(E\) quadratum æquari \(Z\) plano plus \(B\) quadrato, quæ quidem nova æquatio pura est ab affectione sub latere, qua primo proposita obruebatur. cum autem innotescet \(E\) non poterit \(A\) ignorari propter datam inter eas radices differentiam præstat siquidem […] \(A\) per longitudinem \(B\): quare factum est quod oportuit. \(E\) ipsi « \(E\) ipsi », encadré dans la marge de gauche entre deux traits, se rapporte à « siquidem […] \(A\) », où un mot bref est mal formé : « \(E\) præstat ipsi \(A\) ». Dans « ab \(E - B\) », le trait du moins est doublé.

Exemplum in Cubo.

proponatur \(A\) cubus plus \(B\) in \(A\) quadratum ter plus \(D\) plano in \(A\) æquari \(Z\) solido. quoniam igitur in magnitudinum climacticarum ordine, quadratum cubo proxime succedit proponitur autem hic cubus adfectus utique sub quadrato omnino æqualitas plasmatica est, alicunde effecta. ne/ Dans la marge de gauche, en regard de la dernière ligne, « ne » souligné, suivi d'une barre oblique : un renvoi dont l'appel n'est pas visible dans la ligne. La phrase continue au verso, vue 72.

72Verso du feuillet « 33 » ; l'exemple du cube, commencé au bas de la vue 71, continue. En haut à gauche, un « 33 » pâle vu par transparence. Dans la marge de gauche, des traces d'écriture pâles et inversées, décharge ou transparence, non transcrites ; les notes marginales lisibles sont données à leur place. Le bas de la page est blanc.

est autem adfectio illa adfirmata, quare plasma fuit per additionem trientis \(B\) coefficientis prout conditio cubi quæ pot potestas est rationis triplicatæ exposcit. ad tollendum igitur plasma fiat expurgatio diatritemorion et idcirco \(A + B\) esto \(E\) ergo \(E - B\) valebit \(A\) et consequenter cubus ab \(E - B\) cubus adiunctus solido a \(B\) ter in […] quadratum quoque ab \(E - B\) quadratum ac denique adiunctus solido a \(D\) plano in \(E - B\) æquabitur \(Z\) solido per ea quæ proponuntur. Æqualitas igitur de \(E\) secundum artem ordinetur omnibus rite peractis deprehendetur \[\left. \left. \begin{array}{l} E \text{ cubus} \\ +\,D \text{ plano} \\ \underline{\overline{+}}\,B \text{ quadrato} \end{array} \right\} \text{in } E \right\} \text{æquari} \ \begin{array}{l} Z \text{ solido} \\ \pm\,D \text{ plano in } B \\ -\,B \text{ cubo bis} \end{array}\] \(\overline{\underline{\pm}}\) ×. \(-\,B\) quadrato ter. Le signe devant « \(B\) quadrato » est un « \(+\) » surchargé entre deux traits, et la marge le corrige en « \(-\,B\) quadrato ter », appelé par une croix. Devant « \(D\) plano in \(B\) », le signe est noirci, lu \(\pm\) sans assurance. Le calcul donne \(E^3 + (D - 3B^2)E = Z + DB - 2B^3\).

quæ quidem nova æquatio pura est ab adfectione sub quadrato, qua primo proposita obruebatur cum autem innotescet \(E\) non poterit \(A\) ignorari, propter datam inter eas radices differentiam præstat siquidem \(E\) ipsi \(A\) per longitudinem \(B\). quare factum est quod oportuit.

quod si quis proponitur æqualitas potestati adfectæ per negationem directo ut cum \(A\) quadratum minus \(B\) in \(A\) bis æquatur \(Z\) plano vel \(A\) cubus minus \(B\) in \(A\) quadratum ter adæquatur \(Z\) solido \(A - B\) statuitur esse \(E\) et æqualitas de \(E\) expositis vestigiis ordinabitur. […] et/ « quis » est souligné ; dans la marge, un mot barré, puis « et » suivi d'une barre oblique.

Si denique proponitur æqualitas potestati adfectæ per negationem inverse ut cum \(B\) in \(A\) bis minus \(A\) quadrato adæquatur \(Z\) plano vel \(B\) in \(A\) quadratum ter minus \(A\) cubo adæquatur \(Z\) solido. \(B - A\) statuitur esse \(E\) et æqualitas de \(E\) similibus expositis vestigiis ordinabitur. similiter. « similibus » est souligné, et la marge porte « similiter », souligné aussi.

Sic quadrata omnia adfecta revocantur ad pura adfecto qualitercumque, cubi ad cubos adfectos tantum sub latere adfecta qualitercumque, quadratoquadrata ad quadratoquadrata adfecta duntaxat sub latere et quadrato. adfecti qualitercumque quadratocubi ad quadratocubos adfectos duntaxat sub latere quadrato et cubo et eo deinceps progressu.

Credebant autem antiqui quoniam hac reductione æquationes quadraticas omnino expurgabant et facile explicabant La phrase s'arrête ici, sans point, au bas du texte ; elle ne se poursuit pas sur cette page.

73Un feuillet numéroté « 34 » à l'encre en haut à droite. Au-dessus de lui, à l'angle d'un feuillet plus grand qui dépasse en haut, un « 37 » de la même encre (le feuillet de la vue 75 et suivantes). Sous le bas de la page dépasse la dernière ligne du feuillet « 35 », « \(-\,D\) plano in \(A\) » (vue 75), déjà visible à la vue 71 ; non transcrite ici. À gauche, les bords des feuillets précédents, avec des fins de lignes, non transcrites. La première ligne ne reprend pas la dernière phrase de la vue 72 (« Credebant autem antiqui … explicabant ») : le lien entre les deux pages n'est pas assuré.

vel duobus quoque climacticis accedere ut omnino expurgarentur et a canonica puram resolutione informandum mechanicorum deinde tentarunt adeo obstinate, ut aliunde methodum explicandi æquationes adfectas non exquisierint.

Itaque erraverunt […] frustra et bonas horas mathematicas quam collocabant dispendio absumpserunt. In summa methodus illa explicandi æquationes adfectas quadraticas non est catholica. Catholica quidem est methodus expurgandarum æquationum adfectione singulari salva numerorum symmetria sed non adfectione omni, ut deinceps veterum pertinaciæ non sit in hæredium. Le premier mot de la page, en partie effacé, est lu sans assurance. Dans la marge de droite, en regard des trois premières lignes, les débuts de lignes d'un autre feuillet (« 1 », « rans »), non transcrits.

Juvat autem de singulis istiusmodi reductionis formulis singula concepta theoremata, et ea in artem et usum proferre, qualia sunt quæ sequuntur.

De reductione quadratorum adfectorum ad pura. formulæ hæ.

Si \(A\) quadratum plus \(B\) bis in \(A\) æquetur \(Z\) plano

\(A + B\) esto \(E\).

Igitur \(E\) quadratum æquabitur \(Z\) plano plus \(B\) quadrato

Consectarium

Itaque \(L \left\{ \begin{array}{l} Z \text{ plani} \\ +\,B \text{ quadrato} \end{array} \right\} - B\) fit \(A\) de qua primo quærebatur « \(L\) » : latus, la racine carrée de l'agrégat.

Sit \(B\) 1. \(Z\) plano 20. \(A\) \(1N\).

\(1Q + 2N\). æquatur 20 et fit \(1N\). \(L21 - 1\).

Si \(A\) quadratum minus \(B\) bis in \(A\) æquetur \(Z\) plano Au-dessus de la ligne, un « II » : le numéro de la formule, comme le « I » écrit au-dessus d'« æquetur » dans la première et le « III » en tête de la vue 74.

\(A - B\) esto \(E\)

Igitur \(B\) quadratum æquabitur \(Z\) plano plus \(B\) quadrato \(E\) Le « \(B\) » souligné est corrigé en « \(E\) » dans la marge, entre deux traits.

Consectarium

Itaque \(L \left\{ \begin{array}{l} Z \text{ plani} \\ +\,B \text{ quadrato} \end{array} \right\} + B\) fit \(A\) de qua primum quærebatur

Sit \(B\) 1. \(Z\) plano 20 \(A\) \(1N\).

\(1Q - 2N\). æquatur 20 et fit \(1N\). \(L21 + 1\) Le bas de la page est blanc.

74Verso du feuillet « 34 », sans numéro ; la suite des formules de la vue 73 continue, numérotée « III » au-dessus de la ligne. À gauche, des traces pâles d'écriture, décharge ou transparence, non transcrites. Le bas de la page est blanc.

Si \(D\) bis in \(A\) minus \(A\) quadrato æquetur \(Z\) plano

\(D - E\) vel \(D + E\) esto \(A\)

\(E\) quadratum æquabitur \(D\) quadrato minus [minus] \(Z\) plano « minus » est récrit au-dessus du même mot surchargé.

Consectarium

Itaque \(D\) minus plusve \(L \left\{ \begin{array}{l} D \text{ quadrati} \\ -\,Z \text{ plano} \end{array} \right\}\) fit \(A\) de qua primo quærebatur

Sit \(D\) 5. \(Z\) plano 20. \(A\) \(1N\). \(Z\)/ Dans la marge, en regard, « \(Z\) » entre deux traits suivi d'une barre oblique : sans correction visible dans la ligne.

\(10N - 1Q\) æquatur 20 et fit \(1N\). \(5 - L5\) vel \(5 + L5\).

De reductione cuborum simpliciter adfectorum sub quadrato ad cubos simpliciter adfectos sub latere formulæ tres.

\[\left. \begin{array}{l} \text{Si } A \text{ cubus} \\ +\,B \text{ ter in } A \text{ quadratum} \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ solido.}\]

\(A + B\) esto \(E\) \[\left. \begin{array}{l} E \text{ cubus} \\ -\,B \text{ quadrato ter in } E \end{array} \right\} \text{æquabitur} \left\{ \begin{array}{l} Z \text{ solido} \\ -\,B \text{ cubo bis} \end{array} \right.\]

\(1C + 6Q\). æquatur 1600 est \(1N\). 10

\(1C - 12N\) æquatur \(\underline{1684}\) est \(1N\) 12 fit \(1N\) 2/ \(\underline{1584}\) « 1684 » est souligné et corrigé en « 1584 » dans la marge, souligné aussi : \(12^3 - 12 \cdot 12 = 1584 = 1600 - 2 \cdot 2^3\). Le premier nombre, écrit contre « æquatur », se lit 1600 d'après le calcul (\(10^3 + 6 \cdot 10^2\)), le 1 initial étant mal séparé. L'autre note de la marge, « fit \(1N\) 2 » suivi d'une barre oblique, semble donner la valeur de \(B\), que le texte omet.

ad Arithmetica non incongrue σημεῖον aliquod superimponitur notis alteratæ radicis ad differentiam notarum eius de qua primum quærebatur

\[\left. \begin{array}{l} \text{Si } A \text{ cubus} \\ -\,B \text{ ter in } A \text{ quadratum} \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ solido}\] Au-dessus, le numéro de la formule, « II ».

\(A - B\) esto \(E\) \[\left. \begin{array}{l} E \text{ cubus} \\ -\,B \text{ quadrato ter in } E \end{array} \right\} \text{æquabitur} \left\{ \begin{array}{l} Z \text{ solido} \\ +\,B \text{ cubo bis} \end{array} \right.\]

\(1C - 6Q\) æquatur 400 est \(1N\). 10.

\(1C - 12N\). æquatur 416 est \(1N\) 8.

\[\left. \begin{array}{l} \text{Si } B \text{ ter in } A \text{ quadratum} \\ -\,A \text{ cubo} \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ solido}\] Au-dessus, « III ».

\(A - B\) esto \(E\). La formule s'arrête là, au bas du texte de la page.

75Un feuillet numéroté « 35 » à l'encre en haut à droite, posé sur un feuillet plus grand numéroté « 37 », dont trois lignes dépassent au-dessus : « nempe sunt numeri triangulares 3. 6. 10. 15 &c. proponatur autem \(A\) quadratoquadratum adfectum sub \(A\) et \(B\) cubo simul ad expurgationem illius adfectionis quadrans » — lignes lues ici sans assurance et non transcrites comme texte. Le feuillet « 35 » est plus long que les feuillets « 33 » et « 34 » : c'est sa dernière ligne, « \(-\,D\) plano in \(A\) », qui dépassait sous eux aux vues 71 à 74. Il continue la formule III de la vue 74.

\[\left. \begin{array}{l} B \text{ quadratum ter in } E \\ -\,E \text{ cubo} \end{array} \right\} \text{æquabitur} \ \begin{array}{l} Z \text{ solido} \\ -\,B \text{ cubo bis.} \end{array}\]

vel \(B - A\) esto \(E\) \[\left. \begin{array}{l} B \text{ quadratum ter in } E \\ -\,E \text{ cubo} \end{array} \right\} \text{æquabitur} \ \begin{array}{l} B \text{ cubo bis} \\ -\,Z \text{ solido} \end{array}\]

\(21Q - 1C\) æquatur 972 est \(1N\) 9 vel 18

\(147N - 1C\) æquatur 286 est \(1N\) 2 vel 11

\(9Q - 1C\) æquatur 28 est \(1N\). 2

\(27N - 1C\). æquatur 26 est \(1N\) 1.

De reductione cuborum adfectorum tam sub quadrato quam latere ad cubos adfectos simpliciter sub latere. formulæ septem.

\[\left. \begin{array}{l} \text{Si } A \text{ cubus} \\ +\,B \text{ ter in } A \text{ quadratum} \\ +\,D \text{ plano in } A \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ solido}\] Au-dessus, le numéro de la formule, « I ».

\(A + B\) esto \(E\) \[\left. \left. \begin{array}{l} E \text{ cubus} \\ +\,D \text{ plano} \\ = B \text{ quadrato ter} \end{array} \right\} \text{in } E \right\} \text{æquabitur} \left\{ \begin{array}{l} Z \text{ solido} \\ +\,D \text{ plano in } B \\ = B \text{ cubo bis.} \end{array} \right.\] Le « \(=\) » est ici encore le signe de la différence, d'ordre non spécifié, et non l'égalité. Entre les deux accolades, une petite croix, sans renvoi visible.

\(1C + 30Q +\) [3]\(30N\). æquatur 788 est \(1N\) 2. \(\underline{330}\) « 30 » est souligné, avec un « 3 » petit écrit au-dessus, en tête ; la marge donne « 330 », souligné, qui est juste : \(8 + 120 + 660 = 788\).

\(1C + 30N\). æquatur 2088 est \(1N\) 12.

\(1C +\) 24\(Q + 132N\) æquatur 368 est \(1N\) 2

\(1C - 60N\) æquatur 400 est \(1N\) 10 Les deux nombres douteux sont lus d'après le calcul : avec \(B = 8\) et \(D = 132\), \(8 + 96 + 264 = 368\) et \(1000 - 600 = 400\). Le second chiffre de « 24 » ressemble à un 7, le dernier de « 400 » à un 6.

\(1C + 30Q + 4N\). æquatur 1320 est \(1N\) 6.

\(296N - 1C\) æquatur 640 est \(1N\). 16.

\[\left. \begin{array}{l} \text{Si } A \text{ cubus} \\ +\,B \text{ ter in } A \text{ quadratum} \\ -\,D \text{ plano in } A \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ solido}\] Au-dessus, « II ». La formule s'arrête là ; le bas du feuillet est blanc.

76Verso du feuillet « 35 », sans numéro ; la formule II, dont l'énoncé termine la vue 75, se poursuit. Tout est de la même main, en formules et en exemples numériques, sans prose. Le bas de la page est blanc.

\(A + B\) esto \(E\) \[\left. \left. \begin{array}{l} E \text{ cubus} \\ = B \text{ quadrato ter} \\ = D \text{ plano} \end{array} \right\} \text{in } E \right\} \text{æquabitur} \ \begin{array}{l} Z \text{ solido} \\ = B \text{ cubo bis} \\ = D \text{ plano in } B \end{array}\]

\(1C + 6Q - 48N\). æquatur \(\underline{512}\) est \(1N\) 8. […] « 512 » est souligné ; dans la marge, entre deux traits, un nombre barré, […]. Le calcul confirme 512 : \(512 + 384 - 384\).

\(1C -\) 60\(N\) æquatur 400 est \(1N\) 10

\(1C + 30Q - 48N\) æquatur 32 est \(1N\) 2

\(348N - 1C\) æquatur 2448 est \(1N\) 12. Le coefficient de la deuxième ligne est surchargé ; 60 est ce que le calcul demande (\(1000 - 600 = 400\)).

\[\left. \begin{array}{l} \text{Si } A \text{ cubus} \\ -\,B \text{ ter in } A \text{ quadratum} \\ = D \text{ plano in } A \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ solido}\] \(\overline{\underline{+}}\) Au-dessus, le numéro « III ». Le signe devant « \(D\) plano in \(A\) » est un « \(=\) » repassé ; la marge porte « \(+\) » entre deux traits.

\(A - B\) esto \(E\) \[\left. \left. \begin{array}{l} E \text{ cubus} \\ = B \text{ quadrato ter} \\ +\,D \text{ plano} \end{array} \right\} \text{in } E \right\} \text{æquabitur} \ \begin{array}{l} Z \text{ solido} \\ +\,B \text{ cubo bis} \\ = D \text{ plano in } B. \end{array}\] Au-dessus de « ter », un signe « \(\mp\) » ajouté.

\(1C - 30Q + 330N\) æquatur 1368 est \(1N\) 12

\(1C + 30N\). æquatur 68 est \(1N\) 2.

\(1C\) […] \(12Q + 28N\). æquatur \(\underline{76}\) est \(1N\) 10 80 Le signe après « \(1C\) » est noyé dans une tache ; le calcul demande \(-\). « 76 » est souligné et corrigé en « 80 » dans la marge : \(1000 - 1200 + 280 = 80\).

\(1C - 20N\) æquatur 96 est \(1N\) 6.

\(1C - 18Q + 88N\) æquatur 80 est \(1N\) 10

\(20N - 1C\) æquatur 16 est \(1N\) 4.

vel \(B - A\) esto \(E\) \[\left. \begin{array}{l} B \text{ quadrato ter in } E \\ = D \text{ plano} \\ = E \text{ cubo} \end{array} \right\} \text{æquabitur} \ \begin{array}{l} Z \text{ solido} \\ +\,B \text{ cubo bis} \\ = D \text{ plano in } B \end{array}\]

\(1C - 30Q + 200N\) æquatur 336 est \(1N\) 6

\(100N - 1C\) æquatur 336 est \(1N\) 4

\(1C - 30Q + 280N\) æquatur 704 est \(1N\) 4

\(1C - 20N\) æquatur 96 est \(1N\) 6

\(1C - 30Q + 330X\) æquatur 1232 est \(1N\) 8 \(\overline{\underline{N}}\). « \(330X\) » : le \(N\) mal formé, corrigé en « \(N\) » dans la marge.

\(1C + 30N\) æquatur 68 est \(1N\) 2.

77Un feuillet numéroté « 36 » à l'encre en haut à droite, posé sur le grand feuillet « 37 », dont on voit au-dessus les mêmes trois lignes qu'à la vue 75 (« nempe sunt numeri triangulares 3. 6. 10. 15 &c. … quadrans »), et à droite une bande avec des fins de lignes ; non transcrites ici. Le feuillet « 36 » continue les sept formules de la vue 75, numérotées « IIII » à « VI » au-dessus de chaque énoncé. Le bas de la page est blanc.

\[\left. \begin{array}{l} \text{Si } A \text{ cubus} \\ -\,B \text{ ter in } A \text{ quadratum} \\ -\,D \text{ plano in } A \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ solido}\] Au-dessus, « IIII ».

\(A - B\) esto \(E\) \[\left. \left. \begin{array}{l} E \text{ cubus} \\ -\,B \text{ quadrato ter} \\ -\,D \text{ plano} \end{array} \right\} \text{in } E \right\} \text{æquabitur} \left\{ \begin{array}{l} Z \text{ solido} \\ \underline{\phantom{+}}\,B \text{ cubo bis} \\ \underline{\phantom{+}}\,D \text{ plano in } B \end{array} \right.\] \(\overline{\underline{+}}\) \(\overline{\underline{+}}\) Devant « \(B\) cubo bis » et « \(D\) plano in \(B\) », le signe est laissé en blanc sur un trait ; la marge donne les deux « \(+\) », entre des traits. Le signe devant « \(B\) quadrato ter » est peu net.

\(1C - 6Q - 28N\). æquatur \(\underline{\overline{20}}\) est \(1N\) 10 120. « 20 » est souligné et surligné, et corrigé en « 120 » dans la marge : \(1000 - 600 - 280 = 120\).

\(1C - 40N\) æquatur 192 est \(1N\) 8.

\[\left. \begin{array}{l} \text{Si } D \text{ plano in } A \\ -\,B \text{ ter in } A \text{ quadratum} \\ -\,A \text{ cubo} \end{array} \right\} \text{æquatur } Z \text{ solido}\] Au-dessus, « V ». Après le second « \(B\) », une lettre barrée.

\(A + B\) esto \(E\) \[\left. \left. \begin{array}{l} D \text{ plano} \\ +\,B \text{ quadrato ter} \end{array} \right\} \text{in } E \ \begin{array}{l} \\ -\,E \text{ cubo} \end{array} \right\} \text{æquabitur} \ \begin{array}{l} Z \text{ solido} \\ \underline{\phantom{+}}\,B \text{ cubo bis} \\ \underline{\phantom{+}}\,D \text{ plano in } B \end{array}\] \(\overline{\underline{+}}\) \(\overline{\underline{+}}\) Mêmes signes laissés en blanc, et mêmes « \(+\) » dans la marge : \(400 \cdot 12 - 12^3 = 72 + 2000 + 1000 = 3072\).

\(100N - 30Q - 1C\) æquatur 72 est \(1N\) 2

\(400N - 1C\) æquatur 3072 est \(1N\) 12.

\[\left. \begin{array}{l} \text{Si } B \text{ ter in } A \text{ quadratum} \\ +\,D \text{ plano in } A \\ -\,A \text{ cubo} \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ solido}\] Au-dessus, « VI ».

\(A - B\) esto \(E\) \[\left. \left. \begin{array}{l} D \text{ plano} \\ +\,B \text{ quadrato ter} \end{array} \right\} \text{in } E \ \begin{array}{l} \\ -\,E \text{ cubo} \end{array} \right\} \text{æquabitur} \ \begin{array}{l} Z \text{ solido} \\ -\,D \text{ plano in } B \\ -\,B \text{ cubo bis} \end{array}\]

\(18Q + 92N - 1C\) æquatur 1720 est \(1N\) 10

\(200N - 1C\) æquatur 736 est \(1N\) 4

vel \(B - A\) esto \(E\) \[\left. \left. \begin{array}{l} D \text{ plano} \\ +\,B \text{ quadrato ter} \end{array} \right\} \text{in } E \ \begin{array}{l} \\ -\,E \text{ cubo} \end{array} \right\} \text{æquabitur} \left\{ \begin{array}{l} B \text{ cubo bis} \\ \underline{\phantom{+}}\,D \text{ plano in } B \\ -\,Z \text{ solido} \end{array} \right.\] \(+\) Devant « \(D\) plano in \(B\) », le signe laissé en blanc sur un trait ; la marge porte « \(+\) ».

\(\underline{\overline{300}}Q + 100N - 1C\) æquatur 1464 est \(1N\) 6 \(\underline{\overline{30}}\) « 300 » est corrigé en « 30 » dans la marge : \(30 \cdot 36 + 600 - 216 = 1464\).

\(400N - 1C\) æquatur 1536 est \(1N\) 4. La septième formule annoncée à la vue 75 n'est pas sur cette page.

78Verso du feuillet « 36 », sans numéro ; la septième formule, annoncée à la vue 75, ouvre la page, numérotée « VII » ; à côté, plus pâle, « IIII », transparence du recto. Le texte en prose qui suit revient à l'expurgation par onces. Le bas de la page est blanc.

\[\left. \begin{array}{l} \text{Si } B \text{ ter in } A \text{ quadratum} \\ -\,D \text{ plano in } A \\ -\,A \text{ cubo} \end{array} \right\} \text{æquetur } Z \text{ solido.}\]

\(A - B\) esto \(E\) \[\left. \left. \begin{array}{l} B \text{ quadratum ter} \\ = D \text{ plano} \end{array} \right\} \text{in } E \ \begin{array}{l} \\ = E \text{ cubo} \end{array} \right\} \text{æquabitur} \ \begin{array}{l} Z \text{ solido} \\ +\,D \text{ plano in } B \\ = B \text{ cubo bis} \end{array}\]

\(18Q - 78N - 1C\) æquatur 20 est \(1N\) 10

\(30Q - 1C\) æquatur 56 est \(1N\) 4 « \(30Q\) » : ainsi, sans correction ; le calcul demande \(30N\) (\(30 \cdot 4 - 64 = 56\)).

\(12Q - 18N - 1C\) æquatur 20 est \(1N\) 10

\(1C - 30N\) æquatur \(\underline{96}\) est \(1N\) 6. \(\underline{36}\) « 96 » est souligné et corrigé en « 36 » dans la marge ; l'égalité juste, \(30 \cdot 6 - 6^3 = -36\), s'écrirait \(30N - 1C\) æquatur \(-36\), soit \(1C - 30N\) æquatur 36.

vel \(B - A\) esto \(E\) \[\left. \left. \begin{array}{l} B \text{ quadratum ter} \\ -\,D \text{ plano} \end{array} \right\} \text{in } E \ \begin{array}{l} \\ -\,E \text{ cubo} \end{array} \right\} \text{æquabitur} \left\{ \begin{array}{l} B \text{ cubo bis} \\ -\,D \text{ plano in } B \\ -\,Z \text{ solido} \end{array} \right.\]

\(\underline{\overline{300}}Q - 100N - 1C\) æquatur 264 est \(1N\) 6 \(\underline{30}\) « 300 » corrigé en « 30 » dans la marge, comme à la vue 77 : \(1080 - 600 - 216 = 264\).

\(200N - 1C\) æquatur 736 est \(1N\) 4.

et autem expurgatione per uncias easque simplices liberantur æquationes adfectione sub gradu qui in climacticarum ordine potestatum proxime subsequitur. sic eodem per uncias triangulares et pyramidales et ex iis compositas possunt æquationes liberari adfectione sub gradibus inferioribus, cum quis considerata coefficiente sub graduali et potestate suæque radicis tot uncias adsumendo quot × dictat genesis potestatum purarum a binomia radice ut cum coefficientis radici de qua quæritur homogenea per uncias simplices taxantur sic homogenea radicis quadrato per uncias triangulares cubo per pyramidales et eo continuo ordine. |o| et/ × requirit. Dans la marge de gauche, en regard des deux premières lignes, « |o| » et « et » suivi d'une barre oblique, sans appel visible dans la ligne ; plus bas, « requirit. », appelé par la croix écrite après « quot » : « quot requirit genesis ». Dans « climacticarum » et « potestatum », les finales sont soulignées.

proponatur \(A\) cubus adfectus sub \(A\) et \(B\) quadrato sumetur ad expurgationem triens \(B\)

et si proponatur \(A\) quadratoquadratum adfectum sub \(A\) quadrato et \(B\) quadrato sumetur ad expurgationem illius adfectionis sextans \(B\).

et si proponatur \(A\) quadratocubus adfectus sub \(A\) cubo et \(B\) cubo sumetur ad expurgationem decima pars \(B\). quadrato/ « cubo » est souligné et corrigé en « quadrato » dans la marge. Les triens, sextans et « decima pars » sont les inverses des nombres triangulaires 3, 6, 10 : les lignes « nempe sunt numeri triangulares 3. 6. 10. 15 &c. » du feuillet « 37 », vues aux vues 75 et 77, semblent la suite de cette page.

79Le grand feuillet numéroté « 37 » à l'encre en haut à droite, dont les trois premières lignes se voyaient aux vues 75 et 77 au-dessus des feuillets « 35 » et « 36 ». Il continue le propos de la fin de la vue 78 sur les onces triangulaires. Sous le bas de la page dépasse un feuillet plus long, qui porte « metathesi \(A\) cubus æquatur \(B\) plano in \(A\) \(+\,Z\) solido » (un mot barré entre les deux lignes) : lignes d'un feuillet suivant, hors de ce lot, non transcrites ici. Dans la marge de gauche, des traces pâles, décharge, non transcrites.

nempe sunt numeri triangulares 3. 6. 10. 15 &c.

proponatur autem \(A\) quadratoquadratum adfectum sub \(A\) et \(B\) cubo sumetur ad expurgationem illius adfectionis quadrans \(B\)

et si proponatur \(A\) quadratocubus adfectus sub \(A\) quadrato et \(B\) cubo sumetur ad expurgationem decima pars \(B\).

nempe sunt numeri pyramidales 4. 10. 20. 35 &c.

quæ quemadmodum ad ulteriora possunt aptari satis fit manifestum, valet autem illa unciarum triangularium pyramidalium et ex iis compositarum expurgatio dum illa ea adfectione qua liberanda proponitur obruitur æqualitate in cuius autem adfectionis deletæ locum, succedunt adfectiones singulæ sub aliis gradibus reliquis. tas La finale de « æqualitate », soulignée, est corrigée en « -tas » dans la marge : « obruitur æqualitas ».

De transmutatione πρῶτον ἔσχατον quæ remedium est adversus vitium negationis. Cap. II

Æquationes in quibus homogenea æquationum validiora negantur de potestate utiliter per transmutationem πρῶτον ἔσχατον emendantur. ea fit per analogiam rationis simplicis, explicando homogeneorum comparationis ad ipsam radicem de qua quæritur unde oriatur incerta alia radix sub cuius specie æquationem primo propositam liceat ducere et novam ordinare. adfectionum. applicando Les deux mots soulignés sont corrigés dans la marge, entre des traits : « adfectionum » pour « æquationum », « applicando » pour « explicando ». Après « rationis », un mot barré ou surchargé.

Sic enim adfectiones illæ negatæ transeunt in affirmatas et e contra salva numerorum symmetria

prodest etiam in vitium ad asymmetrias

nomen autem πρῶτον ἔσχατον sortita est ab eo ad quem proposita primo æquatio vocatur analogismo quoniam in eius formula terminus de quo primo quærebatur est primus, is qui post metamorphosin fit postremus vel e converso. renovatur primus, fit « vocatur », souligné et surchargé, est corrigé en « renovatur » dans la marge ; « primus, fit », dans la marge, semble reprendre les mots « est primus, is » et « fit », ce dernier souligné dans la ligne.

quæ quoniam ex ipsa operis formula facilius percipiuntur

proponatur \(\left. \begin{array}{l} A \text{ cubus} \\ \quad -\,B \text{ plano in } A \end{array} \right\}\) æquari \(Z\) solido

sit autem explicanda æqualitas

quoniam igitur \(Z\) solidum potestas est affecta negate, de negatis autem ars non statuitur, quæ proponitur æquatio inexplicabilem primo transmutanda est qualis quæ adficeretur affirmate

quocirca \(\frac{Z \text{ solidum}}{A}\) esto \(E\) plano ergo \(\frac{Z \text{ solidum}}{E \text{ plano}}\) erit \(A\) Le texte s'arrête là, au milieu de la page ; le reste du feuillet est blanc.

80Verso du grand feuillet « 37 », sans numéro ; le chapitre II continue sans rupture la vue 79. Sous le bas de la page dépasse le feuillet « 36 » : on y lit la dernière ligne de la vue 78, « sumetur ad expurgationem decima pars \(B\) », avec la note marginale « quadrato/ » ; non transcrite ici. La marge de gauche porte des traces pâles, décharge, et une longue note de la main du texte, plus serrée. La dernière ligne s'arrête sur « itaque ex iis quæ proponuntur » : la suite est hors de ce lot.

unde ex iis quæ proponuntur \[\left. \begin{array}{l} \dfrac{Z \text{ solido solido solidum}}{E \text{ plano plano plano}} \\[2ex] \text{minus } B \text{ plano in } \dfrac{Z \text{ solidum}}{E \text{ plano}} \end{array} \right\} \text{æquabitur } Z \text{ solido}\]

ducantur omnia in \(E\) planoplanoplano \[\left. \begin{array}{l} Z \text{ solidosolidosolidum} \\ \text{minus } B \text{ plano in } Z \text{ solidum in } E \text{ plano} \end{array} \right\} \text{æquabitur } Z \text{ solido in } E \text{ planoplanoplano}\]

et omnibus per \(Z\) solidum divisis adhibitaque congrua antithesi \[\left. \begin{array}{l} E \text{ planoplanoplano} \\ +\,B \text{ plano in } E \text{ planoplano} \end{array} \right\} \text{æquabitur } Z \text{ solidosolido}\]

Aliter

\[\left. \begin{array}{l} E \text{ plani cubus} \\ +\,B \text{ plano in } E \text{ plani quadratum} \end{array} \right\} \text{æquabitur } Z \text{ solidi quadrato}\]

quæ æquatio omnino explicabilis est ex tradita analysi potestatum cubicarum quæ adficiuntur sub dato coefficiente adfirmate. Innotescit igitur \(E\) planum ad quod cum applicabitur \(Z\) solidum exurget \(A\) de qua primo quærebatur

Analogismus autem æqualitatis de \(A\) inveniendus erat ut \(A\) ad \(LC\) \(Z\) solidi ita \(LC\) \(Z\) solidosolidi ad \(A\) quadratum \(-\,B\) plano. vel est ad \(E\) planum

quo pertinet nominis πρῶτον ἔσχατον notatio « \(LC\) » : latus cubicum. Le « \(-\,B\) plano » est écrit sous « \(A\) quadratum ».

analogismus primæ æquationis est ut \(A\) ad \(Z\) […] lat. \(Z\,s\). ita \(Z\,s\). vel […] ad […] \(E\) pl. quoniam […] est […] ut \(A\) radix æquationis primo propositæ ad latus cub. homogenei comparationis \(Z\) solidi ita latus cub. homogenei comparationis in æquatione secunda […] est \(LC\) \(Z\,ss\). ad \(E\) pl. radicem eiusdem æquationis secundæ \(+\,96\). \(\underline{1600}\) Longue note de la marge de gauche, en regard de l'« Aliter » et du « Analogismus », fermée par un trait ; ses quatrième et cinquième lignes sont raturées et tachées, et la lecture n'en est que partielle. Au bas, « \(+\,96\) » et « 1600 » souligné, séparés d'une barre : les corrections de l'exemple qui suit.

proponatur \(1C - 96N\) æquari 40

effecta \(\frac{40}{1N}\) esse \(1N\). \(1C \mathbin{\underline{-\,46}}Q\) æquabitur \(\underline{160}\) et fit \(1N\) 4

quare \(\frac{40}{4}\) seu 10 est radix primo quæsita « \(-\,46\) » et « 160 » sont soulignés, corrigés dans la marge en « \(+\,96\) » et « 1600 » : \(4^3 + 96 \cdot 4^2 = 1600 = 40^2\).

et si accidat in proposita primo æquatione cubica homogeneum comparationis esse in sua soliditate irrationale sed facultate veluti quadrata rationale ea asymmetria in æquatione nova evanescet et. × quadratica proponatur. « quadrata », souligné, est corrigé en « quadratica » dans la marge ; « proponatur », souligné aussi dans la marge, est appelé par la croix devant l'exemple qui suit, dont il complète le début.

\(1C - 10N\) æquari \(L48\) effecta \(\frac{L48}{1N}\) esse \(1N\).

\(1C + 10Q\) æquabitur 48 et fiet \(1N\) 2

quare \(\frac{L48}{L4}\) seu latus 12 est radix primo quæsita « \(L\) » : latus, la racine carrée. \(E^3 + 10E^2 = 48\) pour \(E = 2\), et \(A = \sqrt{48}/2 = \sqrt{12}\).

rursus proponatur \(A\) quadratoquadratum minus \(B\) in \(A\) cubum minus \(D\) plano in \(A\) quadratum æquari \(Z\) planoplano sitque explicanda æqualitas. quoniam igitur \(Z\) planoplanum est potestas affecta negate, de negatis autem ars non statuitur quæ proponitur æquatio inexplicabilis transmutanda est

quocirca \(\frac{Z \text{ planoplanum}}{A}\) esto \(E\) solidum ergo \(\frac{Z \text{ planoplanum}}{E \text{ solido}}\) erit \(A\) itaque ex iis quæ proponuntur